Trong bài viết này ta bàn về phương pháp sử dụng bất đẳng thức và đánh giá. Đây là một trong những phương pháp rất hay và hữu dụng khi giải phương trình nghiệm nguyên, chủ yếu ta đánh giá chặn trên, chặn dưới của biết để đưa về hữu hạn trường hợp để xét. Chú ý các tính chất sau:

• Giữa hai số nguyên có hữu hạn các số nguyên.
• Giữa hai số chính phương có hữu hạn các số chính phương.
• Một tập con các số nguyên dương bị chặn trên thì có hữu hạn phần tử.

Ta xét các ví dụ sau.

Ví dụ 1. Giải phương trình trong tập các số nguyên dương: $x+y+z=xyz$.

Lời giải. Do vai trò của $x,y,z$ là như nhau, ta có thể giả sử $x\ge y\ge z$.

Khi đó $x+y+z=xyz\iff {\displaystyle \frac{1}{xy}}+{\displaystyle \frac{1}{yz}}+{\displaystyle \frac{1}{xz}}=1$.

Mà ${\displaystyle \frac{1}{xy}},{\displaystyle \frac{1}{xz}},{\displaystyle \frac{1}{zy}}\le {\displaystyle \frac{1}{z^2}}$.

Do đó $1\le {\displaystyle \frac{3}{z^2}}$, suy ra $z^2\le 3$, suy ra $z=1$.

Khi đó ta có phương trình: $x+y+1=xy$, giải ra được $(x;y)$ là $(3;2)$.

Do vai trò $x,y,z$ là như nhau nên phương trình có nghiệm $(3;2;1)$ và các hoán vị.

Ví dụ 2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: $(x+y{)}^2+3x+y+1=z^2$.

Lời giải. Ta có $(x+y{)}^2<(x+y{)}^2+3x+y+1<(x+y+2{)}^2$.

Mà $(x+y{)}^2+3x+y+1=z^2$ là số chính phương nên:

$(x+y{)}^2+3x+y+1=(x+y+1{)}^2\iff x=y$.

Khi đó $z=2x+1$.

Vậy phương trình có nghiệm $(x,x,2x+1)$ với $x$ nguyên dương.

Ví dụ 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(x^2-y^2{)}^2=1+16y$.

Lời giải. Rõ ràng $y>0$, nếu $x$ thỏa thì $-x$ cũng thỏa. Ta xét $x\ge 0$.

• Nếu $x=y$ thì $0=1+16y$ (vô lý).
• Do đó đặt $x=y+a$ với $a\ge 1$. Khi đó
  • $(a^2+2ay{)}^2=1+16y\iff a^2+4a^{3}y+4a^2{y}^2=1+16y$. Suy ra $a<2$.
  • Suy ra $a=1$. Khi đó ta có $4y^2-12y=0$, giải ra $y=0,y=3$.
    • Nếu $y=0,x=1$.
    • Nếu $y=3,x=4$.
• Vậy phương trình có nghiệm $(1;0),(-1;0),(4;3),(-4;3)$.

Một số bài toán khó hơn, phải kết hợp nhiều phương pháp. Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 4. Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thỏa: $5^x=y^4+4y+1$

Lời giải.

•  Có một nghiệm là $(0;0)$.
• Dễ thấy $y$ chẵn nên $y^4+4y+1\equiv 1(\mathrm{mod}8)$. Suy ra $x$ chẵn, $x=2k$. Khi đó $(5^k{)}^2=y^4+4y+1$ là số chính phương.
• Ta có $y\ge 1$ nên $y^4<y^4+4y+1<(y^2+2{)}^2$. Suy ra $y^4+4y+1=(y^2+1{)}^2\iff y=2$, suy ra $x=2$.
• Vậy có 2 cặp nghiệm $(0;0),(2;2)$.

Bài tập rèn luyện.

Các bài tập tương tự.

Bài 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $xy+yz+xz=3xzy$.

Bài 2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})(1+{\displaystyle \frac{1}{y}})(1+{\displaystyle \frac{1}{z}})=2$.

Bài 3.  Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho tổng các ước dương của $p^4$ là một số chính phương.

Bài 4. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho hệ phương trình $p+1=2x^2,p^2+1=2y^2$ có nghiệm nguyên.

Bài 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $5(x+y+z+t)+10=2xyzt$.

Bài 6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $1+x+x^2+x^3=y^3$.

Bài 7. Tìm $m,n$ nguyên dương để ${\displaystyle \frac{5mn+5m}{3m^2+2n^2}}$ là số nguyên.