
Author Archives: tangvu


Đề thi và đáp án HSG Quốc gia năm 2025

Đề và đáp án lớp 8 chuyên học kì 1 năm học 2024 – 2025

Đề và đáp án cuối khóa 1 năm học 2024 – 2025

Hệ thức lượng trong tam giác
Ta có một số kí hiệu thường dùng.
Cho tam giác $A B C$, khi đó
- $a=B C, b=A C, c=A B$
- $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi tam giác ABC .
- $S=S_{A B C}$ diện tích tam giác ABC .
- R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
- $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $A B C$
- $m_a, m_b, m_c$ độ dài đường trung tuyến xuất phát từ $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$.
- $h_a, h_b, h_c$ là độ dài đường cao xuất phát từ $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$.

Định lý Cosin trong tam giác
Định lý. Cho tam giác ABC
Khi đó ta có:
- $a^2=b^2+c^2-2 b c \cdot \cos A$
- $b^2=a^2+c^2-2 a c \cdot \cos B$
- $c^2=a^2+b^2-2 a b \cdot \cos C$
Chứng minh
Để chứng minh định lý ta có thể sử dụng định lý Pitago và tỉ số lượng giác của góc nhọn, hoặc có thể dùng tích vô hướng, ở đây tôi trình bày theo tích vô hướng.
$a^2=B C^2=(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})^2$
$=\overrightarrow{A C}^2+\overrightarrow{A B}^2-2 \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B}$
$=A C^2+A B^2-2 A B \cdot A C \cos A $
$=b^2+c^2-2 b c \cdot \cos A$
Các hệ thức còn lại chứng minh tương tự.
Từ định lý trên ta dễ dàng suy ra hệ quả sau
Hệ quả.
Trong tam giác $A B C$
$$
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c} ; \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2 a c} ; \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}
$$
Từ đây suy ra tam giác $A B C$ có
$$
A<90^{\circ} \Leftrightarrow b^2+c^2>a^2
$$
và
$$
A>90^{\circ} \Leftrightarrow b^2+c^2<a^2
$$
Nhận xét:
- Định lý cosin là tổng quát của định lý Pitago nêu lên quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, ứng dụng để tính toán độ dài, góc, thiết lập các đẳng thức hình học.
- Hệ quả định lý cosin sử dụng khi ta muốn chuyển các hệ thức về độ dài các cạnh của tam giác.
Định lý Sin trong tam giác
Định lý.
Cho tam giác $A B C$, gọi $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$. Khi đó
$$
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R
$$
Chứng minh. Vẽ đường kính $B D$, khi đó $\angle BDC = \angle BAC$ hoặc $\angle BDC = 180^\circ – \angle BAC$, suy ra:
$$
\sin B A C=\sin B D C=\frac{B C}{B D}=\frac{a}{2 R}
$$
suy ra
$$
\frac{a}{\sin A}=2 R
$$
Chứng minh tương tự ta cũng có
$$
\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R
$$
Hệ quả
- $a=2 R \sin A, b=2 R \sin B, c=2 R \sin C$
- $\sin A=\frac{a}{2 R}, \sin B=\frac{b}{2 R}, \sin C=\frac{c}{2 R}$
- $\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}$
Nhận xét:
- Nêu lên mối liên hệ giữa cạnh, góc đối diện và bán kính đường tròn ngoại tiếp.
- Tính toán các yếu tố của tam giác khi biết sỗ đo hai góc và một cạnh.
- Chứng minh các đẳng thức hình học khác.
Công thức đường trung tuyến
Định lý. (Độ dài đường trung tuyến) Trong tam giác $A B C$, gọi $m_a, m_b, m_c$ lần lượt là độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ $A, B, C$. Khi đó
- $m_a^2=\frac{1}{2}\left(b^2+c^2\right)-\frac{1}{4} a^2$.
- $m_b^2=\frac{1}{2}\left(a^2+c^2\right)-\frac{1}{4} b^2$.
- $m_c^2=\frac{1}{2}\left(b^2+a^2\right)-\frac{1}{4} c^2$.
Chứng minh. Ta có thể chứng minh định lý này bằng định lý Cosin, áp dụng định lý cosin cho hai tam giác $A M B, A M C$ ta có
$$
\cos A M B=\frac{A M^2+M B^2-A B^2}{2 A M \cdot M B}, \cos A M C=\frac{A M^2+M C^2-A C^2}{2 A M \cdot M C}
$$
Mà $\cos A M B+\cos A M C=0$ và $M B=M C=\frac{B C}{2}$
$$
\frac{A M^2+M B^2-A B^2}{2 A M \cdot B M}+\frac{A M^2+M C^2-A C^2}{2 A M \cdot M C}=0
$$
Từ đó ta có $2 A M^2=A B^2+A C^2-M B^2-M C^2$ hay $A M^2=\frac{1}{2}\left(A B^2+A C^2\right)-\frac{1}{4} B C^2$, ta có điều cần chứng minh.
Công thức tính diện tích tam giác
Định lý. Các công thức tính diện tích tam giác
- $S=\frac{1}{2} a \cdot h_a=\frac{1}{2} b \cdot h_b=\frac{1}{2} c \cdot h_c$
- $S=\frac{1}{2} a b \cdot \sin C=\frac{1}{2} b c \cdot \sin A=\frac{1}{2} a c \cdot \sin B$
- $S=\frac{a b c}{4 R}$
- $S=p r$
- $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (công thức He-ron)
Chứng minh dành cho bạn đọc.

ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN MÔN TOÁN TUYỂN SINH VÀO 10 SGD TP HỒ CHÍ MINH NĂM 2024

ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN SGD TPHCM NĂM 2022
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1: ( 1,0 điểm)
Cho $x, y$ là hai số thực thỏa mãn $x y+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=1$.
Tính giá trị của biểu thức $M=\left(x+\sqrt{1+y^2}\right)\left(y+\sqrt{1+x^2}\right)$.
Bài 2: (2,5 điểm)
a) Giải phương trình $\sqrt{x+4}+|x|=x^2-x-4$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{y+z}=2 x-1 \\\ \frac{y}{z+x}=3 y-1 \\\ \frac{z}{x+y}=5 z-1\end{array}\right.$
Bài 3: (1,5 điểm)
Cho hình vuông $A B C D$. Trên các cạnh $B C$ và $C D$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $\widehat{M A N}=45^{\circ}$.
a) Chứng minh $M N$ tiếp xúc với đường tròn tâm $A$ bán kính $A B$.
b) Kė $M P$ song song với $A N$ ( $P$ thuộc đoạn $A B$ ) và kẻ $N Q$ song song với $A M$ ( $Q$ thuộc đoạn $A D$ ). Chứng minh $A P=A Q$.
Bài 4: (2,0 điếm)
Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa $a+b+c=3$.
a) Chứng minh rằng $a b+b c+c a \leq 3$.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}$.
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác $A B C$ nhọn $(A B<A C)$ có các đường cao $A D, B E, C F$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $E F$ cắt đường thẳng $B C$ tại $I$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $I H$ tại $K$ và cắt $B C$ tại $M$.
a) Chứng minh tứ giác $I F K C$ nội tiếp và $\frac{B I}{B D}=\frac{C I}{C D}$.
b) Chứng minh $M$ là trung điểm của $B C$.
Bài 6: (1,0 điểm )
Số nguyên dương $n$ được gọi là “số tốt” nếu $n+1$ và $8 n+1$ đều là các số chính phương.
a) Hãy chỉ ra ví dụ ba “số tốt” lần lượt có $1,2,3$ chữ số.
b) Tìm các số nguyên $k$ thỏa mãn $|k| \leq 10$ và $4 n+k$ là hợp số với mọi $n$ là “số tốt”.
Đáp án do Star Education thực hiện

ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI VÀO 10 CHUYÊN TOÁN SGD THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM 2023
THỜI GIAN LÀM BÀI 150 PHÚT
Bài 1. (1,0 diểm) Cho $a, b$ là các số thực, $b \neq 0$ thỏa mãn điều kiện
$$
a^2+b^2=\frac{4 b^2}{\sqrt{a^2+b^2}+a}+a \sqrt{a^2+b^2}
$$
Tính giá trị của biểu thức $P=a^2+b^2$.
Bài 2. (2,5 điếm)
a) Giải phương trình: $x=\frac{5}{x-1}+2 \sqrt{x-2}$.
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{9 y+49}{x+y}+x+y=23 \\\ x \sqrt{x}+y \sqrt{y}=7(\sqrt{x}+\sqrt{y})\end{array}\right.$.
Bài 3. (2,5 điểm) Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A(A B<A C)$, có đường cao $A H$. Dường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $A B C$, tiếp xúc với các cạnh $B C, C A, A B$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $J$ là giao điểm của $A I$ và $D E . K$ là trung điểm $A B$.
a) Chứng minh tứ giác $B I J D$ nội tiếp
b) Gọi $M$ là giao điểm của $K I$ và $A C, N$ là giao điểm của $A H$ và $E D$. Chứng minh $A M=A N$.
c) Gọi $Q$ là giao điểm của $D I$ và $E F, P$ là trung điểm của $B C$. Chứng minh ba điểm $A, P, Q$ thẳng hàng.
Bài 4. (2,0 diểm) Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $\sqrt{1+4 x y+2 x+2 y}+2 z=5$.
a) Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{(2 x+1)(2 y+1)}}+\frac{1}{2 z+1} \geq \frac{2}{3}$.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biễu thức $P=\frac{x+1}{2 x+1}+\frac{y+1}{2 y+1}+\frac{2 z+3}{4 z+2}$.
Bài 5. (1,0 điểm) Cho đường tròn tâm $O$ nội tiếp hình thoi $A B C D$. Gọi $E, F, G, H$ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $A B, B C, C D, D A$ sao cho $E F, G H$ cùng tiếp xúc với $(O)$.
a) Chứng minh $C G \cdot A H=A O^2$.
b) Chứng minh $E H$ song song $F G$.
Bài 6. (1,0 điểm) Xét các số nguyên $a<b<c$ thỏa mãn $n=a^3+b^3+c^3-3 a b c$ là số nguyên tố.
a) Chứng minh $a<0$.
b) Tìm tât cả các số nguyên $a, b, c(a<b<c)$ sao cho $n$ là một ước của 2023.
ĐÁP ÁN CỦA GIÁO VIÊN STAR EDUCATION

ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NĂM 2024
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề bài:
Bài 1. (2 điểm)
1) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^3+z^3=y \\\ y^3+x^3=z \\\ z^3+y^3=x\end{array}\right.$.
2) Cho hai số nguyên dương $a, b$ phân biệt. Chứng minh phương trình sau có đúng ba nghiệm
$$
(\sqrt{x}-1)\left[x^2-2(a+b) x+a b+2\right]=0 .
$$
Bài 2. (1.5 điểm) Cho ba số thực $a, b, c$ không âm thóa mãn: $a^2+b^2+c^2+3=2(a b+b c+c a)$.
Chứng minh
$$
3 \leq a+b+c \leq \frac{2(a b+b c+c a)+3}{3} .
$$
Bài 3. (2 điểm) Với mỗi số tự nhiên $\mathrm{n}$, đặt $a_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$.
a) Chứng minh $a_{n+2}=4 a_{n+1}-a_n$ với mọi $n=0,1,2, \ldots$.
b) Tìm $\mathrm{n}$ để $a_n$ chia hết cho 4 .
c) Tìm $\mathrm{n}$ đề $a_n$ chia hết cho 14 .
Bài 4. (3 điểm) Cho tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn $(\mathrm{O})$ có tam giác $A B D$ là tam giác nhọn và đường chéo $\mathrm{AC}$ đi qua tâm $\mathrm{O}$ của đường tròn $(\mathrm{O})$. Gọi $\mathrm{I}$ là trung điểm $\mathrm{BD}, \mathrm{H}$ là trực tâm của tam giác $A B D$, $\mathrm{E}$ là giao điểm khác $\mathrm{A}$ của $\mathrm{AI}$ với $(\mathrm{O})$ và $\mathrm{K}$ là hình chiếu vuông góc của $\mathrm{H}$ lên $\mathrm{AI}$.
a) Chứng minh $C E H K$ là hình bình hành và $I B^2=I D^2=I A \cdot I K$.
b) Lấy điểm $\mathrm{F}$ trên cung nhỏ $\widehat{B D}$ của đường tròn $(\mathrm{O})$ sao cho $\widehat{B A F}=\widehat{D A I}$. Chứng minh các điểm $\mathrm{K}$ và $\mathrm{F}$ đối xứng nhau qua đường thẳng $\mathrm{BD}$.
c) Chứng minh các đường phân giác trong các góc $\widehat{B A D}$ và $\widehat{B K D}$ cắt nhau trên $\mathrm{BD}$.
d) Trên đường thẳng qua $\mathrm{H}$ và song song $\mathrm{AC}$ lấy điểm $\mathrm{T}$ sao cho $T H=T K$. Chứng minh các điểm $\mathrm{O}, \mathrm{K}, \mathrm{F}, \mathrm{T}$ cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5. (1.5 điểm) Cho các sổ nguyên dương $a_1<a_2<a_3<\ldots<a_{30}<a_{31}$. Người ta ghi tất cả các số này lên 31 chiếc thẻ, mỗi thẻ ghi một số.
a) Biết rằng tổng các số được ghi trên 16 thẻ bất kỳ trong số 31 thẻ trên luôn lớn hơn tổng các số được ghi trên 15 thè còn lại. Chứng minh $a_1 \geq 226$.
b) Lấy $a_1, a_2, \ldots, a_{31}$ là 31 số nguyên dương đầu tiên: $1,2, \ldots, 31$. Người ta bỏ 31 thẻ được ghi các số này vào hai chiếc hộp một cách ngẫu nhiên. Khi kiểm tra một hộp thi thấy rằng trong hộp đó không có hai thẻ nào có tồng hai số được ghi là số chính phương. Chứng minh trong hộp còn lại ta có thể chọn ra được bốn thè và chia chúng thành hai cặp sao cho tổng hai sô̂ được ghi trên mỗi cặp là số chính phương.
Đáp án tham khảo từ Star Education

ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NĂM 2023
THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 PHÚT
Bài 1. Giải hệ phương trình sau:
$$
\left\{\begin{array}{l}
(x+y)\left(4+\frac{1}{x y}\right)=1 \\\
\left(4 x+\frac{1}{x}\right)\left(4 y+\frac{1}{y}\right)=-20
\end{array}\right.
$$
Bài 2. Cho các số $a, b, c>0$ thỏa mãn $a b+b c+c a=a b c$.
a) Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \leq \sqrt{3}$.
b) Chứng minh rằng: $(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2 \leq a b c \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$.
Bài 3. Cho bảng $4 \times 4$ được tô bằng ô đen hoặc trắng sao cho
i) mỗi hàng có số ô đen bằng nhau;
ii) mỗi cột có số ô đen đôi một khác nhau.
a) Tìm số ô đen ở mỗi hàng.
b) Một cặp ô được gọi là “tốt” khi có một ô đen và một ô trắng đứng cạnh nhau. Tìm số cặp tốt nhiều nhất tính theo hàng; số cặp tốt nhiều nhất tính theo cột.
Bài 4. Cho $m, n$ là các số nguyên không âm thỏa mãn $m^2-n=1$. Đặt $a=n^2-m$.
a) Chứng minh rằng $a$ là số lẻ.
b) Giả sử $a=3 \cdot 2^k+1, k$ là số nguyên không âm. Chứng minh rằng $k=1$.
c) Chứng minh rằng $a$ không là số chính phương.
Bài 5. Cho tam giác $A B C$ có đường tròn nội tiếp $(I) . D, E, F$ lần lượt là các tiếp điểm của $(I)$ với $B C, C A, A B$. Gọi $L$ là chân đường phân giác ngoài của $\angle B A C$ $(L \in B C)$. Vẽ tiếp tuyến $L H$ với đường tròn $(I)(H \neq D$ là tiếp điểm).
a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $H A L$ đi qua tâm $I$.
b) Chứng minh $\angle B A D=\angle C A H$.
c) $A H$ kéo dài cắt $(I)$ tại $K(K \neq H)$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $K E F . D G$ cắt $E F$ tại $J$. Chứng minh rằng $K J \perp E F$.
d) Gọi $S$ là trung điểm $B C, K J$ cắt $(I)$ tại $R(R \neq K)$. Chứng minh rằng $A S, I R, E F$ dồng quy.
ĐÁP ÁN ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI STAR EDUCATION