Tag Archives: PTNK

ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN PTNK NĂM 2025

1 Reply

Dự_tuyển 2025 Download

ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NĂM 2024

Leave a reply

Thời gian làm bài: 150 phút

Đề bài:

Bài 1. (2 điểm)
1) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^3+z^3=y \\\ y^3+x^3=z \\\ z^3+y^3=x\end{array}\right.$.
2) Cho hai số nguyên dương $a, b$ phân biệt. Chứng minh phương trình sau có đúng ba nghiệm
$$
(\sqrt{x}-1)\left[x^2-2(a+b) x+a b+2\right]=0 .
$$

Bài 2. (1.5 điểm) Cho ba số thực $a, b, c$ không âm thóa mãn: $a^2+b^2+c^2+3=2(a b+b c+c a)$.
Chứng minh
$$
3 \leq a+b+c \leq \frac{2(a b+b c+c a)+3}{3} .
$$

Bài 3. (2 điểm) Với mỗi số tự nhiên $\mathrm{n}$, đặt $a_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$.
a) Chứng minh $a_{n+2}=4 a_{n+1}-a_n$ với mọi $n=0,1,2, \ldots$.
b) Tìm $\mathrm{n}$ để $a_n$ chia hết cho 4 .
c) Tìm $\mathrm{n}$ đề $a_n$ chia hết cho 14 .

Bài 4. (3 điểm) Cho tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn $(\mathrm{O})$ có tam giác $A B D$ là tam giác nhọn và đường chéo $\mathrm{AC}$ đi qua tâm $\mathrm{O}$ của đường tròn $(\mathrm{O})$. Gọi $\mathrm{I}$ là trung điểm $\mathrm{BD}, \mathrm{H}$ là trực tâm của tam giác $A B D$, $\mathrm{E}$ là giao điểm khác $\mathrm{A}$ của $\mathrm{AI}$ với $(\mathrm{O})$ và $\mathrm{K}$ là hình chiếu vuông góc của $\mathrm{H}$ lên $\mathrm{AI}$.
a) Chứng minh $C E H K$ là hình bình hành và $I B^2=I D^2=I A \cdot I K$.
b) Lấy điểm $\mathrm{F}$ trên cung nhỏ $\widehat{B D}$ của đường tròn $(\mathrm{O})$ sao cho $\widehat{B A F}=\widehat{D A I}$. Chứng minh các điểm $\mathrm{K}$ và $\mathrm{F}$ đối xứng nhau qua đường thẳng $\mathrm{BD}$.
c) Chứng minh các đường phân giác trong các góc $\widehat{B A D}$ và $\widehat{B K D}$ cắt nhau trên $\mathrm{BD}$.
d) Trên đường thẳng qua $\mathrm{H}$ và song song $\mathrm{AC}$ lấy điểm $\mathrm{T}$ sao cho $T H=T K$. Chứng minh các điểm $\mathrm{O}, \mathrm{K}, \mathrm{F}, \mathrm{T}$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 5. (1.5 điểm) Cho các sổ nguyên dương $a_1<a_2<a_3<\ldots<a_{30}<a_{31}$. Người ta ghi tất cả các số này lên 31 chiếc thẻ, mỗi thẻ ghi một số.
a) Biết rằng tổng các số được ghi trên 16 thẻ bất kỳ trong số 31 thẻ trên luôn lớn hơn tổng các số được ghi trên 15 thè còn lại. Chứng minh $a_1 \geq 226$.
b) Lấy $a_1, a_2, \ldots, a_{31}$ là 31 số nguyên dương đầu tiên: $1,2, \ldots, 31$. Người ta bỏ 31 thẻ được ghi các số này vào hai chiếc hộp một cách ngẫu nhiên. Khi kiểm tra một hộp thi thấy rằng trong hộp đó không có hai thẻ nào có tồng hai số được ghi là số chính phương. Chứng minh trong hộp còn lại ta có thể chọn ra được bốn thè và chia chúng thành hai cặp sao cho tổng hai sô̂ được ghi trên mỗi cặp là số chính phương.

Đáp án tham khảo từ Star Education

Dap-an-chuyen-co-logo Download

ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NĂM 2023

Leave a reply

THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 PHÚT

Bài 1. Giải hệ phương trình sau:
$$
\left\{\begin{array}{l}
(x+y)\left(4+\frac{1}{x y}\right)=1 \\\
\left(4 x+\frac{1}{x}\right)\left(4 y+\frac{1}{y}\right)=-20
\end{array}\right.
$$

Bài 2. Cho các số $a, b, c>0$ thỏa mãn $a b+b c+c a=a b c$.
a) Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \leq \sqrt{3}$.
b) Chứng minh rằng: $(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2 \leq a b c \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$.

Bài 3. Cho bảng $4 \times 4$ được tô bằng ô đen hoặc trắng sao cho
i) mỗi hàng có số ô đen bằng nhau;
ii) mỗi cột có số ô đen đôi một khác nhau.
a) Tìm số ô đen ở mỗi hàng.
b) Một cặp ô được gọi là “tốt” khi có một ô đen và một ô trắng đứng cạnh nhau. Tìm số cặp tốt nhiều nhất tính theo hàng; số cặp tốt nhiều nhất tính theo cột.

Bài 4. Cho $m, n$ là các số nguyên không âm thỏa mãn $m^2-n=1$. Đặt $a=n^2-m$.
a) Chứng minh rằng $a$ là số lẻ.
b) Giả sử $a=3 \cdot 2^k+1, k$ là số nguyên không âm. Chứng minh rằng $k=1$.
c) Chứng minh rằng $a$ không là số chính phương.

