
Tag Archives: Chuyen

PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC – P.4
CHIA ĐA THỨC
Đa thức $\mathrm{A}(\mathrm{x})$ gọi là chia hết cho đa thức $\mathrm{B}(\mathrm{x})$ khác 0 nếu tồn tại đa thức $\mathrm{Q}(\mathrm{x})$ sao cho $\mathrm{A}(\mathrm{x})=\mathrm{B}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{Q}(\mathrm{x})$.
Người ta chứng minh được rằng : Với mọi cặp đa thức $\mathrm{A}(\mathrm{x})$ và $\mathrm{B}(\mathrm{x})$ trong đó $\mathrm{B}(\mathrm{x}) \neq 0$, tồn tại duy nhất cặp đa thức $\mathrm{Q}(\mathrm{x})$ và $\mathrm{R}(\mathrm{x})$ sao cho $\mathrm{A}(\mathrm{x})=\mathrm{B}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{Q}(\mathrm{x})+\mathrm{R}(\mathrm{x})$, trong đó $R(x)=0$ hoặc bậc của $R(x)$ nhỏ hơn bậc của $B(x)$.
Nếu $R(x)=0$ thì $A(x)$ chia hết cho $B(x)$. Nếu $R(x) \neq 0$ thì $A(x)$ không chia hết cho $B(x)$, khi đó $Q(x)$ là thương và $R(x)$ là dư của phép chia $A(x)$ cho $B(x)$.
Ví dụ 1. Tìm số tự nhiên $\mathrm{n}$ để đa thức $\mathrm{A}$ chia hết cho đơn thức $\mathrm{B}$ :
$A=3 x^{n-1} y^6-5 x^{n+1} y^4 ; B=2 x^3 y^n$
Tìm thương $\mathrm{A}: \mathrm{B}$ trong trường hợp đó.
Giải : Điều kiện để $\mathrm{A}$ chia hết cho $\mathrm{B}$ là :
$\left\{\begin{array}{r}\mathrm{n}-1 \geq 3 \\ \mathrm{n}+1 \geq 3 \\ 6 \geq \mathrm{n} \\ 4 \geq \mathrm{n}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{n} \geq 4 \\ \mathrm{n} \leq 4\end{array} \Leftrightarrow \mathrm{n}=4\right.\right.$
Vậy với $\mathrm{n}=4$ thì đa thức $\mathrm{A}$ chia hết cho đơn thức $\mathrm{B}$. Khi đó
$A: B=\left(3 x^3 y^6-5 x^5 y^4\right):\left(2 x^3 y^4\right)=\frac{3}{2} y^2-\frac{5}{2} x^2$
Ví dụ 2. Xác định các số hữu tỉ a và $\mathrm{b}$ để đa thức $\mathrm{x}^3+\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ chia hết cho đa thức $x^2+x-2$.
Giải : Cách 1. Đặt tính chia :
Để chia hết thì đa thức dư phải bằng 0 với mọi giá trị của $x$, nên :
$\left\{\begin{array}{l}a+3=0 \\ b-2=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-3 \\ b=2\end{array}\right.\right.$
Vậy với $\mathrm{a}=-3 ; \mathrm{b}=2$ thì $\mathrm{x}^3+\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ chia hết cho $\mathrm{x}^2+\mathrm{x}-2$.
Cách 2. (Phương pháp hệ số bất định)
Đa thức bị chia có bậc ba, đa thức chia có bậc hai nên thương là một nhị thức bậc nhất, hạng tử bậc nhất là $\mathrm{x}^3: \mathrm{x}^2=\mathrm{x}$.
Gọi thương là $\mathrm{x}+\mathrm{c}$, ta có :
$x^3+a x+b=\left(x^2+x-2\right)(x+c)$
nên
$x^3+a x+b=x^3+(c+1) x^2+(c-2) x-2 c $
Hai đa thức trên bằng nhau nên :
$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{c}+1=0 \\ \mathrm{c}-2=\mathrm{a} \\ -2 \mathrm{c}=\mathrm{b}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{c}=-1 \\ \mathrm{a}=-3 \\ \mathrm{~b}=2\end{array}\right.\right.$
Vậy với $\mathrm{a}=-3 ; \mathrm{b}=2$ thì $\mathrm{x}^3+\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ chia hết cho $\mathrm{x}^2+\mathrm{x}-2$, thương là $\mathrm{x}-1$.
Cách 3. (Phương pháp xét giá trị riêng)
Gọi thương khi chia $\mathrm{x}^3+\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ cho $\mathrm{x}^2+\mathrm{x}-2$ là $\mathrm{Q}(\mathrm{x})$, ta có :
$x^3+a x+b=(x-1)(x+2) Q(x)$
Vì đẳng thức đúng với mọi $x$ nên lần lượt cho $\mathrm{x}=1, \mathrm{x}=-2$, ta được :
$\left\{\begin{array}{l}1+a+b=0 \\ -8-2 a+b=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a+b=-1 \\ -2 a+b=8\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-3 \\ b=2 .\end{array}\right.\right.\right.$
Với $a=-3 ; b=2$ thì $x^3+a x+b$ chia hết cho $x^2+x-2$.
BÀI TẬP
Chia đơn thức cho đơn thức
71. Thực hiện phép tính :
a) $8^{12}: 4^6$;
b) $27^6: 9^2$;
c) $\frac{9^{15} \cdot 25^3 \cdot 4^3}{3^{10} \cdot 50^6}$
72. Chứng minh rằng biểu thức sau không âm với mọi giá trị của biến :
$A=\left(-15 x^3 y^6\right):\left(-5 x y^2\right)$
73. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến $\mathrm{y}(\mathrm{x} \neq 0 ; \mathrm{y} \neq 0)$ :
$B=\frac{2}{3} x^2 y^3:\left(-\frac{1}{3} x y\right)+2 x(y-1)(y+1)$
74. Tìm số tự nhiên $\mathrm{n}$ để đơn thức $\mathrm{A}$ chia hết cho đơn thức $\mathrm{B}$ :
$A=4 x^{n+1} y^2 ; B=3 x^3 y^{n-1}$
Chia đa thức cho dơn thức
75. Thực hiện phép tính :
a) $\left(\frac{1}{2} a^2 x^4+\frac{4}{3} a x^3-\frac{2}{3} a x^2\right):\left(-\frac{2}{3} a x^2\right)$
b) $4\left(\frac{3}{4} x-1\right)+\left(12 x^2-3 x\right):(-3 x)-(2 x+1)$.
76. Thực hiện phép tính rồi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$A=\left(9 x y^2-6 x^2 y\right):(-3 x y)+\left(6 x^2 y+2 x^4\right):\left(2 x^2\right) $
77. Tìm số tự nhiên $\mathrm{n}$ để đa thức $\mathrm{A}$ chia hết cho đơn thức $\mathrm{B}$ :
$A=7 x^{n-1} y^5-5 x^3 y^4 ; \quad B=5 x^2 y^n$
Chia đa thức cho đa thức
78. Rút gọn biểu thức
$\left[\left(x^3+y^3\right)-2\left(x^2-y^2\right)+3(x+y)^2\right]:(x+y)$
79. Chia các đa thức :
a) $\left(3 x^4-2 x^3-2 x^2+4 x-8\right):\left(x^2-2\right)$;
b) $\left(2 x^3-26 x-24\right):\left(x^2+4 x+3\right)$;
c) $\left(x^3-7 x+6\right):(x+3)$.
80. Xác định hằng số a sao cho :
a) $4 x^2-6 x+$ a chia hết cho $x-3$;
b) $2 \mathrm{x}^2+\mathrm{x}+\mathrm{a}$ chia hết cho $\mathrm{x}+3$;
c) $x^3+a x^2-4$ chia hết cho $x^2+4 x+4$.
81. Xác địṇh hằng số a sao cho :
a) $10 x^2-7 x+a$ chia hết cho $2 x-3$;
b) $2 x^2+a x+1$ chia cho $x-3$ dư 4 ;
c) $a x^5+5 x^4-9$ chia hết cho $x-1$.
82. Xác định các hằng số a và $\mathrm{b}$ sao cho :
a) $\mathrm{x}^4+\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ chia hết cho $\mathrm{x}^2-4$;
b) $x^4+a x^3+b x-1$ chia hết cho $x^2-1$;
c) $x^3+a x+b$ chia hết cho $x^2+2 x-2$.
83. Xác định các hằng số a và b sao cho :
a) $x^4+a x^2+b$ chia hết cho $x^2-x+1$;
b) $a x^3+b x^2+5 x-50$ chia hết cho $x^2+3 x-10$;
c) $a x^4+b x^3+1$ chia hết cho $(x-1)^2$;
d) $x^4+4$ chia hết cho $x^2+a x+b$.
84. Tìm các hằng số $a$ và $b$ sao cho $x^3+a x+b$ chia cho $x+1$ thì dư 7 , chia cho $x-3$ thì dư $-5$.
85. Tìm các hằng số $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ sao cho $\mathrm{ax}^3+\mathrm{bx}^2+\mathrm{c}$ chia hết cho $\mathrm{x}+2$, chia cho $x^2-1$ thì dư $x+5$.
Bài tập Tập hợp
Bài 1. Cho các tập $A, B, C, A’, B’, C’$ là tập con của $X$ thỏa:
a) $A \cup B \cup C = X$;
b) $A \cap B = A’ \cap B’, A \cap C = A’ \cap C’, B \cap C = B’ \cap C’$.
c) $A \subset A’, B\subset B’, C\subset C’$.
Chứng minh $A= A’, B = B’, C = C’$.
Bài 2. Cho $A, B$ là các tập con của $X$, ta kí hiệu đối xứng $A \triangle B = (A \cap (X \setminus B)) \cup (B \cap (X \setminus A))$. Chứng minh rằng:
a) $A \triangle \emptyset = A$.
b) $A \triangle A = \emptyset$.
c) $A \triangle X = X \setminus A$.
Bài 3. Cho tập hợp $E$, $P$ là một phân hoạch của $E$, $\mathscr{A}$ là một bộ phận của $P$. Đặt $F = \{x\in E|\exists A\in \mathscr{A},x\in A\}$. Chứng minh $\mathscr{A}$ là một phân hoạch của $F$.
Bài 4. Cho $E$ là một tập hợp, $n\in \mathbb{N}^*$, $A_o, A_1, \cdots, A_n$ là tập con của $E$ sao cho $$\emptyset \subsetneq A_o \subsetneq A_1 \subsetneq A_2 \subsetneq \cdots \subsetneq A_n = E$$
Đặt $B_o = A_o, B_1 = A_1 \setminus A_o, B_n = A_n \setminus A_{n-1}$.
Chứng minh $B_o, B_1, B_2, \cdots, B_n$ là một phân hoạch của $E$.
Bài 5. Cho $X = \{1, 2, \cdots, n\}$. Cho $F$ là một họ các tập con của $X$, mỗi tập có $r$ phần tử sao cho bất kì $r+1$ tập nào thuộc $F$ thì giao khác rỗng. Chứng minh rằng giao của tất cả các tập trong $F$ cũng khác rỗng.
Bài 6. Cho $A$ là tập con của tập các số hữu tỷ dương thỏa:
a) $1 \in A$.
b) Nếu $x \in A$ thì $x +1 \in A$.
c) Nếu $x \in A$ thì $\dfrac{1}{x} \in A$.
Chứng minh $A$ là tập các số hữu tỷ dương.
Bài 7. Một tập hợp hữu hạn có ít nhất 3 số nguyên dương phân biệt được gọi là tập cân nếu bỏ đi một phần tử bất kì thì các số còn lại có thể chia thành hai tập hợp mà tổng các số trong hai tập hợp đó bằng nhau. Tìm số phần tử nhỏ nhất của một tập cân.
Bài 8. Cho các số thực $x, y, z$ khác 0 thỏa $xy, yz, xz$ là các số hữu tỉ.
a) Chứng minh $x^2 + y^2 + z^2 $ là số hữu tỉ.
b) Giả sử $x^3+y^3+z^3$ cũng là số hữu tỉ. Chứng minh $x, y, z$ là các số hữu tỉ.
Bài 9. Tìm tất cả các bộ số hữu tỉ dương $(x, y, z)$ sao cho $x+\dfrac{1}{y}, y + \dfrac{1}{z}, z+\dfrac{1}{x}$ là các số nguyên.
Bài 10. Tìm các tập con $A$ khác rỗng của tập ${2,3,4,5,6,…}$ sao cho với mọi $n \in A$ thì cả $n^2+4$ và $\lfloor \sqrt{n} \rfloor +1$ cũng thuộc $A$.
Bài 11. Giả sử tập các số tự nhiên được phân hoạch thành hai tập $A$ và $B$. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ tồn tại $a, b$ sao cho $a, b, a+b \in A$ hoặc $a, b, a+b \in B$.
Bài 12. Tập hợp $M$ chứa 4 số nguyên phân biệt được gọi là tập liên kết nếu với mỗi $x \in M$ thì ít nhất một trong hai số $x-1, x+1$ thuộc $M$. Gọi $U_n$ là số tập con liên kết của tập $\{1,2,…,n\}$ .
a) Tính $U_7$.
b) Xác định giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho $U_n \ge 2019.$
Bài tập hình học ôn thi vào 10 – P1
Bài 1. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Tiếp tuyến tại $A$ là $d$, tiếp tuyến tại $B$ là $d’$. $C$ là một điểm thuộc đường tròn, tiếp tuyến tại $C$ cắt $d$ và $d’$ lần lượt tại $D$ và $E$, $BC$ cắt $d$ tại $F$.
a) Chứng minh $D$ là trung điểm của $AF$.
b) Gọi $I$ là giao điểm của $BD$ và $CE$. $CI$ cắt $AB$ tại $G$. Chứng minh $CG^2 = GA.GB$.
c) Đường thẳng qua $A$ song song $EG$ cắt đường thẳng qua $B$ song song với $DG$ tại $H$. Chứng minh $D, H, E$ thẳng hàng.
Lời giải
a) Theo tích chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì: $DA = DC$,
tam giác $DAC$ cân tại $D$ nên $\angle DCA = \angle DAC$, mà $\angle DAC + \angle DCF = \angle DAC + \angle DFC= 90^0$.
Do đó $\angle DCF = \angle DFC$, suy ra $DC = DF$. \Vậy $DF = DA$, hay $D$ là trung điểm của AF.
b) Ta có $AD||BE$ nên $\dfrac{ID}{IB} = \dfrac{AD}{BE}$, mà $AD = CD, BE = CE$, suy ra $\dfrac{ID}{IB} = \dfrac{CD}{CE}$. Từ đó ta có $CI || BE$, suy ra $IC \bot AB$.
Tam giác ACB vuông tại C, có CG là đường cao nên: $CG^2 = GA.GB$.
c) Ta có $\dfrac{GA}{GB} = \dfrac{CD}{CE} = \dfrac{AD}{BE}$, suy ra $\triangle ADG \backsim \triangle BEG$, do đó: $\angle AGD = \angle BGC$.
$GJ$ cắt $AD$ tại $J$. Ta có $\angle AGD =\angle BDE = \angle AGJ$.
Suy ra $GEJ$ cân tại $G$ và $A$ là trung điểm của $DJ$.
Gọi $H’$ là trung điểm của $DE$. Suy ra $AH’ || GE$.
Tương tự thì $H’B || GD$. Do đó $H’ \equiv H$.
Vậy $H, D, E$ thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác $ABC (AB <AC)$ có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$. Vẽ 2 đường cao $AD$ và $CE$ của tam giác $ABC$ . Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $M$ . Từ $M$ kẻ tiếp tuyến thứ hai đến $(O)$ ($N$ là tiếp điểm ). Vẽ $CK$ vuông góc với $AN$ tại $K$. Chứng minh $DK$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BE$.
Lời giải
Gọi $Q$ là trung điểm đoạn $BC$.
Ta có $\angle AKD = \angle ACB = \angle ANB$, suy ra $DK || BN$, suy ra $\angle ATK = \angle ABN$.
Ta có 5 điểm $A, M, N, O, Q$ cùng thuộc đường tròn. Suy ra $\angle AQM = \dfrac{1}{2}\angle AON = \angle ACN$.
Suy ra $\angle ABN = 180^\circ- \angle ACN = 180^\circ – \angle AQM =\angle AQC$.
