Tag Archives: DoiXungTruc

Đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Leave a reply

Đề bài. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $O$ với $\angle A > 90^\circ$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AB$ cắt $CD$ tại $E$; đường thẳng qua $A$ vuông góc $AD$ cắt $CB$ tại $F$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $EF$. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $O$ với $\angle A > 90^\circ$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AB$ cắt $CD$ tại $E$; đường thẳng qua $A$ vuông góc $AD$ cắt $CB$ tại $F$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $EF$.

a. Chứng minh rằng 4 điểm $E,F , C, P$ cùng thuộc một đường tròn.

b. Chứng minh $P$ thuộc $(O)$ và $E, O, F$ thẳng hàng. \end{enumerate}

Gợi ý

a. Ta có $\angle DAB + \angle EAF = \angle DAB + \angle BAF + \angle EAF = \angle DAB + \angle BAE = 180^\circ$.

Ta có $\angle DAB + \angle EAF = \angle DAB + \angle BAF + \angle EAF = \angle DAB + \angle BAE = 180^\circ$.

Ta có $\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ$, suy ra $\angle EAF = \angle BCD$.

Mặt khác $\angle EAF = \angle EPF$ (t/c đối xứng), do đó $\angle EPF = \angle BCD$, suy ra tứ giác $EFCP$ nội tiếp.

 

b. Do tứ giác $EFCP$ nội tiếp nên $\angle DCP = \angle EFP$. (1)

Ta có $\angle EFP = \angle EFE = 90^\circ – \angle FAE = \angle DAP$.(2)

Từ (1)  và (2), suy ra $\angle DAP = \angle DCP$, suy ra $ADPC$ nội tiếp, do đó $P \in (O)$ mà $EF$ là trung trực của $AP$ nên $O$ thuộc $EF$, hay $E, O, F$ thẳng hàng.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp