Câu 1. Biểu thức $\sqrt{\frac{1}{1-2 x+x^2}}$ xác định khi và chỉ khi: A. $x>1$ B. $x \geq 1$ C. $x \in R$ D. $x \neq 1$
Câu 2. Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ có $M A, M B$ là hai tiếp tuyến của $(\mathrm{O})(A, B$ là các tiếp điểm). Biết $\widehat{A O B}=90^{\circ}$, chu vi tam giác $M A B$ là: A. $2 R$ B. $R \sqrt{2}+2$ C. $(2+\sqrt{2}) R$ D. $R \sqrt{2}$
Câu 3. Cho hai đường thẳng $\left(d_1\right): y=\left(2 m^2+3\right) x-3 m+1$ và $\left(d_2\right): y=5 x-2$. Hai đường thẳng trùng nhau khi: A. $m=-1$ B. $m=1$ C. $m \neq 1$ D. $m \in{1 ;-1}$
Câu 4. Đường thẳng $\Delta: y=m x+n-2$ đi qua gốc tọa độ và điểm $A(-1 ; 3)$. Tính $m+2 n$. A. 1 B. -2 C. -3 D. 2
Câu 5. Rút gọn biểu thức $T=\frac{\sqrt{x^4(x-y)^2}}{x^2-y^2}$ với $x<y<0$ bằng: A. $\frac{x^2}{x-y}$ B. $\frac{-x^2}{x-y}$ C. $\frac{-x^2}{x+y}$ D. $\frac{x^2}{x+y}$
Câu 6. Câu nào sau đây đúng? A. $|A|+|B|=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}A=0 \\\ B=0\end{array}\right.$ C. $\sqrt{A}=|B| \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}B \geq 0 \\\ A=B^2\end{array}\right.$ B. $(A-B)^2>0 \Leftrightarrow A \neq B$ D. $B, C$ đều đúng.
Câu 7. Cho đường tròn tâm $O$ có bán kính $2 R$ và một dây cung có độ dài bằng $2 R$. Khoảng cách từ tâm $O$ đến dây cung này là: A. $R$ B. $\frac{R \sqrt{3}}{2}$ C. $R \sqrt{2}$ D. $R \sqrt{3}$
Câu 8. Gọi $\left(x_0, y_0\right)$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2 x^2+y^2=5 \\\ x^2-y^2=1\end{array}\right.$. Tính $\frac{x_0}{y_0}$ biết $y_0<$ $0<x_0$. A. -2 B. $\sqrt{2}$ C. $-\sqrt{2}$ D. 2
Câu 9. Tìm $m$ để parabol $(P): y=(m-2) x^2$ và đường thẳng $(D): y=2 x-3$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt: A. $m<\frac{7}{3}$ và $m \neq 2$
C. $m>\frac{7}{3}$ và $m \neq 2$ B. $m \geq \frac{7}{3}$ và $m \neq 2$ D. $m \leq \frac{7}{3}$ và $m \neq 2$
Câu 10. Cho tam giác $A B C$ có đường cao $A H$. Nếu $B C=2 A H$ và $\tan B=1$ thì tam giác $A B C$ là tam giác gì? A. Tam giác nhọn C. Tam giác vuông B. Tam giác vuông cân D. Tam giác cân
PHẦN TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)
Bài 1. (1,5 điểm) (a) Cho $M=\frac{3 \sqrt{x}-3}{4} \cdot\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right) ; N=1-\frac{\sqrt{x}}{x-2}$ với $x \geq 0 ; x \neq$ $1 ; x \neq 2$. Tìm $x$ biết $M \cdot N=6$. (b) $\triangle A B C$ có $A D$ là đường phân giác của $\widehat{B A C}(D \in B C)$. Biết $A C=A B+B D$ và $\widehat{A B C}=60^{\circ}$. Lấy điểm $E$ trên đoạn thẳng $A C$ sao cho $A E=A B$. Đặt $\widehat{B A D}=x^{\circ}$ và $\widehat{A C B}=y^{\circ}$. Tìm $x, y$.
Bài 2. (2 diểm) (a) Giải phương trình: $\left(-2 x^2+3 x+5\right) \cdot(\sqrt{1-2 x}-\sqrt{x+4}+1)=0$. (b) Trong một ngày hội của trường, các lớp được yêu cầu tổ chức một gian hàng ẩm thực trong hai ngày. Lớp 10T dự định sẽ bán xiên thịt nướng, chi phí bỏ ra cho một xiên thịt nướng là 10000 đồng và số lượng xiên nướng chuẩn bị cho hai ngày là như nhau. Ngày thứ nhất, lớp bán hết số thịt đã chuẩn bị và lời 1000000 đồng. Sang ngày thứ hai, lớp tăng giá bán lên $20 \%$ và bán được $\frac{3}{4}$ số xiên thịt; với số xiên thịt còn lại lớp quyết định giảm về giá ban đầu, tuy nhiên khi còn 30 xiên thịt cuối lớp không bán mà để cho các bạn trong lớp tham gia bán hàng ăn. Biết số tiền lời ngày thứ hai bằng ngày thứ nhât, hỏi giá bán một xiên thịt ban đầu là bao nhiêu?
Bài 3. (1,5 điểm) Cho phương trình: $\frac{-3 x^2-2 m x+1-m}{x-1}=0$ (a) Phương trình (1) nhận $x=\frac{1}{3}$ là nghiệm. Tìm nghiệm còn lại của phương trình. (b) Tìm $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa: $$ 3 x_1+6 x_2-3 x_1 x_2=m+2 $$ Bài 4. (3 diểm) Cho $\triangle A B C$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ có $\widehat{B A C}=30^{\circ}$ và $B C=a$. (a) Chứng minh tam giác $O B C$ đều, tính diện tích tam giác $O B C$. (b) Gọi $M$ là trung điểm của $O B, C M$ cắt $(O)$ tại $K$ khác $C . O B$ cắt $A C$ tại $D$. Chứng minh tứ giác $O C B K$ là hình thoi và tính $\widehat{A D K}$. (c) Trên đoạn $D C$ lấy điểm $E$ sao cho $A D=D E$. Chứng minh $A K \perp O E$ và $A C$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $O E B$.
Bài 1. (2,5 diểm) (a) Giải phương trình $3 x^3+x+3+(8 x-3) \sqrt{2 x^2+1}=0$. (b) Cho phương trinh $(\sqrt{x}+1)\left(x^2-3(m+1) x+2 m^2+5 m+2\right)=0(m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn nghiệm này là bình phương nghiệm kia. (c) n là số tự nhiên lớn hơn hoạc bằng 4, cho $n$ số thực $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$ thỏa mãn $a_1+a_2+\cdots a_n=0$ và $\left|a_1\right|+\left|a_2\right|+\cdots\left|a_n\right|=A$. Chứng minh rằng $$ a_n-a_1 \geq \frac{2 A}{n} $$
Bài 2. (1,5 điểm) Xét các số $a, b, c$ khác 0 và đôi một phân biệt sao cho các phương trình sau đây có một nghiệm chung: $$ a x^3+b x+c=0(1), b x^3+c x+a=0(2), c x^3+a x+b=0(3) . $$ (a) Chứng minh $a+b+c=0$. (b) Chứng minh rằng một trong các phương trình này có ba nghiệm (không nhất thiết phân biệt).
Bài 3. $(1,5$ điểm) (a) Tìm số tự nhiên có hai chũ số sao cho nó bằng tổng bình phương các chũ số của nó. (b) Tìm tất cả các số nguyên tố p, sao cho p có thể biểu diễn được dưới dạng $\sqrt{\frac{a^2-4}{b^2-1}}$, trong đó a,b là các số nguyên dương.
Bài 4. ( 3,5 điểm) Cho đường tròn $(O ; R)$ và dây cung $B C=R \sqrt{3}$ cố định, $A$ thay đổi trên cung lớn $B C$ sao cho tam giác $A B C$ nhọn. Các đường cao $B D, C E$ cắt nhau tại $H$. Phân giác trong góc $A$ cắt $D E$ và $B C$ lần lượt tại $K, L$. (a) Tính $\angle B A C$ và $\angle O H C$. (b) Chứng minh $\frac{A K}{A L}$ không đổi. Tìm vị trí của A để KL lớn nhât, tính giá trị đó theo $R$. (c) Chứng minh đường thẳng d qua L vuông góc $O A$ tiếp xúc với một đường tròn cố định. (d) Đường thẳng qua K vuông góc DE và đường thẳng qua L vuông góc $B C$ cắt nhau tại P. Chứng minh AP luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5. (1 điểm) Có 10 viên bi vàng và 10 viên bi xanh được xếp thành một hàng. Chúng minh rằng tồn tại 10 viên bi liên tiếp sao cho số viên bi vàng và xanh bằng nhau.
