Tag Archives: DapAn

ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN SGD TPHCM NĂM 2022

Thời gian làm bài 150 phút

Bài 1: ( 1,0 điểm)
Cho $x, y$ là hai số thực thỏa mãn $x y+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=1$.
Tính giá trị của biểu thức $M=\left(x+\sqrt{1+y^2}\right)\left(y+\sqrt{1+x^2}\right)$.

Bài 2: (2,5 điểm)
a) Giải phương trình $\sqrt{x+4}+|x|=x^2-x-4$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{y+z}=2 x-1 \\\ \frac{y}{z+x}=3 y-1 \\\ \frac{z}{x+y}=5 z-1\end{array}\right.$

Bài 3: (1,5 điểm)
Cho hình vuông $A B C D$. Trên các cạnh $B C$ và $C D$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $\widehat{M A N}=45^{\circ}$.
a) Chứng minh $M N$ tiếp xúc với đường tròn tâm $A$ bán kính $A B$.
b) Kė $M P$ song song với $A N$ ( $P$ thuộc đoạn $A B$ ) và kẻ $N Q$ song song với $A M$ ( $Q$ thuộc đoạn $A D$ ). Chứng minh $A P=A Q$.
Bài 4: (2,0 điếm)
Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa $a+b+c=3$.
a) Chứng minh rằng $a b+b c+c a \leq 3$.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}$.

Bài 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác $A B C$ nhọn $(A B<A C)$ có các đường cao $A D, B E, C F$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $E F$ cắt đường thẳng $B C$ tại $I$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $I H$ tại $K$ và cắt $B C$ tại $M$.
a) Chứng minh tứ giác $I F K C$ nội tiếp và $\frac{B I}{B D}=\frac{C I}{C D}$.
b) Chứng minh $M$ là trung điểm của $B C$.

Bài 6: (1,0 điểm )
Số nguyên dương $n$ được gọi là “số tốt” nếu $n+1$ và $8 n+1$ đều là các số chính phương.
a) Hãy chỉ ra ví dụ ba “số tốt” lần lượt có $1,2,3$ chữ số.
b) Tìm các số nguyên $k$ thỏa mãn $|k| \leq 10$ và $4 n+k$ là hợp số với mọi $n$ là “số tốt”.

Đáp án do Star Education thực hiện

ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI VÀO 10 CHUYÊN TOÁN SGD THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM 2023

THỜI GIAN LÀM BÀI 150 PHÚT

Bài 1. (1,0 diểm) Cho $a, b$ là các số thực, $b \neq 0$ thỏa mãn điều kiện
$$
a^2+b^2=\frac{4 b^2}{\sqrt{a^2+b^2}+a}+a \sqrt{a^2+b^2}
$$

Tính giá trị của biểu thức $P=a^2+b^2$.
Bài 2. (2,5 điếm)
a) Giải phương trình: $x=\frac{5}{x-1}+2 \sqrt{x-2}$.
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{9 y+49}{x+y}+x+y=23 \\\ x \sqrt{x}+y \sqrt{y}=7(\sqrt{x}+\sqrt{y})\end{array}\right.$.

Bài 3. (2,5 điểm) Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A(A B<A C)$, có đường cao $A H$. Dường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $A B C$, tiếp xúc với các cạnh $B C, C A, A B$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $J$ là giao điểm của $A I$ và $D E . K$ là trung điểm $A B$.
a) Chứng minh tứ giác $B I J D$ nội tiếp
b) Gọi $M$ là giao điểm của $K I$ và $A C, N$ là giao điểm của $A H$ và $E D$. Chứng minh $A M=A N$.
c) Gọi $Q$ là giao điểm của $D I$ và $E F, P$ là trung điểm của $B C$. Chứng minh ba điểm $A, P, Q$ thẳng hàng.

Bài 4. (2,0 diểm) Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $\sqrt{1+4 x y+2 x+2 y}+2 z=5$.
a) Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{(2 x+1)(2 y+1)}}+\frac{1}{2 z+1} \geq \frac{2}{3}$.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biễu thức $P=\frac{x+1}{2 x+1}+\frac{y+1}{2 y+1}+\frac{2 z+3}{4 z+2}$.

