Vị trí tương đối hai đường tròn

Leave a reply

Định lý. Cho đường tròn $(O;R)$ và đường tròn $(O’;R’)$. Đặt $d = OO’$. Khi đó ta có các trường hợp sau:

  • $d > R+R’$ thì ta nói hai đường tròn ngoài nhau. (Không có điểm chung)
  • $d = R + R’$ ta nói hai đường tròn tiếp xúc ngoài. (Có một điểm chung)
  • $|R-R’| < d < R + R’$ ta có hai đường tròn cắt nhau. (Có hai điểm chung)
  • $d = |R-R’|$ ta nói hai đường tròn tiếp xúc trong. (Có một điểm chung)
  • $d < |R-R’|$ ta nói hai đường tròn chứa nhau. (Không có điểm chung)

Ví dụ 1. Cho đường tròn $(O;R)$ và $(O’;R’)$ cắt nhau tại $A, B$. Chứng minh $OO’$ là trung trực của $AB$ và tính $AB$ theo $R, R’$ biết $\angle OAO’ = 90^\circ$.

Gợi ý
  • Ta có $OA = OB, O’A = O’B$ nên $OO’$ là đường trung trực của $AB$.
  • Gọi $H$ là giao điểm của $OO’$ và $AB$.
  • Ta có $AH \bot OO’$ và $H$ là trung điểm của $AB$.
  • Tam giác $OAO’$ vuông tại $AH$ nên: \[AH\cdot OO’ =OA\cdot O’A \Rightarrow AH =\dfrac{OA\cdot O’A}{OO’} = \dfrac{RR’}{\sqrt{R^2 + R’^2}}\]
  • Suy ra $AB = 2AH = \dfrac{2R.R’}{\sqrt{R^2+R’^2}}$.

Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng $AB$ và điểm $C$ thuộc đoạn $AB$. $D, E$ là hai điểm thuộc đường đường tròn $(A;AC)$. $DC, EC$ cắt đường tròn $(B;BC)$ tại $F$ và $G$.

  1. Chứng minh $(A;AC)$ và $(B;BC)$ tiếp xúc nhau.
  2. Chứng minh $AD$ song song với $BF$.
  3. Chứng minh $DE$ song song với $FG$.
Gợi ý

1.Xét hai đường tròn $(A;AC)$ và $(B;BC)$ có $AC + BC = AB$ (do $C$ nằm giữa $A$ và $B$), suy ra hai đường tròn tiếp xúc ngoài.
2.

  • Tam giác $ACD$ cân tại $A$ suy ra $\angle ADC = \angle ACD$.
  • Tam giác $BDF$ cân tại $B$ suy ra $\angle BFC = \angle BCF$.
  • Mà $\angle ACD = \angle BCF$, suy ra $\angle ADC = \angle BFC$, suy ra $AD||BF$.

3.

  • Ta có $AD ||BC$, suy ra $\dfrac{CD}{CF} = \dfrac{AC}{BF}$.
  • Chứng minh tương tự ta có $\dfrac{CE}{CG} = \dfrac{AC}{BC}$.
  • Từ đó ta có $\dfrac{CD}{CF} = \dfrac{CE}{CG}$, suy ra $DE||FG$.

Ví dụ 3. Cho đường tròn tâm $A$ và đường tròn tâm $B$ cắt nhau tại $C$ và $D$. Một đường thẳng qua $C$ cắt $(A)$ tại $E$ và cắt $(B)$ tại $F$. Gọi $P, Q$ là điểm đối xứng của $C$ qua $A$ và $B$.

  1. Chứng minh $P, D, Q$ thẳng hàng.
  2. Gọi $M$ là trung điểm $PQ$. Chứng minh tam giác $MEF$ cân.
Gợi ý

1.

  • Ta có $CP$ là đường kính của $A$ nên $\angle CDP = 90^\circ$, $CQ$ là đường kính của $(B)$ nên $\angle CDQ = 90^\circ$.
  • Suy ra $\angle PDQ = \angle CDP + \angle CDQ = 180^\circ$ nên $P, D, Q$ thẳng hàng.

2.

  • Gọi $H$ là trung điểm của $EF$.
  • Ta có $\angle CEP = \angle CFQ = 90^\circ$, suy ra tứ giác $PEFQ$ là hình thang.
  • Hình thang $PEFQ $ có $MH$ là đường trung bình nên $MH||PE$ mà $PE \bot EF$ nên $MH \bot EF$.
  • Do đó $MH$ là trung trực của $EF$, suy ra $ME = MF$. Vậy tam giác $MEF$ cân tại $M$.

Bài tập.

[1] Cho đoạn thẳng $AB = 5cm$. Đường tròn tâm $A$ bán kính $3cm$ và đường tròn tâm $B$ bán kính $4cm$ cắt nhau tại $C$ và $D$.

a.Chứng minh $AC, AD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(B)$.
b.Tính độ dài đoạn $CD$.
c.Đường thẳng $AB$ cắt $CD$ tại $H$ và cắt $(B)$ tại $M, N$. Chứng minh $AM.AN = AH.AB$.

[2] Cho điểm $A$ trên đường tròn $(O; R)$ và gọi $(I)$ là đường tròn có tâm $I$ và đường kính $AO$.

a.Giải thích rõ vị trí tương đối của 2 đường tròn $(O)$ và $(I)$.
b.$B$ là điểm bất kì trên $(O)$ ($B$ không nằm trên đường thẳng $AO$) $AB$ cắt $(I)$ tại $C$.Chứng tỏ $C$ là trung điểm của $AB$ và $IC ||OB$.
c. $CI$ cắt $(I)$ tại $D$, $AD$ cắt $(O)$ tại $E$. Chứng tỏ $B, O, E$ thẳng hàng.
d. Chứng tỏ 3 đường thẳng $AO, BD$ và $CE$ đồng qui tại một điểm. Điểm này là điểm đặc biệt gì của tam giác $ABE$.

[3]  Hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ có cùng bán kính $R$, cắt nhau tại $A$ và $B$, trong đó $\angle OAO’ = 90^\circ$. Vẽ cát tuyến chung $MAN$, $M$ thuộc $(O)$, $N$ thuộc $(O’)$. Tính $AM^2 + AN^2$ theo $R$.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *