Category Archives: Đại số

Bài toán hàm số trong kì thi tuyển sinh vào 10

Leave a reply

Trong các kì thi tuyển sinh vào 10 có dạng toán liên quan đến hàm số, chủ yếu là hàm bậc hai dạng $y = ax^2$ (1) và đường thẳng $y = mx + n$ (2)Trong bài viết này chủ yếu xét các bài toán tương giao giữa đồ thị hàm số (1) và (2).

Nếu hàm số $y =ax^2$ có đồ thị là parabol $(P)$ và hàm số $y = mx + n$ có đồ thị là đường thẳng $d$, thì phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là

$$ax^2 = mx + n \Leftrightarrow ax^2 – m x – n =0 (*)$$

$(*)$ là một phương trình bậc hai, nên có 3 trường hợp xảy ra:

  • TH1: Nếu $(*)$ vô nghiệm thì $(d)$ và $(P)$ không có giao điểm.
  • TH2: Nếu $(*)$ có 1 nghiệm thì $(d)$ và $(P)$ có 1 giao điểm, ta nói $d$ tiếp xúc với $(P)$.
  • TH3: Nếu $(*)$ có hai nghiệm phân biệt thì ta nói $(d)$ cắt $(P)$, và nghiệm của $(*)$ là hoành độ của hai giao điểm, từ hoành độ ta có thể tính tung độ của giao điểm dựa vào phương trình của $(d)$ hoặc của $(P)$.

Ta xét một vài ví dụ sau:

Bài 1. (Thi vào lớp 10 trường PTNK năm 2018) Gọi $(P),(d)$ lần lượt là đồ thị của các hàm số $y=x^2$ và $y=2 m x+3$.
a) Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$ và tính $y_1+y_2$ theo $m$.
b) Tìm $m$ sao cho $y_1-4 y_2=x_1-4 x_2+3 x_1 x_2$.

Lời giải bài 1.
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:
$$
x^2=2 m x+3 \Leftrightarrow x^2-2 m x-3=0 \quad(1)
$$

Xét phương trình (1), ta có: $\Delta^{\prime}=m^2+3>0$ với mọi $m \in \mathbb{R}$
Suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ với mọi $m$ hay $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$.
Theo định lý Viete, ta có: $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=2 m \\\ x_1 x_2=-3\end{array}\right.$
Khi đó $y_1=2 m x_1+3, y_2=2 m x_2+3$
$y_1+y_2=2 m x_1+3+2 m x_2+3=2 m\left(x_1+x_2\right)+6=4 m^2+6$
b) Ta có:
$y_1-4 y_2=x_1-4 x_2+3 x_1 x_2 $
$\Leftrightarrow 2 m x_1+3-8 m x_2-12=x_1-4 x_2-9 $
$ \Leftrightarrow 2 m\left(x_1-4 x_2\right)=x_1-4 x_2 $
$ \Leftrightarrow\left(x_1-4 x_2\right)(2 m-1)=0 $
$ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x_1=4 x_2 \\\
m=\frac{1}{2} \quad(n)
\end{array}\right. $
Với $x_1=4 x_2 $ lại có $x_1 x_2=-3 \Rightarrow 4 x_2^2=-3 $ (vô lý)
Vậy $m=\frac{1}{2} $

Bài 2. (Đề thi vào 10 trường PTNK năm 2019) Cho $(P),(d)$ lần lượt là đồ thị hàm số $y=x^2$ và $y=2 x+m$.
a) Tìm $m$ sao cho $(P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$.
b) Tìm $m$ sao cho $\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=5$.

Lời giải bài 2.
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$
$$
x^2=2 x+m \Leftrightarrow x^2-2 x-m=0 \quad(1)
$$
$(P)$ cắt $(d)$ tại 2 điểm phân biệt $A, B \Leftrightarrow (1)$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta^{\prime}>0 \Leftrightarrow 1+m>0 $
$ \Leftrightarrow m>-1(*)$
Vậy $m>-1$ thì $(P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt.


b) Với điều kiện $(*)$ theo Viete ta có: $S=x_1+x_2=2, P=x_1 \cdot x_2=-m$

Ta có: $A\left(x_1 ; y_1\right) \in(d) \Leftrightarrow y_1=2 x_1+m ; B\left(x_2 ; y_2\right) \in(d) \Leftrightarrow y_2=2 x_2+m$

Ta có: $\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=5 $

$\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2+\left(2 x_1-2 x_2\right)^2=5$

$\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2+4\left(x_1-x_2\right)^2=5 $

$\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=1 \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4 x_1 x_2=1$

$\Leftrightarrow 4+4 m=1 \Leftrightarrow m=\frac{-3}{4} $ thỏa (*)
Vậy $m = \dfrac{-3}{4}$.

Bài 3. Đồ thị của hàm số $f(x)=a x^2$ và $g(x)=-a x+b(a ; b$ là các số thực), điểm chung thứ nhất có hoành độ bằng 1 và tung độ điểm chung thứ 2 là 8 . Tìm hoành độ của điểm chung thứ hai của hai đồ thị và tính $a, b$.

Lời giải bài 3.

  • Phương trình hoành độ giao điểm $a x^2=-a x+b \Leftrightarrow a x^2+a x-b=0$ thì phương trình nhận 1 là nghiệm nên $a 1^2+a \cdot 1-b=0 \Rightarrow b=2 a$.
  • Khi đó gọi nghiệm còn lại là $x_2$ ta có $1 \cdot x_2=\frac{-b}{a}=-2$
  • Do đó tung độ $a(-2)^2=8$, suy ra $a=2$ và $b=4$.

Bài 4. (TS chuyên Đăk Lăk 2020 – 2021) Trong mặt phẳng $O x y$, cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=2(m+1) x+3$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$ thoả mãn điều kiện $x_1^2-2 m x_1+2 x_2-x_1 x_2=2$.

Lời giải bài 4.

  • Phương trình hoành độ giao điểm $x^2-2(m+1) x-3=0\left(^*\right)$ $\Delta^{\prime}=(m+1)^2+3>0$ với mọi $m$.
  • Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=2(m+1), x_1 x_2=-3$.
    Ta có $x_1^2-2(m+1) x_1-3=0$, suy ra $x_1^2-2 m x_1=2 x_1+3$ $x_1^2-2 m x_1+2 x_2-x_1 x_2=2 \Leftrightarrow 2 x_1+3+2 x_2-(-3)=2 \Leftrightarrow m=-2$.
  • Vậy $m=-2$.

Bài 5. (TS chuyên Khánh Hoà 2020 – 2021) Trên mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho parabol $(P)$ có phương trình $y=2 x^2$ và đường thẳng $(d): y=-2 m x+m+1$ với $m$ là tham số.
a) Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt.
b) Gọi $x_1, x_2$ lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$, tìm $m$ thoả mãn đẳng thức $\frac{1}{\left(2 x_1-1\right)^2}+\frac{1}{\left(2 x_2-1\right)^2}=66$.

Lời giải bài 5 .
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $P$ là
$$
2 x^2+2 m x-m-1=0
$$
$\Delta^{\prime}=m^2-2(-m-1)=(m+1)^2+1>0$ với mọi $m$, do đó $d$ cắt $P$ tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.
b) Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=-m, x_1 x_2=\frac{-m-1}{2}$.
Suy ra $x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2 x_1 x_2=m^2+m+1$
Ta có $66=\frac{1}{\left(2 x_1-1\right)^2}+\frac{1}{\left(2 x_2-1\right)^2}=\frac{\left(2 x_1-1\right)^2+\left(2 x_2-1\right)^2}{\left(2 x_1-1\right)^2\left(2 x_2-1\right)^2}=\frac{4\left(x_1^2+x_2^2\right)-4\left(x_1+x_2\right)+2}{\left(4 x_1 x_2-2\left(x_1+x_2\right)+1\right)^2}$
$$
=\frac{4\left(m^2+m+1\right)-4(-m)+2}{(-2 m-2-2(-m)+1)^2}=\frac{4 m^2+8 m+6}{1}
$$

Giải ra được $m=-5, m=3$.

Bài 6. (TS chuyên Thái Bình 2020 – 2021) Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho parabol $(P): y=\frac{x^2}{2}$ và hai đường thẳng $\left(d_1\right): y=5 x+2,\left(d_2\right): y=\left(m^2+1\right) x+m$ với $m$ là tham số.
a) Tìm $m$ để $\left(d_1\right)$ song song với $\left(d_2\right)$.
b) Tìm $m$ để $\left(d_2\right)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$ sao cho $Q=x_1+x_2-4 x_1 x_2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải bài 6 .
a) Điều kiện để $d_1 || d_2$ là $m^2+1=5, m \neq 2$, giải ra được $m=-2$.
b) Phương trình hoành độ giao điểm của $d_2$ và $P$ là
$$
\frac{x^2}{2}=\left(m^2+1\right) x+m \Leftrightarrow x^2-2\left(m^2+1\right) x-2 m=0
$$

Điều kiện $\Delta^{\prime}=\left(m^2+1\right)^2-(-2 m)>0 \Leftrightarrow m^4+2 m^2+1+2 m>0 \Leftrightarrow m^4+m^2+(m+1)^2>0$ (Đúng với mọi $m)$

Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=2\left(m^2+1\right), x_1 x_2=-2 m$

Ta có $P=x_1+x_2-4 x_1 x_2=$ $2\left(m^2+1\right)-4(-2 m)=2\left(m^2+1+4 m\right)=2(m+2)^2-6 \geq-6$, đẳng thức xảy ra khi $m=-2$.

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=2 x-m-2$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt lần lượt có hoành độ $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2+1=2 x_2$.

Lời giải bài 8 .

  • Phương trình hoành độ giao điểm
    $$
    x^2=2 x-m-2 \Leftrightarrow x^2-2 x+m+2=0
    $$
  • Điều kiện $\Delta^{\prime}=1-(m+2)>0 \Leftrightarrow m<-1$.
  • Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=2, x_1 x_2=m+2$.

Ta có $x_1^2=2 x_1-m-2$, suy ra $x_1^2+1=2 x_2 \Leftrightarrow 2 x_1-m-2+1=2 x^2 \Leftrightarrow 2\left(x_1-x_2\right)=m+1$ Kết hợp với Viete ta có $x_1=\frac{m+5}{4}, x_2=\frac{3-m}{4}$
Khi đó $x_1 x_2=m+2 \Leftrightarrow \frac{m+5}{4} \frac{3-m}{4}=m+2 \Leftrightarrow m=-1(l), m=-17(n)$.

  • Vậy $m=-17$.

Bài 9. Cho $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=(m+2) x-2 m$.
a) Tìm $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$.
b) Tìm $m$ để $x_1+2 y_2=7$.

Lời giải bài 9 .
a) Phương trình hoành độ giao điểm

$\quad x^2-(m+2) x+2 m=0 $
$\Delta=(m+2)^2-8 m=(m-2)^2>0 \Leftrightarrow m \neq 2 .$

b) Khi đó phương trình có nghiệm $x=2, x=m$.
3

  • TH1: $x_1=2, x_2=m$ suy ra $y_1=4, y_2=m^2$. Ta có $2+2 m^2=7$ giải ra được $m=\sqrt{2,5}, m=$ $-\sqrt{2,5}$.
  • TH2: $x_1=m, x_2=2$, suy ra $y_1=m^2, y_2=4$. Ta có $m+2.4=7 \Leftrightarrow m=-1$.
  • Vậy có 3 giá trị $m$ thỏa đề bài $m=\sqrt{2,5}, m=-\sqrt{2,5}, m=-1$.