Suy ra $\angle ATK = \angle AQC$. Suy ra $ATDQ$ nội tiếp. Suy ra $AT \bot TQ$. Suy ra $T$ là trung điểm BE.
Bài 3. Cho đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC (AB < AC)$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Gọi $Q$ là điểm đối xứng của $I$ qua $M$, tia $OM$ cắt $(O)$ tại $D$ và $QD$ cắt $(O)$ tại $T$ ($T$ thuộc cung $BD$ không chứa $A$).
a) Chứng minh rằng $DI = DB = DC$.
b) Đường thẳng qua $I$ song song $QD$ cắt $DO$ tại $K$. Chứng minh $DK.DO = DB^2$.
c) Chứng minh $\angle ACT = \angle DOI$.
Lời giải
b) Vẽ đường kính $DE$. Ta có $DB^2 = DM\cdot DE $
$IKQD$ là hình bình hành, suy ra $DK = 2DM$.
Mặt khác $DO = \dfrac{1}{2}DE$
Nên $BD^2 = DK\cdot DO$
c)Vì $DB = DI$ nên ta có $DI^2 = DK\cdot DO$, suy ra $\triangle DIK \backsim \triangle DOI$.
Suy ra $\angle DOI = \angle DIK$ ,
mà $\angle DIK = \angle ADT = \angle ACT$.
Bài tập luyện tập
Bài 1. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ đến (O) các tiếp tuyến AB và AC với B, C là các tiếp điểm. Trên tia đối của BA lấy điểm D, đường tròn ngoại tiếp ACD cắt (O) tai điểm thứ hai là E. DE cắt (O) tại F khác E. Gọi I là hình chiếu của B trên CD, H là giao điểm của OB và CD.
a) Chứng minh $CF||AC$.
b) Chứng minh tứ giác $IHEF$ nội tiếp.
c) Chứng minh $\angle IED = 2\angle ADC$.
Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a. E, F là các điểm thay đổi trên các cạnh CD và BC sao cho $\angle EAF = 45^0$. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của AE, AF với BD.
a) Chứng minh rằng 5 điểm C,E, G, H, F cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh EF tiếp xúc với một đường tròn cố định.
c) Chứng minh $GH^2 = DG^2 + BH^2$.
d) Chứng minh chu vi tam giác CEF không đổi. Tìm giá trị lớn nhất diện tích của tam giác CEF.
Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Gọi D là hình chiếu của A trên BC và E là điểm đối xứng của A qua O. Gọi F là điểm chính giữa cung BC không chứa A.
a) Chứng minh rằng AF là phân giác góc $\angle DAE$.
b) Chứng minh $AD.AE = AB.AC$ và $S_{ABC} = \dfrac{AB.AC.BC}{4R}$.
c) Vẽ đường kính FG, đường tròn ngoại tiếp tam giác OAG cắt AB và AC tại M, N. Chứng minh BM = CN.
Phương trình nghiệm nguyên – Phương pháp đồng dư thức
1. Phương pháp đồng dư thức
Ví dụ 1: Giải phương trình $ x^3 +21y^3+5=0 $
Ví dụ 2: Giải phương trình trong tập số tự nhiên: $6^x = y^2+y-2 $
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $7^x – 9^y = 4$
Ví dụ 4: Tìm $x, y, z$ nguyên dương và $z \geq 2$ thỏa $3^x + 5^x = y^z$
2. Bài tập rèn luyện
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:
a) $2^x-3^y=1$;
b) $2^x-3^y=7$;
c) $2^x+3^y=z^2$;
d) $3^x+4^y=5^z$;
e) $3^x+4^y=7^z$.
Bài 2: (PTNK 2013) Cho $M = a^2 + 3a + 1$ với $a$ là số nguyên dương.
a) Chứng minh rằng mọi ước của $M$ đều là số lẻ.
b) Tìm $a$ sao cho $M$ chia hết cho 5. Với những giá trị nào của $a$ thì $M$ là lũy thừa của 5?
Bài 3: (PTNK 2009)
a) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên $a$ sao cho ${a^2} + a = {2010^{2009}}$
b) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên $a$ sao cho $a + {a^2} + {a^3} = {2009^{2010}}$
Phương trình nghiệm nguyên – Phương pháp biến đổi thành tích
1. Phương pháp biến đổi thành tích
Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên $2xy + 3x + 4y = 9$
Ví dụ 2: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình $(xy-7)^2 = x^2 + y^2$
Ví dụ 3: Giải nghiệm nguyên dương của phương trình $x(y^2-p) + y(x^2-p) = 5p$ trong đó $p$ là số nguyên tố.
Ví dụ 4: Giải phương trình trong tập các số nguyên dương $x + x^2 + x^3 = y+y^2$
2. Bài tập rèn luyện
Bài 1: Giải các phương trình sau trong tập nguyên dương:
a) $ 2x^2+3xy-2y^2=7 $.
b) $ x^3-xy=6x-5y-8 $
c) $ x^3-y^3=91 $.
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2020}$
Bài 3: Tìm các số nguyên $x$, $y$ sao cho:
a) $3^x-y^3=1$;
b) $1+x+x^2+x^3=2^y$;
c) $1+x+x^2+x^3=2003^y$.
Bài 4: Tìm các số nguyên tố $x$, $y$, $z$ thỏa mãn: $x^y+1=z$
Bài 5: Tìm các số nguyên dương $x, y,z$ thỏa $y$ nguyên tố và $y, 3$ không là ước của $z$ thỏa $x^3-y^3=z^2$.