Bài 5. Cho tam giác $A B C$ có đường tròn nội tiếp $(I) . D, E, F$ lần lượt là các tiếp điểm của $(I)$ với $B C, C A, A B$. Gọi $L$ là chân đường phân giác ngoài của $\angle B A C$ $(L \in B C)$. Vẽ tiếp tuyến $L H$ với đường tròn $(I)(H \neq D$ là tiếp điểm).
a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $H A L$ đi qua tâm $I$.
b) Chứng minh $\angle B A D=\angle C A H$.
c) $A H$ kéo dài cắt $(I)$ tại $K(K \neq H)$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $K E F . D G$ cắt $E F$ tại $J$. Chứng minh rằng $K J \perp E F$.
d) Gọi $S$ là trung điểm $B C, K J$ cắt $(I)$ tại $R(R \neq K)$. Chứng minh rằng $A S, I R, E F$ dồng quy.

ĐÁP ÁN ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI STAR EDUCATION

PTNK_TC_2023 Download

ĐỀ và ĐÁP ÁN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NĂM 2022

Leave a reply

Bài 1. Cho hai phương trình: $x^2-2 a x+3 a=0 \quad$ (1) và $x^2-4 x+a=0$
a) Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
b) Giả sử hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt. $T_1, T_2$ là tổng bình phương các nghiệm của (1) và $(2)$. Chứng minh $T_1+5 T_2>68$

Bài 2. Cho các số dương $a \geq b \geq c$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh:
$$
\sqrt{4+(b+c)^2} \leq 2 a+b+c \leq \sqrt{4+4 a^2}
$$

Bài 3. Cho phương trình: $2^x+5^y=k^2\left(x ; y ; k \in \mathbb{N}^*\right)$
a) Chứng minh phương trình trên vô nghiệm khi $y$ là số chẵn.
b) Tìm $k$ để phương trình có nghiệm.

Bài 4. Cho tam giác $A B C$ có trực tâm $H, D$ đối xứng với $H$ qua $A$. $I$ là trung điểm của $C D$, đường tròn $(I)$ đường kính $C D$ cắt $A B$ tại $E, F(E$ thuộc tia $A B)$
a) Chứng minh $\angle E C D=\angle F C H$ và $A E=A F$.
b) Chứng minh $H$ là trực tâm của $\triangle C E F$.
c) $B H$ cắt $A C$ tại $K$. Chứng minh $E F K H$ nội tiếp và $E F$ là tiếp tuyến chung của $(C K E)$ và $(C K F)$.
d) Chứng minh tiếp tuyến tại $C$ của $(I)$ và tiếp tuyến tại $K$ của $(K E F)$ cắt nhau trên đường thẳng $A B$.

Bài 5. Cho dãy số nguyên $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \ldots \geq a_{21} \geq a_{22}$ thỏa mãn:
i) $\left|a_i\right| \leq 11$ và $a_i \neq 0 \forall i=1 ; 2 ; \ldots ; 22$
ii) $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{22}=1$
a) Chứng minh: $a_1 ; a_2>0$
b) Chứng minh có thể chọn $k \geq 1$ số từ $a_2 ; a_3 ; \ldots ; a_{22}$ để tổng $S$ của chúng thỏa $-10 \leq a_1+S \leq 0$.
c) Chứng minh từ dãy đã cho có thể chọn $n \geq 1$ số có tổng bằng 0 .

PTNK_TC_2022 Download

Bài toán hàm số trong kì thi tuyển sinh vào 10

Leave a reply

Trong các kì thi tuyển sinh vào 10 có dạng toán liên quan đến hàm số, chủ yếu là hàm bậc hai dạng $y = ax^2$ (1) và đường thẳng $y = mx + n$ (2)Trong bài viết này chủ yếu xét các bài toán tương giao giữa đồ thị hàm số (1) và (2).

Nếu hàm số $y =ax^2$ có đồ thị là parabol $(P)$ và hàm số $y = mx + n$ có đồ thị là đường thẳng $d$, thì phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là

$$ax^2 = mx + n \Leftrightarrow ax^2 – m x – n =0 (*)$$

$(*)$ là một phương trình bậc hai, nên có 3 trường hợp xảy ra:

TH1: Nếu $(*)$ vô nghiệm thì $(d)$ và $(P)$ không có giao điểm.
TH2: Nếu $(*)$ có 1 nghiệm thì $(d)$ và $(P)$ có 1 giao điểm, ta nói $d$ tiếp xúc với $(P)$.
TH3: Nếu $(*)$ có hai nghiệm phân biệt thì ta nói $(d)$ cắt $(P)$, và nghiệm của $(*)$ là hoành độ của hai giao điểm, từ hoành độ ta có thể tính tung độ của giao điểm dựa vào phương trình của $(d)$ hoặc của $(P)$.

Ta xét một vài ví dụ sau:

Bài 1. (Thi vào lớp 10 trường PTNK năm 2018) Gọi $(P),(d)$ lần lượt là đồ thị của các hàm số $y=x^2$ và $y=2 m x+3$.
a) Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$ và tính $y_1+y_2$ theo $m$.
b) Tìm $m$ sao cho $y_1-4 y_2=x_1-4 x_2+3 x_1 x_2$.

Lời giải bài 1.
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:
$$
x^2=2 m x+3 \Leftrightarrow x^2-2 m x-3=0 \quad(1)
$$

Xét phương trình (1), ta có: $\Delta^{\prime}=m^2+3>0$ với mọi $m \in \mathbb{R}$
Suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ với mọi $m$ hay $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$.
Theo định lý Viete, ta có: $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=2 m \\\ x_1 x_2=-3\end{array}\right.$
Khi đó $y_1=2 m x_1+3, y_2=2 m x_2+3$
$y_1+y_2=2 m x_1+3+2 m x_2+3=2 m\left(x_1+x_2\right)+6=4 m^2+6$
b) Ta có:
$y_1-4 y_2=x_1-4 x_2+3 x_1 x_2 $
$\Leftrightarrow 2 m x_1+3-8 m x_2-12=x_1-4 x_2-9 $
$ \Leftrightarrow 2 m\left(x_1-4 x_2\right)=x_1-4 x_2 $
$ \Leftrightarrow\left(x_1-4 x_2\right)(2 m-1)=0 $
$ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x_1=4 x_2 \\\
m=\frac{1}{2} \quad(n)
\end{array}\right. $
Với $x_1=4 x_2 $ lại có $x_1 x_2=-3 \Rightarrow 4 x_2^2=-3 $ (vô lý)
Vậy $m=\frac{1}{2} $

Bài 2. (Đề thi vào 10 trường PTNK năm 2019) Cho $(P),(d)$ lần lượt là đồ thị hàm số $y=x^2$ và $y=2 x+m$.
a) Tìm $m$ sao cho $(P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$.
b) Tìm $m$ sao cho $\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=5$.