Bài 5. (1,0 điểm) Cho đường tròn tâm $O$ nội tiếp hình thoi $A B C D$. Gọi $E, F, G, H$ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $A B, B C, C D, D A$ sao cho $E F, G H$ cùng tiếp xúc với $(O)$.
a) Chứng minh $C G \cdot A H=A O^2$.
b) Chứng minh $E H$ song song $F G$.

Bài 6. (1,0 điểm) Xét các số nguyên $a<b<c$ thỏa mãn $n=a^3+b^3+c^3-3 a b c$ là số nguyên tố.
a) Chứng minh $a<0$.
b) Tìm tât cả các số nguyên $a, b, c(a<b<c)$ sao cho $n$ là một ước của 2023.

ĐÁP ÁN CỦA GIÁO VIÊN STAR EDUCATION

ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NĂM 2024

Thời gian làm bài: 150 phút

Đề bài:

Bài 1. (2 điểm)
1) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^3+z^3=y \\\ y^3+x^3=z \\\ z^3+y^3=x\end{array}\right.$.
2) Cho hai số nguyên dương $a, b$ phân biệt. Chứng minh phương trình sau có đúng ba nghiệm
$$
(\sqrt{x}-1)\left[x^2-2(a+b) x+a b+2\right]=0 .
$$

Bài 2. (1.5 điểm) Cho ba số thực $a, b, c$ không âm thóa mãn: $a^2+b^2+c^2+3=2(a b+b c+c a)$.
Chứng minh
$$
3 \leq a+b+c \leq \frac{2(a b+b c+c a)+3}{3} .
$$

Bài 3. (2 điểm) Với mỗi số tự nhiên $\mathrm{n}$, đặt $a_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$.
a) Chứng minh $a_{n+2}=4 a_{n+1}-a_n$ với mọi $n=0,1,2, \ldots$.
b) Tìm $\mathrm{n}$ để $a_n$ chia hết cho 4 .
c) Tìm $\mathrm{n}$ đề $a_n$ chia hết cho 14 .

Bài 4. (3 điểm) Cho tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn $(\mathrm{O})$ có tam giác $A B D$ là tam giác nhọn và đường chéo $\mathrm{AC}$ đi qua tâm $\mathrm{O}$ của đường tròn $(\mathrm{O})$. Gọi $\mathrm{I}$ là trung điểm $\mathrm{BD}, \mathrm{H}$ là trực tâm của tam giác $A B D$, $\mathrm{E}$ là giao điểm khác $\mathrm{A}$ của $\mathrm{AI}$ với $(\mathrm{O})$ và $\mathrm{K}$ là hình chiếu vuông góc của $\mathrm{H}$ lên $\mathrm{AI}$.
a) Chứng minh $C E H K$ là hình bình hành và $I B^2=I D^2=I A \cdot I K$.
b) Lấy điểm $\mathrm{F}$ trên cung nhỏ $\widehat{B D}$ của đường tròn $(\mathrm{O})$ sao cho $\widehat{B A F}=\widehat{D A I}$. Chứng minh các điểm $\mathrm{K}$ và $\mathrm{F}$ đối xứng nhau qua đường thẳng $\mathrm{BD}$.
c) Chứng minh các đường phân giác trong các góc $\widehat{B A D}$ và $\widehat{B K D}$ cắt nhau trên $\mathrm{BD}$.
d) Trên đường thẳng qua $\mathrm{H}$ và song song $\mathrm{AC}$ lấy điểm $\mathrm{T}$ sao cho $T H=T K$. Chứng minh các điểm $\mathrm{O}, \mathrm{K}, \mathrm{F}, \mathrm{T}$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 5. (1.5 điểm) Cho các sổ nguyên dương $a_1<a_2<a_3<\ldots<a_{30}<a_{31}$. Người ta ghi tất cả các số này lên 31 chiếc thẻ, mỗi thẻ ghi một số.
a) Biết rằng tổng các số được ghi trên 16 thẻ bất kỳ trong số 31 thẻ trên luôn lớn hơn tổng các số được ghi trên 15 thè còn lại. Chứng minh $a_1 \geq 226$.
b) Lấy $a_1, a_2, \ldots, a_{31}$ là 31 số nguyên dương đầu tiên: $1,2, \ldots, 31$. Người ta bỏ 31 thẻ được ghi các số này vào hai chiếc hộp một cách ngẫu nhiên. Khi kiểm tra một hộp thi thấy rằng trong hộp đó không có hai thẻ nào có tồng hai số được ghi là số chính phương. Chứng minh trong hộp còn lại ta có thể chọn ra được bốn thè và chia chúng thành hai cặp sao cho tổng hai sô̂ được ghi trên mỗi cặp là số chính phương.

