Bài 1. (1,5 điểm) Cho $x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ và $y=\sqrt{2}-\sqrt{3}$.
a) Tính giá trị của biểu thức $A=x^{2}-y^{2}$.
b) Đặt $B=\left(x^{2}-5\right)^{2}+\left(y^{2}-5\right)^{2}$, rút gọn $\sqrt{19-2 \sqrt{B}}$.
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: $\sqrt{3 x^{2}-x-1}=2 x-1$.
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2022 x^{2}+2023 y^{2}=4045 \\ 2023 x^{2}-2022 y^{2}=1\end{array}\right.$.
Bài 3. (1,5 điểm) Cho parabol $(P): y=-x^{2}$ và đường thẳng $(d): y=-(2 m+1) x+3+m^{2}$.
a) Tìm $m$ để $(P)$ và $(d)$ cắt nhau.
b) Gọi $M\left(x_{1} ; y_{1}\right), N\left(x_{2} ; y_{2}\right)$ là giao điểm của $(P)$ và $(d)$.
Tìm $m$ dể $2 m x_{1}+x_{2}+y_{1}-2 y_{2}=-m^{2}+14 m+12$.
Bài 4. (2,0 điểm)
a) Hai lớp 10 Toán – Tin của trường PTNK có tổng cộng 80 học sinh. Hết học kì một, 3 học sinh lớp 10 Toán chuyển sang lớp 10 Tin nên số học sinh 10 Toán bằng $\frac{9}{7}$ số học sinh lớp 10 Tin. Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh.
b) Trong một cuộc khảo sát về sở thích chơi bóng đá và tennis của một nhóm học sinh cho kết quả như sau: số học sinh chỉ thích chơi bóng đá gấp 3 lần số học sinh thích chơi tennis. Sau khi phỏng vấn thêm ba bạn và ba bạn đó thích chơi cả hai môn thì tổng số bạn được phỏng vấn gấp 3 lần số bạn thích cả hai môn. Hỏi ban đầu có bao nhiêu bạn chỉ thích chơi bóng đá, chỉ thích chơi tennis và thích chơi cả hai môn? Biết có ít nhất một bạn chỉ thích chơi tennis.
Bài 5. (3,0 điểm) Cho tam giác $A B C$ vuông cân tại $A$ và $A B=a, I$ là trung điểm $A C$, đường tròn tâm $O$ ngoại tiếp tam giác $A B C$.
a) Tính $B C, B I$ và bán kính của $(O)$ theo $a$.
b) Trên tia đối của $I B$ lấy điểm $D$ sao cho $I D=I B . B D$ cắt $(O)$ tại $E$ khác $B$. Tính $A D$ và chứng minh $A D$ là tiếp tuyến của $(O)$.
c) Vẽ $A H \perp B D$ với $H$ thuộc $B D$. Tứ giác $A H C E$ là hình gì? Tính $\angle C H D$.
LỜI GIẢI
Bài 1.
a) Với $x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ và $y=\sqrt{2}-\sqrt{3}$, ta có: $A=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}=4 \sqrt{6}$.
b) Với $x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ và $y=\sqrt{2}-\sqrt{3}$, ta có:
$B=\left((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}-5\right)^{2}+\left((\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}-5\right)^{2}=48 Suy ra \sqrt{19-2 \sqrt{B}}=4-\sqrt{3} .$
Bài 2.
a)$\sqrt{3 x^{2}-x-1}=2 x-1 $
$\Leftrightarrow 3 x^{2}-x-1=(2 x-1)^{2}\left(Đ K: x \geq \frac{1}{2}\right)$
$\Leftrightarrow x^{2}-3 x+2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1(n) \\ x=2(n)\end{array}\right.$
Vậy $S=(1 ; 2)$
b) $\left\{\begin{array}{l}2022 x^{2}+2023 y^{2}=4045 \\ 2023 x^{2}-2022 y^{2}=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^{2}=1 \\ y^{2}=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=-1 \\ x=-1 \\ y=1 \\ x=-1 \\ y=-1\end{array}\right.\right.\right.$
Bài 3.
a) ĐK: $m \neq-\frac{1}{2}$
Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d): x^{2}-(2 m+1) x+3+m^{2}=0 (1)$ $(P)$ và $(d)$ cắt nhau $\Leftrightarrow \Delta>0 \Leftrightarrow 4 m-11>0 \Leftrightarrow m>\frac{11}{4}$
Vậy $m>\frac{11}{4}$.