Bài 1. a) Giải phương trình: $\sqrt{2 x^2+5 x-6}+\sqrt{2 x^2-x+3}=2 x+1$. b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3 x=x y z+y+1 \\\ 3 y=y z x+z+1 \\\ 3 z=z x y+x+1\end{array}\right.$.
Bài 2. Cho các số thực $x, y, z$ thỏa $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $$ A=x^3+y^3+z^3-x^4-y^4-z^4 . $$
Bài 3. Xét phương trình nghiệm nguyên $x^2+y^2+z^2=x y+k z$ theo ẩn $x, y, z$ và tham số nguyên $k$. a) Giải phương trình khi $k=3$. b) Chứng minh rằng khi $k=3^n$ với $n \geq 1$, phương trình có đúng 2 nghiệm.
Bài 4. Cho tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ và ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. Phân giác ngoài của góc $\angle B A D$ và $\angle A B C$ cắt nhau tại $E$. Phân giác ngoài của góc $\angle A B C$ và $\angle B C D$ cắt nhau tại $F$. Phân giác ngoài của góc $\angle B C D$ và $\angle C D A$ cắt nhau tại $G$. Phân giác ngoài của góc $\angle C D A$ và $\angle D A B$ cắt nhau tại $H$. a) Chứng minh tứ giác $E F G H$ nội tiếp. b) Chứng minh $E, I, G$ thẳng hàng và $H, I, F$ cũng thẳng hàng. c) Gọi $M, N, P, Q$ là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp $(I)$ tại $A B, B C, C D, D A$. Chứng minh rằng $E G$ là trung trực của $N Q$, và $F H$ là trung trực của $M P$.
Bài 5. Cho 9 điểm (khác nhau) nằm trong một hình vuông có cạnh là 1 . a) Chứng minh rằng ta luôn có thể tìm một tam giác với các đỉnh từ 9 điểm trên sao cho nó có diện tích không quá $\frac{1}{8}$. b) Chứng minh rằng ta luôn có thể tìm một tam giác với các đỉnh từ 9 điểm trên sao cho nó có diện tích nhỏ hơn $\frac{1}{8}$.
LỜI GIẢI
Bài 1.
a) Giải phương trình: $\sqrt{2 x^2+5 x-6}+\sqrt{2 x^2-x+3}=2 x+1$. b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3 x=x y z+y+1 \\\ 3 y=y z x+z+1 \\\ 3 z=z x y+x+1\end{array}\right.$.
Lời giải
a) Điều kiện: $x \geq-\dfrac{1}{2}$ và $2 x^2+5 x-6 \geq 0$, suy ra $x>0$. Phương trình đã cho tương đương $$ \sqrt{2 x^2+5 x-6}-x+\sqrt{2 x^2-x+3}-x-1=0$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{2 x^2+5 x-6-x^2}{\sqrt{2 x^2+5 x-6}+x}+\dfrac{2 x^2-x+3-x^2-2 x-1}{\sqrt{2 x^2-x+3}+x+1}=0$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{x^2+5 x-6}{\sqrt{2 x^2+5 x-6}+x}+\dfrac{x^2-3 x+2}{\sqrt{2 x^2-x+3}+x+1}=0$$ Ta thấy $x=1$ là nghiệm. Xét $x \neq 1$, phương trình trên tương đương $$\dfrac{x+6}{\sqrt{2 x^2+5 x-6}+x}+\dfrac{x-2}{\sqrt{2 x^2-x+3}+x+1}=0$$ Ta chứng minh $\dfrac{6}{\sqrt{2 x^2+5 x-6}+x}>\dfrac{2}{\sqrt{2 x^2-x+3}+x+1}$
hay $ 3 \sqrt{2 x^2-x+3}>\sqrt{2 x^2+5 x-6} \Leftrightarrow 16 x^2-14 x+21>0$ Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy tóm lại, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1$.
Bài 2.
Cho các số thực $x, y, z$ thỏa $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $$ A=x^3+y^3+z^3-x^4-y^4-z^4 . $$
Lời giải
Từ giả thiết ta có $-1 \leq x, y, z \leq 1$. Từ đó suy ra $x^3+y^3+z^3+x^2+y^2+z^2=x^2(x+1)+y^2(y+1)+z^2(z+1) \geq 0.$ Dẫn đến $x^3+y^3+z^3 \geq-\left(x^2+y^2+z^2\right)=-1$. Lại có: $x^4+x^4+y^4-\left(x^2+y^2+z^2\right)=x^2\left(x^2-1\right)+y^2\left(y^2-1\right)+z^2\left(z^2-1\right) \leq 0.$ nên $x^4+x^4+y^4 \leq x^2+y^2+z^2=1$. Do đó suy ra $A=x^3+y^3+z^3-\left(x^4+x^4+y^4\right) \geq-1-1=-2.$ Đẳng thức xảy ra khi $x=0, y=0, z=-1$ hoặc các hoán vị. Áp dụng bất đẳng thức $a b \leq \dfrac{a^2+b^2}{2}$ với mọi số thực $a, b$, ta có: $ x^3=\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} x \cdot x^2 \leq \sqrt{3} \cdot \dfrac{x^2+x^4}{2}=\dfrac{x^2 \sqrt{3}}{6}+\dfrac{x^4 \sqrt{3}}{2}.$ Tương tự, $y^3 \leq \dfrac{y^2 \sqrt{3}}{6}+\dfrac{y^4 \sqrt{3}}{2}, z^3 \leq \dfrac{z^2 \sqrt{3}}{6}+\dfrac{z^4 \sqrt{3}}{2}$. Từ đây suy ra $A =x^3+y^3+z^3-x^4-y^4-z^4\leq \dfrac{\sqrt{3}}{6}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\dfrac{\sqrt{3}-2}{2} \left(x^4+y^4+z^4\right)$ $\leq \dfrac{\sqrt{3}}{6}+\dfrac{\sqrt{3}-2}{2} \cdot \dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{6}+\dfrac{\sqrt{3}-2}{6}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{3}.$ Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Bài 3. Xét phương trình nghiệm nguyên $x^2+y^2+z^2=x y+k z$ theo ẩn $x, y, z$ và tham số nguyên $k$. a) Giải phương trình khi $k=3$. b) Chứng minh rằng khi $k=3^n$ với $n \geq 1$, phương trình có đúng 2 nghiệm.
Lời giải
a) Khi $k=3$, ta có phương trình $x^2+y^2+z^2=x y+3 z \Leftrightarrow 3 z-z^2=x^2-x y+y^2 \geq 0 .$ Suy ra $0 \leq z \leq 3$. Nếu $z=0$ hoặc $z=3$ thì $x=y=0$. Nếu $z=1$ hoặc $z=2$ thì $x^2-x y+y^2=2$ hay $(x+y)^2=3 x y+2$. Điều này là vô lý vì số chính phương không thể chia cho 3 dư 2 . Vậy tất cả nghiệm cần tìm là $(0,0,0),(0,0,3)$.
b) Ta chứng minh bằng cách quy nạp theo $n$. Khẳng định đúng với $n=1$. Giả sử khẳng định đúng đến $n \geq 1$, ta chứng minh khẳng định cũng đúng với $n+1$. Khi $k=3^{n+1}$, phương trình đã cho tương đương: $(x+y)^2+z^2=3 x y+3^{n+1} z: 3$. Đặt $a=x+y$. Giả sử $a$ không chia hết cho 3 thì $z$ cũng không chia hết cho 3 , suy ra $ a^2-1, z^2-1 \vdots 3 \Rightarrow a^2+z^2-2 \vdots 3.$ Điều này là vô lý vì $a^2+z^2: 3.$ Vậy $x+y$ và $z$ chia hết cho . Khi đó $(x+y)^2+z^2: 9$, dẫn đến $x y: 3$. Kết hợp với $x+y: 3$ ta kết luận được $x, y$ đều là bội của 3 . Đặt $x=3 x_0, y=3 y_0, z=3 z_0\left(x_0, y_0, z_0 \in \mathbb{Z}\right)$ Có: $x^2+y^2+z^2=x y+3^{n+1} z \Leftrightarrow x_0^2+y_0^2+z_0^2=x_0 y_0+3^n z_0 .$ Theo giả thiết quy nạp, phương trình trên có đúng hai nghiệm. Theo nguyên lý quy nạp, ta được phát biểu đúng với mọi $n \geq 1$.
Bài 4. Cho tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ và ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. Phân giác ngoài của góc $\angle B A D$ và $\angle A B C$ cắt nhau tại $E$. Phân giác ngoài của góc $\angle A B C$ và $\angle B C D$ cắt nhau tại $F$. Phân giác ngoài của góc $\angle B C D$ và $\angle C D A$ cắt nhau tại $G$. Phân giác ngoài của góc $\angle C D A$ và $\angle D A B$ cắt nhau tại $H$. a) Chứng minh tứ giác $E F G H$ nội tiếp. b) Chứng minh $E, I, G$ thẳng hàng và $H, I, F$ cũng thẳng hàng. c) Gọi $M, N, P, Q$ là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp $(I)$ tại $A B, B C, C D, D A$. Chứng minh rằng $E G$ là trung trực của $N Q$, và $F H$ là trung trực của $M P$.
Lời giải
a) Biến đổi góc: $$\angle A E B=180^{\circ}-\angle E A B-\angle E B A=\angle B A I+\angle A B I=\dfrac{1}{2}(\angle B A D+\angle A B C) .$$ Tương tự, $\angle D G C=\dfrac{1}{2}(\angle A D C+\angle B C D)$. Suy ra $$\angle A E B+\angle D G C=\dfrac{1}{2}(\angle B A D+\angle A B C+\angle A D C+\angle B C D)=\dfrac{1}{2} \cdot 360^{\circ}=180^{\circ} .$$ Vậy tứ giác $E F G H$ nội tiếp.
b) Ta có các tứ giác $A E B I, G D I C$ là các tứ giác nội tiếp nên suy ra $$\angle A I E+\angle A I D+\angle G I D =\angle A B E+\left(180^{\circ}-\angle I A D-\angle I D A\right)+\angle G C D $$ $$=90^{\circ}-\angle A B I+180^{\circ}-\angle I A D-\angle I D A+90^{\circ}-\angle D C I$$ $$=360^{\circ}-\dfrac{1}{2}(\angle B A D+\angle A B C+\angle A D C+\angle B C D)=180^{\circ} .$$ Vậy $E, I, G$ thẳng hàng. Tương tự, ta cũng có $H, I, F$ thẳng hàng.
c) Gọi $X, Y$ lần lượt là giao điểm của $I E, I B$ và $Q N$. Biến đổi góc:$$\angle B Y N =180^{\circ}-\angle Y B N-\angle B N Q=180^{\circ}-\dfrac{1}{2} \angle A B C-\dfrac{360^{\circ}-\angle Q A B-\angle N B A}{2}$$ $$=-\dfrac{1}{2} \angle A B C+\dfrac{\angle D A B+\angle A B C}{2}$$ $$=\dfrac{1}{2} \angle D A B=\angle B A I=\angle B E I .$$
Suy ra tứ giác $E B Y X$ nội tiếp, dẫn đến $\angle I X Y=90^{\circ}$. Mà $I Q=I N$ nên ta được $E I$ là đường trung trực của $Q N$, hay $E Q$ là đường trung trực của $Q N$. Tương tự, $F N$ của là đường trung trực của $M P$.
Bài 5. Cho 9 điểm (khác nhau) nằm trong một hình vuông có cạnh là 1 . a) Chứng minh rằng ta luôn có thể tìm một tam giác với các đỉnh từ 9 điểm trên sao cho nó có diện tích không quá $\dfrac{1}{8}$. b) Chứng minh rằng ta luôn có thể tìm một tam giác với các đỉnh từ 9 điểm trên sao cho nó có diện tích nhỏ hơn $\dfrac{1}{8}$.
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh bài toán phụ: một tam giác có ba đỉnh nằm trên cạnh hoặc miền trong của một hình chữ nhật thì có diện tích không quá một nửa diện tích hình chữ nhật ấy. Thật vậy, giả sử tam giác $M N P$ với $M, N, P$ thuộc cạnh hoặc miền trong hình chữ nhật $A B C$. Xét trường hợp $M, N$ thuộc cạnh hình chữ nhật, không mất tính tổng quát, $M, N$ nằm trên cạnh $A B$. Khi đó hạ đường cao $P H$ của tam giác $M N P$ thì $$S_{M N P}=\dfrac{1}{2} P H \cdot M N \leq \dfrac{1}{2} B C \cdot M N \leq \dfrac{1}{2} B C \cdot A B=\dfrac{1}{2} S_{A B C D} .$$ Xét trường hợp $M \in A B$. Kẻ đường thẳng qua $M$ song song với $B C$ cắt $C D$ tại $Q$ và cắt đường thẳng $N P$ tại $T$. Nếu $T$ nằm ngoài đoạn $N P$ thì $$ S_{M N P} \leq S_{M T P} \leq \dfrac{1}{2} S_{M Q C B} \leq \dfrac{1}{2} S_{A B C D} .$$ Nếu $T$ thuộc đoạn $N P$ thì $$S_{M N P}=S_{M T N}+S_{M T P} \leq \dfrac{1}{2} S_{M Q D A}+\dfrac{1}{2} S_{M Q C B}=\dfrac{1}{2} S_{A B C D} .$$
Cuối cùng, nếu $M, N, P$ dều không thuộc cạnh hình chữ nhật, không mất tính tổng quát, giả sử $M$ có khoảng cách gần với $A B$ nhất trong ba điểm $M, N, P$, kẻ đường thẳng qua $M$ song song với $A B$ cắt $A D, B C$ tại $R, S$. Khi đó, $$S_{M N P} \leq \dfrac{1}{2} S_{R S C D} \leq \dfrac{1}{2} S_{A B C D} .$$ Vậy tóm lại, ta luôn có $S_{M N P} \leq \dfrac{1}{2} S_{A B C D}$. Đẳng thức xảy ra khi tam giác có một cạnh, giả sử $N P$ là cạnh của hình chữ nhật và $M$ nằm trên cạnh của hình chữ nhật đối diện với cạnh $N P$. Trở lại bài toán, chia hình vuông thành bốn hình vuông nhỏ có diện tích là $\dfrac{1}{4}$ bởi hai đường trung bình. Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại 3 diểm cùng thuộc một hình vuông nhỏ. Diện tích tam giác tạo bởi 3 điểm này không quá $\dfrac{1}{2}$ diện tích hình vuông nhỏ, tức là không quá $\dfrac{1}{8}$ (nếu 3 điểm thẳng hàng thì ta coi như đó là tam giác có diện tích bằng 0 ). Mà các điểm nằm bên trong hình vuông dẫn đến không có cạnh nào của tam giác này là cạnh của hình vuông, cho nên diện tích tam giác này phải bé hơn $\dfrac{1}{8}$. Hoàn tất chứng minh.
Bài 1. Cho $a, b, c \geq 0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất và giả trị nhỏ nhất của biểu thức $P=a b+b c+c a-2(a+b+c)$.
Bài 2. Cho $k, n \in Z^{+}$, có bao nhiêu đơn ánh từ $\{1, 2, \cdots, 2k+1\} \to \{1, 2, \cdots, 2n\}$ thỏa $f(1) < f(2) < \ldots < f(k) < f(k+1) > f(k+2)>\ldots> f(2 k)>f(2 k+1)$ và $f(k+1) \neq 2 n-2$.
Bài 3. Cho $n$ là số nguyên dương, kí hiệu $a(n)=1+2+\ldots+n$ và $b(n)=1^2+2^2+\ldots+n^2$. Hỏi có tồn tại số $n$ sao cho $2(n+1) a(n)+3 b(n)-1$ là số chính phương?
Bài 4. Cho tam giác $A B C$ có $2 A=5 B=10 C$. Phân giác trong $B D$ cẳt trung tuyển $C M$ tại I. Một đường thẳng $d$ đi qua $D$ vuông góc với $A C$ cắt $B C$ và $A I$ lần lượt tại $E$ và $K . A E$ cắt $C K$ tại $F$. Chứng minh: $M F$ song song $B K$.
Lời giải tham khảo
Bài 1. Đặt $t=a+b+c$ ta có $a(1-a) \geq 0, b(1-b) \geq 0, c(1-c) \geq$, suy ra $a+b+c \geq$ $a^2+b^2+c^2=1$, và $(a+b+c)^2 \leq 3\left(a^2+b^2+c^2\right)=3$, suy ra $a+b+c \leq \sqrt{3}$ Ta có $1=(a+b+c)^2-2(a b+b c+a c) \Rightarrow a b+b c+c a=\frac{t^2-1}{2}$. Do đó $P=\frac{t^2-1}{2}-2 t=\frac{1}{2} t^2-2 t-\frac{1}{2}$ với $1 \leq t \leq \sqrt{3}$. Khảo sát hàm bậc hai trong đoạn ta có $\max P=-2$ khi $t=1$ và $\min P=1-2 \sqrt{3}$. Vậy $\max P=-2$ khi $a=1, b=c=0$ và min $P=1-2 \sqrt{3}$ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Bài 2. Do đó $f$ là đơn ánh, $\operatorname{Im} f$ là một tập con có $2 k+1$ phần tử của $A$, mặt khác $f(k+1)$ là giá trị lớn nhất nên $\operatorname{Im} f$ có giá trị lớn nhất khác $2 n-2$. Ta đếm số tập con có $2 k+1$ phần tử của $A$ mà phần tử lớn nhất khác $2 n-2$. Số tập con có $2 k+1$ của $A$ là $C_{2 n}^{2 k+1}$, số tập con có $2 k+1$ mà có phần tử lớn nhất $2 n-2$ là bằng với số tập con có $2 k$ phần tử của ${1,2, \cdots 2 k-3}$, là $C_{2 n-3}^{2 k}$. Do đó theo nguyên lí bù trừ số tập con có $2 k+1$ của tập $A$ mà phần tử lớn nhất khác $2 n-2$ là $\left(C_{2 n}^{2 k+1}-C_{2 n-3}^{2 k}\right)$. Tiếp theo ta đếm số đơn ánh từ ${1,2, \cdots, 2 k+1}$ tới $A^{\prime}=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_{2 k+1}\right\}$ thỏa đề bài, ta có $f(k+1)=a_{2 k+1}$, nên số đơn ánh bằng số cách chọn $k$ phần tử từ $A^{\prime}$ nên bằng $C_{2 k}^k$. Vậy số đơn ánh thỏa đề bài $C_{2 k}^k\left(C_{2 n}^{2 k+1}-C_{2 n-3}^{2 k}\right)$
Bài 3. Ta có $a(n)=\frac{n(n+1)}{2}, b(n)=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$ Khi đó $P(n)=2(n+1) a(n)+3 b(n)-1=\frac{n(n+1)(4 n+3)}{2}-1$. Giả sử $P(n)$ là số chính phương ta có $n(n+1)(4 n+3)=2\left(x^2+1\right)$, ta có $n(n+1)(4 n+3)$ luôn có ước nguyên tố dạng $p=4 k+3$, suy ra $p \mid 2\left(x^2+1\right)$ suy ra $p|x, p| 1$, vô lí! Vậy không tồn tại $n$ để $P(n)$ là số chính phương.
Bài 4.
Ta tính được $\angle A=\frac{5 \pi}{8}, \angle B=\frac{\pi}{4}, \angle C=\frac{\pi}{8}$. Vẽ đường cao $A N, N$ thuộc $B C$. Ta có $\frac{B N}{N C}=\frac{A N}{N C}=\frac{\sin C}{\cos C}$ và $\frac{A D}{C D}=\frac{A B}{B C}=\frac{\sin C}{\sin 5 C}, \sin 5 C=\cos C$, suy ra $\frac{B N}{N C}=\frac{A D}{C D}$, do đó $A N, B D, C M$ đồng quy tại $I$ và $D N | A B$. Ta có $\angle B A N=\angle A N D=\angle A C K=2 \angle A C K$, suy ra $A C K$ cân và $N$ là trung điểm $A K$, từ đó tam giác $A B K$ vuông cân. Khi đó $\angle F N K=\angle A C K=45^{\circ}=\angle A K B$ và $\angle A N M=45^{\circ}$, do đó $M, N, F$ thẳng hàng và $M F | B K$.
Bài 1. Cho hàm số liên tục $f: \mathbb{R} \rightarrow(0 ;+\infty)$ thỏa mãn
$\lim_{x \rightarrow – \infty} f(x)= \lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = 0$ a) Chứng minh rằng $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$. b) Chứng minh rằng tồn tại hai dãy $\left(x_n\right),\left(y_n\right)$ với $x_n<y_n, \forall n=1,2,3, \ldots$ sao cho chúng cùng hội tụ tới một giới hạn và thỏa mãn $f\left(x_n\right)=f\left(y_n\right)$ với mọi $n$.
Bài 2. Cho dãy số nguyên dương $\left(x_n\right)$ thỏa mãn $0 \leq x_0<x_1 \leq 100$ và $$ x_{n+2}=7 x_{n+1}-x_n+280, \quad \forall n \geq 0 . $$ a) Chứng minh rằng nếu $x_0=2, x_1=3$ thì với mỗi số nguyên dương $n$, tổng các ước nguyên dương của $x_n x_{n+1}+x_{n+1} x_{n+2}+x_{n+2} x_{n+3}+2018$ thì chia hết cho 24 . b) Tìm tất cả các cặp số $\left(x_0, x_1\right)$ để số $x_n x_{n+1}+2019$ là số chính phương với vô số số $n$.
Bài 3. Với mỗi đa thức $f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n$, đặt $$ \Gamma(f(x))=a_0^2+a_1^2+\cdots+a_m^2 . $$
Cho đa thức $P(x)=(x+1)(x+2) \ldots(x+2020)$. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2019 đa thức đôi một phân biệt $Q_k(x)$ với $1 \leq k \leq 2^{2019}$ với các hệ số dương thỏa mãn hai điều kiện sau: i) $\operatorname{deg} Q_k(x)=2020$. ii) $\Gamma\left(Q_k(x)^n\right)=\Gamma\left(P(x)^n\right)$ với mọi số nguyên dương $n$.
Bài 4. Cho tam giác $A B C$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$ và trực tâm $H$. Trên các tia $A B, A C, B C, B A, C A, C B$ lần lượt lấy các điểm $A_1, A_2, B_1, B_1, C_1, C_2$ sao cho $A A_1=A A_2=B C$, $B B_1=B B_2=A C, C C_1=C C_2=A B$. Gọi $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $\left(B B_1, C C_1\right) ;\left(C C_1, A A_1\right) ;\left(A A_1, B B_1\right)$. a) Chứng minh rằng diện tích tam giác $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ không vượt quá diện tích tam giác $A B C$. b) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. Các đường thẳng $A J, B J, C J$ lần lượt cắt $B C, C A, A B$ theo thứ tự tại $R, S, T$. Gọi $K$ là điểm chung của các đường tròn ngoại tiếp $A S T, B T R, C R S$. Giả sử tam giác $A B C$ không cân, chứng minh $I H J K$ là hình bình hành.
Ngày thi thứ hai. Thời gian làm bài 180 phút.
Bài 5. Xét đa thức $f(x)=x^2-\alpha x+1$ với $\alpha \in \mathbb{R}$. a) Khi $\alpha=\frac{\sqrt{15}}{2}$, hãy viết $f(x)$ thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm. b) Tìm tất cả các giá trị $\alpha$ để $f(x)$ có thể viết được thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.
Bài 6. Cho tam giác nhọn, không cân $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm $H$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm cạnh $B C, C A, A B$ và $D, E, F$ lần lượt là chân đường cao ứng với các đỉnh $A, B, C$ của tam giác $A B C$. Gọi $K$ là đối xứng của $H$ qua $B C$. Hai đường thẳng $D E, M P$ cắt nhau tại $X$; hai đường thẳng $D F, M N$ cắt nhau tại $Y$. a) Đường thẳng $X Y$ cắt cung $\overparen{B C}$ của $(O)$ tại $Z$. Chứng minh rằng $K, Z, E, F$ đồng viên. b) Hai đường thẳng $K E, K F$ cắt lại $(O)$ tại $S, T$. Chứng minh rằng $B S, C T, X Y$ đồng quy.
Bài 7. Có một số mảnh giấy hình vuông có cùng kích thước, mỗi mảnh được chia caro thành $5 \times 5$ ô vuông ở cả hai mặt. Ta dùng $n$ màu để tô các mảnh giấy sao cho mỗi ô của mỗi mảnh giấy được tô cả hai mặt bởi cùng một màu. Hai mảnh giấy màu được coi là giống nhau nếu có thể xếp chúng chồng khít lên nhau sao cho các cặp ô vuông ở cùng vị trí có cùng màu. Chứng minh rằng ta thu được không quá $\frac{1}{8}\left(n^{25}+4 n^{15}+n^{13}+2 n^7\right)$ mảnh giấy đôi một không giống nhau.
Bài 1 (5 điểm). Cho dãy số thực $\left(x_n\right)$ có $x_1 \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ và $x_{n+1}=3 x_n^2-2 n x_n^3$ với mọi $n \geq 1$. a) Chứng minh $\lim x_n=0$. b) Với mỗi $n \geq 1$ đặt $y_n=x_1+2 x_2+\cdots+n x_n$. Chứng minh rằng dãy $\left(y_n\right)$ có giới hạn hữu hạn.
Bài 2 (5 điểm). Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $$ f(x) f(y)=f(x y-1)+x f(y)+y f(x) $$ với mọi số thực $x, y$. Bài 3 (5 điểm). Cho tam giác nhọn không cân $A B C$ có trực tâm $H$ và $D, E, F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $A, B, C$. Gọi $(I)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $H E F$ với tâm $I$ và $K, J$ lần lượt là trung điểm $B C, E F$. Cho $H J$ cắt lại $(I)$ tại $G$, $G K$ cắt lại $(I)$ tại $L$. a) Chứng minh rằng $A L$ vuông góc với $E F$. b) Cho $A L$ cắt $E F$ tại $M, I M$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $I E F$ tại $N$, $D N$ cắt $A B, A C$ lần lượt tại $P, Q$. Chứng minh rằng $P E, Q F, A K$ dồng quy.
Bài 4(5 điểm). Với số nguyên $n \geq 2$, gọi $s(n)$ là tổng các số nguyên dương không vượt quá $n$ và không nguyên tố cùng nhau với $n$. a) Chứng minh $s(n)=\frac{n}{2}(n+1-\varphi(n))$, trong đó $\varphi(n)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $n \geq 2$ thỏa mãn $s(n)=s(n+2021)$.
Ngày thi thứ 2. Thời gian làm bài 180 phút.
Bài 5 (6 điểm). Cho đa thức $P(x)=a_{21} x^{21}+a_{20} x^{20}+\cdots+a_1 x+a_0$ có các hệ số thuộc $[1011,2021]$. Biết rằng $P(x)$ có nghiệm nguyên và $c$ là một số dương sao cho $\left|a_{k+2}-a_k\right| \leq c$ với mọi $k \in{0,1, \ldots, 19}$. a) Chứng minh rằng $P(x)$ có đúng một nghiệm nguyên. b) Chứng minh $\sum_{k=0}^{10}\left(a_{2 k+1}-a_{2 k}\right)^2 \leq 440 c^2$.
Bài 6 (7 điểm). Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số $1,2,3,4,5$ (sau khi chia có thể có hộp không có viên bi nào). a) Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhau nếu có một hộp có số bi trong hai cách chia là khác nhau)? b) Sau khi chia, học sinh này sơn 30 viên bi đó bởi một số màu (mỗi viên được sơn đúng một màu, một màu có thể sơn cho nhiều viên bi), sao cho không có 2 viên bi nào trong cùng một hộp có màu giống nhau và từ hai hộp bất kì không thể chọn ra được 8 viên bi được sơn bởi 4 màu. Chứng minh rằng với mọi cách chia, học sinh đều phải dùng không ít hơn 10 màu để sơn bi. c) Hãy chỉ ra một cách chia sao cho với đúng 10 màu, học sinh có thể sơn bi thỏa mãn các điều kiện ở câu b).
Bài 7 (7 điểm). Cho tam giác nhọn không cân $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $D$ là giao điểm hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $C$. Đường tròn đi qua $A$ và tiếp xúc với $B C$ tại $B$ cắt trung tuyến đi qua $A$ của tam giác $A B C$ tại $G$. Cho $B G, C G$ lần lượt cắt $C D, B D$ tại $E, F$. a) Đường thẳng đi qua trung điểm của $B E$ và $C F$ lần lượt cắt $B F, C E$ tại $M, N$. Chứng minh rằng các điểm $A, D, M, N$ cùng thuộc một đường tròn. b) Cho $A D, A G$ lần lượt cắt lại đường tròn ngoại tiếp các tam giác $D B C, G B C$ tại $H, K$. Trung trực của $H K, H E, H F$ lần lượt cắt $B C, C A, A B$ tại $R, P, Q$. Chứng minh rằng các điểm $R, P, Q$ thẳng hàng.
Bài 1 (5,0 điểm) Cho $a$ là một số thực không âm và dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định bởi $$ u_1=6, u_{n+1}=\dfrac{2 n+a}{n}+\sqrt{\dfrac{n+a}{n} u_n+4}, \quad \forall n \geq 1 . $$ a) Với $a=0$, chứng minh rằng $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. b) Với mọi $a \geq 0$, chứng minh rằng $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn.
Bài 2 (5,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:(0 ;+\infty) \rightarrow(0 ;+\infty)$ thoả mãn $$ f\left(\dfrac{f(x)}{x}+y\right)=1+f(y), \forall x, y \in(0 ;+\infty) . $$
Bài 3(5,0$ điểm) Cho tam giác nhọn $A B C$. Các điểm $E, F$ lần lượt thay đổi trên tia đối của các tia $B A, C A$ sao cho $B F=C E(E \neq B, F \neq C)$. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của $B E, C F$ và $D$ là giao điểm của $B F$ với $C E$. a) Gọi $I, J$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $D B E, D C F$. Chứng minh rằng $M N$ song song với $I J$. b) Gọi $K$ là trung điểm của $M N$ và $H$ là trực tâm của tam giác $A E F$. Chứng minh rằng $H K$ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4 (5,0 điểm) Với mỗi cặp số nguyên dương $(n, m)$ thoả mãn $n<m$, gọi $s(n, m)$ là số các số nguyên dương thuộc đoạn $[n ; m]$ và nguyên tố cùng nhau với $m$. Tìm tất cả các số nguyên dương $m \geq 2$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) $\dfrac{s(n, m)}{m-n} \geq \frac{s(1, m)}{m}$ với mọi $n=1,2, \ldots, m-1$; ii) $2022^m+1$ chia hết cho $m^2$.
Ngày thi thứ hai. Thời gian làm bài 180 phút.
Bài 5(6,0 điểm) Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là hai đa thức khác hằng, có hệ số là các số nguyên không âm, trong đó các hệ số của $P(x)$ đều không vượt quá 2021 và $Q(x)$ có ít nhất một hệ số lớn hơn 2021. Giả sử $P(2022)=Q(2022)$ và $P(x), Q(x)$ có chung nghiệm hữu tỷ $\dfrac{p}{q} \neq 0(p, q \in \mathbb{Z} ; p$ và $q$ nguyên tố cùng nhau). Chứng minh rằng $|p|+n|q| \leq Q(n)-P(n)$ với mọi $n=1,2, \ldots, 2021$.
Bài 6 (7,0 điểm) Gieo 4 con súc sắc cân đối, đồng chất. Ký hiệu $x_i\left(1 \leq x_i \leq 6\right)$ là số chấm trên mặt xuất hiện của con súc sắc thứ $i(i=1,2,3,4)$. a) Tính số các bộ $\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)$ có thể có. b) Tính xác suất để có một số trong $x_1, x_2, x_3, x_4$ bằng tổng của ba số còn lại. c) Tính xác suất để có thể chia $x_1, x_2, x_3, x_4$ thành hai nhóm có tổng bằng nhau.
Bài 7 (7,0 điểm) Cho tam giác $A B C$ có $B, C$ cố định trên đường tròn $(O)$ ( $B C$ không đi qua tâm $O$ ) và điểm $A$ thay đổi trên cung lớn $\overparen{B C}$ sao cho $A B \neq A C$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $A B C$ tiếp xúc với $B C$ tại $D$. Gọi $I_a$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $\widehat{B A C}, L$ là giao điểm của $I_a D$ với $O I$ và $E$ là điểm trên $(I)$ sao cho $D E$ song song với $A I$. a) Đường thẳng $L E$ cắt đường thẳng $A I$ tại $F$. Chứng minh rằng $A F=A I$. b) Trên đường tròn $(J)$ ngoại tiếp tam giác $I_a B C$ lấy điểm $M$ sao cho $I_a M$ song song với $A D, M D$ cắt lại $(J)$ tại $N$. Chứng minh rằng trung điểm $T$ của $M N$ luôn thuộc một đường tròn cố định.
Bài 1 (5,0 điểm) Xét dãy số $\left(a_n\right)$ thỏa mãn $a_1=\frac{1}{2}, a_{n+1}=\sqrt[3]{3 a_{n+1}-a_n}$ và $0 \leq a_n \leq 1$, với mọi $n \geq 1$. a) Chứng minh rằng dãy $\left(a_n\right)$ xác định duy nhất và có giới hạn hữu hạn. b) Cho dãy số $\left(b_n\right)$ xác định bởi $b_n=\left(1+2 a_1\right)\left(1+2^2 a_2\right) \cdots\left(1+2^n a_n\right)$ với mọi $n \geq 1$. Chứng minh rằng dãy $\left(b_n\right)$ có giới hạn hữu hạn.
Bài 2 (5,0 điểm) Cho các số nguyên $a, b, c, \alpha, \beta$ và dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $$ u_1=\alpha, u_2=\beta, u_{n+2}=a u_{n+1}+b u_n+c \text { với mọi } n \geq 1 \text {. } $$ a) Chứng minh rằng nếu $a=3, b=-2, c=-1$ thì có vô số cặp số nguyên $(\alpha ; \beta)$ để $u_{2023}=2^{2022}$. b) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n_0$ sao cho có duy nhất một trong hai khẳng định sau là đúng: i) Có vô số số nguyên dương $m$ để $u_{n_0} u_{n_0+1} \cdots u_{n_0+m}$ chia hết cho $7^{2023}$ hoặc $17^{2023}$; ii) Có vô số số nguyên dương $k$ để $u_{n_0} u_{n_0+1} \cdots u_{n_0+k}-1$ chia hết cho 2023.
