Tính chất 1: Với mọi $A$ ta có hằng đẳng thức:

$\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

Ví dụ 1: Tính:

a) $\sqrt{(-7{)}^2}$.

b) $\sqrt{{(\sqrt{5}-2)}^2}$.

c)$\sqrt{{(3-2\sqrt{3})}^2}$.

Ví dụ 2: Khai căn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$, $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$.

b) $\sqrt{7+2\sqrt{6}}$, $\sqrt{13-2\sqrt{12}}$.

Tính chất 2: Cho $A$, $B$ là các số không âm. Khi đó ta có các đẳng thức sau:

• $\sqrt{AB}=\sqrt{A}\sqrt{B}$.
• $\sqrt{{\displaystyle \frac{A}{B}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}}$ $(B>0)$.
• $\sqrt{A^{2}B}=\left|A\right|\sqrt{B}$.

Ví dụ 3:  Tính:

a) $\sqrt{25.169}$.

b) $\sqrt{{\displaystyle \frac{49}{81}}}$.

c) $\sqrt{{\displaystyle \frac{0,16.0,49}{1,21}}}$.

Bài tập:

Bài 1:  Rút gọn các biểu thức sau:

a) $3\sqrt{8}-4\sqrt{18}$.

b) $\sqrt{125}-2\sqrt{20}-3\sqrt{80}$.

c) $\sqrt{48}-4\sqrt{27}-2\sqrt{75}+\sqrt{108}$.

Bài 2:  Thực hiện các phép tính:

a) $A={(\sqrt{2}-1)}^2+{(\sqrt{2}+3)}^2$.

b) $B={(\sqrt{3}+2\sqrt{2})}^2-{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}^2$.

c) $C={(\sqrt{2}+1)}^3-{(\sqrt{2}-2)}^3$.

d) $D=(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{6}+1)-\sqrt{2}(\sqrt{6}+3\sqrt{2})$.

Bài 3:  Khai căn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{12+2\sqrt{35}}$, $\sqrt{18-2\sqrt{65}}$.

b) $\sqrt{16+6\sqrt{7}}$, $\sqrt{14-6\sqrt{5}}$.

c) $\sqrt{27+10\sqrt{2}}$, $\sqrt{9+4\sqrt{5}}$.

d) $\sqrt{21-2\sqrt{108}}$, $\sqrt{17-2\sqrt{72}}$.

Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}$  với $x\ge 2$.

b) $\sqrt{2m+2\sqrt{2m-1}}-\sqrt{2m-2\sqrt{2m-1}}$.

c) $\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}$.