Quy tắc cộng – Quy tắc nhân

 

Quy tắc cộng. Để thực hiện một công việc có thể sử một trong $k$ phương án $A_1, A_2, …, A_k$. Nếu phương án $A_1$ có $a_1$ cách thực hiện, $A_2$ có $a_2$ cách thực hiện…$A_k$ có $a_k$ cách thực hiện. Khi đó số cách thực hiện công việc là: $a_1 + a_2 + …+ a_k$.

Quy tắc cộng. (Dạng khác) Tập $A_1$ có $a_1$ phần tử, $A_2$ có $a_2$ phần tử, …, $A_k$ có $a_k$ phần tử, $A_i \cap A_j = \emptyset \forall i, j = 1, 2, …, k, i \neq j$. Khi đó số phần tử của tập ${A_1} \cup {A_2} \cup … \cup {A_k}$ là $a_1 + a_2 + …+ a_k$.

Nguyên lý bù trừ. Cho hai tập hợp A và B. Khi đó [|A \cup B| = |A| + |B| – |A \cap B| ]
Khi $A \subset X$ thì $|\overline{A}| = |X| – |A|$.

Quy tắc nhân. Để thực hiện một công việc, ta cần thực hiện lần lượt qua các giai đoạn $A_1, A_2, …, A_k$. Nếu $A_1$ có $a_1$ cách thực hiện, $A_2$ có $a_2$ cách thực hiện, …, $A_k$ có $a_k$ cách thực hiện. Khi đó số cách thực hiện công việc là $a_1 \times a_2 \times …\times a_k$.

Quy tắc nhân (Dạng khác) Cho tập $A_1$ có $a_1$ phần tử, $A_2$ có $a_2$ phần tử, …, $A_k$ có $a_k$ phần tử. Khi đó số phần tử của tích Decarters $A_1 \times A_2 \times … \times A_k = {(x_1, x_2, …x_k)| x_i \in A_i \forall i = 1, 2, …, k }$ là $a_1 \times a_2 \times a_3 \times … \times a_k$.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho tập $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$. Từ tập $A$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

a) Có 5 chữ số khác nhau.
b) Không lớn hơn 4000.
c) Có bao nhiêu số lẻ có các chữ số khác nhau.
d) Có bao nhiêu số có 4 chữ số, mà các chữ số không nhất thiết phải khác nhau.
e) Có bao nhiêu số có 5 chữ số không có số 1 hoặc không có số 2.

Ví dụ 2.  Có thể tạo ra được bao nhiêu hình vuông từ bảng các điểm đã cho như hình sau ($8 \times 8$). Biết rằng:

a) Cạnh hình vuông song song với cạnh hình vuông lớn.
b) Bất kì.

Ví dụ 3.  Cho $n$ có phân tích thành thừa số nguyên tố như sau $$n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$$
Tính số ước nguyên dương của $n$.

Ví dụ 4. bao nhiêu số tự nhiên không lớn hơn 1000

a) Có ít nhất một chữ số 1. (\textbf{272})
b) Không chia hết cho 2 hoặc 3 hoặc 5.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Đội tình nguyện viên của trường PTNK gồm 6 bạn lớp 10, 3 bạn lớp 11 và 5 bạn lớp 12. Cần chọn ra 3 bạn làm ban chỉ huy trong đó có 1 đội trưởng, một đội phó và 1 ủy viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn thỏa:

a) Chọn tùy ý.
b) Bạn tổ trưởng lớp 11.

Bài 2. Thầy dạy toán có một số bài tập gồm: 6 bài toán khó, 5 bài toán trung bình và 7 bài toán dễ và 4 bài siêu dễ. Thầy muốn lập một đề thi gồm 1 câu hỏi khó, 1 câu hỏi trung bình, 1 câu hỏi dễ và 1 câu siêu dễ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn bài.

Bài 3.
a) Có bao nhiêu dãy nhị phân có độ dài $n$.
b) Có bao nhiêu tập con của tập có $n$ phần tử.

Bài 4. Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số:

a) Có các chữ số chẵn lẻ xen kẽ.
b) Có chữ số 1 và 2 nhưng không đứng cạnh nhau.
c) Có các chữ số khác nhau và có chữ số 1.
d) Có 4 chữ số không có chữ số 1 hoặc không có chữ số 0.
e) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau và chữ số 3 và 0 không đồng thời có mặt.
f) Có 5 chữ số có chữ số 1 hoặc có chữ số 2.
Bài 5.  Cho $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ và $B = {a, b, c}$. Có bao nhiêu ánh xạ $f$ từ $A$ vào $B$.

Bài 6. Có bao nhiêu cặp số $(a,b)$ mà bội chung nhỏ nhất của $a, b$ là $2017^3 2018^5 2019^4$

Bài 7. Lớp 10 Toán có 6 bạn nữ và 6 bạn nam được xếp ngồi trên hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Có bao nhiêu cách xếp thỏa:

a) Xếp bất kì.
b) Mỗi bạn nam ngồi đối diện với một bạn nữ.

Bài 8. Có 5 bạn vào rạp xem phim, trong rạp chỉ còn một dãy ghế gồm 8 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách để các bạn ngồi, biết rằng mỗi người đều được ngồi vị trí bất kì.

Bài 9. Cho tập $A = {1, 2, 3,4,5,6}$. Có bao nhiêu số mà các chữ số thuộc $A$ thỏa:

a) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau.
b) Số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9. (Số chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các số chia hết cho 9)
c) Số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 25.
d) Số có 5 chữ số có dạng $\overline{abcba}$ ($a, b,c$ đôi một khác nhau).
e) Số có 6 chữ số có dạng$\overline{12abab}$ và chia hết cho 5.

Bài giảng quy tắc cộng – Quy tắc nhân.