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho parabol $(P)$ có phương trình $y=x^2$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=2 m x-m^2-m-2$ (với $m$ là tham số).
a) Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(P)$ biết điểm $M$ có hoành độ bằng -3 .
b) Tìm điều kiện của $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$ là hai giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$, xác định $m$ để $x_1 y_2+x_2 y_1=2 m^3+6$.

Lời giải bài 10.

b) Tìm điều kiện của $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai đie biệt. Gọi $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$ là hai giao điểm của đường thẳng $(d)$ và $(P)$, xác định $m$ để $x_1 y_2+x_2 y_1=2 m^3+6$. Ta có phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là

$ x^2=2 m x-m^2-m-2 \Leftrightarrow x^2-2 m x+m^2+m+2=0(1) $
$ \Delta^{\prime}=(-m)^2-\left(m^2+m+2\right)=-m-2$

$(d)$ cắt parabol $(P)$ tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta^{\prime}>$ $0 \Leftrightarrow-m-2>0 \Leftrightarrow m<-2(*)$

$ \text { Ta có } x_1+x_2=2 m, x_1 x_2=m^2+m+2 $
$x_1 y_2+x_2 y_1=x_1 \cdot x_2^2+x_2 \cdot x_1^2=x_1 \cdot x_2\left(x_1+x_2\right)=2$ $m\left(m^2+m+2\right) $
$=2 m^3+2 m^2+4 m $
$2 m^3+2 m^2+4 m=2 m^3+6 \Leftrightarrow 2 m^2+4 m-6=0 $

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
m=1 \\\
m=-3
\end{array}\right.$

Đối chiếu (*) vậy $m=-3$.

Tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau – Phần 2

Leave a reply

Bài 1. Cho $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}$. Chứng minh rằng $a=b=c$.
Lời giải.
$$
\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a+b+c}{b+c+a}=1
$$

Khi đó, $a=b ; b=c ; c=a \Rightarrow a=b=c$.
Bài 2. Cho ba tỉ số bằng nhau là $\dfrac{a}{b+c}, \dfrac{b}{c+a}, \dfrac{c}{a+b}$. Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó.
Lời giải.
$$
\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{b}{c+a}=\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a+b+c}{2 a+2 b+2 c}=\dfrac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\dfrac{1}{2} \text {. }
$$

Bài 3. Cho $a+b+c+d \neq 0$ và $\dfrac{a}{b+c+d}=\dfrac{b}{a+c+d}=\dfrac{c}{a+b+d}=\dfrac{d}{a+b+c}$.

Tính giá trị của: $A=\dfrac{a+b}{c+d}+\dfrac{b+c}{a+d}+\dfrac{c+d}{a+b}+\dfrac{d+a}{b+c}$.

Lời giải.
$$
\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\frac{d}{a+b+c}=\frac{a+b+c+d}{3 a+3 b+3 c+3 d}=\frac{a+b+c+d}{3(a+b+c+d)}=\frac{1}{3} \text {. }
$$

Khi đó, $3 a=b+c+d \quad ; 3 b=a+c+d \quad ; 3 c=a+b+d \quad ; 3 d=a+b+c$
$$
4 a=a+b+c+d \quad ; 4 b=a+b+c+d \quad ; 4 c=a+b+c+d \quad ; 4 d=a+b+c+d
$$

Khi đó, $4 a=4 b=4 c=4 d \Rightarrow a=b=c=d$.
Vậy $A=4$.

Bài 4. Cho tỉ lệ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$.
Lời giải.
$$
\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}
$$

Bài 5. Cho tỉ lệ thức $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$. Chứng minh rằng $\dfrac{a b}{c d}=\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2}$.
Lời giải.
$ \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=k .$
$k^2=\dfrac{a}{c} \cdot \dfrac{b}{d}=\dfrac{a b}{c d} . $
$k^2=\dfrac{a^2}{c^2}=\dfrac{b^2}{d^2}=\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2} $

Khi đó, $\dfrac{a b}{c d}=\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2}$.

Bài 6. Cho $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}$.

Chứng minh rằng: $\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\dfrac{a}{d}$.

Lời giải.

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+b+c}{b+c+d}=k $

$\Rightarrow k^3=\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3 . $
$k^3=\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{d} $
$\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\dfrac{a}{d} $

Bài tập tự luyện.


Bài 1. Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
(a) $\dfrac{3 a+5 b}{3 a-5 b}=\dfrac{3 c+5 d}{3 c-5 d}$;
(b) $\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}$;
(c) $\dfrac{a b}{c d}=\dfrac{(a-b)^2}{(c-d)^2}$;
(d) $\dfrac{7 a^2+5 a c}{7 a^2-5 a c}=\dfrac{7 b^2+5 b d}{7 b^2-5 b d}$.

Bài 2. Cho $\dfrac{a}{2018}=\dfrac{b}{2019}=\dfrac{c}{2020}$.

Chứng minh rằng: $ 4(a-b)(b-c)=(c-a)^2$.

Bài 3. Cho dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{a_2}{a_3}=\dfrac{a_3}{a_4}=\ldots=\dfrac{a_{2018}}{a_{2019}}$.

Chứng minh rằng: Ta có đẳng thức: $\dfrac{a_1}{a_{2019}}=\left(\dfrac{a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{2018}}{a_2+a_3+a_4+\ldots+a_{2019}}\right)^{2018}$

Tỉ lệ thức – Dãy tỉ số bằng nhau (Phần 1)

Leave a reply

Lý Ngọc Vy – Giáo viên Star Education

Định nghĩa 1. Thương trong phép chia số $a$ cho số $b(b \neq 0)$ gọi là tỉ số của $a$ và $b$.

Định nghĩa 2. Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số.
$$
\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Leftrightarrow a: b=c: d
$$

Trong đó:

  • $a$ và $d$ gọi là ngoại tỉ.
  • $b$ và $c$ gọi là trung tỉ.

Tinh chất 1. Cho $a, b, c, d$ là các số khác 0 . Ta có một số tính chất sau:
(a) $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Leftrightarrow a d=b c$
(b) $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Leftrightarrow \dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$
(c) $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Leftrightarrow \dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$.

Dãy tỉ số bằng nhau.

$$
\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=\frac{a+b+c}{x+y+z}=\frac{a-b+c}{x-y+z}
$$

Với điều kiện là mẫu thức khác 0 .

Ví dụ 1. Tìm $x$ để tạo thành các tỉ lệ thức
(a) $\dfrac{3}{4}=\dfrac{x}{20}$
(b) $\dfrac{2}{2,5}=\dfrac{4}{x}$
(c) $\dfrac{3,5}{4 x}=\dfrac{5}{200}$

Lời giải.
(a) $\dfrac{3}{4}=\dfrac{x}{20} \Rightarrow x=20: 4.3 \Rightarrow x=15$.
(b) $\dfrac{2}{2,5}=\dfrac{4}{x} \Rightarrow x=4: 2.2,5 \Rightarrow x=5$.
(c) $\dfrac{3,5}{4 x}=\dfrac{5}{200} \Rightarrow x=3,5: 5.200: 4 \Rightarrow x=35$.

Ví dụ 2. Tìm $x, y$ biết:
(a) $x: y=20: 9$ và $x-y=-22$;
(b) $3 x=4 y$ và $x+2 y=35$;
(c) $x: 2=2 y: 3$ và $x y=27$;

Lời giải.
(a) $\dfrac{x}{20}=\dfrac{y}{9}=\dfrac{x-y}{20-9}=\dfrac{-22}{11}=-2 \Rightarrow x=-40 ; y=-18$.
(b) $\dfrac{x}{4}=\frac{y}{3}=\dfrac{x+2 y}{4+2.3}=\dfrac{35}{10}=\dfrac{7}{2} \Rightarrow x=14 ; y=\dfrac{21}{2}$.
(c) $\dfrac{x}{2}=\dfrac{2 y}{3}=k$
$k^2=\dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{2 y}{3}=\dfrac{x \cdot 2 y}{6}=\dfrac{27 \cdot 2}{6}=9 \Rightarrow k=3$ hoặc $k=-3 \Rightarrow x=6 ; y=\dfrac{9}{2}$ hoặc $x=-6 ; y=\dfrac{-9}{2}$.

Ví dụ 3. Tìm $a, b$ và $c$ trong mỗi trường hợp sau:
(a) $5 a-3 b-3 c=-536$ và $\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{6}, \dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{8}$;
(b) $3 a-5 b+7 c=86$ và $\dfrac{a+3}{5}=\dfrac{b-2}{3}=\dfrac{c-1}{7}$;
(c) $5 a=8 b=3 c$ và $a-2 b+c=34$;
(d) $3 a=7 b$ và $a^2-b^2=160$;

Lời giải.

(a)
$\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{6} \Rightarrow \frac{a}{20}=\dfrac{b}{30} ; \dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{8} \Rightarrow \dfrac{b}{30}=\dfrac{c}{48} $
$\dfrac{a}{20}=\dfrac{b}{30}=\dfrac{c}{48}=\dfrac{5 a-3 b-3 c}{5.20-3.30-3.48}=\dfrac{-536}{-134}=4$

$\Rightarrow a=80 ; b=120 ; c=192$
(b)
$ \dfrac{a+3}{5}=\dfrac{b-2}{3}=\dfrac{c-1}{7}=\dfrac{3(a+3)-5(b-2)+7(c-1)}{3.5-5.3+7.7}=\dfrac{3 a-5 b+7 c+12}{49}=2 $
$ \Rightarrow a=7 ; b=8 ; c=15 $
(c)
$5 a=8 b=3 c \Rightarrow \dfrac{a}{\dfrac{1}{5}}=\dfrac{b}{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{c}{\dfrac{1}{3}}$

$=\dfrac{a-2 b+c}{\dfrac{1}{5}-2 \cdot \dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{34}{34}=1$

$\Rightarrow a=24 ; b=15 ; c=40 .
$
(d)
$3 a=7 b \Rightarrow \dfrac{a}{7}=\dfrac{b}{3}=k $
$k^2=\dfrac{a^2}{49}=\dfrac{b^2}{9}=\dfrac{a^2-b^2}{49-9}=\dfrac{160}{40}=4$
$\Rightarrow k=2$ hoặc $k=-2 \Rightarrow a=14$ hoặc $a=-14 ; b=6$ hoặc $b=-6$.

Ví dụ 4. Hưởng ứng phong trào quyên góp sách giáo khoa cũ giúp đỡ học sinh có hoàn cảnh khó khăn, ba lớp 7A, 7B. 7C đã quyên góp số sách tỉ lệ với $3: 4: 5$. Tính số sách giáo khoa mỗi lớp quyên góp, biết số sách quyên góp của lớp 7 hơn lớp 7A là 22 quyển.

Lời giải. Gọi $x, y, z$ lần lượt là số sách của các lớp 7A, 7B, 7C. Ta có
$$
\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=\frac{z-x}{5-3}=\frac{22}{2}=11 \Rightarrow x=33 ; y=44 ; z=55
$$

Ví dụ 5. Tìm $a ; b ; c$ biết $\dfrac{12 a-15 b}{7}=\dfrac{20 c-12 a}{9}=\dfrac{15 b-20 c}{11}$ và $a+b+c=48$.
Lời giải.
$\dfrac{12 a-15 b}{7}=\dfrac{20 c-12 a}{9}=\dfrac{15 b-20 c}{11}=\dfrac{12 a-15 b-20 c+12 a-15 b+20 c}{7+9+11}=0 $
$\Rightarrow 12 a=15 b ; 20 c=12 a ; 15 b=20 c . $
$\Rightarrow \dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{4} ; \dfrac{c}{3}=\dfrac{a}{5} ; \dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{3} $
$\dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{3}=\dfrac{a+b+c}{5+4+3}=\dfrac{48}{12}=4 $

$\Rightarrow a=20 ; b=16 ; c=12 $

Bài tập.

Bài 1. Tìm số hữu tỉ $x$ trong các tỉ lệ thức sau:
(a) $6: x=6,5:(-29,25)$;
(b) $14 \frac{2}{3}:\left(-80 \frac{2}{3}\right)=(0,5 . x): 35 \frac{3}{4}$;
(c) $4: x=x: 0,16$;
(d) $(1-x)^3:(-0,5625)=0,525: 0,7$;

Bài 2. Có thể lập được một tỉ lệ thức từ từng nhóm bốn số sau không?
(a) $-1 ;-3 ;-9 ; 27$;
(b) $-1 ; \frac{-1}{2} ; \frac{-1}{3} \frac{-1}{6}$;
(c) 0,$4 ; 0,04 ; 0,004 ; 0,0004$;
(d) $3^{-3} ; 3^{-5} ; 3^{-7} ; 3^{-11}$

Bài 3. Tìm $a, b, c$ biết

(a) $15 a=10 b=6 c$ và $a b c=-1920$;
(b) $a^2+3 b^2-2 c^2=-16$ và $\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}$;

Bài 4. Tìm $x ; y ; z$ biết $2 x=3 y ; 4 y=5 z$ và $4 x-3 y+5 z=7$
Bài 5. Tìm $x ; y ; z$ biết $3 x=4 y ; 5 y=6 z$ và $x y z=30$.

Cấp số cộng

Leave a reply

Lý Ngọc Vy – Giáo viên Star Education

Dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots,$ được gọi là cấp số cộng nếu lấy số hạng thứ hai trừ số hạng đứng trước nó bằng một số $c$ không đổi, nghĩa là $a_{n+1}-a_n=c$ với $n=1,2,3, \ldots$. Số $c$ được gọi là công sai của cấp số cộng.

Từ đó, ta có số hạng tổng quát của cấp số cộng sau:
$$
a_n=a_1+(n-1) c
$$

Ví dụ 1 Cho tập hợp các số tự nhiên
$$
1,2,3,4,5, \ldots,
$$
là một cấp số cộng với công sai $c=1$.
Cho tập hợp các số chẵn
$$
2,4,6,8,10,12, \ldots
$$
là một cấp số cộng với $c=2$ không đổi.
Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng
Carl Fried Gauss (1777-1855) là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất trong lịch sử. Tên ông ấy xuất hiện ở mọi lĩnh vực toán học. Chuyện kể rằng, lúc Gauss 7 tuổi, ông đã khám phá ra cách tính nhanh tổng các số từ 1 đến 100 .

Phương pháp tính của Gauss như sau: $S=1+2+3+\ldots+98+99+100$.
Đảo thứ tự các số, ta có: $S=100+99+98+\ldots+3+2+1$.
$$
\text { Vì } 1+100=2+99=3+98=\ldots=98+3=99+2=100+1=101 \text {. }
$$

Khi có, $2 S=100 \times 101$.
Vậy $S=5050$.

Ta áp dụng phương pháp này cho cấp số cộng.
Giả sử, cho cấp số cộng như sau:
$$
a_1, a_2, a_3, . ., a_n
$$

Ta có:
$S =a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+a_n . $
$S =a_n+a_{n-1}+\ldots+a_2+a_1 .$

Vì $a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\ldots=a_{n-1}+a_2=a_n+a_1$. Khi đó, $2 S=n \times\left(a_1+a_n\right)$.
Vậy
$$
S=a_1+a_2+\ldots+a_n=\sum_{i=1}^n a_i=\dfrac{\left(a_1+a_n\right) \cdot n}{2} .
$$
$\sum$ : Tổng của 1 phép toán nhiều hạng tử.
Ví dụ 2: [AMC8.2015.9] Ngày đầu tiên đi làm, Janabel bán được 1 sản phẩm. Ngày thứ 2, cô ấy bán được 3 sản phẩm. Ngày thứ 3 , cô ây bán được 5 sản phẩm và những ngày tiếp theo cô ấy bán được nhiều hơn ngày trước đó 2 sản phẩm. Trong 20 ngày, Janabel bán được tất cả bao nhiêu sản phẩm?

Lời giải.
Biểu diễn $a_n$ là số sản phẩm Janabel bán được ở ngày thứ $n$. Theo giả thuyết, dãy số sau là dãy cấp số cộng với $a_1=1$ và công sai $c=2$
1
$$
1,3,5,7, \ldots
$$

Từ (1) và (2), suy ra ngày thứ 20 , cô ấy đã bán được số sản phẩm $a_{20}=a_1+2 \times 19=39$. Số sản phẩm cố ấy bán được trong 20 ngày là $S=\frac{(1+39) \times 20}{2}=400$.
Ví dụ 3: [AMC10A.2011.4] Cho $X$ và $Y$ là tổng của cấp số cộng như sau:
$X=10+12+14+\ldots+100$
$Y=12+14+16+\ldots+102 .$

Tính $Y-X$ ?
Lời giải.
Cách 1: $X$ và $Y$ là tổng của cấp số cộng có 46 số hạng. Dùng công thức (2), ta tính được $X$ và $Y$.

Cách 2: $Y-X=(12-10)+(14-12)+\ldots+(102-100)=2 \times 46=92$.
Cách 3:

Cách 3:
$$
\begin{aligned}
& X=10+12+14+\ldots+100 \
& Y=\quad 12+14+\ldots+100+102 .
\end{aligned}
$$

Khi lấy $Y-X$, các số hạng từ 12 dến 100 sẽ triệt tiêu cho nhau nên $Y-X=102-10=92$
Ví dụ 4: [AMC10.2001.11] Xét hình vuông tối màu trong một mảng các hình vuông đơn vị được biểu thị như hình dưới. Vòng thứ nhất bao quanh hình vuông trung tâm gồm 8 hình vuông đơn vị. Vòng thứ hai gồm 16 hình vuông đơn vị. Cứ tiếp tục như thế thì đến vòng thứ 100 sẽ có bao nhiêu hình vuông đơn vị?

Lời giải.
Gọi $a_n$ là số hình vuông đơn vị ở vòng thứ $n$.
Khi đó, dãy số
$$
8,16,24, \ldots
$$
là một cấp số cộng với công sai
$$
c=8
$$

Từ (1), ta tính được $a_{100}=a_1+99 \times 8=800$.

Ví dụ 5. Cho dãy số $1 ; 4 ; 7 ; \ldots$ là một cấp số cộng với công sai là 3 .
(a) Tìm số hạng thứ 10.
(b) Tìm số hạng thứ 2023.
(c) Tính tổng 10 số hạng đầu.
(d) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên.
(e) Tính tổng các số hạng từ số hạng 11 đến số hạng 100 .

Lời giải.
$$
u_1=1 ; d=3 \text {. }
$$
(a) $u_{10}=u_1+(10-1) d=1+9.3=28$.
(b) $u_{2023}=u_1+(2023-1) d=1+2022.3=6067$.
(c) $S_{10}=\frac{\left(u_{10}+u_1\right) \cdot 10}{2}=\frac{(28+1) \cdot 10}{2}=145$.
(d) $S_{100}=\frac{\left(u_{100}+u_1\right) \cdot 100}{2}=\frac{(298+1) \cdot 100}{2}=14950$.
(e) $u_{11}+\ldots+u_{100}=S_{100}-S_{10}=14950-145=14805$.

Ví dụ 6. (Số tam giác) Ta gọi tổng của $n$ số nguyên dương đầu tiên là một số tam giác (thứ $n$ ). Ví dụ 10 là một số tam giác thứ tư vì $10=1+2+3+4$.
1
(a) Liệt kê 10 số tam giác đầu tiên.
(b) Số 200 có phải là một số tam giác không? Tại sao?
(c) Tính tổng của hai số tam giác thứ 11 và 12 .
(d) Có nhận xét gì về tổng hai số tam giác liên tiếp, chứng minh nhận xét đó.
(e) Ngoài số 1, có số tam giác nà là bình phương của một số nguyên dương không? Tìm một số như thế.

Lời giải

(a) 10 số tam giác đầu tiên: ${1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; 28 ; 36 ; 45 ; 55}$.
(b) $200=S_n=\frac{\left[2 u_1+(n-1) d\right] \cdot n}{2} \Rightarrow 200=\frac{[2+(n-1)] n}{2} \Rightarrow n^2-n-398=0$.
Ta thấy, $n \approx 20,46$ không là số nguyên dương.
Vậy 200 không là một số tam giác.
(c) $S_{11}+S_{12}=\frac{(11+1) \cdot 11}{2}+\frac{(12+1) \cdot 12}{2}=144$.
(d) Tổng hai số tam giác liên tiếp: ${4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; \ldots} . \Rightarrow$ Tổng hai số tam giác liên tiếp luôn là số chính phương.
$ S_n+S_{n+1}=\frac{\left[2 u_1+(n-1) d\right] n}{2}+\frac{\left(2 u_1+n d\right)(n+1)}{2}=\frac{4 u_1 n+2 u_1+2 n^2 d}{2}=n^2+2 n+1
$ =(n+1)^2 $
(e) $x^2=S_n \Rightarrow x^2=\frac{\left[2 u_1+(n-1) d\right] n}{2} \Rightarrow x^2=\frac{n^2+n}{2}$.
Ta thấy, số tam giác thứ 8 là bình phương của một số nguyên dương là 36 .

Ví dụ 7. Cho các tập sau: $S_1={1}, S_2={2,3}, S_3={4,5,6}, \ldots$
(a) Tính tổng các số của $S_5, S_6$.
(b) Tìm số lớn nhất của $S_{100}$.
(c) Tính tổng các số của $S_{100}$.
(d) Số 2023 thuộc tập nào?
(e) Đặt $m_1, m_2, \ldots$ lần lượt là số lớn nhất trong các tập $S_1, S_2, \ldots$, . Ví dụ $m_1=1, m_2=3, m_3=6$. Có nhận xét gì về $m_1, m_2, \ldots$, . Có số nào trong dãy có giá trị bằng 210 không? Tại sao?

Lời giải.
Gọi $A_n={1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; n}$.
Số nhỏ nhất trong tập $S_n=K_n-(n-1)$ với $K_n$ là tổng $n$ số đầu tiên trong dãy $A_n$. Số lớn nhất trong tập $S_n=K_n$ với $K_n$ là tổng $n$ số đầu tiên trong dãy $A_n$.
(a) Số nhỏ nhất trong tập $S_5=K_5-4=\frac{(5+1) .5}{2}-4=11$.
Số lớn nhất trong tập $S_5=K_5=15$.
Tổng các số của $S_5=\frac{(15+11) \cdot 5}{2}=65$.
Số nhỏ nhất trong tập $S_6=16$.
Số lớn nhất trong tập $S_6=21$.
Tổng các số của $S_6=\frac{(16+21) \cdot 6}{2}=111$.