Đáp án tham khảo từ Star Education

ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NĂM 2023

THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 PHÚT

Bài 1. Giải hệ phương trình sau:
$$
\left\{\begin{array}{l}
(x+y)\left(4+\frac{1}{x y}\right)=1 \\\
\left(4 x+\frac{1}{x}\right)\left(4 y+\frac{1}{y}\right)=-20
\end{array}\right.
$$

Bài 2. Cho các số $a, b, c>0$ thỏa mãn $a b+b c+c a=a b c$.
a) Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \leq \sqrt{3}$.
b) Chứng minh rằng: $(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2 \leq a b c \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$.

Bài 3. Cho bảng $4 \times 4$ được tô bằng ô đen hoặc trắng sao cho
i) mỗi hàng có số ô đen bằng nhau;
ii) mỗi cột có số ô đen đôi một khác nhau.
a) Tìm số ô đen ở mỗi hàng.
b) Một cặp ô được gọi là “tốt” khi có một ô đen và một ô trắng đứng cạnh nhau. Tìm số cặp tốt nhiều nhất tính theo hàng; số cặp tốt nhiều nhất tính theo cột.

Bài 4. Cho $m, n$ là các số nguyên không âm thỏa mãn $m^2-n=1$. Đặt $a=n^2-m$.
a) Chứng minh rằng $a$ là số lẻ.
b) Giả sử $a=3 \cdot 2^k+1, k$ là số nguyên không âm. Chứng minh rằng $k=1$.
c) Chứng minh rằng $a$ không là số chính phương.

Bài 5. Cho tam giác $A B C$ có đường tròn nội tiếp $(I) . D, E, F$ lần lượt là các tiếp điểm của $(I)$ với $B C, C A, A B$. Gọi $L$ là chân đường phân giác ngoài của $\angle B A C$ $(L \in B C)$. Vẽ tiếp tuyến $L H$ với đường tròn $(I)(H \neq D$ là tiếp điểm).
a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $H A L$ đi qua tâm $I$.
b) Chứng minh $\angle B A D=\angle C A H$.
c) $A H$ kéo dài cắt $(I)$ tại $K(K \neq H)$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $K E F . D G$ cắt $E F$ tại $J$. Chứng minh rằng $K J \perp E F$.
d) Gọi $S$ là trung điểm $B C, K J$ cắt $(I)$ tại $R(R \neq K)$. Chứng minh rằng $A S, I R, E F$ dồng quy.

ĐÁP ÁN ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI STAR EDUCATION

ĐỀ và ĐÁP ÁN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NĂM 2022

Bài 1. Cho hai phương trình: $x^2-2 a x+3 a=0 \quad$ (1) và $x^2-4 x+a=0$
a) Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
b) Giả sử hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt. $T_1, T_2$ là tổng bình phương các nghiệm của (1) và $(2)$. Chứng minh $T_1+5 T_2>68$

Bài 2. Cho các số dương $a \geq b \geq c$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh:
$$
\sqrt{4+(b+c)^2} \leq 2 a+b+c \leq \sqrt{4+4 a^2}
$$

Bài 3. Cho phương trình: $2^x+5^y=k^2\left(x ; y ; k \in \mathbb{N}^*\right)$
a) Chứng minh phương trình trên vô nghiệm khi $y$ là số chẵn.
b) Tìm $k$ để phương trình có nghiệm.