Lời giải bài 2.
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$
$$
x^2=2 x+m \Leftrightarrow x^2-2 x-m=0 \quad(1)
$$
$(P)$ cắt $(d)$ tại 2 điểm phân biệt $A, B \Leftrightarrow (1)$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta^{\prime}>0 \Leftrightarrow 1+m>0 $
$ \Leftrightarrow m>-1(*)$
Vậy $m>-1$ thì $(P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt.

b) Với điều kiện $(*)$ theo Viete ta có: $S=x_1+x_2=2, P=x_1 \cdot x_2=-m$

Ta có: $A\left(x_1 ; y_1\right) \in(d) \Leftrightarrow y_1=2 x_1+m ; B\left(x_2 ; y_2\right) \in(d) \Leftrightarrow y_2=2 x_2+m$

Ta có: $\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=5 $

$\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2+\left(2 x_1-2 x_2\right)^2=5$

$\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2+4\left(x_1-x_2\right)^2=5 $

$\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=1 \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4 x_1 x_2=1$

$\Leftrightarrow 4+4 m=1 \Leftrightarrow m=\frac{-3}{4} $ thỏa (*)
Vậy $m = \dfrac{-3}{4}$.

Bài 3. Đồ thị của hàm số $f(x)=a x^2$ và $g(x)=-a x+b(a ; b$ là các số thực), điểm chung thứ nhất có hoành độ bằng 1 và tung độ điểm chung thứ 2 là 8 . Tìm hoành độ của điểm chung thứ hai của hai đồ thị và tính $a, b$.

Lời giải bài 3.

Phương trình hoành độ giao điểm $a x^2=-a x+b \Leftrightarrow a x^2+a x-b=0$ thì phương trình nhận 1 là nghiệm nên $a 1^2+a \cdot 1-b=0 \Rightarrow b=2 a$.
Khi đó gọi nghiệm còn lại là $x_2$ ta có $1 \cdot x_2=\frac{-b}{a}=-2$
Do đó tung độ $a(-2)^2=8$, suy ra $a=2$ và $b=4$.

Bài 4. (TS chuyên Đăk Lăk 2020 – 2021) Trong mặt phẳng $O x y$, cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=2(m+1) x+3$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$ thoả mãn điều kiện $x_1^2-2 m x_1+2 x_2-x_1 x_2=2$.

Lời giải bài 4.

Phương trình hoành độ giao điểm $x^2-2(m+1) x-3=0\left(^*\right)$ $\Delta^{\prime}=(m+1)^2+3>0$ với mọi $m$.
Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=2(m+1), x_1 x_2=-3$.
Ta có $x_1^2-2(m+1) x_1-3=0$, suy ra $x_1^2-2 m x_1=2 x_1+3$ $x_1^2-2 m x_1+2 x_2-x_1 x_2=2 \Leftrightarrow 2 x_1+3+2 x_2-(-3)=2 \Leftrightarrow m=-2$.
Vậy $m=-2$.

Bài 5. (TS chuyên Khánh Hoà 2020 – 2021) Trên mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho parabol $(P)$ có phương trình $y=2 x^2$ và đường thẳng $(d): y=-2 m x+m+1$ với $m$ là tham số.
a) Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt.
b) Gọi $x_1, x_2$ lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$, tìm $m$ thoả mãn đẳng thức $\frac{1}{\left(2 x_1-1\right)^2}+\frac{1}{\left(2 x_2-1\right)^2}=66$.

Lời giải bài 5 .
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $P$ là
$$
2 x^2+2 m x-m-1=0
$$
$\Delta^{\prime}=m^2-2(-m-1)=(m+1)^2+1>0$ với mọi $m$, do đó $d$ cắt $P$ tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.
b) Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=-m, x_1 x_2=\frac{-m-1}{2}$.
Suy ra $x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2 x_1 x_2=m^2+m+1$
Ta có $66=\frac{1}{\left(2 x_1-1\right)^2}+\frac{1}{\left(2 x_2-1\right)^2}=\frac{\left(2 x_1-1\right)^2+\left(2 x_2-1\right)^2}{\left(2 x_1-1\right)^2\left(2 x_2-1\right)^2}=\frac{4\left(x_1^2+x_2^2\right)-4\left(x_1+x_2\right)+2}{\left(4 x_1 x_2-2\left(x_1+x_2\right)+1\right)^2}$
$$
=\frac{4\left(m^2+m+1\right)-4(-m)+2}{(-2 m-2-2(-m)+1)^2}=\frac{4 m^2+8 m+6}{1}
$$

Giải ra được $m=-5, m=3$.

Bài 6. (TS chuyên Thái Bình 2020 – 2021) Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho parabol $(P): y=\frac{x^2}{2}$ và hai đường thẳng $\left(d_1\right): y=5 x+2,\left(d_2\right): y=\left(m^2+1\right) x+m$ với $m$ là tham số.
a) Tìm $m$ để $\left(d_1\right)$ song song với $\left(d_2\right)$.
b) Tìm $m$ để $\left(d_2\right)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$ sao cho $Q=x_1+x_2-4 x_1 x_2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải bài 6 .
a) Điều kiện để $d_1 || d_2$ là $m^2+1=5, m \neq 2$, giải ra được $m=-2$.
b) Phương trình hoành độ giao điểm của $d_2$ và $P$ là
$$
\frac{x^2}{2}=\left(m^2+1\right) x+m \Leftrightarrow x^2-2\left(m^2+1\right) x-2 m=0
$$

Điều kiện $\Delta^{\prime}=\left(m^2+1\right)^2-(-2 m)>0 \Leftrightarrow m^4+2 m^2+1+2 m>0 \Leftrightarrow m^4+m^2+(m+1)^2>0$ (Đúng với mọi $m)$

Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=2\left(m^2+1\right), x_1 x_2=-2 m$

Ta có $P=x_1+x_2-4 x_1 x_2=$ $2\left(m^2+1\right)-4(-2 m)=2\left(m^2+1+4 m\right)=2(m+2)^2-6 \geq-6$, đẳng thức xảy ra khi $m=-2$.