Phương trình nghiệm nguyên – Phương pháp biến đổi thành tổng
1. Phương pháp biến đổi thành tổng
Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^2 – 6xy + 14y^2-10y – 16 = 0$
Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên $2x^2- 2xy + 5y^2 = 41$
2. Bài tập rèn luyện
Bài 1: Giải các phương trình sau trong tập số nguyên:
a) $19x^2+28y^2=2001$.
b) $3x^2 + y^2 – 4y = 24$.
c) $2^x + 5y^2 = 38$.
d) $x^2 – 6xy+13y^2 = 100$.
Bài 2: Giải các phương trình trong tập số nguyên:
a) $2x^2 + 6y^2 + 7xy – x- y = 25$.
b) $x^2 -xy+y^2 = x+y$
Hệ phương trình – Phương pháp đặt ẩn phụ – Hệ đối xứng loại một
1. Hệ phương trình đối xứng loại một
Mục đích của đặt ẩn phụ là ta đưa hệ phương trình đã cho về một hệ phương trình đơn giản hơn đã biết cách giải, giải được hệ mới từ đó ta giải được hệ đã cho.
Trong phương pháp này, ứng dụng đầu tiên là áp dụng cho giải các hệ đối xứng loại một.
Hệ đối xứng loại một là hệ có dạng $\left\{\begin{array}{l} f(x,y)=0 (1) \\ g(x,y)=0 (2) \end{array} \right.$ trong đó $f(y, x) = f(y,x)$ và $g(x,y) = g(y,x)$, hay nói cách khác các biểu thức $f(x,y), g(x,y)$ là các biểu thức đối xứng theo hai biến $x, y$. Để giải hệ, ta thường đặt $s = x+y, p= xy$, từ đó đưa hệ về theo ẩn $s, p$. Giải $s,p$ ta sẽ giải được $x,y$. Sau đây là một số ví dụ, các bạn theo dõi nhé.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x+y+xy=1 &\\ x^2+y^2+3xy=3. \end{cases} $
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $\begin{cases}x-y+xy=1&\\ x^2+y^2=2 \end{cases}$
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2(x+y)=3(\sqrt[3]{x^2y}+\sqrt[3]{xy^2})&\\ \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=6 \end{cases} $
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình $\begin{cases} \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{26}{5}&\\ x^2-y^2=24 \end{cases}$ $(*)$
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình $\begin{cases} \dfrac{x^2}{(y+1)^2}+\dfrac{y^2}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{2}&\\ 3xy=x+y+1. \end{cases}$
2. Bài tập
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a) $\begin{cases} x^2+xy+y^2=4&\\ x+xy+y=2 \end{cases}$
b) $\begin{cases} x+y+xy=3&\\ x^2y+xy^2=2 \end{cases}$
c) $\begin{cases} x^2+y^2+x+y=8&\\ xy+x+y=5 \end{cases}$
d) $\begin{cases} x^2+y^2=1&\\ x^3+y^3=1 \end{cases}$
e) $\begin{cases} x^2+y^2=1&\\ x^8+y^8=x^{10}+y^{10} \end{cases}$
f) $\begin{cases} 3xy-x^2-y^2=5&\\ 7x^2y^2-x^4-y^4=155 \end{cases}$
g) $\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\frac{1}{y}+xy=\dfrac{7}{2}&\\ x+y=\dfrac{3}{2}xy \end{cases}$
h) $\begin{cases} (x-y)(x^2-y^2)=3&\\ (x+y)(x^2+y^2)=15 \end{cases}$
i) $\begin{cases} (x^2+y^2)xy=78&\\ x^4+y^4=97 \end{cases}$
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
a) $\begin{cases} x^2+xy+y^2=1&\\ x-y-xy=3 \end{cases}$
b) $\begin{cases} x-y+xy=1&\\ x^2+y^2=2 \end{cases}$
c) $\begin{cases} x^3y^3+1=2y^3&\\ \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{x}{y^2}=2. \end{cases}$
d) $\begin{cases} x^2+y^2+x^2y^2=1+2xy&\\ (x-y)(1+xy)=1-xy \end{cases}$
e) $\begin{cases} \dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=\dfrac{26}{5}&\\ x^2-y^2=24 \end{cases}$
f) $\begin{cases} x^2+y^2+xy=3&\\ xy^3+x^3y=2 \end{cases}$
g) $\begin{cases} x+y+\dfrac{x}{y}=4&\\ x^2+xy-y=0 \end{cases}$
h) $\begin{cases} x-2y+\dfrac{x}{y}=6&\\ x^2-2xy-6y=0 \end{cases}$
i) $\begin{cases} \dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=2&\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+x+y=4 \end{cases}$
j) $\begin{cases} x+y+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=4&\\ x+y+\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}=4 \end{cases}$
k) $\begin{cases} x+y+x^2y^2=3xy&\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-xy=1 \end{cases}$
l) $\begin{cases} x(x+1)+\dfrac{1}{y}\left( \dfrac{1}{y}+1\right) =4&\\ x^3y^3+xy+x^2y^2+1=4y^3 \end{cases}$
m) $\begin{cases} (x^2+y^2)\left( 1+\dfrac{1}{x^2y^2}\right) =49&\\ (x+y)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) =5 \end{cases}$
3. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+y^2=xy+x+y&\\ x^2-y^2=3. \end{cases}$
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình $\begin{cases} y(x^2+1)=2x(y^2+1)&\\ (x^2+y^2)\left( 1+\dfrac{1}{x^2y^2}\right) =24 \end{cases}$