Bài 4. Cho tam giác $A B C$ có trực tâm $H, D$ đối xứng với $H$ qua $A$. $I$ là trung điểm của $C D$, đường tròn $(I)$ đường kính $C D$ cắt $A B$ tại $E, F(E$ thuộc tia $A B)$
a) Chứng minh $\angle E C D=\angle F C H$ và $A E=A F$.
b) Chứng minh $H$ là trực tâm của $\triangle C E F$.
c) $B H$ cắt $A C$ tại $K$. Chứng minh $E F K H$ nội tiếp và $E F$ là tiếp tuyến chung của $(C K E)$ và $(C K F)$.
d) Chứng minh tiếp tuyến tại $C$ của $(I)$ và tiếp tuyến tại $K$ của $(K E F)$ cắt nhau trên đường thẳng $A B$.

Bài 5. Cho dãy số nguyên $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \ldots \geq a_{21} \geq a_{22}$ thỏa mãn:
i) $\left|a_i\right| \leq 11$ và $a_i \neq 0 \forall i=1 ; 2 ; \ldots ; 22$
ii) $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{22}=1$
a) Chứng minh: $a_1 ; a_2>0$
b) Chứng minh có thể chọn $k \geq 1$ số từ $a_2 ; a_3 ; \ldots ; a_{22}$ để tổng $S$ của chúng thỏa $-10 \leq a_1+S \leq 0$.
c) Chứng minh từ dãy đã cho có thể chọn $n \geq 1$ số có tổng bằng 0 .

Đề thi và đáp án chọn đội dự tuyển PTNK năm 2022

Thời gian làm bài 120 phút.

Bài 1. Cho $a, b, c \geq 0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất và giả trị nhỏ nhất của biểu thức $P=a b+b c+c a-2(a+b+c)$.

Bài 2. Cho $k, n \in Z^{+}$, có bao nhiêu đơn ánh từ $\{1, 2, \cdots, 2k+1\} \to \{1, 2, \cdots, 2n\}$ thỏa $f(1) < f(2) < \ldots < f(k) < f(k+1) > f(k+2)>\ldots> f(2 k)>f(2 k+1)$ và $f(k+1) \neq 2 n-2$.

Bài 3. Cho $n$ là số nguyên dương, kí hiệu $a(n)=1+2+\ldots+n$ và $b(n)=1^2+2^2+\ldots+n^2$. Hỏi có tồn tại số $n$ sao cho $2(n+1) a(n)+3 b(n)-1$ là số chính phương?

Bài 4. Cho tam giác $A B C$ có $2 A=5 B=10 C$. Phân giác trong $B D$ cẳt trung tuyển $C M$ tại I. Một đường thẳng $d$ đi qua $D$ vuông góc với $A C$ cắt $B C$ và $A I$ lần lượt tại $E$ và $K . A E$ cắt $C K$ tại $F$. Chứng minh: $M F$ song song $B K$.