b) Với $m>\frac{11}{4}$ và $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình (1), ta có:
$S=x_{1}+x_{2}=2 m+1 ; P=x_{1} x_{2}=m^{2}+3 ; $
$y_{1}=-(2 m+1) x_{1}+3+m^{2} ; $
$y_{2}=-(2 m+1) x_{2}+3+m^{2}$
Ta có: $2 m x_{1}+x_{2}+y_{1}-2 y_{2}=-m^{2}+14 m+12$
$\Leftrightarrow 2 m x_{1}+x_{2}-(2 m+1) x_{1}+3+m^{2}+2(2 m+1) x_{2}-6-2 m^{2}=-m^{2}+14 m+12$
$\Leftrightarrow-x_{1}+(4 m+3) x_{2}=14 m+15 $
$\Leftrightarrow-\left(x_{1}+x_{2}\right)+4(m+1) x_{2}=14 m+15 $
$\Leftrightarrow-2 m-1+4(m+1) x_{2}=14 m+15 $
$\Leftrightarrow 4(m+1) x_{2}=16(m+1) \Leftrightarrow x_{2}=4$
Với $x_{2}=4$ thay vào $(1)$ ta được: $m^{2}-8 m+15=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}m=5 (n) \\ m=3 (n)\end{array}\right.$
Vậy $m=3$ hoặc $m=5$.
Bài 4.
a) Gọi $x, y$ (học sinh) lần lượt là số học sinh mỗi lớp lúc đầu.
Tổng số học sinh là 80 nên $x+y=80$
Hết học kì 1 , lớp toán có $x-3$ học sinh, lớp Tin có $y+3$
Số học sinh lớp Toán bằng $\frac{9}{7}$ số học sinh lớp Tin nên $x-3=\frac{9}{7}(y+3) \Leftrightarrow x-\frac{9}{7} y=\frac{48}{7}$
Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=80 \\ x-\frac{9}{7} y=\frac{48}{7}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=48 \\ y=32\end{array}\right.\right.$
Vậy ban đầu lớp Toán có 48 học sinh và lớp Tin có 32 học sinh.
b) Gọi $x$ là số bạn chỉ thích chơi tennis; $y$ là số bạn thích chơi cả hai môn. $(x, y \in \mathbb{N})$
Số bạn chỉ thích chơi bóng đá gấp 3 lần số bạn thích chơi tennis nên số bạn chỉ thích bóng đá là: $3(x+y)$.
Khi có thêm 3 bạn thích chơi cả hai môn thì tổng số bạn gấp 3 lần số bạn thích chơi cả hai môn nên: $3(x+y)+x+y+3=3(y+3) \Leftrightarrow 4 x+y=6$.
Vì có ít nhất một bạn chỉ thích chơi tennis nên $x \geq 1$ mà $4 x+y=6 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2\end{array}\right.$.
Vậy có 9 bạn chỉ thích chơi bóng đá, 1 bạn chỉ thích chơi tennis và 2 bạn thích chơi cả hai môn.
Bài 5.
a) $\triangle A B C$ vuông cân tại $A$ nên $A B=A C=a \Rightarrow A I=\frac{a}{2}$ và $O$ là trung điểm của $B C$
$B C^{2}=A B^{2}+A C^{2}=2 a^{2} \Rightarrow B C=a \sqrt{2}$
- Bán kính đường tròn tâm $O$ là $O B=O C=\frac{a \sqrt{2}}{2}$
-
$\triangle A B I$ vuông tại $A$ nên $B I^{2}=A B^{2}+A I^{2}=\frac{5 a^{2}}{4} \Rightarrow B I=\frac{a \sqrt{5}}{2}$
b) Tứ giác $A B C D$ có $I$ là trung điểm của $A C$ và $B D$ $\Rightarrow A B C D$ là hình bình hành $\Rightarrow A D=B C=a \sqrt{2}$
- $\triangle A B C$ vuông cân tại $A$ có $O$ là trung diểm $B C$
$\Rightarrow A O \perp B C$ mà $A D / / B C$ (do $A B C D$ là hình bình hành)
$\Rightarrow A O \perp A D \Rightarrow A D$ là tiếp tuyến của $(O)$.
c) $\angle B E C$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\Rightarrow \angle B E C=90^{\circ}$
Ta có: $A H \perp B D$ và $C E \perp B D$ (do $\left.\angle B E C=90^{\circ}\right) \Rightarrow A H / / C E$. (1)
Tứ giác $A B C D$ là hình bình hành nên $A B=C D$ và $\angle C D B=\angle A B D$.
Xét $\triangle A H B$ và $\triangle C E D$ lần lượt vuông tại $H$ và $E$ có:
$A B=C D$ và $\angle A B H=\angle C D E(\mathrm{cmt})$
$\Rightarrow \triangle A H B=\triangle C E D$ (ch.gn) $\Rightarrow A H=C E$. (2)
Từ (1) và $(2)$ suy ra tứ giác $A H C E$ là hình bình hành.
- Tứ giác $A H C E$ là hình bình hành suy ra $\angle C H D=\angle A E B=\angle A C B=45^{\circ}$.