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình $\begin{cases} (x^2+y^2)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) ^2=9&\\ (x^3+y^3)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) ^3=27. \end{cases}$
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2x-y=1+\sqrt{x(1+y)}&\\ x^3-y^2=7. \end{cases}$
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình $\begin{cases} (2x-y+2)(2x+y)+6x-3y=-6&\\ \sqrt{2x+1}+\sqrt{y-1}=4. \end{cases}$
Ví dụ 11: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+y+x^3y+xy^2+xy=-\dfrac{5}{4}&\\ x^4+y^2+xy(1+2x)=-\dfrac{5}{4} \end{cases}$
4. Bài tập
Bài 1: Giải các hệ phương trình
a) $\begin{cases}\sqrt{7x+y}+\sqrt{2x+y}=5&\\ \sqrt{2x+y}+x-y=2. \end{cases}$
b) $\begin{cases} x^2+y^2=\dfrac{1}{2}&\\ 2x^3+6y^2x=1. \end{cases}$
c) $\begin{cases} x^3+3xy^2=-49&\\ x^2-8xy+y^2=8y-17 \end{cases}$
d) $\begin{cases} (x+y)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) =4&\\ xy+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{x^2+y^2}{xy}=4. \end{cases}$
e) $\begin{cases} (x+y)(1+xy)=18xy&\\ (x^2+y^2)(1+x^2y^2)=208x^2y^2 \end{cases}$
f) $\begin{cases} (x+y)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) =5&\\ xy+\dfrac{1}{xy}=4 \end{cases}$
g) $\begin{cases} (x+y)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) =6&\\ (x^2+y^2)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) ^2=18 \end{cases}$
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
a) $ \begin{cases}\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}=\dfrac{2}{3} &\\ (x+y)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) =6 \end{cases}$
b) $\begin{cases} xy(2x+y-6) +y+2x=0&\\ (x^2+y^2)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) ^2=8 \end{cases}$
c) $\begin{cases}2x^2y+y^2x+2y+x=6xy&\\ xy+\dfrac{1}{xy} +\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=4 \end{cases}$
d) $\begin{cases} x^2y^2+y^4+1=3y^2&\\ xy^2+x=2y \end{cases}$
e) $\begin{cases} 2x+y+\dfrac{1}{x}=4&\\ x^2+xy+\dfrac{1}{x}=3. \end{cases}$
f) $\begin{cases} x^2y+y=2&\\ x^2+\dfrac{1}{x^2}+x^2y^2=3. \end{cases}$
g) $\begin{cases} x^2+y^2+x+y=4xy&\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{y}{x^2}+\dfrac{x}{y^2}=4 \end{cases}$
h) $\begin{cases} x^4+4x^2+y^2-4y=2&\\ x^2y+2x^2+6y=23 \end{cases}$
i) $\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=9&\\ \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}\right) \left( 1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \left( 1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}\right) =18 \end{cases}$
j) $\begin{cases} x^2(y+z)^2=(3x^2+x+1)y^2z^2&\\ y^2(z+x)^2=(4y^2+y+1)z^2x^2&\\ z^2(x+y)^2=(5z^2+z+1)=x^2y^2 \end{cases}$
Hệ phương trình – Phương pháp cộng đại số – Hệ phương trình đối xứng loại hai
1. Phương pháp cộng đại số – Hệ phương trình đối xứng loại hai
Từ một hệ phương trình gồm có hai hay nhiều phương trình, ví dụ $\left\{\begin{array}{l} f(x,y)=0 (1) \\ g(x,y)=0 (2) \end{array} \right.$, ta tạo ra một hệ mới tương đương với hệ đã cho, bằng cách tạo thêm một phương trình dạng $af(x,y) + bg(x,y) = 0$, việc chọn lựa các hệ số $a, b$ đòi hỏi nhiều kinh nghiệm vì phương trình mới tạo ra phải đơn giản hơn, hoặc có ý để giúp giải được hệ.
Hệ đối xứng loại hai là hệ có dạng $\left\{\begin{array}{l} f(x,y)=0\ \ (1) \\ g(x,y)=0 \ \ (2) \end{array} \right.$ trong đó $f(y, x) = g(x,y)$ và $g(y,x) = f(x,y)$. Để giải hệ này ta lấy $(1)$ trừ $(2)$, sau đó xử lý tiếp.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $\begin{cases}x+3y=2x^2&\\ y+3x=2y^2 \end{cases}$ $(*)$
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3+1=2y&\\ y^3+1=2x. \end{cases}$ $(*)$
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình $\begin{cases} 3y=\dfrac{y^2+2}{x^2}&\\ 3x=\dfrac{x^2+2}{y^2} \end{cases} $ $(*)$
Trên đây là các hệ phương trình đối xứng loại hai, sau đây ta xét các ví dụ về một số hệ không mẫu mực khác, sử dụng phương pháp cộng đại số. Chú ý, tạo ra phương trình mới thì phương trình mới có thể xuất hiện hằng đẳng thức, phân tích thành nhân tử được…
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+6y=6x&\\ y^2+9=2xy \end{cases}$
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình $\begin{cases}x^2+y^2+xy=3&\\ x^2+2xy=7x+5y-9. \end{cases}$
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+y^2+4xy=6&\\ 2x^2+8=3y+7x \end{cases}$ $(*)$
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2y+2x+3y=6&\\ 3xy+x+y=5 \end{cases}$.
