Có nhiều cách chứng minh định lý Pytago, trong đó có những cách bằng cắt ghép hình khá thú vị, tất nhiên để chứng minh chặc chẽ thì cần phải suy luận thêm.

      

Sử dụng tam giác đồng dạng.

Vẽ đường cao AH.

Khi đó $\mathrm{△}BAH\backsim \mathrm{△}BCA$, suy ra $B{A}^2=BH.BC$ (1).

Tương tự $\mathrm{△}CAH\backsim \mathrm{△}CBA$, suy ra $C{A}^2=CH.BC$ (2).

Khi đó $A{B}^2+A{C}^2=BH.BC+CH.BC=B{C}^2$.

Giả sử tam giác $ABC$ có $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$, chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Trên đoạn $BC$ lấy điểm $H$ sao cho $A{B}^2=BH.BC$, suy ra $A{C}^2=B{C}^2–A{B}^2=BC.CH$.

Ta có $\mathrm{△}BAH\backsim \mathrm{△}BCA(c.g.c)$, suy ra $\mathrm{\angle }BAH=\mathrm{\angle }BAC$.

Tương tự $\mathrm{\angle }CAH=\mathrm{\angle }CBA$. Suy ra $\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }BAH+\mathrm{\angle }CAH=\mathrm{\angle }BAC+\mathrm{\angle }CAB$, suy ra $\mathrm{\angle }BAC={90}^{\circ }$.

a. Cạnh huyền có độ dài 11 ta có: $x^2+6^2={11}^2$ (Pytago) $x^2+36=121$ $x^2=85$. $x=\sqrt{85}$ (cm) (vì $x>0$). c. Tương tự như a.

b. $x$ là cạnh huyền nên ta có: $3^2+(\sqrt{2}{)}^2=x^2$ (Pitago) $9+2=x^2$. $x=\sqrt{11}$ (cm) (Vì $x>0$) d. Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông là $x$, cạnh huyền $\sqrt{10}$ nên: $x^2+x^2=(\sqrt{10}{)}^2$ $2x^2=10$ $x^2=5$ $x=\sqrt{5}$ (cm) (vì $x>0$)

Tam giác $ABC$ có $x$ là cạnh huyền nên: $x^2=5^2+1^2=26$. $x=\sqrt{26}$.

Tam giác $ACD$ có $6$ là cạnh huyền nên: $6^2=y^2+x^2$ $36=y^2+26$. $y^2=10$ $y=\sqrt{10}\sim 3.16$

a. Cạnh huyền có dộ dài bằng 26 (cm) ta có:

• ${26}^2={\left(2x\right)}^2+{\left(3x\right)}^2$ (Pytago)
• $676=4x^2+9x^2$
• $676=13x^2$
• $x^2=52$
• $x=\sqrt{52}$ (cm) (Vì $x>0$ )

b. Cạnh huyền có độ dài $2x$ (cm) ta có:

• ${\left(2x\right)}^2=9^2+x^2$ (Pytago)
• $4x^2–x^2=81$
• $3x^2=81$
• $x^2=27$
• $x=\sqrt{27}$ (cm) (Vì $x>0$ )

c. Cạnh huyền có độ dài bằng $3x$ (cm) ta có:

• ${\left(3x\right)}^2={\left(2x\right)}^2+{\left(\sqrt{20}\right)}^2$ (Pytago)
• $9x^2=4x^2+20$
• $5x^2=20$
• $x^2=4$
• $x=2$ (cm) (Vì $x>0$ )

a)Tam giác vuông cân có cạnh huyền $y$ (cm) ta có: $y^2=2^2+2^2$ (Pytago) $y^2=8$ $y=2\sqrt{2}$ (cm) (Vì $y>0$) Tam giác vuông có cạnh huyền$x$(cm) ta có: $x^2=y^2+3^2$ (Pytago) $x^2=8+9$ $x^2=17$ $x=\sqrt{17}$ (Vì $x>0$)

