Mỗi năm Star Education đều tổ chức thi xếp lớp cho các em học sinh mới. Đối với môn toán có hai đề thi, đề thứ nhất dành cho các bạn không chuyên, đề thứ hai dành cho các bạn thi vào các lớp 9TC1, 9TC2. Đề chuyên thường gồm đầy đủ các phần: Đại số, Hình học, Số học, Tổ hợp. Vì là đề xếp lớp nên đề dàn trải và khá dài, để đánh giá toàn diện các em và tư vấn vào lớp phù hợp. Sau đây xin giới thiệu đề thi xếp lớp năm 2018 – 2019 cho các bạn học sinh tham khảo.

Thời gian làm bài: 150 phút.

Bài 1. (2 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^5+x+1$
b) Cho các số $a, b, c$ khác $0$ thỏa: $a^3+b^3+c^3=3abc$. Tính: $P = \left( {1 + \dfrac{a}{b}} \right)\left( {1 + \dfrac{b}{c}} \right)\left( {1 + \dfrac{c}{a}} \right)$
Bài 2. (3,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a) $(x-1)(x-2)(x-6)(x-7)=81$;
b) $\dfrac{{12x}}{{{x^2} + 4x + 2}} + \dfrac{{3x}}{{{x^2} + 2x + 2}} = 9$;
c) $|x – 1 |^{2017} + (2 – x)^{2018} = 1$.
Bài 3. (2,0 điểm)
a)  Cho các số $x, y$ thỏa $|x| > 1, |y| >1$. Chứng minh rằng $|x| +|y| \geq |\dfrac{x+y}{1+xy}|$.
b) Cho các số $x,y$ không âm thỏa $x^3 + y^3 < x- y$. Chứng minh $y \leq x \leq 1$ và $x^2 + y^2 \leq 1$.

Bài 4. (3 điểm)
a) Tìm các số nguyên $x$ thỏa $\dfrac{2x^2-4x+1}{x-3}$ cũng là số nguyên.
b) Cho các số $x, y, z$ thỏa $(x-y)(y-z)(z-x) = x+y+z$. Chứng minh rằng $x+y+z$ chia hết cho 27.
c) Cho $n$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng $n^3+3^n$ chia hết cho 7 khi và chỉ khi $n^33^n+1$ chia hết cho 7.

Bài 5. (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$, các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$.
a)  Chứng minh $DB \cdot DC = DH \cdot DA$ và $\angle BDF = \angle CDE$. (2 điểm)
b) Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $BF, CE$. Chứng minh $\angle MDF = \angle NDC$. (1 điểm)
c) $AD$ cắt $EF$ tại $K$. Gọi $P$ là trung điểm của $AH$. Chứng minh $\dfrac{HK}{HD} = \dfrac{AK}{AD}$ và $PK \cdot PD = PH^2$. (2 điểm)

Bài 6. (2,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 2a$ cố định. $A$ thay đổi. Đường cao $AH$.
a) Tìm diện tích lớn nhất của tam giác $ABC$.
b) Phân giác các góc $\angle BAH, \angle CAH$ cắt $BC$ tại $MN$. Tìm giá trị lớn nhất của độ dài $MN$.

Bài 7. (3,0 điểm) Cho tập $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.
a)Tìm tất cả các cách chia tập hợp $X$ thành 3 tập hợp rời nhau, mỗi tập có 3 phần tử và tổng các phần tử của mỗi tập bằng nhau.
b) Người ta điền các số của tập $X$ vào bảng vuông $3 \times 3$ mỗi số được xuất hiện một lần sao cho tổng các hàng, các cột và hai đường chéo là một số chia hết cho 9.
i) Chỉ ra một cách điền thỏa đề bài.
ii) Chứng minh rằng với với mọi cách điền thì ô chính giữa bảng luôn là một số chia hết cho 3.

HẾT