Số lớn nhất trong tập $S_6=21$.
Tổng các số của $S_6=\frac{(16+21) \cdot 6}{2}=111$.
(b) Số lớn nhất của $S_{100}=K_{100}=\frac{(100+1) \cdot 100}{2}=5050$.
(c) Số nhỏ nhất của $S_n<2023<$ Số lớn nhất của $S_n$

Ta có $K_n-(n-1)<20234046$, suy ra 63,11<n<64,09\right. \
Vậy $n=64$, do đó $2023 \in S_{64} $
(d) $m_1 ; m_2 ; \ldots$ là tổng $n$ số đầu tiên của $A_n$.
$210=\frac{(1+n) \cdot n}{2} \Rightarrow n^2+n-420=0 \Rightarrow n=20$ là số nguyên dương.
Vậy $m_{20}$ là số lớn nhất trong tập có giá trị bằng 210.

Ví dụ 8. Bạn Bảo Huy có một kế hoạch học tập vào tháng 5 (31 ngày) đối với môn toán như sau: giai đoạn khởi động 15 ngày đầu, mỗi ngày Huy làm 4 bài toán, giai đoạn tăng tốc kể từ ngày 16 thì Huy mỗi ngày Huy làm nhiều hơn ngày trước đó một số bài không đổi, sau khi tăng tốc làm bài đến về đích, Huy làm mỗi ngày giảm 10 bài so với ngày trước đó và nghỉ hẳn, không làm toán vào ngày cuối cùng. Sau khi thực hiện theo kế hoạch thì Huy thấy mình làm được là 402 bài toán trong tháng năm. Hỏi ngày Huy làm được nhiều nhất là bao nhiêu bài toán?

Lời giải.

Giai đoạn khởi động: Tổng số bài bạn Bảo Huy làm trong 15 ngày là $4.15=60$ bài.

Giai đoạn tăng tốc: Số bài bạn Bảo Huy làm từ ngày 16 là
$ u_{16}=4+d, u_{17}=4+2 d, u_{18}=4+3 d, \ldots $
$\Rightarrow u_{16+n}=4+(n+1) d $

Giai đoạn về đích:
$$
u_{16+n+1}=4+(n+1) d-10, u_{16+n+2}=4+(n+1) d-2.10, \ldots
$$

Ngày 30: $u_{16+n+m-1}=4+(n+1) d-(m-1) .10$.

Ngày $31: u_{16+n+m}=4+(n+1) d-m .10$ với $16+n+m=31 \Rightarrow m=15-n$ và $n, m$ là các số nguyên dương.

Vì bạn Bảo Huy không làm toán vào ngày cuối cùng nên

$4+(n+1) d-10 m=0 \Rightarrow 4+(n+1) d-10(15-n)=0 \Rightarrow d=\frac{146-10 n}{n+1} $

Bạn Bảo Huy làm được 402 bài toán trong tháng năm nên

Giai đoạn khởi động + Giai đoạn tăng tốc + Giai đoạn về đích (dến ngày 30)=402
$\Rightarrow 60+\dfrac{4+(n+1) d+(4+d)}{2}+\dfrac{4+(n+1) d-10(14-n)+4+(n+1) d-10}{2}=402 $
$\Rightarrow-n^2 d-10 n^2+29 n d+290 n+30 d=2664 .

Mà $ d=\frac{146-10 n}{n+1}$
Khi đó, $n=11$ và $d=3$.
Vậy 1 ngày bạn Bảo Huy làm nhiều nhất $4+(11+1) \cdot 3=40$ bài toán.

Phần trăm

Leave a reply

Bài tập 1. Có ba bài kiểm tra, bài số 1 có 25 câu, bài số 2 có 40 câu, bài số 3 có 10 câu. Đức là được $80 \%$ câu đúng bài số 1, $90 \%$ câu đúng bài số 2 và $70 \%$ câu đúng bài số 3. Mỗi câu đúng bài số 1 được 3 điểm, bài số 2 được 5 điểm và bài số 3 được 7 điểm.
a) Tính số câu đúng Đức làm được.
b) Tính số điểm của Đức đạt được.

Lời giải.

a) Số câu đúng Đức làm được: $80 \%.25 + 90 \%.40 + 70 \%.10=63$ câu.

b) Số điểm Đức làm được: $80 \%.25.3 + 90 \%.40.5 + 70 \%.10.7=289$ điểm.

Bài tập 2. Một số nam sinh và nữ sinh đang rửa xe để quyên tiền cho chuyến tham quan Hà Nội của lớp. Ban đầu $40 \%$ của nhóm là con gái. Ngay sau đó, hai cô gái rời đi và hai chàng trai đến, sau đó $30 \%$ trong nhóm là các cô gái. Lúc đầu trong nhóm có bao nhiêu bạn nữ?

Lời giải.
Gọi $x$ (bạn) là số bạn nữ lúc đầu trong nhóm có, $(x>0)$
$$
40 \% \cdot x-2=30 \% . x \Rightarrow x=20
$$

Vậy có 20 bạn nữ.

Bài tập 3. Giả sử trường $\mathrm{A}$ có 1000 học sinh và trường $\mathrm{B}$ có 1200 học sinh. Hỏi số học sinh trường $\mathrm{B}$ nhiều hơn số học sinh trường $\mathrm{A}$ là bao nhiêu phần trăm?

Lời giải.
Số học sinh trường $\mathrm{B}$ nhiều hơn số học sinh trường $\mathrm{A}$ là $1200-1000=200$ (học sinh).
Phần trăm số học sinh trường $\mathrm{B}$ nhiều hơn số học sinh trường $\mathrm{A}$ là $\frac{200}{1000} \cdot 100=20 \%$
Vậy có $20 \%$

Bài tập 4. Thuế thu nhập của TPHCM được đánh ở mức $p \%$ của 28.000.000 đầu tiên của thu nhập hàng năm cộng với $(p+2) \%$ của bất kỳ số tiền nào trên 28.000.000. Nam nhận thấy rằng thuế thu nhập ở TPHCM mà ba bạn phải trả lên tới $(p+0,25) \%$ thu nhập hàng năm của ba. Thu nhập hàng năm của ba Nam ấy là bao nhiêu?

Lời giải.
Gọi $x$ (đồng) là thu nhập hàng năm của ba Nam, $(x>0)$
Thuế thu nhập của TPHCM là $p \% .28000000+(p+2) \%(x-28000000)$
Thuế thu nhập của TPHCM mà ba Nam trả là $(p+0,25) \% . x$
Giải phương trình:
$ p \% .28000000+(p+2) \%(x-28000000)=(p+0,25) \% . x $
$\Leftrightarrow p \% .28000000+x p \%-28000000 p \%+x .2 \%-56000000 \%=x p \%+x .0,25 \% $
$\Leftrightarrow x=32000000$

Bài tập 5. Giá cổ phiếu của công ty $T T C$ là $\$ 100$ vào năm 2021 . Nó đã giảm $25 \%$ vào năm 2022 và sau đó tăng $25 \%$ vào năm 2023 . Giá cổ phiếu cuối năm 2023 là bao nhiêu?

Lời giải.
Giá cổ phiếu sẽ giảm vào năm 2023 là $\$ 100.25 \%=\$ 25$.
$\Rightarrow$ Giá cổ phiếu vào năm 2022 là $\$ 100-\$ 25=\$ 75$.
Giá cổ phiếu sẽ giảm vào năm 2023 là $\$ 75.25 \%=\$ 18,75$.
$\Rightarrow$ Giá cổ phiếu vào năm 2023 là $\$ 75+\$ 18,75=\$ 93,75$.

Bài tập 6. Ông An định cải tạo một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng 2,5 chiều rộng. Ông thấy rằng nếu đào một cái hồ có mặt hồ là hình chữ nhật thì sẽ chiếm mất $3 \%$ diện tích mảnh vườn, còn nếu giảm chiều dài $5 \mathrm{~m}$ và tăng chiều rộng $2 \mathrm{~m}$ thì mặt hồ là hình vuông và diện tích mặt hồ giảm được $20 m^2$. Hãy tính các cạnh của mảnh vườn.

Lời giải.
Gọi $x(\mathrm{~m})$ là chiều rộng của mảnh vườn, $(x>0)$.
Vì chiều dài bằng 2,5 chiều rộng nên chiều dài của mảnh vườn là $2,5 x(\mathrm{~m})$.
Gọi $y(\mathrm{~m})$ là chiều rộng của mặt hồ ban đầu.
Gọi $z(\mathrm{~m})$ là chiều dài của mặt hồ ban đầu.
Vì diện tích của mặt hồ chiếm 3\% diện tích mảnh vườn nên diện tích của mặt hồ là
$$
y . z=3 \% .2,5 x^2 \Rightarrow y z=0,075 x^2\left(\mathrm{~m}^2\right)
$$

Nếu giảm chiều dài $5 m$ và tăng chiều rộng $2 m$ thì mặt hồ là hình vuông nên
$$
y+2=z-5 \Rightarrow z=y+7
$$

Diện tích của mặt hồ giảm $20 \mathrm{~m}^2$ nên
$$
y z-(y+2)(z-5)=20 \Rightarrow y \cdot(y+7)-(y+2)^2=20 \Rightarrow y=8 \Rightarrow z=8+7=15
$$

Thay $y=8$ và $z=15$ vào $y z=0,075 x^2$, ta được $8.15=0,075 x^2 \Rightarrow x^2=1600 \Rightarrow x=40$ hoặc $x=-40$.

Vì $x>0$ nên nhận $x=40$.
Vậy chiều rộng của mảnh vườn là $40(\mathrm{~m})$ và chiều dài của mảnh vườn là $100(\mathrm{~m})$

Bài tập 7. Tổng kết học kì 2 , trường trung học cơ sở $\mathrm{N}$ có 60 học sinh không đạt học sinh giỏi, trong đó có 6 em từng đạt học sinh giỏi học kì 1 , số học sinh giỏi của học kì 2 bằng $\frac{40}{37}$ số học sinh giỏi của học kì 1 và có $8 \%$ số học sinh của trường không đạt học sinh giỏi học kì 1 nhưng đạt học sinh giỏi học kì 2 . Tìm số học sinh giỏi học kì 2 của trường biết rằng số học sinh của trường không thay đổi trong suốt năm học.

Giải thích:
Gọi $x$ (học sinh) là số học sinh giỏi học kì 2 của trường.
Nhóm 1 và nhóm $4=x$ học sinh
60 học sinh không đạt học sinh giỏi học kì 2.
Nhóm 2 và nhóm $3=60$ học sinh

6 học sinh từng đạt học sinh giỏi học kì 1 trong số học sinh không giỏi ở hk2.
Nhóm $3=6$ họ sinh
$8 \%$ số học sinh của trường không đạt học sinh giỏi học kì 1 nhưng đạt học sinh giỏi học kì 2 .
Nhóm $4=8 \%$ học sinh toàn trường

Số học sinh giỏi học kì 2 bằng $\frac{40}{37}$ số học sinh giỏi của học kì 1 .
Nhóm 1 và $4=\frac{40}{37}$ nhóm 1 và 3

Lời giải.
Gọi $x$ (học sinh) là số học sinh giỏi học kì 2 của trường.
Số học sinh toàn trường là $x+60$ (học sinh)
Số học sinh giỏi học kì 2 bằng $\frac{40}{37}$ số học sinh giỏi của học kì 1 nên
$$
x=\frac{40}{37} \text { số học sinh giỏi của học kì } 1 \text {. }
$$

Số học sinh giỏi của học kì 1 là
$$
x-\frac{8}{100}(x+60)+6=\frac{23}{25} x+\frac{6}{5}(\text { học sinh })
$$

Khi đó, $x=\frac{40}{37} \cdot\left(\frac{23}{25} x+\frac{6}{5}\right) \Rightarrow x=240$. Vậy số học sinh giỏi học kì 2 của trường là 240 học sinh.

