Tag Archives: Lop9

Rút gọn căn thức đơn giản

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $3\sqrt 8 – \sqrt {48} – 2\sqrt {\dfrac{4}{3}} + 4\sqrt {\dfrac{9}{2}} $.

b) $10\sqrt {28a} + 2\sqrt {175a} – 3\sqrt {343a} + \sqrt {112a} $ với $a \ge 0$.

c) $\sqrt {20 + 2\sqrt {19} } – \sqrt {30 + 2\sqrt {29} } $.

d) $\sqrt {17 – 4\sqrt {9 – 4\sqrt 5 } } $.

e) $\sqrt {6 – 2\sqrt 6 + 2\sqrt 2 – 2\sqrt 3 } $

Giải

a) $3\sqrt 8 – \sqrt {48} – 3\sqrt {\dfrac{4}{3}} + 4\sqrt {\dfrac{9}{2}}$

$= 3\sqrt {2^2.2} – \sqrt {4^2.3} – 3\dfrac{\sqrt {2^2} }{\sqrt 3 } + 4\dfrac{\sqrt {3^2} }{\sqrt 2 }$
$= 6\sqrt 2 – 4\sqrt 3 – 3\dfrac{2\sqrt 3 }{3} + 4\dfrac{3\sqrt 2 }{2} = 12\sqrt 2 – 6\sqrt 3 $

b) $10\sqrt {28a} + 2\sqrt {175a} – 3\sqrt {343a} + \sqrt {112a} $
$= 10\sqrt {{2^2}7a} + 2\sqrt {{5^2}7a} – 3\sqrt {{7^2}7a} + \sqrt {{4^2}7a} $
$= 20\sqrt {7a} + 10\sqrt {7a} – 21\sqrt {7a} + 4\sqrt {7a} = 13\sqrt {7a} $

c) $\sqrt {20 + 2\sqrt {19} } – \sqrt {30 + 2\sqrt {29} } = \sqrt {19 + 2\sqrt {19} + 1} – \sqrt {29 + 2\sqrt {29} + 1} $
$= \sqrt {\left( {\sqrt {19} + 1} \right)^2} – \sqrt {\left( {\sqrt {29} + 1} \right)^2} = \left| {\sqrt {19} + 1} \right| – \left| {\sqrt {29} + 1} \right|$
$= \sqrt {19} + 1 – \sqrt {29} – 1 = \sqrt {19} – \sqrt {29}$.

d) $\sqrt {17 – 4 \sqrt {9 – 4\sqrt 5 } } = \sqrt {17 – 4\sqrt {4 – 2.2\sqrt 5 + 5} } $

$= \sqrt {17 – 4\sqrt {\left( {2 – \sqrt 5 } \right)^2} } = \sqrt {17 – 4.\left| {2 – \sqrt 5 } \right|} $
$= \sqrt {17 – 4\left( {\sqrt 5 – 2} \right)} = \sqrt {25 – 4\sqrt 5 } $.

e)$\sqrt {6 – 2\sqrt 6 + 2\sqrt 2 – 2\sqrt 3 } = \sqrt {3 + 2 + 1 – 2\sqrt 6 + 2\sqrt 2 – 2\sqrt 3 } $
$= \sqrt {\left ( \sqrt 3 \right )^2 + \left ( \sqrt 2 \right )^2 + 1^2 – 2\sqrt 3 .\sqrt 2 + 2\sqrt 2 .1 – 2\sqrt 3 .1} $
$= \sqrt {\left ( \sqrt 3 – \sqrt 2 – 1 \right )^2} = \left | \sqrt 3 – \sqrt 2 – 1 \right | = \sqrt 2 + 1 – \sqrt 3$.

Bài tập :

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2\sqrt {24} – 2\sqrt {54} + 3\sqrt 6 – \sqrt {150} $.

b) $\dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}} – 4\sqrt {\dfrac{3}{2}} $.

c) $10\sqrt {72} – \dfrac{5}{3}\sqrt {162} + \sqrt {128} – 2\sqrt {50} + \sqrt {98} $.

d) $5\sqrt {12} – 2\sqrt {48} + 6\sqrt {75} – \sqrt {108} $.

e) $\dfrac{3}{2}\sqrt {12} + \dfrac{7}{5}\sqrt {75} – \dfrac{9}{{10}}\sqrt {300} + \dfrac{{11}}{6}\sqrt {108} $.

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {31 – 8\sqrt {15} } + \sqrt {24 – 6\sqrt {15} } $.

b)$\sqrt {49 – 5\sqrt {96} } – \sqrt {49 + 5\sqrt {96} } $.

c) $\sqrt {15 – 6\sqrt 7 } + \sqrt {43 – 12\sqrt 7 } $.

d) $\sqrt {8 – 2\sqrt {15} } – \sqrt {23 – 4\sqrt {15} } $.

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {10 + 2\sqrt 6 + 2\sqrt {10} + 2\sqrt {15} } $.

b)$\sqrt {6 + 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + 2\sqrt 6 } $.

c) $\sqrt {18 – 4\sqrt 6 – 8\sqrt 3 + 4\sqrt 2 } $.

d) $\sqrt {8 + \sqrt 8 + \sqrt {20} + \sqrt {40} } $.

e) $\sqrt {25 – 4\sqrt {10} – 4\sqrt {15} + 2\sqrt 6 } $.

Bài 4: Cho $x=\sqrt{3}-1$

a) Tính: $x^3-3x^2+x-1 $.

b) Chứng minh: $x^2+2x-2=0 $.

c) Tính: $P=\left( x^3+2x^2-x+1\right)^{2020} $.

Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {a+b+c+2\sqrt{ac+bc}}+\sqrt {a+b+c-2\sqrt {ac+bc}} $.

b) $\sqrt {a+b+9c+6\sqrt {ac+bc}}+\sqrt {a+b+9c-6\sqrt {ac+bc}} $.

c) $\sqrt {a-b+4c+4\sqrt {ac-bc}}+\sqrt {a-b+4c-4\sqrt {ac-bc}} $.

Trục căn thức ở mẫu

Tính chất: Trục căn thức ở mẫu:

$\dfrac{1}{\sqrt A}=\dfrac {\sqrt A}{A}$.
$\dfrac {1}{\sqrt A-\sqrt B}=\dfrac {\sqrt A+\sqrt B}{A-B}$.
$\dfrac {1}{\sqrt A+\sqrt B}=\dfrac {\sqrt A-\sqrt B}{A-B}$.

Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu:

a) $\dfrac {12\sqrt 2}{5\sqrt 3}$.

b) $\dfrac {3}{\sqrt 5-\sqrt 2}$.

c) $\dfrac {3+\sqrt 3}{1+\sqrt 2}+\dfrac {2+\sqrt 2}{2-\sqrt 2}$.

Giải

a) $\dfrac {12\sqrt 2}{5\sqrt 3}=\dfrac {12 \sqrt 2 \sqrt 3}{5.3}=\dfrac {4\sqrt 6}{5}$

b) $\dfrac {3}{\sqrt 5-\sqrt 2}=\dfrac{{3\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 5 – \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}=\dfrac {3\left (\sqrt 5+\sqrt 2 \right ) }{5-2}=\sqrt 5+\sqrt 2$

c) $\dfrac {3+\sqrt 3}{1+\sqrt 2}+\dfrac {2+\sqrt 2}{2-\sqrt 2}=\dfrac{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}} + \dfrac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {2 – \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}$

$=\dfrac{{3\sqrt 2 – 3 + \sqrt 6 – \sqrt 3 }}{{2 – 1}} + \dfrac{{6 + 4\sqrt 2 }}{{4 – 2}}$

$=3\sqrt 2 – 3 +\sqrt 6 – \sqrt 3 + 3 + 2\sqrt 2 =5\sqrt 2-\sqrt 3+\sqrt 6$

Bài tập:

Bài 1: Trục căn thức ở mẫu:

a) $\dfrac{7}{\sqrt 3 }$; $\dfrac{3}{2\sqrt 5 }$; $\dfrac{5}{3\sqrt {12} }$; $\dfrac{2}{3\sqrt {20} }$.

b)$\dfrac{\sqrt 3 + 3}{5\sqrt 3 }$; $\dfrac{7 – \sqrt 7 }{\sqrt 7 – 1}$; $\dfrac{2}{\sqrt 5 + \sqrt 3 }$; $\dfrac{\sqrt 5 + 2}{\sqrt 5 – 2}$.

c) $\dfrac{y + a\sqrt y }{a\sqrt y }$; $\dfrac{b – \sqrt b }{\sqrt b – 1}$; $\dfrac{b}{5 + \sqrt b }$; $\dfrac{p}{2\sqrt p – 1}$.

Bài 2: Tính:

a) $\dfrac{1}{{2 – \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{2 + \sqrt 5 }}$.

b) $\dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}} – 4\sqrt {\dfrac{3}{2}} $.

c) $\dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 – \sqrt 3 }} – \dfrac{{2 – \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}$.

d) $\dfrac{2}{{\sqrt 3 – 1}} + \dfrac{3}{{\sqrt 3 – 2}} + \dfrac{{12}}{{3 – \sqrt 3 }}$.

Bài 3: Rút gọn:

a) $\dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} – \dfrac{{2\sqrt 3 + \sqrt {15} }}{{\sqrt 5 + 2}}$.

b) $\dfrac{{5\sqrt 2 – 2\sqrt 5 }}{{\sqrt {10} }} – \dfrac{3}{{\sqrt 5 – \sqrt 2 }}$.

c) $\dfrac{{\sqrt {15} – \sqrt {12} }}{{\sqrt 5 – 2}} – \dfrac{1}{{2 – \sqrt 3 }}$.

d) $\dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {\sqrt 2 + 1} – 1}} – \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {\sqrt 2 + 1} + 1}}$.

Căn bậc hai

Định nghĩa 1: Căn bậc hai của số $a$ không âm là số $x$ sao cho $x^2=a$.

Ví dụ 1:

a) Căn bậc hai của $9$ là $3$ và $-3$.

b) Căn bậc hai của $4$ là $2$ và $-2$.

c) Căn bậc hai của $0$ là $0$.

Định nghĩa 2: Căn bậc hai số học của số không âm $a$ là số $x$ không âm thỏa $x^2=a$.

Kí hiệu $x=\sqrt a$.

Ví dụ 2:

a) $\sqrt 4=2$.

b) $\sqrt {36}=6$.

Tính chất 1: Với $a\ge 0$ thì:

$x=\sqrt a$ thì $x\ge 0$ và $x^2=a$. Hay $\sqrt a\ge 0$ và $\left (\sqrt a \right )^2=a$.
Nếu $x \ge 0$ và $x^2=a$ thì $x= \sqrt a$.

Tính chất 2: Cho $a$, $b$ là các số không âm. Khi đó $a<b \Leftrightarrow \sqrt a<\sqrt b$

Ví dụ 3: So sánh các số:

a) $1$ và $\sqrt 2$.

b) $2$ và $\sqrt 5$.

c) $17$ và $\sqrt {290}$.

Giải

a) Ta có: $1<2 \Leftrightarrow 1<\sqrt 2$.

b) Ta có: $4<5 \Leftrightarrow 2<\sqrt 5$.

c) Ta có: $289<290 \Leftrightarrow 17<\sqrt {290}$.

Ví dụ 4: Tìm các số tự nhiên $x$ thỏa:

a) $\sqrt x <2$.

b) $2<\sqrt x <4$.

Giải

a) Ta có: Điều kiện $x \geq 0$, từ giả thiết $\sqrt x <2 \Leftrightarrow x<4$.

Do $x$ là số tự nhiên nên $x \in \{0, 1, 2, 3\}$.

b) Ta có: $2< \sqrt x \Leftrightarrow 4<x$ và $\sqrt x <4 \Leftrightarrow x<16$

Vậy $4<x<16$ Do $x$ tự nhiên nên $x$ là các số tự nhiên từ 5 đến 15.

Ví dụ 5. Một hình vuông có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài lần lượt là $4$ và $9$. So sánh chu vi của hình vuông và hình chữ nhật.

Giải

Gọi $x$ là độ dài cạnh của hình vuông ($x>0$).
Vậy diện tích hình vuông là $S_v=x^2$.
Diện tích hình chữ nhật là $S_{hcn}=4\cdot 9=36$.
Mà $S_v=S_{hcn}\Leftrightarrow x^2=36\Leftrightarrow x=\sqrt{36}=6$ hoặc $x=-\sqrt{36}=-6$. Do $x>0$ nên $x=6$.
Ta có chu vi hình vuông là $P_v=4\cdot x=4\cdot 6=24$.
Ta có chu vi hình chữ nhật là $P_{hcn}=2\cdot (9+4)=2\cdot 13=26$.
Vậy chu vi hình chữ nhật lớn hơn hình vuông.

Định nghĩa 3: Nếu $A$ là một biểu thức đại số, ta gọi $\sqrt A$ là căn thức bậc hai của $A$, $A$ còn được gọi là biểu thức dưới dấu căn.

Biểu thức $\sqrt A$ có nghĩa (xác định) khi và chỉ khi $A \ge 0$.

Ví dụ 6. Tìm điều kiện của $x$ để các biểu thức sau xác định.

a) $\sqrt {2x-1}$.

b) $\sqrt{4-3x}$.

c)$\sqrt {x^2}$.

Giải

a) $2x-1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{2}$

b) $4-3x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \dfrac {4}{3}$

c) $x^2 \ge 0$ luôn đúng với mọi $x$

Ví dụ 7. Chứng minh rằng các biểu thức sau xác định với mọi $x$.

a) $\sqrt {x^2+4}$.

b) $\sqrt {x^2-4x+4}$.

c) $\sqrt {2x^2-4x+3}$.

Giải

a) Ta có: $x^2+4 \ge 0$ với mọi $x$ .

Vậy biểu thức xác định với mọi $x$.

b) Ta có: $x^2-4x+4=\left ( x-2 \right ) ^2 \ge 0$ với mọi $x$.

Vậy biểu thức xác định với mọi $x$.

c) Ta có: $2x^2-4x+3=2\left ( x^2-2x+1 \right )+1=2\left (x-1 \right )^2+1 \ge 0$ với mọi $x$.

Vậy biểu thức xác định với mọi $x$.

Bài tập:

Bài 1: Tính :

a) $\sqrt {81}$.

b) $\sqrt {225}$.

c) $\sqrt {0,49}$.

d) $\sqrt {12^2+5^2}$.

e) $-0,25\sqrt {(-0,4)^2}$.

Bài 2: So sánh các căn sau:

a) $\sqrt {20}$ và $2\sqrt 5$.

b) $2\sqrt 3$ và $3\sqrt 2$.

c) $-7\sqrt 3$ và $-2\sqrt {10}$.

d) $\sqrt 3 -3\sqrt 2$ và $-4\sqrt 3 +5\sqrt 2$.

e) $2+\sqrt 2$ và $5-\sqrt 3$.

Bài 3: Tìm điều kiện của $x$ để các biểu thức sau xác định:

a) $\sqrt {3x-2}$.

b) $\sqrt {4x^2-20x+25}$.

c) $\sqrt {\dfrac {-5}{9-5x}}$.

d) $\sqrt {x^2-4}$.

Bài 4: Tìm $x$ không âm, biết:

a) $\sqrt x=3$.

b) $\sqrt x +2=7$.

c) $\sqrt {x+1} -1=4$.

d) $\sqrt {x-1} =\sqrt {13}$.

Bài tập hình học 9: Ôn thi học kì 1

1 Reply

Dưới đây là một số bài tập ôn thi học kì 1 lớp 9, môn hình học với lời giải chi tiết được thực hiện bởi thầy Nguyễn Phi Hùng – Giáo viên Trường Phổ thông Năng khiếu. Nếu có gì sai sót comment dưới nhé.

Các bạn hãy share cho mọi người cùng tiếp cận được tài liệu này. Cảm ơn.

Đề tham khảo HK1 quận 1, Sài Gòn, năm học 2018-2019 [pdf]

Link xem bài – > LOI-GIAI-CAC-BAI-HINH-DE-NGHI-HK1