Lời giải tham khảo

Bài 1. Đặt $t=a+b+c$ ta có $a(1-a) \geq 0, b(1-b) \geq 0, c(1-c) \geq$, suy ra $a+b+c \geq$ $a^2+b^2+c^2=1$, và $(a+b+c)^2 \leq 3\left(a^2+b^2+c^2\right)=3$, suy ra $a+b+c \leq \sqrt{3}$ Ta có $1=(a+b+c)^2-2(a b+b c+a c) \Rightarrow a b+b c+c a=\frac{t^2-1}{2}$.
Do đó $P=\frac{t^2-1}{2}-2 t=\frac{1}{2} t^2-2 t-\frac{1}{2}$ với $1 \leq t \leq \sqrt{3}$.
Khảo sát hàm bậc hai trong đoạn ta có $\max P=-2$ khi $t=1$ và $\min P=1-2 \sqrt{3}$.
Vậy $\max P=-2$ khi $a=1, b=c=0$ và min $P=1-2 \sqrt{3}$ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Bài 2. Do đó $f$ là đơn ánh, $\operatorname{Im} f$ là một tập con có $2 k+1$ phần tử của $A$, mặt khác $f(k+1)$ là giá trị lớn nhất nên $\operatorname{Im} f$ có giá trị lớn nhất khác $2 n-2$.
Ta đếm số tập con có $2 k+1$ phần tử của $A$ mà phần tử lớn nhất khác $2 n-2$. Số tập con có $2 k+1$ của $A$ là $C_{2 n}^{2 k+1}$, số tập con có $2 k+1$ mà có phần tử lớn nhất $2 n-2$ là bằng với số tập con có $2 k$ phần tử của ${1,2, \cdots 2 k-3}$, là $C_{2 n-3}^{2 k}$.
Do đó theo nguyên lí bù trừ số tập con có $2 k+1$ của tập $A$ mà phần tử lớn nhất khác $2 n-2$ là $\left(C_{2 n}^{2 k+1}-C_{2 n-3}^{2 k}\right)$.
Tiếp theo ta đếm số đơn ánh từ ${1,2, \cdots, 2 k+1}$ tới $A^{\prime}=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_{2 k+1}\right\}$ thỏa đề bài, ta có $f(k+1)=a_{2 k+1}$, nên số đơn ánh bằng số cách chọn $k$ phần tử từ $A^{\prime}$ nên bằng $C_{2 k}^k$.
Vậy số đơn ánh thỏa đề bài $C_{2 k}^k\left(C_{2 n}^{2 k+1}-C_{2 n-3}^{2 k}\right)$

Bài 3. Ta có $a(n)=\frac{n(n+1)}{2}, b(n)=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$
Khi đó $P(n)=2(n+1) a(n)+3 b(n)-1=\frac{n(n+1)(4 n+3)}{2}-1$.
Giả sử $P(n)$ là số chính phương ta có $n(n+1)(4 n+3)=2\left(x^2+1\right)$, ta có $n(n+1)(4 n+3)$ luôn có ước nguyên tố dạng $p=4 k+3$, suy ra $p \mid 2\left(x^2+1\right)$ suy ra $p|x, p| 1$, vô lí! Vậy không tồn tại $n$ để $P(n)$ là số chính phương.

Bài 4.

Ta tính được $\angle A=\frac{5 \pi}{8}, \angle B=\frac{\pi}{4}, \angle C=\frac{\pi}{8}$. Vẽ đường cao $A N, N$ thuộc $B C$.
Ta có $\frac{B N}{N C}=\frac{A N}{N C}=\frac{\sin C}{\cos C}$ và $\frac{A D}{C D}=\frac{A B}{B C}=\frac{\sin C}{\sin 5 C}, \sin 5 C=\cos C$, suy ra $\frac{B N}{N C}=\frac{A D}{C D}$, do đó $A N, B D, C M$ đồng quy tại $I$ và $D N | A B$.
Ta có $\angle B A N=\angle A N D=\angle A C K=2 \angle A C K$, suy ra $A C K$ cân và $N$ là trung điểm $A K$, từ đó tam giác $A B K$ vuông cân.
Khi đó $\angle F N K=\angle A C K=45^{\circ}=\angle A K B$ và $\angle A N M=45^{\circ}$, do đó $M, N, F$ thẳng hàng và $M F | B K$.

Đề thi Học sinh giỏi Quốc gia năm 2021 (VMO 2021)

Ngày thi thứ nhất. Thời gian làm bài 180 phút.

Bài 1 (5 điểm). Cho dãy số thực $\left(x_n\right)$ có $x_1 \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ và $x_{n+1}=3 x_n^2-2 n x_n^3$ với mọi $n \geq 1$.
a) Chứng minh $\lim x_n=0$.
b) Với mỗi $n \geq 1$ đặt $y_n=x_1+2 x_2+\cdots+n x_n$. Chứng minh rằng dãy $\left(y_n\right)$ có giới hạn hữu hạn.

