Nhận xét về đề thi: nhìn chung đề thi cũng tương tự các năm trước, đầy đủ các nội dung: đại số, số học, hình học và tổ hợp.
Nhìn chung đề hay, có ý cũ và mới, có nhiều ý khó đủ để phân loại vào các lớp chuyên toán và các ý cơ bản hơn để phân loại vào các lớp liên ngành.
Chúc các em có kết quả tốt.
Đáp án dưới đây do các bạn giáo viên trợ giảng trẻ của STAR EDUCATION thực hiện, có sai sót xin đóng góp chân thành nhé, hứa sẽ không xóa comment.
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề bài:
Bài 1. (2 điểm)
1) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^3+z^3=y \\\ y^3+x^3=z \\\ z^3+y^3=x\end{array}\right.$.
2) Cho hai số nguyên dương $a, b$ phân biệt. Chứng minh phương trình sau có đúng ba nghiệm
$$
(\sqrt{x}-1)\left[x^2-2(a+b) x+a b+2\right]=0 .
$$
Bài 2. (1.5 điểm) Cho ba số thực $a, b, c$ không âm thóa mãn: $a^2+b^2+c^2+3=2(a b+b c+c a)$.
Chứng minh
$$
3 \leq a+b+c \leq \frac{2(a b+b c+c a)+3}{3} .
$$
Bài 3. (2 điểm) Với mỗi số tự nhiên $\mathrm{n}$, đặt $a_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$.
a) Chứng minh $a_{n+2}=4 a_{n+1}-a_n$ với mọi $n=0,1,2, \ldots$.
b) Tìm $\mathrm{n}$ để $a_n$ chia hết cho 4 .
c) Tìm $\mathrm{n}$ đề $a_n$ chia hết cho 14 .
Bài 4. (3 điểm) Cho tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn $(\mathrm{O})$ có tam giác $A B D$ là tam giác nhọn và đường chéo $\mathrm{AC}$ đi qua tâm $\mathrm{O}$ của đường tròn $(\mathrm{O})$. Gọi $\mathrm{I}$ là trung điểm $\mathrm{BD}, \mathrm{H}$ là trực tâm của tam giác $A B D$, $\mathrm{E}$ là giao điểm khác $\mathrm{A}$ của $\mathrm{AI}$ với $(\mathrm{O})$ và $\mathrm{K}$ là hình chiếu vuông góc của $\mathrm{H}$ lên $\mathrm{AI}$.
a) Chứng minh $C E H K$ là hình bình hành và $I B^2=I D^2=I A \cdot I K$.
b) Lấy điểm $\mathrm{F}$ trên cung nhỏ $\widehat{B D}$ của đường tròn $(\mathrm{O})$ sao cho $\widehat{B A F}=\widehat{D A I}$. Chứng minh các điểm $\mathrm{K}$ và $\mathrm{F}$ đối xứng nhau qua đường thẳng $\mathrm{BD}$.
c) Chứng minh các đường phân giác trong các góc $\widehat{B A D}$ và $\widehat{B K D}$ cắt nhau trên $\mathrm{BD}$.
d) Trên đường thẳng qua $\mathrm{H}$ và song song $\mathrm{AC}$ lấy điểm $\mathrm{T}$ sao cho $T H=T K$. Chứng minh các điểm $\mathrm{O}, \mathrm{K}, \mathrm{F}, \mathrm{T}$ cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5. (1.5 điểm) Cho các sổ nguyên dương $a_1<a_2<a_3<\ldots<a_{30}<a_{31}$. Người ta ghi tất cả các số này lên 31 chiếc thẻ, mỗi thẻ ghi một số.
a) Biết rằng tổng các số được ghi trên 16 thẻ bất kỳ trong số 31 thẻ trên luôn lớn hơn tổng các số được ghi trên 15 thè còn lại. Chứng minh $a_1 \geq 226$.
b) Lấy $a_1, a_2, \ldots, a_{31}$ là 31 số nguyên dương đầu tiên: $1,2, \ldots, 31$. Người ta bỏ 31 thẻ được ghi các số này vào hai chiếc hộp một cách ngẫu nhiên. Khi kiểm tra một hộp thi thấy rằng trong hộp đó không có hai thẻ nào có tồng hai số được ghi là số chính phương. Chứng minh trong hộp còn lại ta có thể chọn ra được bốn thè và chia chúng thành hai cặp sao cho tổng hai sô̂ được ghi trên mỗi cặp là số chính phương.
Đáp án tham khảo từ Star Education
THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 PHÚT
Bài 1. Giải hệ phương trình sau:
$$
\left\{\begin{array}{l}
(x+y)\left(4+\frac{1}{x y}\right)=1 \\\
\left(4 x+\frac{1}{x}\right)\left(4 y+\frac{1}{y}\right)=-20
\end{array}\right.
$$
Bài 2. Cho các số $a, b, c>0$ thỏa mãn $a b+b c+c a=a b c$.
a) Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \leq \sqrt{3}$.
b) Chứng minh rằng: $(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2 \leq a b c \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$.
Bài 3. Cho bảng $4 \times 4$ được tô bằng ô đen hoặc trắng sao cho
i) mỗi hàng có số ô đen bằng nhau;
ii) mỗi cột có số ô đen đôi một khác nhau.
a) Tìm số ô đen ở mỗi hàng.
b) Một cặp ô được gọi là “tốt” khi có một ô đen và một ô trắng đứng cạnh nhau. Tìm số cặp tốt nhiều nhất tính theo hàng; số cặp tốt nhiều nhất tính theo cột.
Bài 4. Cho $m, n$ là các số nguyên không âm thỏa mãn $m^2-n=1$. Đặt $a=n^2-m$.
a) Chứng minh rằng $a$ là số lẻ.
b) Giả sử $a=3 \cdot 2^k+1, k$ là số nguyên không âm. Chứng minh rằng $k=1$.
c) Chứng minh rằng $a$ không là số chính phương.
Bài 5. Cho tam giác $A B C$ có đường tròn nội tiếp $(I) . D, E, F$ lần lượt là các tiếp điểm của $(I)$ với $B C, C A, A B$. Gọi $L$ là chân đường phân giác ngoài của $\angle B A C$ $(L \in B C)$. Vẽ tiếp tuyến $L H$ với đường tròn $(I)(H \neq D$ là tiếp điểm).
a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $H A L$ đi qua tâm $I$.
b) Chứng minh $\angle B A D=\angle C A H$.
c) $A H$ kéo dài cắt $(I)$ tại $K(K \neq H)$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $K E F . D G$ cắt $E F$ tại $J$. Chứng minh rằng $K J \perp E F$.
d) Gọi $S$ là trung điểm $B C, K J$ cắt $(I)$ tại $R(R \neq K)$. Chứng minh rằng $A S, I R, E F$ dồng quy.
ĐÁP ÁN ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI STAR EDUCATION
Bài 1. Cho hai phương trình: $x^2-2 a x+3 a=0 \quad$ (1) và $x^2-4 x+a=0$
a) Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
b) Giả sử hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt. $T_1, T_2$ là tổng bình phương các nghiệm của (1) và $(2)$. Chứng minh $T_1+5 T_2>68$
Bài 2. Cho các số dương $a \geq b \geq c$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh:
$$
\sqrt{4+(b+c)^2} \leq 2 a+b+c \leq \sqrt{4+4 a^2}
$$
Bài 3. Cho phương trình: $2^x+5^y=k^2\left(x ; y ; k \in \mathbb{N}^*\right)$
a) Chứng minh phương trình trên vô nghiệm khi $y$ là số chẵn.
b) Tìm $k$ để phương trình có nghiệm.
Bài 4. Cho tam giác $A B C$ có trực tâm $H, D$ đối xứng với $H$ qua $A$. $I$ là trung điểm của $C D$, đường tròn $(I)$ đường kính $C D$ cắt $A B$ tại $E, F(E$ thuộc tia $A B)$
a) Chứng minh $\angle E C D=\angle F C H$ và $A E=A F$.
b) Chứng minh $H$ là trực tâm của $\triangle C E F$.
c) $B H$ cắt $A C$ tại $K$. Chứng minh $E F K H$ nội tiếp và $E F$ là tiếp tuyến chung của $(C K E)$ và $(C K F)$.
d) Chứng minh tiếp tuyến tại $C$ của $(I)$ và tiếp tuyến tại $K$ của $(K E F)$ cắt nhau trên đường thẳng $A B$.
Bài 5. Cho dãy số nguyên $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \ldots \geq a_{21} \geq a_{22}$ thỏa mãn:
i) $\left|a_i\right| \leq 11$ và $a_i \neq 0 \forall i=1 ; 2 ; \ldots ; 22$
ii) $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{22}=1$
a) Chứng minh: $a_1 ; a_2>0$
b) Chứng minh có thể chọn $k \geq 1$ số từ $a_2 ; a_3 ; \ldots ; a_{22}$ để tổng $S$ của chúng thỏa $-10 \leq a_1+S \leq 0$.
c) Chứng minh từ dãy đã cho có thể chọn $n \geq 1$ số có tổng bằng 0 .
Trong các kì thi tuyển sinh vào 10 có dạng toán liên quan đến hàm số, chủ yếu là hàm bậc hai dạng $y = ax^2$ (1) và đường thẳng $y = mx + n$ (2)Trong bài viết này chủ yếu xét các bài toán tương giao giữa đồ thị hàm số (1) và (2).
Nếu hàm số $y =ax^2$ có đồ thị là parabol $(P)$ và hàm số $y = mx + n$ có đồ thị là đường thẳng $d$, thì phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là
$$ax^2 = mx + n \Leftrightarrow ax^2 – m x – n =0 (*)$$
$(*)$ là một phương trình bậc hai, nên có 3 trường hợp xảy ra:
Ta xét một vài ví dụ sau:
Bài 1. (Thi vào lớp 10 trường PTNK năm 2018) Gọi $(P),(d)$ lần lượt là đồ thị của các hàm số $y=x^2$ và $y=2 m x+3$.
a) Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$ và tính $y_1+y_2$ theo $m$.
b) Tìm $m$ sao cho $y_1-4 y_2=x_1-4 x_2+3 x_1 x_2$.
Lời giải bài 1.
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:
$$
x^2=2 m x+3 \Leftrightarrow x^2-2 m x-3=0 \quad(1)
$$
Xét phương trình (1), ta có: $\Delta^{\prime}=m^2+3>0$ với mọi $m \in \mathbb{R}$
Suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ với mọi $m$ hay $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$.
Theo định lý Viete, ta có: $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=2 m \\\ x_1 x_2=-3\end{array}\right.$
Khi đó $y_1=2 m x_1+3, y_2=2 m x_2+3$
$y_1+y_2=2 m x_1+3+2 m x_2+3=2 m\left(x_1+x_2\right)+6=4 m^2+6$
b) Ta có:
$y_1-4 y_2=x_1-4 x_2+3 x_1 x_2 $
$\Leftrightarrow 2 m x_1+3-8 m x_2-12=x_1-4 x_2-9 $
$ \Leftrightarrow 2 m\left(x_1-4 x_2\right)=x_1-4 x_2 $
$ \Leftrightarrow\left(x_1-4 x_2\right)(2 m-1)=0 $
$ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x_1=4 x_2 \\\
m=\frac{1}{2} \quad(n)
\end{array}\right. $
Với $x_1=4 x_2 $ lại có $x_1 x_2=-3 \Rightarrow 4 x_2^2=-3 $ (vô lý)
Vậy $m=\frac{1}{2} $
Bài 2. (Đề thi vào 10 trường PTNK năm 2019) Cho $(P),(d)$ lần lượt là đồ thị hàm số $y=x^2$ và $y=2 x+m$.
a) Tìm $m$ sao cho $(P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$.
b) Tìm $m$ sao cho $\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=5$.
Lời giải bài 2.
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$
$$
x^2=2 x+m \Leftrightarrow x^2-2 x-m=0 \quad(1)
$$
$(P)$ cắt $(d)$ tại 2 điểm phân biệt $A, B \Leftrightarrow (1)$ có 2 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta^{\prime}>0 \Leftrightarrow 1+m>0 $
$ \Leftrightarrow m>-1(*)$
Vậy $m>-1$ thì $(P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt.
b) Với điều kiện $(*)$ theo Viete ta có: $S=x_1+x_2=2, P=x_1 \cdot x_2=-m$
Ta có: $A\left(x_1 ; y_1\right) \in(d) \Leftrightarrow y_1=2 x_1+m ; B\left(x_2 ; y_2\right) \in(d) \Leftrightarrow y_2=2 x_2+m$
Ta có: $\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=5 $
$\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2+\left(2 x_1-2 x_2\right)^2=5$
$\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2+4\left(x_1-x_2\right)^2=5 $
$\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=1 \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4 x_1 x_2=1$
$\Leftrightarrow 4+4 m=1 \Leftrightarrow m=\frac{-3}{4} $ thỏa (*)
Vậy $m = \dfrac{-3}{4}$.
Bài 3. Đồ thị của hàm số $f(x)=a x^2$ và $g(x)=-a x+b(a ; b$ là các số thực), điểm chung thứ nhất có hoành độ bằng 1 và tung độ điểm chung thứ 2 là 8 . Tìm hoành độ của điểm chung thứ hai của hai đồ thị và tính $a, b$.
Lời giải bài 3.
Bài 4. (TS chuyên Đăk Lăk 2020 – 2021) Trong mặt phẳng $O x y$, cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=2(m+1) x+3$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$ thoả mãn điều kiện $x_1^2-2 m x_1+2 x_2-x_1 x_2=2$.
Lời giải bài 4.
Bài 5. (TS chuyên Khánh Hoà 2020 – 2021) Trên mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho parabol $(P)$ có phương trình $y=2 x^2$ và đường thẳng $(d): y=-2 m x+m+1$ với $m$ là tham số.
a) Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt.
b) Gọi $x_1, x_2$ lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$, tìm $m$ thoả mãn đẳng thức $\frac{1}{\left(2 x_1-1\right)^2}+\frac{1}{\left(2 x_2-1\right)^2}=66$.
Lời giải bài 5 .
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $P$ là
$$
2 x^2+2 m x-m-1=0
$$
$\Delta^{\prime}=m^2-2(-m-1)=(m+1)^2+1>0$ với mọi $m$, do đó $d$ cắt $P$ tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.
b) Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=-m, x_1 x_2=\frac{-m-1}{2}$.
Suy ra $x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2 x_1 x_2=m^2+m+1$
Ta có $66=\frac{1}{\left(2 x_1-1\right)^2}+\frac{1}{\left(2 x_2-1\right)^2}=\frac{\left(2 x_1-1\right)^2+\left(2 x_2-1\right)^2}{\left(2 x_1-1\right)^2\left(2 x_2-1\right)^2}=\frac{4\left(x_1^2+x_2^2\right)-4\left(x_1+x_2\right)+2}{\left(4 x_1 x_2-2\left(x_1+x_2\right)+1\right)^2}$
$$
=\frac{4\left(m^2+m+1\right)-4(-m)+2}{(-2 m-2-2(-m)+1)^2}=\frac{4 m^2+8 m+6}{1}
$$
Giải ra được $m=-5, m=3$.