Sử dụng đánh giá bất đẳng thức để giải hệ phương trình

Leave a reply

Một trong các phương pháp khác đặc biệt để giải các hệ phương trình là sử dụng bất đẳng thức, kiểu $A \geq 0$, khi đó $A = 0$ chỉ tại các dấu $=$ xảy ra, hoặc $x \geq y \geq z \geq x$, do đó hệ có nghiệm chỉ khi các dấu $=$ đồng thời xảy ra.

Ta cùng tìm hiểu phương pháp này thông qua một số ví dụ, từ đó rút ra kinh nghiệm giải các hệ phương trình khác.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}
x+\frac{2 x y}{\sqrt[3]{x^2-2 x+9}}=x^2+y \\\\
y+\frac{2 x y}{\sqrt[3]{y^2-2 y+9}}=y^2+x
\end{array}\right.$

Lời giải.

$$
\left\{\begin{array}{l}
x+\frac{2 x y}{\sqrt[3]{x^2-2 x+9}}=x^2+y(1) \\\\
y+\frac{2 x y}{\sqrt[3]{y^2-2 y+9}}=y^2+x(2)
\end{array}\right.
$$
Ta có: $x^2-2 x+9 \geq 8 \Rightarrow \sqrt[3]{x^2-2 x+9} \geq 2 \Rightarrow \frac{2 x y}{\sqrt[3]{x^2-2 x+9}} \leq x y$ Tương tự: $\frac{2 x y}{\sqrt[3]{y^2-2 y+9}} \leq x y$
Do đó: $x+\frac{2 x y}{\sqrt[3]{x^2-2 x+9}}+y+\frac{2 x y}{\sqrt[3]{y^2-2 y+9}} \leq x+y+2 x y \leq x+y+x^2+y^2$
(Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x=y$ Từ $(1),(2)$ và $(3)$ suy ra $x=y$ Thay $x=y$ vào (1) ta được:
(4) $\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2-2 x+9}=2 \Leftrightarrow x^2-2 x+9=8 \Leftrightarrow(x-1)^2=0 \Leftrightarrow x=1 \Rightarrow$ $y=1$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) \in{(0,0) ;(1,1)}$.

Ví dụ 2. (Hệ hoán vị vòng quanh) Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{array}{l}
x^3+3 x^2+2 x-5=y \\\\
y^3+3 y^2+2 y-5=z \\\\
z^3+3 z^2+2 z-5=x
\end{array}\right.$$

Lời giải. Do vai trò bình đẳng trong hoán vị vòng quanh của $x, y, z$ trong hệ trên, ta có thể giả sử
$$
\begin{aligned}
& x=\max {x ; y ; z} \text {. } \\\\
& \text { Vì } y \leq x \text { nên } x^3+3 x^2+2 x-5 \leq x \\\\
& \Leftrightarrow x^3+3 x^2+x-5 \leq 0 \\\\
& \Leftrightarrow(x-1)\left(x^2+4 x+5\right) \leq 0 \text {. } \\\\
& \text { Vì } x^2+4 x+5=(x+2)^2+1>0 \text { nên } x \leq 1 \text {. } \\\\
& \text { Mà } z \leq x \text { nên } z \leq 1 \text {. } \\\\
& \text { Lập luận ngược lại quá trình trên ta được } \\\\
& (z-1)\left(z^2+4 z+5\right) \leq 0 \\\\
& \Leftrightarrow z^3+3 z^2+2 z-5 \leq z \Leftrightarrow x \leq z \text {. } \\\\
& \text { Do đó } x=z \text {. } \\\\
& \text { Suy ra } x=y=z \text {. } \\\\
& \text { Từ đó ta được phương trình } \\\\
& \quad x^3+3 x^2+2 x-5=x \\\\
& \Leftrightarrow(x-1)\left(x^2+4 x+5\right)=0 \Leftrightarrow x=1 \text {. }
\end{aligned}
$$

Ví dụ 3 (Chuyên Toán PTNK 1997) Tìm tất cả các số dương $x, y, z$ thỏa : $\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}=3 \\\\
x+y+z \leq 12
\end{array}\right.$

Lời giải.

\begin{aligned}
& \text { Ta có }(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\right) \leq 36 \Leftrightarrow \frac{y}{x}+\frac{4 x}{y}+\frac{z}{x}+\frac{9 x}{z}+\frac{4 z}{y}+\frac{9 y}{z}-22 \leq 0 \Leftrightarrow \\\\
& \frac{(y-2 x)^2}{x y}+\frac{(z-3 x)^2}{x z}+\frac{(3 y-2 z)^2}{y z} \leq 0 \Leftrightarrow y=2 x, z=2 x, 3 y=2 z \text { Từ đó ta } \\\\
& \text { có } x=2, y=4, z=6
\end{aligned}

Ví dụ 4. (PTNK Chuyên Toán 2103) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}
3 x^2+2 y+1=2 z(x+2) \\\\
3 y^2+2 z+1=2 x(y+2) \\\\
3 z^2+2 x+1=2 y(z+2)
\end{array}\right.$

Lời giải. Cộng ba phương trình lại ta có:
$3\left(x^2+y^2+z^2\right)+2(x+y+z)+3=2(x y+y z+z x)+4(x+y+z) $

$ \Leftrightarrow 3\left(x^2+y^2+z^2\right)-2(x y+y z+x z)-2(x+y+z)+3=0 $
$\Leftrightarrow(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=0 $
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=1 \\\\
y=1 \\\\
z=1
\end{array}\right.
$
Thử lại thấy $(1,1,1)$ là nghiệm của hệ.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}
x+\dfrac{2 x y}{\sqrt{x^2-2 x+5}}=x^2+y \\\\
y+\dfrac{2 x y}{\sqrt{y^2-2 y+5}}=y^2+x
\end{array}\right.$

Bài 2. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}
y^{3}-6 x^{2}+12 x-8=0 \\\\
z^{3}-6 y^{2}+12 y-8=0 \\\\
x^{3}-6 z^{2}+12 z-8=0
\end{array}\right.$

Bài 3. Tìm các số không âm $x, y, z$ thỏa
$$
\left\{\begin{aligned}
x y z & =1 \\\\
x^3+y^3+z^3 & =x+y+z
\end{aligned}\right.
$$

Định lý Viete và áp dụng

Leave a reply

Định lý 1. (Định lý Viete thuận) Cho phương trình bậc hai $a x^2+b x+c=0$ (a,b, c là các hệ số). Nếu phương trình có nghiệm $x_1, x_2$ thì
$$
S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}, \text { và } P=x_1 x_2=\frac{c}{a}
$$
Định lý 2. (Định lý Viete đảo) Nếu có hai số $a, b$ thỏa $a+b=S, a b=P$ thì $a, b$ là nghiệm của phương trình
$$
x^2-S x+P=0
$$

Chú ý: Điều kiện để áp dụng định lý Viete là phương trình bậc hai phải có nghiệm, tức là $\Delta \geq 0$.

Ví dụ 1. Cho phương trình $x^2-2(m+1) x+m=0$
(a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$
(b) Tính giá trị các biểu thức sau theo $m$
$$
A=x_1^2+x_2^2+x_1+x_2
$$
(c) Tìm $m$ để $A=18$.
Lời giải. $a=1, b=-2(m+1), b^{\prime}=-(m+1), c=m$
a) Ta có $\Delta^{\prime}=b^{\prime 2}-a c=(-m-1)^2-1 \cdot m=m^2+m+1$.

$\Delta=m^2+m+1=m^2+2 \cdot m \cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=$ $\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0$ với mọi $m$. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.
b) Ta có $A=x_1^2+x_2^2+x_1+x_2$
$=\left(x_1+x_2\right)^2-2 x_1 x_2+x_1+x_2$
$=4(m+1)^2-2 m+2(m+1)$
$=4 m^2+8 m+6$.

c) $A=18 \Leftrightarrow 4 m^2+8 m-12=0 \Leftrightarrow m=$ $1, m=-3$.
Vậy $m$ cần tìm là 1 và -3 .

Ví dụ 2. Tìm $m$ để phương trình $x^2-2(m+1) x+m^2-3=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1^2+x_2^2+x_1 x_2=$ $m+7$
Lời giải. $a=1, b=-2 m-2, c=m^2-3$.

Ta có $\Delta^{\prime}=b^2-a c=(m+1)^2-\left(m^2-3\right)=2 m+4$. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta^{\prime}=2 m+4>0 \Leftrightarrow m>-2$.

Theo dịnh lý Viete ta có $x_1+x_2=2(m+1), x_1 x_2=$ $m^2-3$

$x_1^2+x_2^2+x_1 x_2=m+7 \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-x_1 x_2=m+7$ $\Leftrightarrow 4(m+1)^2-\left(m^2-3\right)=m+7 \Leftrightarrow 3 m^2+7 m=0 \Leftrightarrow$ $m=0(n), m=\frac{-7}{3}(l)$.

Vậy giá trị cần tìm của $m$ là $m=0$.

Ví dụ 3. Cho phương trình $x^2-4 m x+3 m^2+1=0$.
a) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.
b) Gọi $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình, tìm hệ thức độc lập $m$ liên hệ giữa $x_1$ và $x_2$.
Lời giải
a) Ta có $\Delta^{\prime}=4 m^2-\left(3 m^2+1\right)=m^2-1$. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta^{\prime} \geq 0 \Leftrightarrow m^2-$ $1 \geq 0 \Leftrightarrow m \leq-1$ hoặc $m \geq 1$.
b) Với điều kiện của a) theo định lý Viete ta có $S=x_1+$ $x_2=4 m(1), P=x_1 x_2=3 m^2+1(2)$.
Từ (1), suy ra $m=\frac{1}{4} S$, thế vào (2) ta có $P=3 m^2+1=$ $\frac{3}{16} S^2+1$.
Hay $x_1 x_2=\frac{3}{16}\left(x_1+x_2\right)^2+1$ là hệ thực liên hệ giữa $x_1, x_2$ độc lập với $m$.

Ví dụ 4. Cho phương trình $x^2-2 m x-2 m-3=0$. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=x_1^2+x_2^2-$ $x_1 x_2$.
Lời giải

Ta có $\Delta^{\prime}=m^2+2 m+3$.
Vì $m^2+2 m+3=(m+1)^2+2>0 \forall m$ nên $\Delta^{\prime}>0 \forall m$. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.

Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=2 m, x_1 x_2=-2 m-3$. Khi đó $A=\left(x_1+x_2\right)^2-3 x_1 x_2=(2 m)^2-3(-2 m-3)=$ $4 m^2+6 m+9$.