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=2 x-m-2$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt lần lượt có hoành độ $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2+1=2 x_2$.

Lời giải bài 8 .

Phương trình hoành độ giao điểm
$$
x^2=2 x-m-2 \Leftrightarrow x^2-2 x+m+2=0
$$
Điều kiện $\Delta^{\prime}=1-(m+2)>0 \Leftrightarrow m<-1$.
Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=2, x_1 x_2=m+2$.

Ta có $x_1^2=2 x_1-m-2$, suy ra $x_1^2+1=2 x_2 \Leftrightarrow 2 x_1-m-2+1=2 x^2 \Leftrightarrow 2\left(x_1-x_2\right)=m+1$ Kết hợp với Viete ta có $x_1=\frac{m+5}{4}, x_2=\frac{3-m}{4}$
Khi đó $x_1 x_2=m+2 \Leftrightarrow \frac{m+5}{4} \frac{3-m}{4}=m+2 \Leftrightarrow m=-1(l), m=-17(n)$.

Vậy $m=-17$.

Bài 9. Cho $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=(m+2) x-2 m$.
a) Tìm $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$.
b) Tìm $m$ để $x_1+2 y_2=7$.

Lời giải bài 9 .
a) Phương trình hoành độ giao điểm

$\quad x^2-(m+2) x+2 m=0 $
$\Delta=(m+2)^2-8 m=(m-2)^2>0 \Leftrightarrow m \neq 2 .$

b) Khi đó phương trình có nghiệm $x=2, x=m$.
3

TH1: $x_1=2, x_2=m$ suy ra $y_1=4, y_2=m^2$. Ta có $2+2 m^2=7$ giải ra được $m=\sqrt{2,5}, m=$ $-\sqrt{2,5}$.
TH2: $x_1=m, x_2=2$, suy ra $y_1=m^2, y_2=4$. Ta có $m+2.4=7 \Leftrightarrow m=-1$.
Vậy có 3 giá trị $m$ thỏa đề bài $m=\sqrt{2,5}, m=-\sqrt{2,5}, m=-1$.

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho parabol $(P)$ có phương trình $y=x^2$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=2 m x-m^2-m-2$ (với $m$ là tham số).
a) Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(P)$ biết điểm $M$ có hoành độ bằng -3 .
b) Tìm điều kiện của $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$ là hai giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$, xác định $m$ để $x_1 y_2+x_2 y_1=2 m^3+6$.

Lời giải bài 10.

b) Tìm điều kiện của $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai đie biệt. Gọi $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$ là hai giao điểm của đường thẳng $(d)$ và $(P)$, xác định $m$ để $x_1 y_2+x_2 y_1=2 m^3+6$. Ta có phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là

$ x^2=2 m x-m^2-m-2 \Leftrightarrow x^2-2 m x+m^2+m+2=0(1) $
$ \Delta^{\prime}=(-m)^2-\left(m^2+m+2\right)=-m-2$

$(d)$ cắt parabol $(P)$ tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta^{\prime}>$ $0 \Leftrightarrow-m-2>0 \Leftrightarrow m<-2(*)$

$ \text { Ta có } x_1+x_2=2 m, x_1 x_2=m^2+m+2 $
$x_1 y_2+x_2 y_1=x_1 \cdot x_2^2+x_2 \cdot x_1^2=x_1 \cdot x_2\left(x_1+x_2\right)=2$ $m\left(m^2+m+2\right) $
$=2 m^3+2 m^2+4 m $
$2 m^3+2 m^2+4 m=2 m^3+6 \Leftrightarrow 2 m^2+4 m-6=0 $

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
m=1 \\\
m=-3
\end{array}\right.$

Đối chiếu (*) vậy $m=-3$.

ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

Leave a reply

Bài 1. (1 điểm) Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}x+y+\frac{x+2 y}{x y}=6 \\\ x^2+y^2+\frac{x^2+4 y^2}{(x y)^2}=14\end{array}\right.$
Bài 2. (1,5 điểm) Cho phương trình $\sqrt{x^2-(2 m+1) x+m^2+m}=2 x-2 m$
a) Giải phương trình khi $m=2$.
b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 3. (1 điểm) Cho $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=(m+2) x-2 m$.
a) Tìm $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$.
b) Tìm $m$ để $x_1+2 y_2=7$.

Bài 4. (1,5 điểm) Cho các số thực không âm $x, y, z$ đôi một khác nhau thỏa mãn:
$$
(x+z)(y+z)=1
$$
a) Chứng minh $x y z(x+y+z) \leq \frac{1}{4}$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$
P=\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}
$$

Bài 5. (3 điểm) Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định, $A, B$ cố định, $C$ thay đổi trên cung lớn $A B$. Gọi $K$ là trung điểm $A B ; D$ và $E$ là hình chiếu của $K$ trên $C A, C B$.
a) Chứng minh $\frac{K D}{K E}=\frac{B C}{A C}$ và tìm vị trí của $C$ để $D E$ lớn nhất.
b) $D E$ cắt $A B$ và $C O$ tại $N, M$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $C M N$ đi qua một điểm cố định.
c) $(C D E)$ và $(O)$ cắt nhau tại $F$ khác $A$. NF cắt $(C D E)$ tại $G$. Chứng minh $G$ thuộc một đường thẳng cố định.

