Đề bài. Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh BC và $N$ là trung điểm đoạn thẳng CH.Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh BC và $N$ là trung điểm đoạn thẳng CH.
- Chứng minh rằng 5 điểm $D, E, F, M, N$ cùng thuộc một đường tròn.
- $EF$ cắt $BC$ tại $K$, $AK$ cắt $(O)$ tại $Q$. Chứng minh $AQFE, KQFB$ là các tứ giác nội tiếp.
- Chứng minh 3 điểm $Q, H, M$ thẳng hàng.
Gợi ý
- Ta có $BFHD, BFEC$ nội tiếp, suy ra $\angle DFE = \angle DBE = \angle CFE$.
Suy ra $\angle DFE = 2\angle DBE$.
Tam giác $EMB$ cân tại $M$, suy ra $\angle EMC = 2\angle DBE$.
Do đó $\angle EMC = \angle DFE$, suy ra $EFDM$ nội tiếp.
- Ta có $BFHD, BFEC$ nội tiếp, suy ra $\angle DFE = \angle DBE = \angle CFE$. Suy ra $\angle DFE = 2\angle DBE$.
Tam giác $EMB$ cân tại $M$, suy ra $\angle EMC = 2\angle DBE$.
Do đó $\angle EMC = \angle DFE$, suy ra $EFDM$ nội tiếp.
Tam giác $CBH$ có MN là đường trung bình, suy ra $MN||BH$, suy ra $\angle CMN = \angle CBH$,
mà $\angle CBH = \angle DFC$, suy ra $\angle CMN =\angle DFC$ nên tứ giác $FDMN$ nội tiếp.
Do đó 5 điểm $D, E, F, M, N$ cùng thuộc một đường tròn. Vì các tứ giác $AQBC, EFBC$ nội tiếp nên $KQ.KA = KB.KC$ và $KB.KC = KE.KF$, suy ra $KQ.KA = KF.KE$, từ đó ta có $AQFE$ nội tiếp.
Ta có $\angle KQF = \angle AEF$ (AQFE nội tiếp) và $\angle AEF = \angle ABC$ ($BFEC$ nội tiếp), suy ra $\angle KQF = \angle ABC$, do đó tứ giác $KQFB$ nội tiếp.
- Ta có $Q$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$,nên $Q$ thuộc đường tròn đường kính $AH$, suy ra $\angle AQH = 90^\circ$. (1)
Vẽ đường kính $AA’$, khi đó ta có $BHCA’$ là hình bình hành, nên $M$ thuộc $HA’$. (2)
Mặt khác $\angle AQA’ = 90^\circ$. (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có $Q, H, M$ thẳng hàng.
Bài Giảng Tứ giác nội tiếp