Bài 6. (TS chuyên Thái Bình 2020 – 2021) Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho parabol $(P): y=\frac{x^2}{2}$ và hai đường thẳng $\left(d_1\right): y=5 x+2,\left(d_2\right): y=\left(m^2+1\right) x+m$ với $m$ là tham số.
a) Tìm $m$ để $\left(d_1\right)$ song song với $\left(d_2\right)$.
b) Tìm $m$ để $\left(d_2\right)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$ sao cho $Q=x_1+x_2-4 x_1 x_2$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải bài 6 .
a) Điều kiện để $d_1 || d_2$ là $m^2+1=5, m \neq 2$, giải ra được $m=-2$.
b) Phương trình hoành độ giao điểm của $d_2$ và $P$ là
$$
\frac{x^2}{2}=\left(m^2+1\right) x+m \Leftrightarrow x^2-2\left(m^2+1\right) x-2 m=0
$$
Điều kiện $\Delta^{\prime}=\left(m^2+1\right)^2-(-2 m)>0 \Leftrightarrow m^4+2 m^2+1+2 m>0 \Leftrightarrow m^4+m^2+(m+1)^2>0$ (Đúng với mọi $m)$
Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=2\left(m^2+1\right), x_1 x_2=-2 m$
Ta có $P=x_1+x_2-4 x_1 x_2=$ $2\left(m^2+1\right)-4(-2 m)=2\left(m^2+1+4 m\right)=2(m+2)^2-6 \geq-6$, đẳng thức xảy ra khi $m=-2$.
Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=2 x-m-2$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt lần lượt có hoành độ $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2+1=2 x_2$.
Lời giải bài 8 .
Ta có $x_1^2=2 x_1-m-2$, suy ra $x_1^2+1=2 x_2 \Leftrightarrow 2 x_1-m-2+1=2 x^2 \Leftrightarrow 2\left(x_1-x_2\right)=m+1$ Kết hợp với Viete ta có $x_1=\frac{m+5}{4}, x_2=\frac{3-m}{4}$
Khi đó $x_1 x_2=m+2 \Leftrightarrow \frac{m+5}{4} \frac{3-m}{4}=m+2 \Leftrightarrow m=-1(l), m=-17(n)$.
Bài 9. Cho $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=(m+2) x-2 m$.
a) Tìm $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$.
b) Tìm $m$ để $x_1+2 y_2=7$.
Lời giải bài 9 .
a) Phương trình hoành độ giao điểm
$\quad x^2-(m+2) x+2 m=0 $
$\Delta=(m+2)^2-8 m=(m-2)^2>0 \Leftrightarrow m \neq 2 .$
b) Khi đó phương trình có nghiệm $x=2, x=m$.
3
Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho parabol $(P)$ có phương trình $y=x^2$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=2 m x-m^2-m-2$ (với $m$ là tham số).
a) Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(P)$ biết điểm $M$ có hoành độ bằng -3 .
b) Tìm điều kiện của $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$ là hai giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$, xác định $m$ để $x_1 y_2+x_2 y_1=2 m^3+6$.
Lời giải bài 10.
b) Tìm điều kiện của $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai đie biệt. Gọi $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$ là hai giao điểm của đường thẳng $(d)$ và $(P)$, xác định $m$ để $x_1 y_2+x_2 y_1=2 m^3+6$. Ta có phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là
$ x^2=2 m x-m^2-m-2 \Leftrightarrow x^2-2 m x+m^2+m+2=0(1) $
$ \Delta^{\prime}=(-m)^2-\left(m^2+m+2\right)=-m-2$
$(d)$ cắt parabol $(P)$ tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta^{\prime}>$ $0 \Leftrightarrow-m-2>0 \Leftrightarrow m<-2(*)$
$ \text { Ta có } x_1+x_2=2 m, x_1 x_2=m^2+m+2 $
$x_1 y_2+x_2 y_1=x_1 \cdot x_2^2+x_2 \cdot x_1^2=x_1 \cdot x_2\left(x_1+x_2\right)=2$ $m\left(m^2+m+2\right) $
$=2 m^3+2 m^2+4 m $
$2 m^3+2 m^2+4 m=2 m^3+6 \Leftrightarrow 2 m^2+4 m-6=0 $
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
m=1 \\\
m=-3
\end{array}\right.$
Đối chiếu (*) vậy $m=-3$.