Kí hiệu $(C D E)$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $C D E$.
Bài 6. (2 điểm)
a) Tìm tất cả các giá trị của $n$ nguyên dương để $25^n+7^n+1$ chia hết cho 9 .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\left|25^n-7^m-3^m\right|$ trong đó $n, m$ là số nguyên dương.

HẾT

Lời giải

on-tap-1 Download

ĐỀ THI THỬ VÀO 10 PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU – TOÁN CHUNG

Leave a reply

THỜI GIAN LÀM BÀI 120 PHÚT

PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)

Câu 1. Biểu thức $\sqrt{\frac{1}{1-2 x+x^2}}$ xác định khi và chỉ khi:
A. $x>1$
B. $x \geq 1$
C. $x \in R$
D. $x \neq 1$

Câu 2. Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ có $M A, M B$ là hai tiếp tuyến của $(\mathrm{O})(A, B$ là các tiếp điểm). Biết $\widehat{A O B}=90^{\circ}$, chu vi tam giác $M A B$ là:
A. $2 R$
B. $R \sqrt{2}+2$
C. $(2+\sqrt{2}) R$
D. $R \sqrt{2}$

Câu 3. Cho hai đường thẳng $\left(d_1\right): y=\left(2 m^2+3\right) x-3 m+1$ và $\left(d_2\right): y=5 x-2$. Hai đường thẳng trùng nhau khi:
A. $m=-1$
B. $m=1$
C. $m \neq 1$
D. $m \in{1 ;-1}$

Câu 4. Đường thẳng $\Delta: y=m x+n-2$ đi qua gốc tọa độ và điểm $A(-1 ; 3)$. Tính $m+2 n$.
A. 1
B. -2
C. -3
D. 2

Câu 5. Rút gọn biểu thức $T=\frac{\sqrt{x^4(x-y)^2}}{x^2-y^2}$ với $x<y<0$ bằng:
A. $\frac{x^2}{x-y}$
B. $\frac{-x^2}{x-y}$
C. $\frac{-x^2}{x+y}$
D. $\frac{x^2}{x+y}$

Câu 6. Câu nào sau đây đúng?
A. $|A|+|B|=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}A=0 \\\ B=0\end{array}\right.$
C. $\sqrt{A}=|B| \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}B \geq 0 \\\ A=B^2\end{array}\right.$
B. $(A-B)^2>0 \Leftrightarrow A \neq B$
D. $B, C$ đều đúng.

Câu 7. Cho đường tròn tâm $O$ có bán kính $2 R$ và một dây cung có độ dài bằng $2 R$. Khoảng cách từ tâm $O$ đến dây cung này là:
A. $R$
B. $\frac{R \sqrt{3}}{2}$
C. $R \sqrt{2}$
D. $R \sqrt{3}$

Câu 8. Gọi $\left(x_0, y_0\right)$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2 x^2+y^2=5 \\\ x^2-y^2=1\end{array}\right.$. Tính $\frac{x_0}{y_0}$ biết $y_0<$ $0<x_0$.
A. -2
B. $\sqrt{2}$
C. $-\sqrt{2}$
D. 2

Câu 9. Tìm $m$ để parabol $(P): y=(m-2) x^2$ và đường thẳng $(D): y=2 x-3$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt:
A. $m<\frac{7}{3}$ và $m \neq 2$

C. $m>\frac{7}{3}$ và $m \neq 2$
B. $m \geq \frac{7}{3}$ và $m \neq 2$
D. $m \leq \frac{7}{3}$ và $m \neq 2$

Câu 10. Cho tam giác $A B C$ có đường cao $A H$. Nếu $B C=2 A H$ và $\tan B=1$ thì tam giác $A B C$ là tam giác gì?
A. Tam giác nhọn
C. Tam giác vuông
B. Tam giác vuông cân
D. Tam giác cân

PHẦN TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)

Bài 1. (1,5 điểm)
(a) Cho $M=\frac{3 \sqrt{x}-3}{4} \cdot\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right) ; N=1-\frac{\sqrt{x}}{x-2}$ với $x \geq 0 ; x \neq$ $1 ; x \neq 2$.
Tìm $x$ biết $M \cdot N=6$.
(b) $\triangle A B C$ có $A D$ là đường phân giác của $\widehat{B A C}(D \in B C)$. Biết $A C=A B+B D$ và $\widehat{A B C}=60^{\circ}$. Lấy điểm $E$ trên đoạn thẳng $A C$ sao cho $A E=A B$. Đặt $\widehat{B A D}=x^{\circ}$ và $\widehat{A C B}=y^{\circ}$. Tìm $x, y$.

Bài 2. (2 diểm)
(a) Giải phương trình: $\left(-2 x^2+3 x+5\right) \cdot(\sqrt{1-2 x}-\sqrt{x+4}+1)=0$.
(b) Trong một ngày hội của trường, các lớp được yêu cầu tổ chức một gian hàng ẩm thực trong hai ngày. Lớp 10T dự định sẽ bán xiên thịt nướng, chi phí bỏ ra cho một xiên thịt nướng là 10000 đồng và số lượng xiên nướng chuẩn bị cho hai ngày là như nhau. Ngày thứ nhất, lớp bán hết số thịt đã chuẩn bị và lời 1000000 đồng. Sang ngày thứ hai, lớp tăng giá bán lên $20 \%$ và bán được $\frac{3}{4}$ số xiên thịt; với số xiên thịt còn lại lớp quyết định giảm về giá ban đầu, tuy nhiên khi còn 30 xiên thịt cuối lớp không bán mà để cho các bạn trong lớp tham gia bán hàng ăn. Biết số tiền lời ngày thứ hai bằng ngày thứ nhât, hỏi giá bán một xiên thịt ban đầu là bao nhiêu?

