Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức

$y=ax+b$

trong đó $a$, $b$ là các số cho trước và $a\ne 0$.

Ví dụ 1: Để ủng hộ cho các người dân trong đợt lũ lụt, lớp 9A quyết định trích tiền quỹ của lớp ra $500000$ và mỗi bạn trong lớp có thể đóng góp số tiền như nhau là $20000$. Gọi $x$ là số học sinh đóng góp và $y$ là số tiền đóng góp được. Khi đó số tiền lớp 9A đóng góp là:

$y=20000x+500000$

$y=20000x+500000$ là hàm số bậc nhất với $a=20000$, $b=500000$.

Ví dụ 2: Bạn Uyên có số tiền là $500000$, bạn định sử dụng số tiền này để mua truyên tranh, mỗi quyển truyện tranh có giá $15000$. Gọi $h$ là số quyển truyện tranh Uyên mua được và $t$ là số tiền còn lại của Uyên. Khi đó ta có:

$t=500000-15000h=-15000h+500000$

$t=-15000h+500000$ là hàm số bậc nhất với $a=-15000$, $b=500000$.

Tính chất 1: Hàm số bậc nhất $y=f(x)=ax+b$ xác định với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$ và thỏa mãn:

• Nếu $a>0$ thì $f$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
• Nếu $a<0$ thì $f$ là hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Ví dụ 3:

a) Hàm số $y=20000x+500000$ là hàm số bậc nhất có $a=20000>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $t=-15000h+500000$ là hàm số bậc nhất có $a=-15000<0$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Bài tập:

Bài 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Xác định các hệ số $a$, $b$ của các hàm số bậc nhất vừa tìm được.

a) $y=4x-2$

b) $y=-3-x$

c) $y=\dfrac{1}{x}+7$

d)$y=\dfrac{2x}{3}$

e) $y=5\left(2-x\right) +3$

 Bài 2:  Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $y=2x-7$

b) $y=3-5x$

c) $y=\left( \sqrt2-\sqrt3\right)x+1$

d) $y=\left( 2+m^2\right)x-4$

Bài 3: Cho hàm số $y=\left( 2m-1\right)x+3$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Bài 4: Cho hàm số $y=\left( 2m+5\right)x+m-2$. Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Bài 5: Cho hàm số $y=\left( m+1\right)x+3m+1$. Tìm $m$ để hàm số trên là hàm số bậc nhất.

Bài 6: Để đổi từ nhiệt độ $F$ sang độ $C$, ta dùng công thức sau:

$C=\dfrac{5}{9}\left( F-32\right) $

a) $C$ có phải là hàm số bậc nhất theo biến số $F$ không?

b) Hãy tính $C$ khi $F=30$, $F=70$.

Bài 7: Cây cà chua lúc đầu cao $20$ cm, mỗi ngày cao thêm $10$ cm, cây đu đủ lúc đầu cao $50$ cm và mỗi ngày cao thêm $\dfrac{20}{3}$ cm. Gọi $x$ là số ngày, $y$ là chiều cao của mỗi cây, hãy lập hàm số của $y$ theo $x$ đối với mỗi cây.

Bài 8: Hai bạn $A$, $B$ đi cùng hướng trên một con đường, lúc đầu $A$, $B$ cách bến xe buýt lần lượt là $200$ m và $500$ m cùng đi ngược hướng với trạm xe buýt. Mỗi giờ $A$ đi được $3$ km và $B$ đi được $1$ km. Gọi $d_1$ và $d_2$ là khoảng cách của $A$, $B$ đối với trạm xe buýt sau khi đi được $t$ giờ. Hãy tính $d_1$ và $d_2$ theo $t$.