Bài 2 (5 điểm). Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$
f(x) f(y)=f(x y-1)+x f(y)+y f(x)
$$
với mọi số thực $x, y$.
Bài 3 (5 điểm). Cho tam giác nhọn không cân $A B C$ có trực tâm $H$ và $D, E, F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $A, B, C$. Gọi $(I)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $H E F$ với tâm $I$ và $K, J$ lần lượt là trung điểm $B C, E F$. Cho $H J$ cắt lại $(I)$ tại $G$, $G K$ cắt lại $(I)$ tại $L$.
a) Chứng minh rằng $A L$ vuông góc với $E F$.
b) Cho $A L$ cắt $E F$ tại $M, I M$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $I E F$ tại $N$, $D N$ cắt $A B, A C$ lần lượt tại $P, Q$. Chứng minh rằng $P E, Q F, A K$ dồng quy.

Bài 4(5 điểm). Với số nguyên $n \geq 2$, gọi $s(n)$ là tổng các số nguyên dương không vượt quá $n$ và không nguyên tố cùng nhau với $n$.
a) Chứng minh $s(n)=\frac{n}{2}(n+1-\varphi(n))$, trong đó $\varphi(n)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$.
b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $n \geq 2$ thỏa mãn $s(n)=s(n+2021)$.

Ngày thi thứ 2. Thời gian làm bài 180 phút.

Bài 5 (6 điểm). Cho đa thức $P(x)=a_{21} x^{21}+a_{20} x^{20}+\cdots+a_1 x+a_0$ có các hệ số thuộc $[1011,2021]$. Biết rằng $P(x)$ có nghiệm nguyên và $c$ là một số dương sao cho $\left|a_{k+2}-a_k\right| \leq c$ với mọi $k \in{0,1, \ldots, 19}$.
a) Chứng minh rằng $P(x)$ có đúng một nghiệm nguyên.
b) Chứng minh $\sum_{k=0}^{10}\left(a_{2 k+1}-a_{2 k}\right)^2 \leq 440 c^2$.

Bài 6 (7 điểm). Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số $1,2,3,4,5$ (sau khi chia có thể có hộp không có viên bi nào).
a) Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhau nếu có một hộp có số bi trong hai cách chia là khác nhau)?
b) Sau khi chia, học sinh này sơn 30 viên bi đó bởi một số màu (mỗi viên được sơn đúng một màu, một màu có thể sơn cho nhiều viên bi), sao cho không có 2 viên bi nào trong cùng một hộp có màu giống nhau và từ hai hộp bất kì không thể chọn ra được 8 viên bi được sơn bởi 4 màu. Chứng minh rằng với mọi cách chia, học sinh đều phải dùng không ít hơn 10 màu để sơn bi.
c) Hãy chỉ ra một cách chia sao cho với đúng 10 màu, học sinh có thể sơn bi thỏa mãn các điều kiện ở câu b).

Bài 7 (7 điểm). Cho tam giác nhọn không cân $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $D$ là giao điểm hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $C$. Đường tròn đi qua $A$ và tiếp xúc với $B C$ tại $B$ cắt trung tuyến đi qua $A$ của tam giác $A B C$ tại $G$. Cho $B G, C G$ lần lượt cắt $C D, B D$ tại $E, F$.
a) Đường thẳng đi qua trung điểm của $B E$ và $C F$ lần lượt cắt $B F, C E$ tại $M, N$. Chứng minh rằng các điểm $A, D, M, N$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Cho $A D, A G$ lần lượt cắt lại đường tròn ngoại tiếp các tam giác $D B C, G B C$ tại $H, K$. Trung trực của $H K, H E, H F$ lần lượt cắt $B C, C A, A B$ tại $R, P, Q$. Chứng minh rằng các điểm $R, P, Q$ thẳng hàng.

Lời giải tham khảo