Đường kính và dây cung

Định lý.  Trong một đường tròn

  • Đường kính vuông góc với dây cung không đi qua tâm thì đi qua trung điểm dây cung đó.
  • Ngược lại, nếu đường kính đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung đó.

Ví dụ 1. Tìm $x$ độ dài dây cung trong các hình sau:

Gợi ý

a. Ta có $DC^2 + AD^2 = AC^2$, suy ra $CD^2 = 5^2-3^2 = 16$, $CD = 4$.

Khi đó $BC = 2CD = 8$.

b. Ta có $\cot EFH = \dfrac{FH}{EH}$, suy ra $FH = EH. \cot \angle EFH = 1. \cot 22.77^\circ = 2.32$.

Ví dụ 2. Cho đường tròn đường kính $AB = 10cm$ tâm $O$. Trên đoạn $OA$ lấy điểm $D$ sao cho $OD = 3cm$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc $AB$ cắt $(O)$ tại $E, F$. Tính $\angle EBF$.

Gợi ý

Ta có $OE = OB = 5cm$.

$DE^2 + OD^2 = OE^2$, suy ra $DE^2 = OE^2 – OD^2 = 5^2 – 3^2 = 16$, $DE = 4$.

$\tan \angle EBD = \dfrac{DE}{BD} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$

$\angle EBD = 26.57^\circ$

Ta có $OD \bot EF$, suy ra $D$ là trung điểm $EF$. Do đó tam giác $EBF$ cân tại $B$.

Suy ra $\angle EBF = 2 \angle EBD = 52.14^\circ$

Bài tập. 

1.Tính các yếu tố chưa biết trong các hình sau:

2. Tính $x$ trong hình sau:

 

3. Trong hình dưới đây cho $DF = 1cm, AE = 2\sqrt{3} cm$. Tính bán kính $x$ của đường tròn.

4. Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $I$ nằm trong đường tròn. $AB$ là dây cung thay đổi qua $I$.

a.Chứng minh rằng trung điểm $AB$ thuộc một đường cố định.

b.Chứng minh $IA.IB$ không đổi.

5. Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và $I$ là một điểm nằm trong đường tròn. Hai dây cung $AB$ và $CD$ thay đổi vuông góc với nhau tại $I$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.

a. Chứng minh $MN$ có độ dài không đổi.

b. Chứng minh $AB^2 + CD^2$ không đổi. Tìm giá trị lớn nhất diện tích tứ giác $ACBD$.

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *