Tag Archives: numbertheory

Phương pháp chứng minh chia hết – P2

Leave a reply

Phương pháp biến đổi thành tổng. 

Chú ý tính chất sau: $A, B$ chia hết cho $M$ thì $xA + yB$ chia hết cho $M$ với mọi $x, y$ nguyên.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng nếu $4x-y$ chia hết cho 3 thì $A=4x^2 – 16xy-2y^2$ chia hết cho 9.

Lời giải
  • $x+2y = 4x-y -3(x-y)$ chia hết cho 3.
  • $4x^2-16xy-2y^2= (4x-y)(x+2y)+9xy$, mà $(4x-y)(x+2y)$ chia hết cho 9 nên $A$ chia hết cho 9.

Ví dụ 2. Cho hai số nguyên $a, b$ thỏa $(17a+5b)(5a+17b)$ chia hết cho 11.

Chứng minh rằng $(17a+5b)(5a+17b)$ chia hết cho 121.

Lời giải
  • $(17a+5b)(5a+17b)$ chia hết cho 11 thì $17a + 5b$ hoặc $5a+17b$ chia hết cho 11.
  • Nếu $17a+5b$ chia hết cho 11, khi đó $5a+17b = 22(a+b)  – (17a+5b)$ chia hết cho 11.
  • Khi đó $(17a+5b)(5a+17b)$ chia hết cho 121.
  • Tương tự cho trường hợp còn lại.

Ví dụ 3. Cho $n$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng $3^nn^3+1$ chia hết cho 7 khi và chỉ khi $3^n + n^3$ chia hết cho 7.

Lời giải

Bổ đề. Nếu $n$ không chia hết cho 7 thì $n^6-1$ chia hết cho 7.

Chứng minh bổ đề: Xét số dư.

Chiều thuận. Nếu $3^nn^3+1$ chia hết cho 7 thì $3^n + n^3$ chia hết cho 7.

Ta có $3^nn^3 + 1$ chia hết cho 7, suy ra $n$ không chia hết cho 7.

Khi đó $n^33^n + 1 = n^3(3^n+n^3) + 1 – n^6$, mà $1-n^6$ chia hết cho 7 (Theo bổ đề), suy ra $n^3(3^n+n^3)$ chia hết cho 7.

Mà $(n^3,7)=1$, suy ra $3^n+n^3$ chia hết cho 7.

Chiều đảo. Nếu $3^n+n^3$ chia hết cho 7, chứng minh $3^nn^3+1$ chia hết cho 7.

$3^n+n^3$ chia hết cho 7, suy ra $n$ không chia hết cho 7 và $n^3(3^n+n^3)$ chia hết cho 7.

Mà $n^3(3^n+n^3) = n^33^n + 1 + n^6-1$, trong đó $n^6-1$ chia hết cho 7 ,suy ra $3^nn^3+1$ chia hết cho 7.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Tìm các số $x, y$ để $\overline{2x7y5}$ chia hết cho 25.

Bài 2. Tìm số tự nhiên $n$ để $n^2+3n+1$ chia hết cho $n+1$.

Bài 3. Tìm số tự nhiên $n$ để $\dfrac{3n^2 + n+1}{n+2}$ là số nguyên.

Bài 4. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $n^2 + 9n – 2$ chia hết cho 11.

Bài 5. Chứng minh rằng $n^2 + n+2$ không chia hết cho 15 với mọi $n$.

Bài 6. Chứng minh rằng $n^2 + 3n+5$ không chia hết cho 121 với mọi $n$.

Bài 7. Ba số nguyên $a,\,b,\,c$thoả mãn điều kiện $a + b + c$ chia hết cho 3. Chứng minh rằng ${a^2}\left( {b + c} \right) + {b^2}\left( {a + c} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right)$ chia hết cho 6.

Bài 8. Chứng minh rằng nếu $4x-y$ chia hết cho 3 thì $4x^2 + 7xy-2y^2$ chia hết cho 9.

Bài 9. Cho các số nguyên $a, b, c$ với $b \neq c$. Chứng minh rằng nếu các phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ và $(c-b)x^2 +(c-a)x+a+b = 0$ có nghiệm chung thì $a+b+2c$ chia hết cho 3.

Phương pháp chứng minh chia hết

Leave a reply

 

Bài toán chia hết là bài toán quan trọng trong các bài toán số học sơ cấp, trong chương trình trung học cơ sở các bài toán liên quan đến chia hết xuất hiện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi cũng như thi vào 10. Trong loạt bài viết này, tôi xin trình bày những phương pháp chứng minh chia hết, giúp các em ôn tập tốt hơn trong kì thi vào 10.

Phương pháp 1. Biến đổi thành tích.