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+2xy+2y^2+3x=0&\\ xy+y^2+3y+1=0. \end{cases}$
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3(2+3y)=1&\\ x(y^3-2)=3. \end{cases}$
2. Bài tập rèn luyện
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a) $\begin{cases} x^2-2x-y-1=0&\\ y^2-2y-x-1=0 \end{cases}$
b) $\begin{cases} x^3+3x=8y&\\ y^3+3y=8x \end{cases}$
c) $\begin{cases} x^3=5x+y&\\ y^3=5y+x \end{cases}$
d) $\begin{cases} x-3y=4\dfrac{y}{x}&\\ y-3x=4\dfrac{x}{y} \end{cases}$
e) $\begin{cases} xy+x^2=1+y&\\ xy+y^2=1+x \end{cases}$
f) $\begin{cases} 3y=\dfrac{y^2+2}{x^2}&\\ 3x=\dfrac{x^2+2}{y^2} \end{cases}$
g) $\begin{cases} 3x^3=x^2+2y^2&\\ 3y^3=y^2+2x^2 \end{cases}$
h) $\begin{cases} 3x^2y-y^2-2=0&\\ 3y^2x-x^2-2=0 \end{cases}$
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
a) $\begin{cases} x+\sqrt{y+3} =3&\\ y+\sqrt{x+3}=3 \end{cases}$.
b) $\begin{cases} \sqrt{x+5}+\sqrt{y-2}=7&\\ \sqrt{y+5}+\sqrt{x-2}=7 \end{cases}$
c) $\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{2-x}=\sqrt{2}&\\ \sqrt{y}+\sqrt{2-x}=\sqrt{2} \end{cases}$
d) $\begin{cases} x \sqrt{1+y^2}+y \sqrt{1+x^2}=2&\\ x \sqrt{1+x^2}+y\sqrt{1+y^2}=2 \end{cases}$
e) $\begin{cases} \sqrt{x^2+3}+2\sqrt{x}=3\sqrt{y}&\\ \sqrt{y^2+3}+2\sqrt{y}=3\sqrt{x} \end{cases}$
f) $\begin{cases} x+\dfrac{2}{y}=\dfrac{3}{x}&\\ y+\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{y} \end{cases}$
g) $\begin{cases} 2x+3\sqrt{5-y}=8&\\ 2y+3\sqrt{5-x}=8 \end{cases}$
h) $\begin{cases} \sqrt[3]{3x+5}=y+1&\\ \sqrt[3]{3y+5}=x+1 \end{cases}$
i) $\begin{cases} x+1=\sqrt{2+\sqrt{y+3}}&\\ y+1=\sqrt{2+\sqrt{x+3}} \end{cases}$
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau
a) $\begin{cases} x^2(1-2y)=y^2(4x+2y)&\\ 2x^2+xy-y^2=x \end{cases}$
b) $\begin{cases} x^2(y^2+1)=2&\\ x^2y^2+xy+1=3x^2 \end{cases}$
c) $\begin{cases} x^2+2=x(y-1)&\\ y^2-7=y(x-1) \end{cases}$
d) $\begin{cases} 4x^2+y^4-4xy^3=1&\\ 2x^2+y^2-2xy=1 \end{cases}$
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:
a) $\begin{cases} x^2+2xy+y=4&\\ x^2+xy+2y+x=5 \end{cases}$
b) $\begin{cases} 2x^2+2xy+y=5&\\ y^2+xy+5x=7 \end{cases}$
c) $\begin{cases} x^2+y^2+xy=3&\\ y^2-xy+5x+4y=9 \end{cases}$
d) $\begin{cases} x^2+y^2=2&\\ 4(x+y)-x^2y^2=7 \end{cases}$
e) $\begin{cases} x^2+y^2+x+y=4&\\ x^2+2xy+9=7x+5 \end{cases}$
Bài 5: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+7=5y-6z&\\ y^2+7=10z+3x&\\ z^2+7=-x+3y \end{cases}$
Bài 6: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3+3xy^2+3xz^2-6xyz=1&\\ y^2+3yx^2+3yz^2-6xyz=1&\\ z^3+3zy^2+3zx^2-6xyz=1. \end{cases}$
Bài 7: Giải hệ phương trình $\begin{cases} (x-2y)(x-4z)=3&\\ (y-2z)(y-4x)=5&\\ (z-2x)(z-4y)=-8. \end{cases}$
Bài 8: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x(yz-1)=3&\\ y(zx-1)=4&\\ z(xy-1)=5. \end{cases}$
Bài 9: Giải hệ phương trình $\begin{cases}ab+c+d=3&\\ bc+d+a=5&\\ cd+a+b=2&\\ da+b+c=6 \end{cases}$
Bài 10: Cho $a \in \mathbb{R}$. Giải hệ phương trình $\begin{cases} x_1^2+ax_1+(\dfrac{a-1}{2})^2=x_2&\\ x_2^2+ax_2+(\dfrac{a-1}{2})^2=x_3&\\ …&\\ x_n^2+ax_n+(\dfrac{a-1}{2})^2=x_1 \end{cases}$
Hệ phương trình – Phương pháp thế
Trong chương này đề cập đến một số phương pháp giải hệ phương trình cơ bản nhất: Phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp ẩn phụ, và phương pháp đánh giá. Qua các phương pháp chúng ta cũng đi qua một số dạng phương trình mẫu mực như: hệ phương trình đối xứng loại một, loại hai, hệ đẳng cấp, hệ hoán vị vòng quanh,…Ngoài ra là các hệ không mẫu mực ở mức độ vừa phải, không quá xấu về mặt hình thức, phù hợp với các bạn THCS.
1. Phương pháp thế
Nội dung phương pháp: Từ một trong các phương trình, tính được một hoặc nhiều biến theo một hoặc nhiều biến khác, sau đó thế hết vào các phương trình còn lại để số biến sẽ giảm lại.