b)Tam giác vuông có cạnh huyền 7(cm) ta có: $7^2=2^2+y^2$ (Pytago) $y^2=49–4$ $y^2=45$ $y=\sqrt{45}$ (cm) (Vì $y>0$ ) Tam giác vuông có cạnh huyền bằng $y$(cm) ta có: $y^2=4^2+x^2$ (Pytago) $45=16+x^2$ $x^2=45–16$ $x^2=29$ $x=\sqrt{29}$ (cm) ( Vì $x>0$ ) c) Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 (cm) ta có: $3^2=x^2+2^2$ (Pytago) $x^2=3^2–2^2$ $x^2=5$ $x=\sqrt{5}$ (cm) ( Vì $x>0$ ) Tam giác vuông có cạnh huyền bằng $y$ (cm) ta có: $y^2=x^2+1^2$ $y^2=5+1^2$ $y^2=6$ $y=\sqrt{6}$ (cm) (Vì $y$ > 0)

a. Gọi đường vuông góc có độ dài là $h$ (cm) Gọi đường vuông góc có độ dài là $h$ (cm) . Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 (cm) ta có: $3^2=x^2+h^2$(Pytago)$h^2=9–x^2$(1) Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 4 (cm) ta có:$4^2=3{}^2+h^2$ (Pytago) $h^2=4^2–3^2$ (2 )Từ (1) và (2) suy ra: $9–x^2=4^2–3^2$$x^2=2$$x=\sqrt{2}\approx 1,41$(cm)

b. Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 13 (cm) ta có: ${13}^2=5^2+{\left(x–2\right)}^2$ ${13}^2–5^2={\left(x–2\right)}^2$ ${\left(x–2\right)}^2=144$ $[\begin{array}{c}x–2=12\\ x–2=–12\end{array}$ $[\begin{array}{c}x=14(n)\\ x=–10(l)\end{array}$

Xét $\mathrm{\Delta }ABD$ vuông tại $B$ ta có:

• $A{D}^2=A{B}^2+B{D}^2$ (Pytago)
• $B{D}^2=A{D}^2–A{B}^2$
• $B{D}^2=9^2–5^2$
• $B{D}^2=56$
• $BD=2\sqrt{14}$(cm)

Mà: $BC={\displaystyle \frac{BD}{2}}$

• $\Rightarrow BC=\sqrt{14}$ (cm)
• Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $B$ ta có:
• $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$
• $A{C}^2=5^2+{\left(\sqrt{14}\right)}^2$
• $A{C}^2=39$
• $AC=\sqrt{39}$ (cm)

a) Kẻ $BH\mathrm{\perp }AD\left(H\in AD\right)$
Khi đó $HDCB$ là hình chữ nhật ( tứ giác có 3 góc vuông)
$\Rightarrow \{\begin{array}{c}\mathrm{D}\mathrm{C}=HB=DA=4cm\\ CB=DH=3cm\end{array}$
Ta có: $HA=DA–DH=4–3=1$(cm)
Xét $\mathrm{\Delta }BHA$ vuông tại $H$ ta có:
$A{B}^2=H{B}^2+H{A}^2$(Pytago)
$A{B}^2=4^2+1^2=17$
$AB=\sqrt{17}$ (cm)

b) Tương tự cũng dùng định lí Pytago

c) Dựng hình chữ nhật $ADMN$.
Khi đó: $\{\begin{array}{c}MA=ND=3cm\\ MN=AD=5cm\end{array}4Tacó:$BD = ND + NB = 3 + 1 = 4$(cm)Xét$\Delta ADB$vuôngtại$D$tacó:$A{B^2} = A{D^2} + D{B^2}$(Pytago)$\Leftrightarrow A{B^2} = {5^2} + {4^2}4$$ \Leftrightarrow A{B^2} = 41$$\Leftrightarrow A{B^2} = 41$$\Leftrightarrow AB = \sqrt {41}$ (cm)