Để chứng minh $A$ chia hết cho $B$, ta có thể làm như sau:

  • Biến đổi $B = C \cdot D$ với $(C, D)=1$ và chứng minh $A$ chia hết cho $C$ và $D$.
  • Biến đổi $A = M \cdot N$ và $B = C \cdot D$, trong đó $M$ chia hết cho $C$ và $N$ chia hết cho $D$.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng

a) Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.

b) Tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24.

Lời giải

a) Gọi hai số chẵn liên tiếp là $2n, 2n+2$.

Ta có $2n(2n+2) = 4n(n+1)$. Do $n,n+1$ là hai số liên tiếp nên chắc chắn có một số chẵn, suy ra $n(n+1)$ chia hết cho 2, mà $4$ chia hết cho 4. Suy ra $4n(n+1)$ chia hết cho 8.

Vậy tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.

b) Tích bốn số tự nhiên liên tiếp là $A = n(n+1)(n+2)(n+3)$, ta chứng minh $A$ chia hết cho 24. Ta có $24 = 3 \times 8$ với $(3,8)=1$, nên ta cần chứng minh $A$ chia hết cho 3 và 8.

Nếu $n$ lẻ thì $n+1, n+3$ là hai số chẵn liên tiếp tích chia hết cho 8, suy ra $A$ chia hết cho 8.

Nếu $n$ chẵn thì $n, n+2$ là hai số chẵn liên tiếp, tích chia hết cho 8, suy ra $A$ chia hết cho 8.

Trong ba số  liên tiếp $n, n+1, n+2$ có ít nhất một số chia hết cho 3 nên $A$ chia hết cho 3.

$A$ chia hết cho 3, 8 và $(3,8)=1$, do đó $A$ chia hết cho 24.

Ví dụ 2.  Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $m$ lẻ thì $m^3 + 3m^2 – m – 3$ chia hết cho $48$.

Lời giải

Đặt $A = m^3+3m^2-m-3$, ta có $A = (m+3)(m^2-1)$.

Do $m$ lẻ nên $m = 2n + 1$, $n$ là số tự nhiên. Khi đó $A = (2n+4)((2n+1)^2-1) = 8n(n+1)(n+2)$.

Ta có $n(n+1)(n+2)$ là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, do đó chia hết cho 6.

Vậy $A$ chia hết cho 48.

Ví dụ 3.  Cho $n$ là số tự nhiên thỏa $n = \dfrac{x^2-1}{2} = \dfrac{y^2-1}{3}$ với $x, y$ là các số nguyên.
a) Chứng minh $n = y^2 – x^2$.
b) Chứng minh $n$ chia hết cho 20.

Lời giải

a) $n = \dfrac{x^2-1}{2} = \dfrac{y^2-1}{3} = \dfrac{y^2-1-(x^2-1)}{3-2} = y^2-x^2$.

b) Ta chứng minh $n$ chia hết cho 4 và 5.

Ta có $n = \dfrac{x^2-1}{2}$, suy ra $x$ lẻ, $x = 2k+1$, khi đó $n = \dfrac{(2k+1)^2-1}{2} = 2k(k+1)$ chia hết cho 4.

Ta có $n = \dfrac{x^2+y^2-2}{5}$, suy ra $x^2+ y^2$ chia 5 dư 2. (1)

Mà $x^2, y^2 \equiv 0, 1, 4 (\mod 5)$.

Do đó (1) chỉ xảy ra khi $x^2 \equiv y^2 equiv 1 (\mod 5)$, suy ra $n=x^2 – y^2$ chia hết cho 5.

Vậy $n$ chia hết cho 20.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho $8$.
Bài 2. Chứng minh rằng nếu $n$ là số chẵn thì $n^2 + 2n$ chia hết cho $8$.
Bài 3. Chứng minh rằng nếu $n$ là số lẻ thì $n^2 – 1$ chia hết cho $8$.
Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n$ chia hết cho $24$.
Bài 5. Chứng minh rằng nếu $n$ không chia hết cho $3$ thì $n^2 – 1$ chia hết cho $3$.
Bài 6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $n^5 – n$ chia hết cho $30$.
Bài 7. Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố lẻ lớn hơn $3$ thì $p^2 – 1$ chia hết cho $24$.
Bài 8. Chứng minhg rằng với mọi số tự nhiên $n$ lẻ thì $n^{12} – n^8-n^4+1$ chia hết cho $512$.
Bài 9. Chứng minh rằng với mọi số $n$ chẵn thì $n^4-4n^3-4n^2+16n$ chia hết cho $384$.
Bài 10. Cho $12$ số tự nhiên có tổng chia hết cho $6$.

Chứng minh rằng tổng lập phương của $12$ số đó cũng chia hết cho $6$.