Trong các phương pháp giải hệ phương trình thì Phương pháp thế là phương pháp quan trọng và được sử dụng nhiều nhất. Mục tiêu của việc thế là đưa hệ nhiều ẩn thành hệ ít ẩn hơn, hoặc đưa về phương trình một ẩn, từ đó có thể giải được bài toán.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $ \left\{\begin{array}{l} x + 2y = 3\\ x^2-3y^2 + 4xy=2 \end{array} \right. $
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2x^2+x+y^2=7\\ xy-x+y=3 \end{array} \right.$
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} 2x^2y+3xy=4x^2+9y\\ 7y+6=2x^2+9x. \end{array} \right.$
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} 1+x^3y^3=19x^3\\ y+xy^2=-6x^2. \end{array} \right.$
Một số hệ phương trình nhiều khi phải biến đổi một vài bước thì mới xuất hiện phép thế.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình $\begin{cases} xy+x+y=x^2-2y^2 &\\ x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2(x-y). \end{cases}$
Trong ví dụ trên thì từ một phương trình ta phân tích thành thừa số, từ đó có những phương trình đơn giản hơn và sử dụng phương pháp thế.Ta xét tiếp ví dụ sau:
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình $\begin{cases} xy+x-2=0&\\ 2x^3-x^2y+x^2+y^2-2xy-y=0. \end{cases}$
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình $\begin{cases} y^2=(5x+4)(4-x)&\\ y^2-5x^2-4xy+16x-8y+16=0 \end{cases}$
Ngoài cách phân tích thành nhân tử, ta còn có một số biến đổi khác phức tạp hơn, ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+y^2=x-y&\\ y^3-x^3=y-x^2 \end{cases}$.
Ví dụ 9: Giải phương trình $\begin{cases} (x-y)^4=13x-4&\\ \sqrt{x+y}+\sqrt{3x-y}=\sqrt{2}. \end{cases}$
2. Bài tập
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
a) $\begin{cases} \sqrt{x+y}+\sqrt{2x-4}=5&\\ 2x+y=14 \end{cases}$
b) $\begin{cases} x+y=-1&\\ x^3-3x=y^3-3y& \end{cases}$
c) $\begin{cases} x^2y+2(x^2+y)=8&\\ xy+x+y=5 \end{cases}$
d) $\begin{cases} x^2+5x+y=9&\\ 3x^3+x^2y+2xy+6x^2=18 \end{cases}$
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
a) $\begin{cases} y^2-xy+1=0&\\ x^2+y^2+2x+2y+1=0& \end{cases}$
b) $\begin{cases} x^3-2xy+5y=7&\\ 3x^2-2x+y=3& \end{cases}$
c) $\begin{cases} x-\sqrt{y+1}=\dfrac{5}{2}&\\ y+2(x-3)\sqrt{x+1}=-\dfrac{3}{4}& \end{cases}$
d) $\begin{cases} x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9&\\ x^2+2xy=6x+6& \end{cases}$
e) $\begin{cases} x^2+1+y(y+x)=4y&\\ (x^2+1)(y+x-2)=y& \end{cases}$
f) $\begin{cases} x(x+y+1)-3=0&\\ (x+y)^2-\dfrac{5}{x^2}+1=0& \end{cases}$
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
a) $\begin{cases}x-2y-\sqrt{xy}=0&\\ \sqrt{x-1}+\sqrt{4y-1}=2 \end{cases}$
b) $\begin{cases} \sqrt{2x-3}=(y^2+2018)(5-y)+\sqrt{y}&\\ y(y-x+2)=3x+3 \end{cases}$
c) $\begin{cases} 2x^2+4xy+2y^2+3x+3y-2=0&\\ x^2+y^2+4xy+2y=0 \end{cases} $
d) $\begin{cases} 2x^2+xy-y^2-5x+y+2=0&\\ x^2+y^2+x+y-4=0 \end{cases}$
e) $\begin{cases} 2x^2-5xy+3y^2=0&\\ x^2-2xy=-1& \end{cases}$
f) $\begin{cases} x^3+3x^2y+3xy^2+2y^3=0&\\ 4x^2+y^2=5& \end{cases}$
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau
a) $\begin{cases} x+\dfrac{1}{x}=y+\dfrac{1}{y}&\\ x+2y=3& \end{cases}$
b) $\begin{cases} x^3-4y^3=6x^2y-9xy^2&\\ \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=2& \end{cases}$
c) $\begin{cases} -x^2y+2xy^2+3y^3-4(x+y)=0&\\ xy(x^2+y^2) -1=3xy-(x+y)^2 \end{cases}$
d) $\begin{cases} \sqrt{x-1}+\sqrt{x}(3\sqrt{x}-y)+x\sqrt{x}=3y+\sqrt{y-1}&\\ 3xy^2+4=4x^2+2y+x \end{cases}$
e) $\begin{cases} x^2+y^2+\dfrac{2xy}{x+y}=1&\\ \sqrt{x+y}=x^2-y \end{cases}$
f) $\begin{cases} y^2-x\sqrt{\dfrac{y^2+2}{x}}=2x-2&\\ \sqrt{y^2+1}+\sqrt[3]{2x-1}=1 \end{cases}$
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau:
a) $\begin{cases} 2x^2+y^2-3xy+3x-2y+1=0&\\ 4x^2-y^2+x+4=\sqrt{2x+y}+\sqrt{x+4y}& \end{cases}$
b) $\begin{cases} 6\dfrac{x}{y}-2=\sqrt{3x-y}+3y&\\ 2\sqrt{3x+\sqrt{3x-y}}=6x+3y-4. \end{cases}$