Có nhiều cách chứng minh định lý Pytago, trong đó có những cách bằng cắt ghép hình khá thú vị, tất nhiên để chứng minh chặc chẽ thì cần phải suy luận thêm.

      

Sử dụng tam giác đồng dạng.

Vẽ đường cao AH.

Khi đó $\triangle BAH \backsim \triangle BCA$, suy ra $BA^2 = BH.BC$ (1).

Tương tự $\triangle CAH \backsim \triangle CBA$, suy ra $CA^2 = CH.BC$ (2).

Khi đó $AB^2 + AC^2 = BH.BC + CH.BC = BC^2$.

Giả sử tam giác $ABC$ có $AB^2 + AC^2 = BC^2$, chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Trên đoạn $BC$ lấy điểm $H$ sao cho $AB^2 = BH.BC$, suy ra $AC^2 = BC^2 – AB^2 = BC.CH$.

Ta có $\triangle BAH \backsim \triangle BCA (c.g.c)$, suy ra $\angle BAH = \angle BAC$.

Tương tự $\angle CAH = \angle CBA$. Suy ra $\angle BAC = \angle BAH + \angle CAH = \angle BAC + \angle CAB$, suy ra $\angle BAC = 90^\circ$.

a. Cạnh huyền có độ dài 11 ta có: $x^2 + 6^2 = 11^2$ (Pytago) $x^2 +36  = 121$ $x^2 = 85$. $x = \sqrt{85}$ (cm) (vì $x > 0$). c. Tương tự như a.

b. $x$ là cạnh huyền nên ta có: $3^2 + (\sqrt{2})^2 = x^2$ (Pitago) $9 + 2  = x^2$. $x=\sqrt{11}$ (cm) (Vì $x > 0$) d. Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông là $x$, cạnh huyền $\sqrt{10}$ nên: $x^2 + x^2  =(\sqrt{10})^2$ $2x^2 =10$ $x^2 = 5$ $x = \sqrt{5}$ (cm) (vì $x > 0$)

Tam giác $ABC$ có $x$ là cạnh huyền nên: $x^2 = 5^2 + 1^2 = 26$. $x = \sqrt{26}$.

Tam giác $ACD$ có $6$ là cạnh huyền nên: $6^2 = y^2 +x^2$ $36 = y^2 +26$. $y^2 = 10$ $y  = \sqrt{10} \sim 3.16$

a. Cạnh huyền có dộ dài bằng 26 (cm) ta có:

• ${26^2} = {\left( {2x} \right)^2} + {\left( {3x} \right)^2}$ (Pytago)
• $676 = 4{x^2} + 9{x^2}$
• $676 = 13{x^2}$
• ${x^2} = 52$
• $x = \sqrt {52}$ (cm) (Vì $ x > 0$ )

b. Cạnh huyền có độ dài $2x$ (cm) ta có:

• ${\left( {2x} \right)^2} = {9^2} + {x^2}$ (Pytago)
• $4{x^2} – {x^2} = 81$
• $3{x^2} = 81$
• ${x^2} = 27$
• $x = \sqrt {27}$ (cm) (Vì $ x > 0$ )

c. Cạnh huyền có độ dài bằng $3x$ (cm) ta có:

• ${\left( {3x} \right)^2} = {\left( {2x} \right)^2} + {\left( {\sqrt {20} } \right)^2}$ (Pytago)
• $9{x^2} = 4{x^2} + 20$
• $5{x^2} = 20$
• ${x^2} = 4$
• $x = 2$ (cm) (Vì $ x > 0$ )

a)Tam giác vuông cân có cạnh huyền $y$ (cm) ta có: ${y^2} = {2^2} + {2^2}$ (Pytago) ${y^2} = 8$ $y = 2\sqrt 2 $ (cm) (Vì $y > 0$) Tam giác vuông có cạnh huyền$ x $(cm) ta có: ${x^2} = {y^2} + {3^2}$ (Pytago) ${x^2} = 8 + 9$ ${x^2} = 17$ $x = \sqrt {17} $ (Vì $ x > 0 $)

b)Tam giác vuông có cạnh huyền 7(cm) ta có: ${7^2} = {2^2} + {y^2}$ (Pytago) ${y^2} = 49 – 4$ ${y^2} = 45$ $y = \sqrt {45}$ (cm) (Vì $ y > 0$ ) Tam giác vuông có cạnh huyền bằng $y$(cm) ta có: ${y^2} = {4^2} + {x^2}$ (Pytago) $45 = 16 + {x^2}$ ${x^2} = 45 – 16$ ${x^2} = 29$ $x = \sqrt {29} $ (cm) ( Vì $x > 0 $ ) c) Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 (cm) ta có: ${3^2} = {x^2} + {2^2}$ (Pytago) ${x^2} = {3^2} – {2^2}$ ${x^2} = 5$ $x = \sqrt 5$ (cm) ( Vì $x > 0 $ ) Tam giác vuông có cạnh huyền bằng $y$ (cm) ta có: ${y^2} = {x^2} + {1^2}$ ${y^2} = 5 + {1^2}$ ${y^2} = 6$ $y = \sqrt 6 $ (cm) (Vì $y$ > 0)

a. Gọi đường vuông góc có độ dài là $h$ (cm) Gọi đường vuông góc có độ dài là $h$ (cm) . Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 (cm) ta có: ${3^2} = {x^2} + {h^2}$(Pytago)${h^2} = 9 – {x^2}$(1) Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 4 (cm) ta có:${4^2} = 3{}^2 + {h^2}$ (Pytago) ${h^2} = {4^2} – {3^2}$ (2 )Từ (1) và (2) suy ra: $9 – {x^2} = {4^2} – {3^2}$${x^2} = 2$$x = \sqrt 2  \approx 1,41$(cm)

b. Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 13 (cm) ta có: ${13^2} = {5^2} + {\left( {x – 2} \right)^2}$ ${13^2} – {5^2} = {\left( {x – 2} \right)^2}$ ${\left( {x – 2} \right)^2} = 144$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x – 2 = 12}\\ {x – 2 = – 12} \end{array}} \right.$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 14(n)}\\ {x = – 10(l)} \end{array}} \right.$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $ B$ ta có:

• $A{D^2} = A{B^2} + B{D^2}$ (Pytago)
• $B{D^2} = A{D^2} – A{B^2}$
• $B{D^2} = {9^2} – {5^2}$
• $B{D^2} = 56$
• $BD = 2\sqrt {14} $(cm)

Mà: $BC = \dfrac{{BD}}{2}$

• $ \Rightarrow BC = \sqrt {14}$ (cm)
• Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$ ta có:
• $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}$
• $A{C^2} = {5^2} + {\left( {\sqrt {14} } \right)^2}$
• $A{C^2} = 39$
• $AC = \sqrt {39} $ (cm)

a) Kẻ $ BH \bot AD\left( {H \in AD} \right)$
Khi đó $HDCB$ là hình chữ nhật ( tứ giác có 3 góc vuông)
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\rm{DC = }}HB = DA = 4cm}\\
{CB = DH = 3cm}
\end{array}} \right.$
Ta có: $HA = DA – DH = 4 – 3 = 1$(cm)
Xét $\Delta BHA$ vuông tại $H$ ta có:
$A{B^2} = H{B^2} + H{A^2}$(Pytago)
$A{B^2} = {4^2} + {1^2} = 17$
$AB = \sqrt {17}$ (cm)

b) Tương tự cũng dùng định lí Pytago

c) Dựng hình chữ nhật $ADMN$.
Khi đó: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{MA = ND = 3cm}\\
{MN = AD = 5cm}
\end{array}} \right.4
Ta có: $BD = ND + NB = 3 + 1 = 4$ (cm)
Xét $\Delta ADB$ vuông tại $D$ ta có:
$A{B^2} = A{D^2} + D{B^2}$(Pytago)
$\Leftrightarrow A{B^2} = {5^2} + {4^2}4$
$ \Leftrightarrow A{B^2} = 41$
$\Leftrightarrow A{B^2} = 41$
$\Leftrightarrow AB = \sqrt {41}$ (cm)