Bài 3 (5,0 điểm) Tìm số thực dương $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức $$ \frac{1}{k a b+c^2}+\frac{1}{k b c+a^2}+\frac{1}{k c a+b^2} \geq \frac{k+3}{a^2+b^2+c^2} $$ đúng với mọi bộ ba số thực dương $(a ; b ; c)$ thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2=2(a b+b c+c a)$. Bài 4 (5,0 điểm) Cho tứ giác $A B C D$ có $D B=D C$ và nội tiếp một đường tròn. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của $A B, A C$ và $J, E, F$ tương ứng là các tiếp điểm của đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $A B C$ với $B C, C A, A B$. Đường thẳng $M N$ cắt $J E, J F$ lần lượt tại $K, H ; I J$ cắt lại đường tròn $(I B C)$ tại $G$ và $D G$ cắt lại $(I B C)$ tại $T$. a) Chứng minh rằng $J A$ đi qua trung điểm của $H K$ và vuông góc với $I T$. b) Gọi $R, S$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $A B, A C$. Lấy các điểm $P, Q$ lần lượt trên $I F, I E$ sao cho $K P$ và $H Q$ đều vuông góc với $M N$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $M P, N Q$ và $R S$ đồng quy.
Ngày thi thứ hai. Thời gian làm bài 180 phút.
Bài 5 (6,0 điểm) Xét các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ và $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f(0)=2022$ và $$ f(x+g(y))=x f(y)+(2023-y) f(x)+g(x) \text { với mọi } x, y \in \mathbb{R} \text {. } $$ a) Chứng minh rằng $f$ là một toàn ánh và $g$ là một đơn ánh. b) Tìm tất cả các hàm số $f$ và $g$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài 6 (7,0 điểm) Có $n \geq 2$ lớp học tổ chức $m \geq 1$ tổ ngoại khóa cho học sinh. Lớp nào cũng có học sinh tham gia ít nhất một tổ ngoại khóa. Mọi tổ ngoại khóa đều có đúng a lớp có học sinh tham gia. Với hai tổ ngoại khóa bất kỳ, có không quá $b$ lớp có học sinh tham gia đồng thời cả hai tổ này. a) Tính $m$ khi $n=8, a=4, b=1$. b) Chứng minh rằng $n \geq 20 \mathrm{khi} m=6, a=10, b=4$. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ khi $m=20, a=4, b=1$.
Bài 7 (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn, không cân $A B C$ có trực tâm $H$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $A B C$ tiếp xúc với các cạnh $B C, C A, A B$ tương ứng tại $M, N, P$. Gọi $\Omega_A$ là một đường tròn đi qua $A$, tiếp xúc ngoài với $(I)$ tại một điểm $A^{\prime}$ và cắt lại $A B, A C$ tương ứng tại $A_b, A_c$. Các đường tròn $\Omega_B, \Omega_C$ và các điểm $B^{\prime}, B_a, B_c$, $C^{\prime}, C_a, C_b$ được xác định một cách tương tự. a) Chứng minh rằng $B_c C_b+C_a A_c+A_b B_a \geq N P+P M+M N$. b) Xét trường hợp $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ tương ứng thuộc các đường thẳng $A M, B N, C P$. Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh tương ứng thuộc ba đường thẳng $A_b A_c, B_c B_a, C_a C_b$. Chứng minh rằng $O H$ song song với $I K$.
Bài 1. Cho ba số thực $a, b, c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. (a) Chứng minh rằng $(a b+b c+c a)(a b c+1) \geq 6 a b c$. (b) Tìm số nguyên dương k lớn nhất sao cho $a b c\left(a^k+b^k+c^k\right) \leq 3$.
Bài 2 .Với mỗi số thực $x,[x]$ gọi là phần nguyên của $x$ – là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ và ${x}:=x-[x]$ gọi là phần lẻ của $x$. Cho $p$ là số nguyên tố lẻ, chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$ nhỏ hơn $p$ thì tổng $$S=\left\{\frac{k}{p}\right\}+\left\{\frac{2 k}{p}\right\}+\left\{\frac{3 k}{p}\right\}+\ldots+\left\{\frac{(p-1) k}{p}\right\}$$ không đổi. Tính S.
Bài 3. Cho tam giác $A B C$ nôi tiếp đường tròn $(\omega)$, tiếp tuyến của $(\omega)$ tai $\mathrm{B}$ là $d_1$, tai $\mathrm{C}$ là $d_2$. I là điểm thuôc trung trự $\mathrm{BC}$, đường tròn tâm $\mathrm{I}$ bán kính $\mathrm{IB}$ cắt các canh $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$ tại $\mathrm{D}, \mathrm{E}$. $\mathrm{CD}$ cắt $d_1$ tai $\mathrm{F}, \mathrm{BE}$ cắt $d_2$ tai $\mathrm{G}$ sao cho $\mathrm{F}, \mathrm{G}$ cùng phía $\mathrm{A}$ so với $\mathrm{BC}$. Đường tròn ngoai tiếp tam giác $\mathrm{BDF}$ cắt $\mathrm{BE}$ tại $\mathrm{K}$, đường tròn ngoại tiếp tam giác CEG cắt $\mathrm{CD}$ tại L. (a) Khi $\mathrm{I}$ thuộc $\mathrm{BC}$, gọi $\mathrm{P}$ là giao điểm của $\mathrm{FK}$ và $\mathrm{GL}$. Chứng minh $\mathrm{AP}$ đi qua tâm của $(\omega)$. (b) Khi I khác phía $\mathrm{A}$ đối với $\mathrm{BC}, \mathrm{DE}$ cắt $d_1$ tại $\mathrm{R}, d_2$ tại $\mathrm{S}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ISR cắt $\mathrm{BC}$ tại $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$. Chứng minh $B X=C Y$.
Bài 4 Tìm số nguyên dương $s$ lớn nhất thỏa mãn tính chất sau: Với mọi bộ số nguyên dương nhỏ hơn hay bằng 10 (không nhất thiết phân biệt) có tồng bằng $s$ ta luôn có thể chia thành hai nhóm mà tổng các số thuộc mỗi nhóm nhỏ hơn hay bằng 70 .
Lời giải
Bài 1.
(a) Đặt $a=\min {a, b, c}$, suy ra $a \leq 1$. Khi đó $(a-1)^3 \leq 1 \Rightarrow a^3-3 a^2+3 a-1 \leq 0 \Rightarrow \frac{1}{a}+a(3-a) \geq 3$, suy ra $\frac{1}{a}+a b+a c \geq 3$, hơn nữa $$ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+b c \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{b} \frac{1}{c} b c}=3 $$ Từ đó $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a b+b c+a c \geq 6$. hay $(a b+b c+c a)(a b c+1) \geq 6 a b c$. (b) Cho $a=2, b=c=\frac{1}{2}$, suy ra $k<3$, ta chứng minh $k=2$ thì bất đẳng thức thỏa với mọi $a, b, c$ thỏa điều kiện, thật vậy
Với $p$ nguyên tố lẻ thì $(k, p)=1$ với mọi $0<k<p$. Ta chứng minh $p-1$ số $k, 2 k, \cdots,(p-1) k$ là hệ thặng dư thu gọn của $p$, thật vậy, giả sử $i k \equiv j k($ $\bmod p)$ với $i, j<p$ thì $k(i-j) \equiv 0(\bmod p)$, suy ra $i=j$. Khi đó $S=\left\{\frac{k}{p}\right\}+\left\{\frac{2 k}{p}\right\}+\left\{\frac{3 k}{p}\right\}+\ldots+\left\{\frac{(p-1) k}{p}\right\}=\frac{1}{p}+\frac{2}{p}+\cdots \frac{p-1}{p}=$ $\frac{p-1}{2}$ không đổi.
Bài 3.
(a) Gọi $O$ là tâm của $\omega$. Ta có $\angle S D B=\angle A D E=\angle A C B=\angle S B D$ nên $\triangle S B D$ cân tại $S$. Tương tự $\triangle R E C$ cân tại $R$. Biến đổi góc $$ \angle K F L=\angle K F D=\angle K B D=\angle D C E=\angle E G L \angle K G L, $$ suy ra $F, K, L, G$ đồng viên. Do $I \in B C$ nên $\angle B D C=90^{\circ}$, mà $\triangle S B D$ cân tại $S$ nên $S$ là tâm đường tròn $(F D K)$. Tương tự, $R$ là tâm đường tròn $(G E L)$. Ta có $$ A D \cdot A B=A E \cdot A C, \quad P K \cdot P F=P L \cdot P G, $$ suy ra $A P$ là trục đẳng phương của hai đường tròn $(F D K)$ và $(G E L)$, do đó $A P \perp R S$. Mà $A O \perp D E$ nên $A, O, P$ thằng hàng.
(b) Gọi $M, N$ lần lượt là giao điểm của $I S, I R$ với $B C . \triangle S B D$ cân tại $S$ nên suy ra $I S$ là đường trung trực của $B D$, tương tự $I R$ là đường trung Tập san Toán học STAR EDUCATION trực của $E C$. Biến đổi góc $$ \begin{aligned} & \angle M S D=90^{\circ}-\angle S D B=90^{\circ}-\angle A D E=90^{\circ}-\angle A C B=\angle C N G . \ \Rightarrow & \angle I S R=\angle Y N G \Rightarrow \angle I S Y+\angle Y S R=\angle M Y I+\angle Y I R \Rightarrow \angle I S Y= \ & \angle X Y I=\angle X S I . \end{aligned} $$ Vậy $S I$ là tia phân giác của $\angle X S Y$ nên $I$ nằm trên đường trung trực của $X Y$. Mà $I$ cũng nằm trên đường trung trực của $B C$ nên $B X=C Y$.
Bài 4.
Ta chứng minh rằng $s=133$ là số lớn nhất thoả mãn điều kiện bài toán. Trước hết, giả sử rằng $s$ là một số thoả mãn điều kiện đã cho.
Viết $s=9 k+r (k, r \in \mathbb{Z}{\geq 0}, 1 \leq r \leq 9 )$.
Nếu $s \geq 134$, xét một bộ số gồm $k$ số 9 và số còn lại bằng $s-9 k$. Trong bộ số này có không quá một số khác 9 nên khi chia chúng thành hai phần khác rỗng, phải có ít nhất một bộ chứa toàn số 9. Hơn nữa, $$ 9 \cdot 7=63<70<9 \cdot 8 $$ nên bộ số này có tổng tối đa là 63 . Nhưng khi đó tổng của các số còn lại, gọi là $T$, sẽ phải thoả mãn $$ T \geq 134-63=71>70 $$ vô lý do $T \leq 70$. Từ đó phải có $s \leq 133$. Bây giờ ta chứng minh rằng $s=133$ thoả mãn điều kiện bài toán. Trước hết, ta chứng minh rằng với mọi bộ số nguyên dương không vượt quá 10 có tổng bằng 133, khi chia thành hai phần khác rỗng là $X, Y$ khác rống (có thể có các phần tử trùng nhau), sao cho
$$ M=\sum{x \in X} x-\sum_{y \in Y} y \geq 0$$
và $M$ nhỏ nhất có thể, thì $M \leq 8$. Thật vậy, giả sử rằng $M \geq 9$ thì $$ \sum_{x \in X} \geq \frac{1}{2}\left(\sum_{x \in X} x+\sum_{y \in Y} y+9\right) \geq \frac{133+9}{2}=71 . $$ Vì mỗi phần tử của $X$ không vượt quá 10 nên $X$ có ít nhất 8 phần tử. Đặt $t=\min X$. Xét hai tập hợp $$ \left\{\begin{array}{l} X^{\prime}=X \cup{t} \ Y^{\prime}=Y \backslash{t} \end{array}\right. $$ thì $X^{\prime}, Y^{\prime} \neq \emptyset$, đều gồm các số nguyên dương không vượt quá 10 , và có tổng bằng 133. Vì tính nhỏ nhất của $M$ nên $$ M \leq\left|\sum_{x \in X^{\prime}} x-\sum_{y \in Y^{\prime}} y\right|=\left|\sum_{x \in X} x-\sum_{y \in Y} y-2 t\right|=|M-2 t| $$ Kết hợp với $M \geq 9$ và $1 \leq t \leq 10$ thì $9 \leq M \leq t \leq 10$. Có hai khả năng sau:
Nếu $M=10$ thì $$ \sum_{x \in X} x=\frac{133+10}{2} \notin \mathbb{Z} $$ là một điều vô lý.
Nếu $M=9$ thì $$ \sum_{x \in X} x=\frac{133+9}{2}=71 . $$ Nếu $t=9$ thì $X$ gồm toàn số 9 và số 10 , nên có thể viết được $$ 71=9 k+10 l\left(k, l \in \mathbb{Z}{\geq 0}\right) . $$ Do đó $9 k \equiv 1(\bmod 10)$, dẫn đến $k \equiv 9(\bmod 10)$ và $k \geq 9$. Hệ quả là $$ 9 k+10 l \geq 9 k \geq 81>71 $$ cũng là điều vô lý. Từ đó điều giả sử là sai hay phải có $M \leq 8$, dẫn đến $$ \sum{y \in Y} y \leq \sum_{x \in X} x \leq \frac{1}{2}\left(\sum_{x \in X}+\sum_{y \in Y} y+8\right)=\frac{133+8}{2} . $$ Nhưng các tổng là số nguyên nên $$ \sum_{y \in Y} y \leq \sum_{x \in X} x \leq 70, $$ nghĩa là cách chia $(X, Y)$ thoả mãn điều kiện bài toán. Tóm lại, $s=133$ là số lớn nhất thoả mãn yêu cầu đề bài. Bài toán kết thúc.
Bài 1. (1,0 diểm) Cho $x, y$ là hai số thực thỏa mãn $x y+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=1$. Tính giá trị của biểu thức $M=\left(x+\sqrt{1+y^2}\right)\left(y+\sqrt{1+x^2}\right)$. Bài 2. (2,5 diểm) a) Giải phương trình $\sqrt{x+4}+|x|=x^2-x-4$. Bài 3. (1,5 diểm) Cho hình vuông $A B C D$ Trên các cạnh $B C$ và $C D$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $\angle M A N=45^{\circ}$. a) Chứng minh $M N$ tiếp xúc với dường tròn tâm $A$ bán kính $A B$. b) Kẻ $M P$ song song với $A N$ ( $P$ thuộc đoạn $A B)$ và kẻ $N Q$ song song với $A M(Q$ thuộc đoạn $A D)$. Chứng minh $A P=A Q$. Bài 4. (2,0 diểm) Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa $a+b+c=3$. a) Chứng minh rằng $a b+b c+c a \leq 3$. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}$. Bài 5. (2,0 diểm) Cho tam giác $A B C$ nhọn $(A B<A C)$ có các đường cao $A D, B E, C F$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $E F$ cắt đường thẳng $B C$ tại $I$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $I H$ tại $K$ và cắt $B C$ tại $M$. a) Chứng minh tứ giác $I F K C$ nội tiếp và $\frac{B I}{B D}=\frac{C I}{C D}$. b) Chứng minh $M$ là trung diểm của $B C$.
Bài 6. (1,0 diểm) Số nguyên dương $n$ được gọi là “số tốt” nếu $n+1$ và $8 n+1$ dều là các số chính phương. a) Hãy chỉ ra ví dụ ba “số tốt” lần lượt có 1, 2, 3 chữ số. b) Tìm các số nguyên $k$ thỏa mãn $|k| \leq 10$ và $4 n+k$ là hợp số với mọi $n$ là “số tốt”.
Đáp án được thực hiện vởi Star Education
Bài 1.
Điều kiện: $x y \leq 1$. Biến đổi giả thiết $$ \sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=1-x y \Leftrightarrow\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)=(1-x y)^2 \Leftrightarrow(x+y)^2=0 \Leftrightarrow y=-x . $$ Thay vào biểu thức $M$ ta được $$ \begin{aligned} M & =\left(x+\sqrt{1+y^2}\right)\left(y+\sqrt{1+x^2}\right) \ & =\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(-x+\sqrt{1+x^2}\right) \ & =\left(\sqrt{1+x^2}\right)^2-x^2=1 \end{aligned} $$
Bài 2.
a)
Lời giải: a) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x+4 \geq 0 \\\\ x^2-x-4 \geq 0\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}-4 \leq x \leq \frac{1-\sqrt{17}}{2} \\\\ x \geq \frac{1+\sqrt{17}}{2}\end{array}\right.$ Phương trình đã cho tương đương $$ x^2-\sqrt{x+4}-|x|-(x+4)=0 \Leftrightarrow(|x|+\sqrt{x+4})(|x|-\sqrt{x+4}-1)=0 \Leftrightarrow|x|-1=\sqrt{x+4} $$
Nếu $x<0,(1) \Rightarrow-x-1=\sqrt{x+4}$ $$ \Rightarrow x^2+2 x+1=x+4 \Leftrightarrow x^2+x-3=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\frac{-1+\sqrt{13}}{2} \text { (Loại) } \\\\ x=\frac{-1-\sqrt{13}}{2} \text { (Nhận) } \end{array} .\right. $$ Thử lại, ta được $x=\frac{3+\sqrt{21}}{2}$ và $x=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$ là các nghiệm của phương trình đã cho.
b) Điều kiện: $(x+y)(y+z)(z+x) \neq 0$. Hệ dã cho tương dương $$ \left\{\begin{array} { l } { \frac { x } { y + z } + 1 = 2 x } \\\\ { \frac { y } { z + x } + 1 = 3 y } \\\\ { \frac { z } { x + y } + 1 = 5 z } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { \frac { x + y + z } { y + z } = 2 x } \\\\ { \frac { x + y + z } { z + x } = 3 y } \\\\ { \frac { x + y + z } { x + y } = 5 z } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x+y+z=2 x(y+z) \\\\ x+y+z=3 y(z+x) \\\\ x+y+z=5 z(x+y) \end{array}\right.\right.\right. $$ Dễ thấy $x y z \neq 0$. Từ trên suy ra $$ 2 x(y+z)=3 y(z+x)=5 z(x+y) \Leftrightarrow 2\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)=5\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) . $$ Ta tính được $\frac{1}{z}=\frac{19}{x}, \frac{1}{y}=\frac{11}{x} \Rightarrow x=11 y=19 z$. Thay lại vào phương trình $(*)$ ta dược $$ x+\frac{x}{11}+\frac{x}{19}=2 x\left(\frac{x}{11}+\frac{x}{19}\right) \Leftrightarrow 1+\frac{1}{11}+\frac{1}{19}=2\left(\frac{x}{11}+\frac{x}{19}\right) \Leftrightarrow x=\frac{239}{60} . $$ Suy ra $y=\frac{239}{660}, z=\frac{239}{1140}$. Vậy nghiệm duy nhất của hệ là $(x, y, z)=\left(\frac{239}{60}, \frac{239}{660}, \frac{239}{1140}\right)$.
Bài 3.
a) Trên tia đối của tia $D C$ lấy $F$ sao cho $D F=B M$. Xét $\triangle A D F$ và $\triangle A B M$ có $A D=A B, \angle A D F=\angle A B M=90^{\circ}$ và $D F=B M$. Do đó $\triangle A D F=\triangle A B M(\mathrm{c}-\mathrm{g}-\mathrm{c})$ $\Rightarrow \angle D A F=\angle B A M$ và $A F=A M$. Suy ra $\angle D A F+\angle D A N=\angle B A M+\angle D A N=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$. $\Rightarrow \angle N A F=45^{\circ}=\angle N A M$, mà $A F=A M$ nên $\triangle N A F=\triangle N A M$. (c-g-c) Kẻ $A E \perp M N(E \in M N) \Rightarrow A E=A D=A B \Rightarrow M N$ tiếp xúc với $(A, A B)$. b) Ta có: $\triangle N A F=\triangle N A M \Rightarrow \angle A N F=\angle A N M$, mà $\angle A N F=\angle N A P($ do $D C | A B)$, dẫn đến $\angle A N M=\angle N A P$.
Từ $A N | M P \Rightarrow A P M N$ là hình thang, kết hợp với $\angle A N M=\angle N A P$, ta được $A P M N$ là hình thang cân. Do đó $A P=M N$, tương tự ta cũng có $A Q=M N$, dẫn dến $A P=A Q$.
Bài 4.
a)
a) Ta có $a^2+b^2 \geq 2 a b, b^2+c^2 \geq 2 b c, c^2+a^2 \geq 2 c a$ nên $$ 2\left(a^2+b^2+c^2\right) \geq 2(a b+b c+c a) \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq a b+b c+c a . $$ Khi đó $$ \begin{aligned} 9=(a+b+c)^2 & =a^2+b^2+c^2+2 a b+2 b c+2 c a \ & \geq a b+b c+c a+2(a b+b c+c a)=3(a b+b c+c a) \end{aligned} $$ Do đó $a b+b c+c a \leq 3$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.
b)
b) Ta có $$ \begin{aligned} & \frac{a}{b^2+1}-a=\frac{-a b^2}{b^2+1} \geq-\frac{a b^2}{2 b}=-\frac{a b}{2} \ & \frac{b}{c^2+1}-b=\frac{-b c^2}{c^2+1} \geq-\frac{b c^2}{2 c}=-\frac{b c}{2} \ & \frac{c}{a^2+1}-c=\frac{-c a^2}{a^2+1} \geq-\frac{c a^2}{2 a}=-\frac{c a}{2} \end{aligned} $$ Do đó $$ \begin{aligned} & \frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c^2}{a^2+1}-(a+b+c) \geq-\frac{a b+b c+c a}{2} \geq-\frac{3}{2} \ \Rightarrow & \frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1} \geq-\frac{3}{2}+a+b+c=\frac{3}{2} \end{aligned} $$ Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\frac{3}{2}$, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.
Bài 5.
Vẽ dường tròn $(O)$ ngoại tiếp $\triangle A B C$ a) Ta có: Các tứ giác $A F D C, A K D I, B F E C, A F H E$ nội tiếp. $\Rightarrow H F \cdot H C=H D \cdot H A=H K . H I \Rightarrow I F K C$ nội tiếp. Mặt khác: $\widehat{I F B}=\widehat{A C B}=\widehat{B F D}$ (do các tứ giác $B F E C, A F D C$ nội tiếp) $\Rightarrow F B$ là phân giác $\widehat{I F D}$. Mà $F B \perp F C$ nên $F B$ là phân giác trong, $F C$ là phân giác ngoài $\triangle I F D$ $$ \Rightarrow \frac{B I}{B D}=\frac{C I}{C D} $$ b) Gọi $S$ là giao điểm thứ hai của $I A$ và đường tròn ngoại tiếp $O$. Ta chứng minh được $I F . I E=I B . I C=I S . I A$ $\Rightarrow A S F E$ nội tiếp hay 5 điểm $A, S, F, H, E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $A H$ $\Rightarrow \widehat{A S H}=\widehat{A F H}=90^{\circ}$ Mặt khác do: $I K \perp A M, A D \perp I M$ nên $H$ là trực tâm $\triangle A I M \Rightarrow M H \perp A I$. Từ đó, ta có: $S, H, M$ thẳng hàng. Vẽ đường kính $A Q$ của đường tròn ngoại tiếp $\triangle A B C$. Ta có $\widehat{A S Q}=90^{\circ}$ nên $S, H, M, Q$ thẳng hàng Xét tứ giác $B H C Q$ có: $B H / / C Q$ (cùng $\perp A C)$ và $C H / / B Q($ cùng $\perp A B)$ Nên $B H C Q$ là hình bình hành nghĩa là có $M$ là trung điểm $B C$.
Bài 6.
Lời giải: a) Ví dụ: $3\left(3+1=2^2\right.$ và $\left.8 \cdot 3+1=5^2\right), 15\left(15+1=4^2\right.$ và $\left.8 \cdot 15+1=11^2\right)$ và 120 $\left(120+1=11^2\right.$ và $\left.8 \cdot 120+1=31^2\right)$. b) Nhận xét $a^2 \equiv 0,1(\bmod 3)$ với mọi $a \in \mathbb{N}$. Đặt $n+1=x^2$ và $8 n+1=y^2(x, y \in \mathbb{N})$.
Nếu $n \equiv 2(\bmod 3)$ thì $y^2=8 n+1 \equiv 17 \equiv 2(\bmod 3)$, vô lí. Vậy $n \equiv 0(\bmod 3)$ hay $n$ chia hết cho 3 . Nếu $k=1,5,7,-5,-7$ thì với $n=3$ (là số tốt), $4 n+k$ nhận các giá trị $13,17,19,7,5$ là các số nguyên tố. (Loại) Nếu $k=-1$, với $n=15$ (là số tốt) thì $4 n+k=59$ là số nguyên tố. (Loại) Nếu $k=-10$, với $n=3$ thì $4 n+k=2$ là số nguyên tố. (Loại) Nếu $k=-9$, với $n=3$ thì $4 n+k=3$ là số nguyên tố. (Loại) Nếu $k \geq-8, k$ chẵn hoặc $k$ chia hết cho 3 thì $4 n+k \geq 4 \cdot 3-8=4$ và $4 n+k$ có ước là 2 hoặc 3 , do đó $4 n+k$ là hợp số. Vậy các giá trị cần tìm của $k$ là $$ k \in{-8,-6,-4,-3,-2,0,2,3,4,6,8,9,10} . $$