Bài 3. (1,5 điểm) Cho phương trình: $\frac{-3 x^2-2 m x+1-m}{x-1}=0$
(a) Phương trình (1) nhận $x=\frac{1}{3}$ là nghiệm. Tìm nghiệm còn lại của phương trình.
(b) Tìm $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa:
$$
3 x_1+6 x_2-3 x_1 x_2=m+2
$$
Bài 4. (3 diểm) Cho $\triangle A B C$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ có $\widehat{B A C}=30^{\circ}$ và $B C=a$.
(a) Chứng minh tam giác $O B C$ đều, tính diện tích tam giác $O B C$.
(b) Gọi $M$ là trung điểm của $O B, C M$ cắt $(O)$ tại $K$ khác $C . O B$ cắt $A C$ tại $D$. Chứng minh tứ giác $O C B K$ là hình thoi và tính $\widehat{A D K}$.
(c) Trên đoạn $D C$ lấy điểm $E$ sao cho $A D=D E$. Chứng minh $A K \perp O E$ và $A C$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $O E B$.

HẾT

DE THI THU TUYEN SINH VAO 10 PTNK TOAN CHUNG 2023 – L2 Download

Đề thi và đáp án chọn đội dự tuyển PTNK năm 2022

Leave a reply

Thời gian làm bài 120 phút.

Bài 1. Cho $a, b, c \geq 0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất và giả trị nhỏ nhất của biểu thức $P=a b+b c+c a-2(a+b+c)$.

Bài 2. Cho $k, n \in Z^{+}$, có bao nhiêu đơn ánh từ $\{1, 2, \cdots, 2k+1\} \to \{1, 2, \cdots, 2n\}$ thỏa $f(1) < f(2) < \ldots < f(k) < f(k+1) > f(k+2)>\ldots> f(2 k)>f(2 k+1)$ và $f(k+1) \neq 2 n-2$.

Bài 3. Cho $n$ là số nguyên dương, kí hiệu $a(n)=1+2+\ldots+n$ và $b(n)=1^2+2^2+\ldots+n^2$. Hỏi có tồn tại số $n$ sao cho $2(n+1) a(n)+3 b(n)-1$ là số chính phương?

Bài 4. Cho tam giác $A B C$ có $2 A=5 B=10 C$. Phân giác trong $B D$ cẳt trung tuyển $C M$ tại I. Một đường thẳng $d$ đi qua $D$ vuông góc với $A C$ cắt $B C$ và $A I$ lần lượt tại $E$ và $K . A E$ cắt $C K$ tại $F$. Chứng minh: $M F$ song song $B K$.

Lời giải tham khảo

Bài 1. Đặt $t=a+b+c$ ta có $a(1-a) \geq 0, b(1-b) \geq 0, c(1-c) \geq$, suy ra $a+b+c \geq$ $a^2+b^2+c^2=1$, và $(a+b+c)^2 \leq 3\left(a^2+b^2+c^2\right)=3$, suy ra $a+b+c \leq \sqrt{3}$ Ta có $1=(a+b+c)^2-2(a b+b c+a c) \Rightarrow a b+b c+c a=\frac{t^2-1}{2}$.
Do đó $P=\frac{t^2-1}{2}-2 t=\frac{1}{2} t^2-2 t-\frac{1}{2}$ với $1 \leq t \leq \sqrt{3}$.
Khảo sát hàm bậc hai trong đoạn ta có $\max P=-2$ khi $t=1$ và $\min P=1-2 \sqrt{3}$.
Vậy $\max P=-2$ khi $a=1, b=c=0$ và min $P=1-2 \sqrt{3}$ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Bài 2. Do đó $f$ là đơn ánh, $\operatorname{Im} f$ là một tập con có $2 k+1$ phần tử của $A$, mặt khác $f(k+1)$ là giá trị lớn nhất nên $\operatorname{Im} f$ có giá trị lớn nhất khác $2 n-2$.
Ta đếm số tập con có $2 k+1$ phần tử của $A$ mà phần tử lớn nhất khác $2 n-2$. Số tập con có $2 k+1$ của $A$ là $C_{2 n}^{2 k+1}$, số tập con có $2 k+1$ mà có phần tử lớn nhất $2 n-2$ là bằng với số tập con có $2 k$ phần tử của ${1,2, \cdots 2 k-3}$, là $C_{2 n-3}^{2 k}$.
Do đó theo nguyên lí bù trừ số tập con có $2 k+1$ của tập $A$ mà phần tử lớn nhất khác $2 n-2$ là $\left(C_{2 n}^{2 k+1}-C_{2 n-3}^{2 k}\right)$.
Tiếp theo ta đếm số đơn ánh từ ${1,2, \cdots, 2 k+1}$ tới $A^{\prime}=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_{2 k+1}\right\}$ thỏa đề bài, ta có $f(k+1)=a_{2 k+1}$, nên số đơn ánh bằng số cách chọn $k$ phần tử từ $A^{\prime}$ nên bằng $C_{2 k}^k$.
Vậy số đơn ánh thỏa đề bài $C_{2 k}^k\left(C_{2 n}^{2 k+1}-C_{2 n-3}^{2 k}\right)$

Bài 3. Ta có $a(n)=\frac{n(n+1)}{2}, b(n)=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$
Khi đó $P(n)=2(n+1) a(n)+3 b(n)-1=\frac{n(n+1)(4 n+3)}{2}-1$.
Giả sử $P(n)$ là số chính phương ta có $n(n+1)(4 n+3)=2\left(x^2+1\right)$, ta có $n(n+1)(4 n+3)$ luôn có ước nguyên tố dạng $p=4 k+3$, suy ra $p \mid 2\left(x^2+1\right)$ suy ra $p|x, p| 1$, vô lí! Vậy không tồn tại $n$ để $P(n)$ là số chính phương.

Bài 4.

Ta tính được $\angle A=\frac{5 \pi}{8}, \angle B=\frac{\pi}{4}, \angle C=\frac{\pi}{8}$. Vẽ đường cao $A N, N$ thuộc $B C$.
Ta có $\frac{B N}{N C}=\frac{A N}{N C}=\frac{\sin C}{\cos C}$ và $\frac{A D}{C D}=\frac{A B}{B C}=\frac{\sin C}{\sin 5 C}, \sin 5 C=\cos C$, suy ra $\frac{B N}{N C}=\frac{A D}{C D}$, do đó $A N, B D, C M$ đồng quy tại $I$ và $D N | A B$.
Ta có $\angle B A N=\angle A N D=\angle A C K=2 \angle A C K$, suy ra $A C K$ cân và $N$ là trung điểm $A K$, từ đó tam giác $A B K$ vuông cân.
Khi đó $\angle F N K=\angle A C K=45^{\circ}=\angle A K B$ và $\angle A N M=45^{\circ}$, do đó $M, N, F$ thẳng hàng và $M F | B K$.

Đề thi và đáp án chọn đội dự tuyển 10 trường PTNK năm 2023

Leave a reply

Bài 1. Cho ba số thực $a, b, c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$.
(a) Chứng minh rằng $(a b+b c+c a)(a b c+1) \geq 6 a b c$.
(b) Tìm số nguyên dương k lớn nhất sao cho $a b c\left(a^k+b^k+c^k\right) \leq 3$.

Bài 2 .Với mỗi số thực $x,[x]$ gọi là phần nguyên của $x$ – là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ và ${x}:=x-[x]$ gọi là phần lẻ của $x$.
Cho $p$ là số nguyên tố lẻ, chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$ nhỏ hơn $p$ thì tổng $$S=\left\{\frac{k}{p}\right\}+\left\{\frac{2 k}{p}\right\}+\left\{\frac{3 k}{p}\right\}+\ldots+\left\{\frac{(p-1) k}{p}\right\}$$ không đổi. Tính S.

Bài 3. Cho tam giác $A B C$ nôi tiếp đường tròn $(\omega)$, tiếp tuyến của $(\omega)$ tai $\mathrm{B}$ là $d_1$, tai $\mathrm{C}$ là $d_2$. I là điểm thuôc trung trự $\mathrm{BC}$, đường tròn tâm $\mathrm{I}$ bán kính $\mathrm{IB}$ cắt các canh $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$ tại $\mathrm{D}, \mathrm{E}$. $\mathrm{CD}$ cắt $d_1$ tai $\mathrm{F}, \mathrm{BE}$ cắt $d_2$ tai $\mathrm{G}$ sao cho $\mathrm{F}, \mathrm{G}$ cùng phía $\mathrm{A}$ so với $\mathrm{BC}$. Đường tròn ngoai tiếp tam giác $\mathrm{BDF}$ cắt $\mathrm{BE}$ tại $\mathrm{K}$, đường tròn ngoại tiếp tam giác CEG cắt $\mathrm{CD}$ tại L.
(a) Khi $\mathrm{I}$ thuộc $\mathrm{BC}$, gọi $\mathrm{P}$ là giao điểm của $\mathrm{FK}$ và $\mathrm{GL}$. Chứng minh $\mathrm{AP}$ đi qua tâm của $(\omega)$.
(b) Khi I khác phía $\mathrm{A}$ đối với $\mathrm{BC}, \mathrm{DE}$ cắt $d_1$ tại $\mathrm{R}, d_2$ tại $\mathrm{S}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ISR cắt $\mathrm{BC}$ tại $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$. Chứng minh $B X=C Y$.

Bài 4 Tìm số nguyên dương $s$ lớn nhất thỏa mãn tính chất sau: Với mọi bộ số nguyên dương nhỏ hơn hay bằng 10 (không nhất thiết phân biệt) có tồng bằng $s$ ta luôn có thể chia thành hai nhóm mà tổng các số thuộc mỗi nhóm nhỏ hơn hay bằng 70 .

Lời giải

Bài 1.

(a) Đặt $a=\min {a, b, c}$, suy ra $a \leq 1$.
Khi đó $(a-1)^3 \leq 1 \Rightarrow a^3-3 a^2+3 a-1 \leq 0 \Rightarrow \frac{1}{a}+a(3-a) \geq 3$, suy ra $\frac{1}{a}+a b+a c \geq 3$, hơn nữa
$$
\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+b c \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{b} \frac{1}{c} b c}=3
$$
Từ đó $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a b+b c+a c \geq 6$. hay $(a b+b c+c a)(a b c+1) \geq 6 a b c$.
(b) Cho $a=2, b=c=\frac{1}{2}$, suy ra $k<3$, ta chứng minh $k=2$ thì bất đẳng thức thỏa với mọi $a, b, c$ thỏa điều kiện, thật vậy

$a b c\left(a^2+b^2+c^2\right) =\frac{1}{3} \cdot a b c(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2\right) $
$\leq \frac{1}{9} \cdot(a b+b c+c a)^2 \cdot\left(a^2+b^2+c^2\right) $
$=\frac{1}{9} \cdot(a b+b c+c a)(a b+b c+c a)\left(a^2+b^2+c^2\right) $
$ \leq \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{27} \cdot\left(a^2+b^2+c^2+2(a b+b c+c a)\right)^3 $
$ =\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{27} \cdot 3^6=3$

Bài 2.

Với $p$ nguyên tố lẻ thì $(k, p)=1$ với mọi $0<k<p$. Ta chứng minh $p-1$ số $k, 2 k, \cdots,(p-1) k$ là hệ thặng dư thu gọn của $p$, thật vậy, giả sử $i k \equiv j k($ $\bmod p)$ với $i, j<p$ thì $k(i-j) \equiv 0(\bmod p)$, suy ra $i=j$.
Khi đó $S=\left\{\frac{k}{p}\right\}+\left\{\frac{2 k}{p}\right\}+\left\{\frac{3 k}{p}\right\}+\ldots+\left\{\frac{(p-1) k}{p}\right\}=\frac{1}{p}+\frac{2}{p}+\cdots \frac{p-1}{p}=$ $\frac{p-1}{2}$ không đổi.

Bài 3.