$A=(2 m)^2+2.2 m \cdot \frac{3}{2}+\frac{9}{4}+\frac{27}{4}=\left(2 m+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{27}{4} \geq \frac{27}{4}$. Đẳng thức xảy ra khi $m=\frac{-3}{4}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $\frac{27}{4}$ khi $m=\frac{-3}{4}$.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho phương trình $x^2-\sqrt{2} x-\sqrt{3}=0$.
(a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$.
(b) Tính giá trị của $A=x_1^2+x_2^2-3 x_1 x_2 .(A=2+5 \sqrt{3})$
(c) Tính giá trị của biểu thức $B=\frac{1}{x_1^3-4 x_1 x_2+x_2^3}$
Bài 2. Cho phương trình $x^2-2 m x-1=0$.
(a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$
(b) Gọi $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình. Tính $A=$ $x_1^2-3 x_1 x_2+x_2^2$ theo $m$. $\left(A=4 m^2+5\right)$
(c) Tìm $m$ để $A=9 .(m= \pm 1)$
Bài 3. Cho phương trình $x^2-2(m-3) x-2 m+5=0$.
(a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm $x_1, x_2$.
(b) Tìm $m$ để $x_1^2+x_2^2-3 x_1 x_2+x_1+x_2=17$. $\left(m=\frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}\right)$

Bài 4. Cho phương trình $x^2-3(m+1) x+9 m^2+2=0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1^2+x_2^2-3\left(x_1+x_2\right)+1=0$.
(Không có giá trị $m$ nào thỏa mãn)
Bài 5. Cho phương trình $x^2-3 x-4 m=0$
(a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt. $\left(m>\frac{-9}{16}\right)$
(b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1+x_2-x_1 x_2=13\left(m=\frac{5}{2}\right)$
(c) Tính giá trị biểu thức $A=x_1^2+x_2^2-4 x_1 x_2$ theo $\mathrm{m}$ và tìm $\mathrm{m}$ để $\mathrm{A}=14$. $\left(A=9+24 m, m=\frac{5}{24}\right)$
Bài 6. Cho phương trình $x^2-2(m-1) x-1=0$.
(a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.
(b) Tìm $\mathrm{m}$ để $x_1^2+x_2^2=5\left(m=\frac{2 \pm \sqrt{3}}{2}\right)$
(c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x_1^2+x_2^2+x_1 x_2$ (GTNN là 1 khi và chỉ khi $m=1$ )

Bài 7. Cho phương trình $x^2-2(m+1) x+m=0$
(a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$
(b) Tìm m để $x_1^2+x_2^2-3 x_1 x_2-x_1-x_2=7$
$$
\left(m=\frac{-5 \pm \sqrt{41}}{8}\right)
$$
(c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B=x_1^2+x_2^2$ $\left(B_{\min }=\frac{7}{4}\right.$ khi và chỉ khi $\left.x=\frac{-3}{4}\right)$
Bài 8. Cho phương trình $x^2-2 m x-m-3=0$.
(a) Tìm $m$ dể phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa
$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{2}=0 \
& \left(m=\frac{-3}{5}\right)
\end{aligned}
$$

(b) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm thỏa $x_1^3-x_2^3=$ $10\left(x_1-x_2\right)$ $\left(m=\frac{-1 \pm \sqrt{113}}{8}\right)$
Bài 9. Cho phương trình $(m-1) x^2-2 x+1=0$.
(a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt. $(m \neq 1, m>2)$
(b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa $x_1^2+x_2^2+x_1 x_2=3\left(m=\frac{-1}{3}\right)$
Bài 10. Cho phương trình $x^2+2(m+2) x+2 m=0$.
(a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa $x_1^2 x_2+x_2^2 x_1+x_1+x_2=4$
(không có giá trị $m$ thỏa mãn)
(b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=x_1 x_2-x_1^2-$ $x_2^2\left(A_{\max }=\frac{-63}{4}\right.$ khi và chỉ khi $\left.m=\frac{-1}{4}\right)$

Hệ phương trình ba ẩn

Leave a reply

Trong các bài trước mình đã làm quen với các hệ phương trình hai ẩn, phương pháp chủ yếu cũng là thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ. Trong bài này chúng ta tiếp tục với các hệ phương trình nhiều ẩn hơn, chủ yếu là các hệ phương trình ba ẩn, trong các hệ phương trình này có hai dạng ta quan tâm và xuất hiện nhiều là hệ đối xứng và hệ hoán vị vòng quanh.

Hệ ba ẩn đối xứng

Hệ đối xứng ba biến là hệ có dạng

$\left\{\begin{array}{l}
f(x,y,z)=0 \\\\
g(x,y,z)=0 \\\\
h(x,y,z)=0
\end{array}\right.$

trong đó $f, g, h$ là các biểu thức đối xứng với $x, y, z$ tức là khi ta hoán vị $x, y, z$ thì $f, g, h$ vẫn không đổi.

Các biểu thức đối xứng 3 biến cơ bản nhất là $x+y+z, xy+yz+xz, xyz$.

Từ đó ta xét ví dụ sau

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}
x+y+z=6 (1)\\\\
xy+yz+xz=11 (2)\\\\
xyz=6 (3)
\end{array}\right.$

Lời giải

Từ (1) ta có $y +z = 6-z$, từ (2), $ yz = 11-x(y+z) = 11 – x(6-x) = x^2-6x+11$.

Thế vào (3) ta có $x(x^2-6x+11) = 6$ $\Leftrightarrow x^3 -6x^2+ 11x – 6 = 0$

Giải ra được $x = 1, x = 2, x= 3$.

Với $x = 1$ ta có $y+z = 5, yz = 6$ giải ra được $y = 2, z= 3$ và $y=3, z=2$.

Các trường hợp khác tương tự, hệ phương trình có nghiệm $(1, 2, 3)$ và các hoán vị.

Do đó nếu hệ phương trình ba ẩn đối xứng, có một cách giải là ta tìm được giá trị của các biểu thức đối xứng cơ bản như bài trên.

Ví dụ 2. (PTNK Chuyên toán 2010) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}
x+y+z=3 \\\\
x y+y z+x z=-1 \\\\
x^3+y^3+z^3+6=3\left(x^2+y^2+z^2\right)
\end{array}\right.$

Lời giải

Ta chỉ cần tính được $xyz$ thì có thể đưa về ví dụ 1.

Từ (1) và (2) ta tính được $x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 – 2(xy+yz+xz) = 11$

Suy ra $x^3+y^3+z^3 = 27$

Mà $x^3+y^3+z^3 – 3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz) \Rightarrow xyz = -3$

do đó ta có $x+y+z = 3, xy+yz+xz = -1, xyz = -3$ tương tự ví dụ 1, ta giải được nghiệm là $(1,-1,3)$ và các hoán vị.

Ngoài cách trên ta có thể giải như sau

$x^3+y^3+z^3 = (x+y+z)^3 – 3(x+y)(y+z)(x+z)$, khi đó $(x+y)(y+z)(z+x) = 0$, tổng hai số bằng 0, ta suy ra số còn lại bằng 3, tiếp tục ta cũng có kết quả như trên.

Hệ hoán vị vòng quanh

Các hệ phương trình nhiều ẩn thường gặp là hệ hoán vị vòng quanh có dạng sau:

Phương pháp thường dùng là cộng đại số,phân tích thành tích, sử dụng đánh giá bất đẳng thức để chứng minh $x=y=z$.

Ta xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}(x-y)^2=2 z-z^2(1) \\\\(y-z)^2=2 x-x^2(2)\\\\ (z-x)^2=2 y-y^2(3)\end{array}\right.$

Lời giải Lấy (1) trừ (2) ta có:

$(x-2 y+z)(x-z)=x^2-z^2-2(x-z)=(x-z)(x+z-2) \Leftrightarrow 2(x-z)(y-1)= 0$

$\Leftrightarrow x=z$ hoặc $y=1$
– $y=1$ ta có $(3) \Leftrightarrow(x-z)^2=1 \Leftrightarrow z=x+1, z=x-1$
+ $z=x+1$ giải được $ x=0, z=1$ và $x=1, z=2 $Khi đó ta có nghiệm $(0,1,1),(1,1,2)$
+ $z=x-1 $ giải ra được $x=1, z=0 $ và $ x=2, z=1 $Ta có nghiệm $(1,1,0)$ và $(2,1,1)$
Với $x=z$ từ (3) ta có $ y^2-2 y=0 \Leftrightarrow y=0, y=2$

Với $y=0$ ta có $\left\{\begin{array}{l}x^2=2 z-z^2 \\\\ z^2=2 x-x^2\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2 z^2=2 z \\\\ x-z\end{array}\right.\right.$.

Giải được nghiệm $(0,0,0)$ và $(1,0,1)$.

+Với $y=2$, giải ra được nghiệm $(1,2,1)$ và $(2,2,2)$. Vậy hệ phương trình có 8 nghiệm.

Ví dụ 4. (PTNK Chuyên Toán 2103) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}
3 x^2+2 y+1=2 z(x+2) \\\\
3 y^2+2 z+1=2 x(y+2) \\\\
3 z^2+2 x+1=2 y(z+2)
\end{array}\right.$

Lời giải Cộng ba phương trình lại ta có:
$3\left(x^2+y^2+z^2\right)+2(x+y+z)+3=2(x y+y z+z x)+4(x+y+z) $

$ \Leftrightarrow 3\left(x^2+y^2+z^2\right)-2(x y+y z+x z)-2(x+y+z)+3=0 $
$\Leftrightarrow(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=0 $
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=1 \\\\
y=1 \\\\
z=1
\end{array}\right.
$
Thử lại thấy $(1,1,1)$ là nghiệm của hệ.

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}
2 x=y^2-z^2 \\\\
2 y=z^2-x^2 \\\\
2 z=x^2-y^2
\end{array}\right.$

Lời giải

Lấy (1) $+(2)$ ta có $(x+y)(x-y+2)=0 \Leftrightarrow x+y=0$ hoặc $x=2-y$.
Với $x+y=0$, từ (3) ta có $z=0$, từ (1) ta có $x=0$ hoặc $x=2$. Ta có nghiệm $(x, y, z)$ là $(0,0,0)$ và $(2,-2,0)$.
Với $x=y-2$, từ (3) ta có $2 z=(y-2)^2-y^2=4-4 y \Leftrightarrow z=2-2 y$. Thế vào (1) ta có: $2(y-2)=y^2-(2-2 y)^2 \Leftrightarrow y^2-2 y=0 \Leftrightarrow y=0, y=2$. Từ đó ta có nghiệm $(-2,0,2)$ và $(2,-2,0)$. Vậy hệ có 4 nghiệm.

Hệ nhiều ẩn không mẫu mực

Một số hệ không mẫu mực thì không có cách giải chung, do đó ta phải để đặc điểm của các hệ phương trình này để có cách giải phù hợp, chủ yếu cũng là giảm được ẩn, phân tích nhân tử, . ..

Ví dụ 6. Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}
(x-2 y)(x-4 z)=55 \\\\
(y-2 z)(y-4 x)=-39 \\\\
(z-2 x)(z-4 y)=-16
\end{array}\right.$

Lời giải

$\left\{\begin{array}{l}(x-2 y)(x-4 z)=55 \\\\ (y-2 z)(y-4 x)=-39 \\\\ (z-2 x)(z-4 y)=-16\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-2 x y-4 x z+8 y z=55(1) \\\\ y^2-2 y z-4 x y+8 x z=-39(2) \\\\ z^2-2 x z-4 y z+8 x y=-16(3)\end{array}\right.\right.$

Cộng (1),(2),(3) ta có $(x+y+z)^2=0 \Leftrightarrow x+y+z=0 \Leftrightarrow z=-x-y$
Thế vào (1),(2) ta có $\left\{\begin{array}{l}(x-2 y)(5 x+4 y)=55 \\\\ (3 y+2 x)(y-4 x)=-39\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}5 x^2-6 x y-8 y^2=55 \\\\ 3 y^2-10 x y-8 x^2=-39\end{array}\right.$
Nhận thấy $y=0$ không thỏa hpt:
Đặt $x=k y$, ta có hệ

$\left\{\begin{array}{l}
y^2\left(5 k^2-6 k-8\right)=55 \\\\
y^2\left(-8 k^2-10 k+3\right)=-39
\end{array}\right. $
$\Rightarrow-39\left(5 k^2-6 k-8\right)=55\left(-8 k^2-10 k+3\right) $
$\Leftrightarrow 245 k^2+784 k+147=0$
$ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
k=-3 \\\\
k=\frac{-1}{5}
\end{array}\right.
$
Với $k=-3$, ta có $y=1$, hoặc $y=-1$. Từ đó ta có nghiệm là $(-3,1,2),(3,-1,-2)$
Với $k=-\frac{1}{5}$ (vô nghiệm)

Chìa khóa trong lời giải này chính là đặc điểm của các hệ số tự do bên phải của các phương trình.

