Để chứng minh ba điểm thẳng hàng có nhiều cách chứng minh, trong bài viết này tôi giới thiệu “phương pháp điểm trùng”, thường được sử dụng để chứng minh các bài toán phát biểu ngược.
Nội dung phương pháp như sau: Để chứng minh ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng, trong đó $C$ ta dựng điểm $C’$ sao cho $A, B, C’$ thẳng hàng. Sau đó chứng minh $C$ trùng $C’$.
Việc chứng minh $C$ trùng $C’$ thường xuất phát từ sự xác định duy nhất của điểm $C$ có thể là giao của hai đường, trung điểm đoạn thẳng,…Ta xét các ví dụ sau.
Ví dụ 1. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, $C$ thuộc đường tròn. Tiếp tuyến tại $C$ cắt tiếp tuyến tại $A, B$ của $(O)$ tại $D, E$. Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ trên $AB$.
a. $DB$ cắt $CH$ tại $N$. Chứng minh $A, N, E$ thẳng hàng.
b.Đường thẳng qua $A$ song song $HE$ và đường thẳng qua $B$ song song với $HD$ cắt nhau tại $M$. Chứng minh $D, M, E$ thẳng hàng.
a. $BC$ cắt $AD$ tại $F$, ta chứng minh được $D$ là trung điểm của $AF$.
Khi đó $\dfrac{CN}{DF} = \dfrac{PN}{PD} = \dfrac{HN}{AD}$.
Mà $AD = DF$, suy ra $CN = HN$ hay $N$ là trung điểm của $CH$.
Gọi $N’$ là giao điểm của $AE$ và $CH$, chứng minh tương tự ta cũng có $N’$ là trung điểm của $CH$. Do đó $N \equiv N’$ hay $A, N, E$ thẳng hàng.
b. Phân tích: vẽ hình chính xác và trực giác ta dự đoán được $M$ là trung điểm của $DE$, hơn nữa điểm $M$ là được xác định duy nhất do là giao điểm của 2 đường, do đó ta có thể gọi $M’$ là trung điểm và chứng minh $M’ \equiv M$ bằng cách chứng minh $AM’||HD$ và $BM’||HC$. Thực ra do vai trò như nhau nên chỉ cần chứng minh $AM’||HD$ là đủ.
- Ta có $\dfrac{HA}{HB} = \dfrac{CD}{CE} = \dfrac{AD}{BE}$. Suy ra $\triangle AHD \backsim \triangle BHE$. Suy ra $\angle AHD = \angle BHE$.
- Suy ra $\angle KHA = \angle BHE = \angle AHD$. Từ đó ta có tam giác $HDK$ cân tại $H$ và $A$ là trung điểm $AD$.
- Tam giác $DHE$ có $M’A$ là đường trung bình nên $AM’||EK$ hay $AM’||HE$.
- Chứng minh tương tự ta có $BM’||HD$.
- Vậy $M’ \equiv M$. Hay $D, M, E$ thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, có $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $AD$ là đường kính của $(O)$. Trên các cạnh $AB, AC$ lấy $E, F$ sao cho $AE = AF$ và $E, H, F$ thẳng hàng. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt phân giác góc $\angle BAC$ tại $P$. Chứng minh $H, P, D$ thẳng hàng.
Gọi $P’$ là giao điểm phân giác góc $\angle BAC$ và $HD$. Ta chứng minh $P’ \equiv P$, hay cần chứng minh $AEPF$ nội tiếp.
Ta có tính chất quen thuộc $\angle HAB = \angle DAC$, nên $AP’$ cũng là phân giác $\angle HAD$.
Ta có $\angle AEF = \angle ABH + \angle EHB$, $\angle AFE = \angle ACH + \angle FHC$.
Mà $\angle ABH = \angle ACH$ và $\angle AEF = \angle AFE$ nên $\angle EHB = \angle FHC = \angle EHL$.
Do đó $HE$ là phân giác $\angle LHB$, suy ra $\dfrac{LE}{EB} = \dfrac{HL}{HB}$. (1)
Tam giác $AHL $ và tam giác $ADC$ đồng dạng, suy ra $\dfrac{HL}{CD} = \dfrac{AH}{AD}$.
Mà $CD = BH, \dfrac{AH}{AD} = \dfrac{HP’}{P’D}$, suy ra $\dfrac{HL}{HB} = \dfrac{HP’}{P’D}$. (2)
Từ (1) và (2) ta có $\dfrac{LE}{EB} = \dfrac{HP’}{P’D}$, suy ra $P’E ||HL||BD$, suy ra $P’E \bot AB$.
Chứng minh tương tự ta có $P’F \bot AC$.
Do đó $AEP’F$ nội tiếp, suy ra $P’ \equiv P$. Hay $D, P, H$ thẳng hàng.
Bài tập.
Bài 1. Cho tam giác $ABC$, đường tròn $w$ đường kính $BC$ cắt $AB, AC$ tại $D, E$. Tiếp tuyến tại $D, E$ của $w$ cắt nhau tại $M$, chứng minh $AM$ đi qua trực tâm của tam giác $ABC$.
Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nhọn, các đường cao $AD, BE, CF$. Gọi $M,N$ là trung điểm $BE, CF$. Đường tròn $w$ qua $A, D$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$ tại $D$, $w$ cắt $AB, AC$ tại $P$ và $Q$. Chứng minh $P, Q, M, N$ thẳng hàng.
Bài 3. Cho đường tròn $(O)$ và điểm $A$ nằm ngoài $(O)$. Từ $A$ vẽ các tiếp tuyến $AB, AC$ đến $(O)$, một cát tuyến qua $A$ cắt $(O)$ tại $D, E$ sao cho $D$ nằm giữa $A$ và $E$ và tia $AE$ nằm giữa hai tia $AB, AO$. Đường thẳng qua $D$ song song $BE$ cắt $BC$ tại $F$. Gọi $K$ là điểm đối xứng của $B$ qua $E$, chứng minh $A, P, K$ thẳng hàng.