(a) Gọi $O$ là tâm của $\omega$. Ta có $\angle S D B=\angle A D E=\angle A C B=\angle S B D$ nên $\triangle S B D$ cân tại $S$. Tương tự $\triangle R E C$ cân tại $R$. Biến đổi góc
$$
\angle K F L=\angle K F D=\angle K B D=\angle D C E=\angle E G L \angle K G L,
$$
suy ra $F, K, L, G$ đồng viên.
Do $I \in B C$ nên $\angle B D C=90^{\circ}$, mà $\triangle S B D$ cân tại $S$ nên $S$ là tâm đường tròn $(F D K)$. Tương tự, $R$ là tâm đường tròn $(G E L)$. Ta có
$$
A D \cdot A B=A E \cdot A C, \quad P K \cdot P F=P L \cdot P G,
$$
suy ra $A P$ là trục đẳng phương của hai đường tròn $(F D K)$ và $(G E L)$, do đó $A P \perp R S$.
Mà $A O \perp D E$ nên $A, O, P$ thằng hàng.

(b) Gọi $M, N$ lần lượt là giao điểm của $I S, I R$ với $B C . \triangle S B D$ cân tại $S$ nên suy ra $I S$ là đường trung trực của $B D$, tương tự $I R$ là đường trung
Tập san Toán học STAR EDUCATION
trực của $E C$. Biến đổi góc
$$
\begin{aligned}
& \angle M S D=90^{\circ}-\angle S D B=90^{\circ}-\angle A D E=90^{\circ}-\angle A C B=\angle C N G . \
\Rightarrow & \angle I S R=\angle Y N G \Rightarrow \angle I S Y+\angle Y S R=\angle M Y I+\angle Y I R \Rightarrow \angle I S Y= \
& \angle X Y I=\angle X S I .
\end{aligned}
$$
Vậy $S I$ là tia phân giác của $\angle X S Y$ nên $I$ nằm trên đường trung trực của $X Y$. Mà $I$ cũng nằm trên đường trung trực của $B C$ nên $B X=C Y$.

Bài 4.

Ta chứng minh rằng $s=133$ là số lớn nhất thoả mãn điều kiện bài toán. Trước hết, giả sử rằng $s$ là một số thoả mãn điều kiện đã cho.

Viết $s=9 k+r (k, r \in \mathbb{Z}{\geq 0}, 1 \leq r \leq 9 )$.

Nếu $s \geq 134$, xét một bộ số gồm $k$ số 9 và số còn lại bằng $s-9 k$. Trong bộ số này có không quá một số khác 9 nên khi chia chúng thành hai phần khác rỗng, phải có ít nhất một bộ chứa toàn số 9. Hơn nữa, $$ 9 \cdot 7=63<70<9 \cdot 8 $$ nên bộ số này có tổng tối đa là 63 . Nhưng khi đó tổng của các số còn lại, gọi là $T$, sẽ phải thoả mãn $$ T \geq 134-63=71>70 $$ vô lý do $T \leq 70$. Từ đó phải có $s \leq 133$. Bây giờ ta chứng minh rằng $s=133$ thoả mãn điều kiện bài toán. Trước hết, ta chứng minh rằng với mọi bộ số nguyên dương không vượt quá 10 có tổng bằng 133, khi chia thành hai phần khác rỗng là $X, Y$ khác rống (có thể có các phần tử trùng nhau), sao cho

$$ M=\sum{x \in X} x-\sum_{y \in Y} y \geq 0$$

và $M$ nhỏ nhất có thể, thì $M \leq 8$. Thật vậy, giả sử rằng $M \geq 9$ thì
$$
\sum_{x \in X} \geq \frac{1}{2}\left(\sum_{x \in X} x+\sum_{y \in Y} y+9\right) \geq \frac{133+9}{2}=71 .
$$
Vì mỗi phần tử của $X$ không vượt quá 10 nên $X$ có ít nhất 8 phần tử. Đặt $t=\min X$. Xét hai tập hợp
$$
\left\{\begin{array}{l}
X^{\prime}=X \cup{t} \
Y^{\prime}=Y \backslash{t}
\end{array}\right.
$$
thì $X^{\prime}, Y^{\prime} \neq \emptyset$, đều gồm các số nguyên dương không vượt quá 10 , và có tổng bằng 133. Vì tính nhỏ nhất của $M$ nên
$$
M \leq\left|\sum_{x \in X^{\prime}} x-\sum_{y \in Y^{\prime}} y\right|=\left|\sum_{x \in X} x-\sum_{y \in Y} y-2 t\right|=|M-2 t|
$$
Kết hợp với $M \geq 9$ và $1 \leq t \leq 10$ thì $9 \leq M \leq t \leq 10$. Có hai khả năng sau:

Nếu $M=10$ thì
$$
\sum_{x \in X} x=\frac{133+10}{2} \notin \mathbb{Z}
$$
là một điều vô lý.
Nếu $M=9$ thì
$$
\sum_{x \in X} x=\frac{133+9}{2}=71 .
$$
Nếu $t=9$ thì $X$ gồm toàn số 9 và số 10 , nên có thể viết được
$$
71=9 k+10 l\left(k, l \in \mathbb{Z}{\geq 0}\right) . $$ Do đó $9 k \equiv 1(\bmod 10)$, dẫn đến $k \equiv 9(\bmod 10)$ và $k \geq 9$. Hệ quả là $$ 9 k+10 l \geq 9 k \geq 81>71 $$ cũng là điều vô lý. Từ đó điều giả sử là sai hay phải có $M \leq 8$, dẫn đến $$ \sum{y \in Y} y \leq \sum_{x \in X} x \leq \frac{1}{2}\left(\sum_{x \in X}+\sum_{y \in Y} y+8\right)=\frac{133+8}{2} .
$$
Nhưng các tổng là số nguyên nên
$$
\sum_{y \in Y} y \leq \sum_{x \in X} x \leq 70,
$$
nghĩa là cách chia $(X, Y)$ thoả mãn điều kiện bài toán. Tóm lại, $s=133$ là số lớn nhất thoả mãn yêu cầu đề bài. Bài toán kết thúc.