Qua một số ví dụ , hi vọng các em rút ra kinh nghiệm trong việc giải một số hệ phương trình nhiều ẩn, cùng rèn luyện các bài toán sau nhé.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau

1)$\begin{cases} x^2(y+z)^2=(3x^2+x+1)y^2z^2&\\\\y^2(z+x)^2=(4y^2+y+1)z^2x^2&\\\\z^2(x+y)^2=(5z^2+z+1)=x^2y^2 \end{cases}$ 2)$\left\{ \begin{array}{l}xy = x + 3y\\\\yz = 2\left( {y + z} \right)\\\\xz = 3\left( {3z + 2x} \right)\end{array} \right.$ 3) $\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x + y + z} \right)^3} = 12t\\\\
{\left( {y + z + t} \right)^3} = 12x\\\\
{\left( {z + t + z} \right)^3} = 12y\\\\
{\left( {t + x + y} \right)^3} = 12z
\end{array} \right.$

Bài 2. Giải hệ phương trình sau:

1)$\left\{\begin{array}{l}
x^{3}+x^{2}+x-2=y \\\\
y^{3}+y^{2}+y-2=z \\\\
z^{3}+z^{2}+z-2=x
\end{array}\right.$
2) $\left\{\begin{array}{l}
y^{3}-6 x^{2}+12 x-8=0 \\\\
z^{3}-6 y^{2}+12 y-8=0 \\\\
x^{3}-6 z^{2}+12 z-8=0
\end{array}\right.$
Bài 3. Giải hệ phương trình $\begin{cases}ab+c+d=3&\\\\bc+d+a=5&\\\\cd+a+b=2&\\\\da+b+c=6 \end{cases}$

Bài 4.

Cho $a \in \mathbb{R}$. Giải hệ phương trình $\begin{cases} x_1^2+ax_1+(\dfrac{a-1}{2})^2=x_2&\\\\
x_2^2+ax_2+(\dfrac{a-1}{2})^2=x_3&\
…&\\\\
x_n^2+ax_n+(\dfrac{a-1}{2})^2=x_1
\end{cases}$

Hệ phương trình chứa tham số

Leave a reply

Hệ phương trình và các phương pháp giải của nó chúng ta đã nghiên cứu trong các bài giảng trước, bài viết này ta tiếp tục với các hệ phương trình nhưng chứa thêm tham số, việc giải các hệ phương trình chứa tham số căn bản cũng dựa trên các phương pháp đã biết, tuy vậy ta phải xét nhiều trường hợp hơn đòi hỏi suy luận tốt và sự cẩn thận nhất định của học sinh.

Ví dụ 1. Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}=2 \\\\ x+y=m\end{array}\right.$
(a) Giải hệ với $m=7$
(b) Tìm $m$ sao cho hệ có nghiệm $(x, y)$

Lời giải
a) $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}=2 \\\\ x+y=m\end{array}\right.$
ĐKXĐ: $x \geq 2, y \geq 1$
Đặt $ a=\sqrt{x-2}, b = \sqrt{y-1}$ ta có $a, b \geq 1$ và $a+b = 2, a^2+b^2 = 4$.

Từ đó ta có $b = 2-a, a^2+(2-a)^2 = 4$, giải ra được $a= 2, b=0$ và $a=0, b=2$.

Với $a = 2,b=0$ ta có $x=6, y=1$

Với $a=0,b=2$ ta có $x=2, y = 5$.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm $(2 ; 5),(6 ; 1)$

b) Đặt $u=\sqrt{x-2}, v=\sqrt{y-1}(u, v \geq 0$
Hệ phương trình trở thành: $\left\{\begin{array}{l}u+v=2 \\\\ u^2+v^2=m-3\end{array}\right.$ $\Rightarrow 2 u^2-4 u+7-m=0 \quad(2)$
Để hệ (1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm không âm, nhỏ hơn hoặc bằng 2, khi và chỉ khi:
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ \Delta ^ { \prime } \geq 0 } \\\\
{ S > 0 } \\\\
{ P \geq 0 } \\\\
{ ( x _ { 1 } – 2 ) ( x _ { 2 } – 2 ) > 0 } \\\\
{ S \leq 4 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
m \geq 5 \\\\
m \leq 7
\end{array}\right.\right.
$$
Vậy $5 \leq m \leq 7$ thì hệ đã cho có nghiệm $(x, y)$

Ví dụ 2. Giải và biện luận hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x y z}{x+y}=m \\\\ \frac{x y z}{y+z}=1 \ \frac{x y z}{z+x}=2\end{array}\right.$

Lời giải

Lời giải. Đặt $a=x y, b=y z, c=x z$ ta tính được: $\frac{1}{a}=\frac{3 m-2}{4 m}, \frac{1}{b}=\frac{m+2}{4 m}, \frac{1}{c}=\frac{2-m}{4 m}$.
Khi đó $\frac{1}{(x y z)^2}=\frac{1}{a b c}=\frac{(3 m-2)(m+2)(2-m)}{64 m^3}=P$.
Nếu $P \leq 0 \Leftrightarrow m \leq-2,0 \leq m \leq \frac{2}{3}$ hoặc $m \geq 2$ thì hệ vô nghiệm.
Ta có $P>0 \Leftrightarrow-2<m<0$ hoặc $\frac{2}{3}<m<2$.
Khi đó $(x y z)^2=\frac{64 m^3}{(3 m-2)(m+2)(2-m)}=\frac{1}{P}$. Suy ra $x y z= \pm \sqrt{\frac{1}{P}}$.

  • Nếu $x y z=\sqrt{\frac{1}{P}}$ thì $x=\frac{2-m}{4 m} \sqrt{\frac{1}{P}}$,
    $$
    y=\frac{m+2}{4 m} \sqrt{\frac{1}{P}}, z=\frac{3 m-2}{4 m} \sqrt{\frac{1}{P}} \text {. }
    $$
  • Nếu $x y z=-\sqrt{\frac{1}{P}}$ thì $x=\frac{m-2}{4 m} \sqrt{\frac{1}{P}}$,
    $$
    y=\frac{-m-2}{4 m} \sqrt{\frac{1}{P}}, z=\frac{2-3 m}{4 m} \sqrt{\frac{1}{P}} \text {. }
    $$

Ví dụ 3. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}(x-2 y)(x+m y)=m^2-2 m-3 \\\\ (y-2 x)(y+m x)=m^2-2 m-3\end{array}\right.$

a) Giải hệ phương trình khi $m=-3$

b) Tìm $m$ để hệ có ít nhất một nghiệm $\left(x_\circ, y_\circ \right)$ thỏa $x_\circ>0, y_\circ>0$.

Lời giải
a) Khi $m=-3$ ta có hệ:
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ ( x – 2 y ) ( x – 3 y ) = 1 2 } \\\\
{ ( y – 2 x ) ( y – 3 x ) = 1 2 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x^2-5 x y+6 y^2=12(1) \\\\
y^2-5 x y+6 x^2=12(2)
\end{array}\right.\right.
$$
Lấy (1) – (2) ta có $5\left(y^2-x^2\right)=0 \Leftrightarrow x=y, x=-y$.
Với $x=y$ thế vào (1) ta có $x^2=6 \Leftrightarrow x=\sqrt{6}, y=\sqrt{6}$ hoặc $x=-\sqrt{6}, y=$ $-\sqrt{6}$
Với $x=-y$ thế vào (1) ta có $x^2=1 \Leftrightarrow x=1, x=-1$. Với $x=1, y=-1$, với $x=-1, y=1$.
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm.
b) Hệ có thể viết lại $\left\{\begin{array}{l}x^2+(m-2) x y-2 m y^2=m^2-2 m-3(1) \\\\y^2+(m-2) x y-2 m x^2=m^2-2 m-3(2)\end{array}\right.$
Lấy (1) – (2) ta có $(2 m+1)\left(y^2-x^2\right)=0$.
Xét $m=\frac{-1}{2}$ ta có hệ trở thành: $x^2-\frac{5}{2} x y+y^2+\frac{7}{4}=0$, có nghiệm $\left(\frac{5+\sqrt{2}}{2}, 2\right)$ thỏa đề bài.
Xét $m \neq \frac{-1}{2}$ ta có $x=y$ hoặc $x=-y$. Trường hợp $x=-y$ không thỏa đề bài.
Trường hợp $x=y$, thế vào (1) ta có:
$$
-(m+1) x^2=m^2-2 m-3=(m+1)(m-3)
$$
Nếu $m=-1$ ta có $(x-2 y)(x-y)=0,(y-2 x)(y-x)=0$ có nghiệm thỏa đề bài, chỉ cần chọn $x=1, y=1$.
Nếu $m \neq-1$ ta có $x^2=3-m$ để có nghiệm $x_o=y_o>0$ thì $m<3$. Khi đó phương trình có nghiệm $x_0=\sqrt{3-m}, y_o=\sqrt{3-m}$ thỏa đề bài.
Kết luận $m=\frac{-1}{2}, m=-1$ và $m<3$.

Ví dụ 4. Cho hệ phương trình với $k$ là tham số:
$$\left\{\begin{array}{l}
\frac{x}{\sqrt{y z}}+\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{x}{z}}=k \\\\
\frac{y}{\sqrt{z x}}+\sqrt{\frac{y}{z}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=k \\\\
\frac{z}{\sqrt{x y}}+\sqrt{\frac{z}{x}}+\sqrt{\frac{z}{y}}=k
\end{array}\right.
$$
(a) Giải hệ với $k=1$.
(b) Chứng minh hệ vô nghiệm với $k \geq 2$ và $k \neq 3$.

Lời giải

Điều kiện xác định là: $x, y, z$ cùng dương hoặc cùng âm.
Đặt $a=\sqrt{\frac{x}{y}}, b=\sqrt{\frac{y}{z}}, c=\sqrt{\frac{z}{x}}$ thì $a, b, c>0$ và $a b c=1$.
Ta có: $\frac{a}{c}=\frac{|x|}{\sqrt{y z}}, \frac{b}{a}=\frac{|y|}{\sqrt{z x}}, \frac{c}{b}=\frac{|z|}{\sqrt{x y}}$.
a) Khi $k=1$, nếu $x, y, z>0$ thì $\frac{a}{c}+a+\frac{1}{c}=\frac{b}{a}+b+\frac{1}{a}=\frac{c}{b}+c+\frac{1}{b}=1$.
Cộng lại suy ra $\left(a+\frac{1}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{b}\right)+\left(c+\frac{1}{c}\right)+\left(\frac{c}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)=3$
Theo bất đẳng thức Cô-si thì rõ ràng $a+\frac{1}{a} \geq 2, b+\frac{1}{b} \geq 2, c+\frac{1}{c} \geq 2$ nên đẳng thức trên không thể xảy ra.
Xét trường hợp $x, y, z$ cùng âm thì
$$
-\frac{a}{c}+a+\frac{1}{c}=-\frac{b}{a}+b+\frac{1}{a}=-\frac{c}{a}+c+\frac{1}{b}=1
$$
Trừ vào các vế và phân tích, ta suy ra:
$$
\frac{(a-1)(b-1)}{a}=\frac{(b-1)(c-1)}{b}=\frac{(c-1)(a-1)}{c}=0
$$
Từ đây dễ dàng suy ra ít nhất 2 trong $a, b, c$ phải là 1 mà $a b c=1$ nên $a=b=c=1$. Vì thế nên thay vào ta có $x=y=z<0$. Và mọi bộ số như thế đều thỏa mãn hệ.

b) Với $k \geq 2$, giả sử hệ có nghiệm $(x, y, z)$. Nếu như $x, y, z<0$ thì ta có $\frac{(a-1)(b-1)}{a}=\frac{(b-1)(c-1)}{b}=\frac{(c-1)(a-1)}{c}=k-1>0$.
Từ đó suy ra $a-1, b-1, c-1$ dều cùng dấu, kéo theo $a, b, c>1$ hoặc $a, b, c<1$ Tuy nhiên $a b c=1$ nên điều này không thể xảy ra. Do đó, ta phải có $a, b, c>0$ nên đưa về
$$
\frac{a}{c}+a+\frac{1}{c}=\frac{b}{a}+b+\frac{1}{a}=\frac{c}{b}+c+\frac{1}{b}=k
$$
Trong các số $a, b, c$ giả sử $a=\max {a, b, c}$ thì $k=\frac{a}{c}+a+\frac{1}{c} \geq$ $\frac{a}{c}+2 \sqrt{\frac{a}{c}} \geq 1+2=3$ nên ta cần có $k \geq 3$. Vì $k \neq 3$ nên $k>3$.
Vì $a=\max {a, b, c} \geq 1$ nên ta có $2 b+1 \geq \frac{b}{a}+b+\frac{1}{a}=k>3$ kéo theo $b>1$. Tương tự từ $2 c+1>\frac{c}{b}+c+\frac{1}{b}=k>3$ nên $c>1$. Từ đây suy ra $a, b, c>1$ trong khi $a b c=1$, vô lý.
Vậy hệ luôn vô nghiệm với $k \geq 2$ và $k \neq 3$.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho hê phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=m-2 \\\\x^2+y^2+2 x+2 y=-m^2+4\end{array}\right.$ (trong đó $m$ là tham số $x$ và y là ẩn)
a) Tìm $m$ để hệ phương trình trên có nghiệm.
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thúc $A=x y+2(x+y)+2011$.

Bài 2. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2+x y=m^2-2 m+4 \\\\ x^2+y^2-3 x y=5 m^2-10 m+4\end{array} \quad\right.$ (m là tham số)
a) Giải hệ phương trình khi $m=-1$.
b) Chứng minh rằng hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của $m$. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm $(x ; y)$ thỏa $y>x>0$ và $5 x^2-2 x y+y^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3. Tìm $a$ để hệ phương trình
$\left\{\begin{array}{c}
& \frac{a x+y}{y+1}+\frac{a y+x}{x+1}=a \\\\
& a x^2+a y^2=(a-2) x y-x
\end{array} \quad\right.$
có nghiệm duy nhất.

Mệnh đề

Leave a reply

1. Mệnh đề là gì?

Một mệnh đề lôgic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định đúng hoặc khẳng định sai.

Một câu khẳng định đúng được gọi là mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là một mệnh đề sai.

Tính “Đúng” hay “Sai” của mệnh đề được goi là chân trị của mệnh đề.

Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Một mệnh đề thường được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa: P, Q, R…

2. Các phép toán trên mệnh đề

a. Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P. Mệnh đề Không phải P được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là $\overline{P}$.

Nếu P đúng thì $\overline{P}$ sai và ngược lại.

Ví dụ 1. P =”TPHCM là thủ đô của Việt Nam”. Thì $\overline{P}$ = “TPHCM không là thủ đô của Việt Nam.”.

b. Mệnh đề kéo theo.

Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, và ký hiệu $P \Rightarrow Q$.

Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ sai khi P đúng Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại.

Cho mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$. Khi đó mệnh đề $Q \Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$.

Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng $Q$ sai.

Ví dụ 2. P = “6 chia hết cho 3”. Q = “6 là số nguyên tố”.

khi đó $ P \Rightarrow Q$ = “6 chia hết cho 3 suy ra 6 là số nguyên tố”.

c. Mệnh đề tương đương.

Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là $P \Leftrightarrow Q$.

Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đúng và sai trong các trường hợp còn lại.

Ví dụ 3. P = “6 chia hết cho 3”. Q = “6 là số nguyên tố”.

khi đó $ P \Leftrightarrow Q$ = “6 chia hết cho 3 khi và chỉ khi 6 là số nguyên tố”.

d. Mệnh đề hội.

Cho hai mệnh P và Q. Khi đó mệnh đề “P và Q” được gọi là mệnh đề hội. Kí hiệu $$P \wedge Q$$

Mệnh đề $P \wedge Q$ đúng khi $P$ và $Q$ cùng đúng, và sai trong các trường hợp còn lại.

Ví dụ 4. P = “Việt Nam có phía đông giáp biển”,  Q = “Việt Nam có khí hậu nhiệt đới gió mùa”

$ P \wedge Q$ = “Việt Nam có phía đông giáp biển và khí hậu nhiệt đới gió mùa”.

e. Mệnh đề tuyển.

Cho hai mệnh P và Q. Khi đó mệnh đề “P hoặc Q” được gọi là mệnh đề tuyển hay mệnh đề hoặc. Kí hiệu $$P \vee  Q$$.

Mệnh đề $P \vee Q$ sai khi $P$ và $Q$ cùng sai, và đúng trong các trường hợp còn lại.

Ví dụ 5. P = “Việt Nam có phía đông giáp biển”,  Q = “Việt Nam có khí hậu nhiệt đới gió mùa”

$ P \vee Q$ = “Việt Nam có phía đông giáp biển hoặc có khí hậu nhiệt đới gió mùa”.

f. Biểu thức mệnh đề.

Một biểu thức mệnh đề là một biểu thức chứa mệnh đề và các phép toán trên mệnh đề, giá trị của nó là chân trị Đúng hoặc Sai.

Ví dụ 6. $(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C)$ , $ (P \Rightarrow (Q \vee R)) \wedge (P \Rightarrow Q)$.

g. Mệnh đề hằng đúng, hằng sai.

Mệnh đề luôn nhận chân trị đúng được gọi là mệnh đề hằng đúng, kí hiệu là Đ. Mệnh đề luôn nhận chân trị sai được gọi là mệnh đề hằng sai, kí hiệu là S.

Ví dụ 7. $P \vee \overline{P}$ là hằng đúng, $P \wedge \overline{P}$ là hằng sai.

h. Tương đương logic.

Hai biểu thức mệnh đề $P$ và $Q$ được gọi là tương đương logic nếu $P \Leftrightarrow Q$ là hằng đúng. Ta có thể kí hiệu $P = Q$ nếu chúng tương đương logic.

Ví dụ 8. $\overline{P \vee Q} = \overline{P} \wedge \overline{Q}$ và $\overline{P \wedge Q} = \overline{P} \vee \overline{Q}$.

Bài tập rèn luyện

Bài 1.  Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

a)Hà Nội là thủ đô của Lào .
b) Danh đẹp trai!
c) Tú Anh hát thật hay!
d) Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô của Pháp.
e) Có phải em là mùa thu Hà Nội?

Bài 2.  Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

a) $\pi$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn.
b) Đức vô định Fifa World Cup 2014.
c) Việt Nam đạt 3 HCV Toán Quốc tế năm 2014.
d) $x + 1 = 2$
e) $x + y = z$
f) Mọi số tự nhiên đều là số không âm.
g) 5 là số vô tỷ.

Bài 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? mệnh đề nào là mệnh đề sai?

a) Số 2015 chia hết cho 3.
b) Số 8 là số nguyên tố.
c) 121 là số chính phương (số chính phương là bình phương của một số nguyên)
d)Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác đều.
e) Phương trình $x^2 + 3x + 1=0$ vô nghiệm.
f) Tam giác có độ dài 3 cạnh lần lượt là 3, 4, 5 là tam giác vuông.
g) Hai phương trình $x^2-4x+3= 0$ và phương trình $\sqrt{3x+1}+\sqrt{x}=3$ có nghiệm chung.

Bài 4.  Hãy viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết mệnh đề phủ định đúng hay sai?

a) Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô của Việt Nam.
b) 13 là số nguyên tố .
c) 25 < 37.
d) $\sqrt{2}$ là số hữu tỷ.
e) Tổng 3 góc trong một tam giác bằng $360^o$.
f) Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại.
g) Tổng hai đường chéo của một tứ giác nhỏ hơn nửa chu vi.

Bài 5. Viết mệnh đề hội của các cặp mệnh đề sau và cho biết mệnh đề hội là đúng hay sai?

a) P:”30 chia hết cho 5” ; Q:”30 chia hết cho 3”.
b) P: “Thầy Vũ đã có vợ” ; Q:”Thầy Vũ dạy trường Phổ Thông Năng Khiếu”
c) P:”25 là số chính phương”; Q:”25 là số âm”
d) P:”Tam giác vuông có một góc bằng $90^o$”; Q:”Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau”;
e) P:”Việt Nam là nước thuộc vùng Đông Nam Á” ;
Q:” Việt Nam là nước khí hậu gió mùa nhiệt đới ẩm”

Bài 6.  Hãy viết mệnh đề tuyển của các mệnh đề sau và cho biết mệnh đề tuyển là đúng hay sai?

a) P:” 30 là số nguyên tố” Q:”30 là số chính phương”
b) P:” – 2 = 2” Q:” – 5 < 6”
c) P:”$\dfrac{1}{3}$ là số hữu tỷ” Q:” $\pi$ là số vô tỷ”

Bài 7. Cho các cặp mệnh đề sau:

1) P: “ – 2 = 2” Q:” $(-2)^2 = 2^2$”
2) P:” Xuân Diệu là nhà Toán học vĩ đại” Q:” Galois là nhà thơ lớn người Việt Nam”
3) Cho tam giác ABC.
P:”Tam giác ABC có$\angle B = \angle C$ ” Q:”Tam giác ABC có AB = AC”
4) P:” – 5 < – 6 “ Q:” 100 > 1000″
5) P:” $\dfrac{1}{3}$ là số hữu tỷ” Q:”3 là hợp số”a) Viết mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và cho biết mệnh đề này đúng hay sai?
b) Viết mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ và cho biết mệnh đề này đúng hay sai?
c) Viết mệnh đề $\overline{Q} \Rightarrow P$ và cho biết mệnh đề này đúng hay sai?

Bài 8. Cho các hai mệnh đề P và Q. Chứng minh rằng:a) Mệnh đề $P \wedge \overline{P}$ hằng sai.
b) Mệnh đề $P \vee \overline{P}$ hằng đúng.
c) Mệnh đề $\overline{P \wedge Q}$ và $\overline{P} \vee \overline{Q}$ cùng chân trị.
d) Mệnh đề $\overline{P \vee Q}$ và $\overline{P} \wedge \overline{Q}$ cùng chân trị.