Thời gian làm bài 120 phút

Đề thi

Bài 1. Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{7}{2}a+(1-a)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+a^2{b}^2{c}^2$.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x-f(y))=4f(x)+3x+f(y)$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$.

Bài 3. Cho $n$ là số nguyên dương và $A=\{m\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mid \gcd (m,6)=1,m<30n\}$ với $|A|=8n+1$. Chứng minh rằng tồn tại 2 số phân biệt $a,b\in A$ sao cho $a\mid b$.
Bài 4. Cho điểm $M$ di động trên đường thẳng $d$ cố định và $O$ là điểm cố định nằm ngoài đường thẳng $d$. Gọi $A$ là hình chiếu của $O$ lên $d$, và $H$ là hình chiếu của $A$ trên $OM$. Gọi $D$ là trung điểm $HM$.
(a) Chứng minh rằng đường thẳng qua $H$, vuông góc với $AD$ luôn đi qua một điểm cố định. Gọi điểm đó là $N$.
(b) Chứng minh rằng tâm đường tròn $(HMN)$ luôn thuộc một đường thẳng cố định. Từ đó tính tỷ số $\frac{AM}{AO}$ để $(HMN)$ và $(OAH)$ tiếp xúc với nhau.

Đáp án.

Bài 1. Ta có
$$P-\frac{7}{2}=\frac{7}{2}(a-1)+(1-a)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+a^2{b}^2{c}^2$$
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có
$$a^2{b}^2{c}^2\le a{b}^2{c}^2\le a{\left(\frac{b^2+c^2}{2}\right)}^2=\frac{a{(1-a^2)}^2}{4}\le \frac{a(1-a^2)}{4}=(1-a)\frac{a+a^2}{4}.$$
Do đó, suy ra
$$P-\frac{7}{2}\le (1-a)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\frac{a+a^2}{4}-\frac{7}{2})$$
Vì $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\frac{a+a^2}{4}\le 1+1+1+\frac{1+1^2}{4}=\frac{7}{2}$ và dấu bằng không xảy ra nên biểu thức trong dấu ngoặc thứ hai luôn âm. Vì thế nền ta có $P\le \frac{7}{2}$.
Giá trị lớn nhất cần tìm là $\frac{7}{2}$, đạt được khi $(a,b,c)=(1,0,0)$.

Bài 2.  Đặt $a=f(0)$, ta thay $y=0$ vào đề bài, ta đưa về $f(x-a)-4f(x)=3x+a$, kéo theo $f(u)-4f(v)$ toàn ánh với $u,v\in \mathbb{R}$. Ta thực hiện các phép thế sau
– Thay $x=f(y)$, ta có $f(0)=4f(f(y))+4f(y)$ với mọi $y$.
– Thay $x=2f(y)$, ta có $f(f(y))=4f(2f(y))+7f(y)$ với mọi $y$.
– Thay $x=3f(y)$, ta có $f(2f(y))=4f(3f(y))+10f(y)$ với mọi $y$.
– Thay $x=4f(y)$, ta có $f(3f(y))=4f(4f(y))+13f(y)$ với mọi $y$.

Từ đó suy ra
$$\begin{array}{rlrlrl}& 4f(4f(y))=f(3f(y))-13f(y)& =\frac{1}{4}(f(2f(y))-10f(y))-13f(y)& =\frac{1}{4}(\frac{1}{4}(f(f(y))-7f(y))-10f(y))-13f(y)& =\frac{1}{4}(\frac{1}{4}(\frac{1}{4}(a-4f(y))-7f(y))-10f(y))-13f(y)& =\frac{a}{64}-16f(y)\end{array}$$
Thay $x=4f(x)$, ta có
$$f(4f(x)-f(y))=4f(4f(x))+12f(x)+f(y)$$
hay
$$f(4f(x)-f(y))=\frac{a}{64}-4f(x)+f(y)$$
với mọi $x,y\in \mathbb{R}$. Đặt $t=4f(x)-f(y)$ thì $t$ nhận giá trị trên $\mathbb{R}$, ta có $f(t)=-t+\frac{a}{64}$ với mọi $t\in \mathbb{R}$. Thay $t=0$, ta có $a=0$ nên $f(t)=-t$. Thử lại thấy thỏa. Vậy tất cả hàm số cần tìm là $f(x)=-x,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Bài 3. Trước hết, với mỗi số nguyên dương $n$, ta ký hiệu $T(n)$ là ước dương lớn nhất không chia hết cho 5 của $n$. Ta chia tất cả các số nhỏ hơn $30n$, nguyên tố cùng nhau với 6 ra thành các nhóm sao cho $m,n$ thuộc cùng nhóm khi và chỉ khi $T(m)=T(n).$ Do
$$\varphi (30)=(2-1)(3-1)(5-1)=8$$
nên từ 1 đến $30n$ có tổng cộng $8n$ số nguyên tố cùng nhau với 30 , suy ra có tổng cộng $8n$ nhóm.

Do $|A|=8n+1$ nên theo nguyên lý Dirichlet trong $A$ sẽ có 2 số thuộc cùng một nhóm, và số lớn sẽ chia hết cho số nhỏ.

Bài 4. (a) Ta thấy hai tam giác vuông $AMH,OAH$ dồng dạng và có các cạnh tương ứng vuông góc nên hai trung tuyến tương ứng của hai tam giác này sẽ vuông góc với nhau. Gọi $K$ là trung điểm $AH$ thì ta sẽ có $AD\perp OK$. Giả sử đường thẳng qua $H$, vuông góc với $AD$ cắt $OA$ ở $N$ thì ta có $OK|HN$, suy ra $O$ là trung điểm của $AN$ hay $N$ là điểm đối xúng với $A$ qua $O$, là điểm cố định.

(b) Ta có
$$O{A}^2=O{N}^2=OH\cdot OM$$
nên $ON$ tiếp xúc với đường tròn $(HMN)$. Gọi $I$ là tâm của $(HMN)$ thì $IN\perp OA$ nên $I$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Gọi $J$ là trung điểm $OA$ thì $J$ là tâm đường tròn $(OHA)$. Giả sử $(I)$ tiếp xúc $(J)$ thì tiếp điểm là $H$, chứng tỏ các điểm $I,H,J$ thẳng hàng. Ta có
$$\mathrm{\angle }IMH=\mathrm{\angle }IHM=\mathrm{\angle }JHO=\mathrm{\angle }JOH$$
nên $IM|OA$. Khi đó, tứ giác $INAM$ là hình vuông và ta tính được tỷ số $\frac{AM}{OA}=$ $\frac{AN}{OA}=2$.

Tài liệu tham khảo.

[1] Nguyễn Tăng Vũ – Lê Phúc Lữ, Nguyễn Tiến Hoàng, Đề thi và đáp án kì thi dự tuyển, đội tuyển trường Phổ thông Năng khiếu 2008 – 2021,NXB ĐHQG HN, 2021