Tag Archives: MenhDe

Mệnh đề chứa biến

Mệnh đề chứa biến

Xét các phát biểu
P(n): “$n+1$ là số chính phương”. \ \ \ (1)
Q(x,y): “$x+y$ chia hết cho 2”. \ \ \ (2)

Mỗi phát biểu trên là câu khẳng định chứa một hay nhiều biến (n,x,y..). Tính đúng sai của chúng phụ thuộc vào giá trị của biến.

Định nghĩa. Các phát biểu dạng (1), (2)… được gọi là \textbf{mệnh đề chứa biến}.

Lượng từ $\forall, \exists$

Cho mệnh đề chứa biến P(x) với $x \in X$ là một tập hợp nào đó. Khi đó khẳng định có dạng “Với mọi x thuộc X thì P(x) đúng” (hay “P(x) đúng với mọi x thuộc X”) là một mệnh đề và được kí hiệu là

$\forall x \in X, P(x)$ hoặc $\forall x \in X: P(x).$

Cho mệnh đề chứa biến P(x) với $x \in X$ là một tập hợp nào đó. Khi đó khẳng định có dạng “Tồn tại x thuộc X để cho P(x) đúng” là một mệnh đề và được kí hiệu là

$\exists x \in X, P(x)$ hoặc $\exists x \in X: P(x).$

Mệnh đề phủ định của mệnh đề chứa lượng từ $\forall$ và $\exists$:

a) $\overline{\forall x \in X: P(x)}= \exists x \in X: \overline{P(x)}$.
b) $\overline{\exists x \in X: P(x)}=\forall x \in X: \overline{P(x)}$.

Ví dụ 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng. Viết mệnh đề phủ định.

a) $\forall x \in \mathbb{R}: x^2 \ge -1$

b) $\exists n \in \mathbb{N} : n+1\le 2n$.
c) $\forall x \in \mathbb{R}: \dfrac{2}{3} \le |x| \le \dfrac{5}{4}$
d) $\exists n \in \mathbb{N}: n^4+n^2+1$ là số nguyên tố.
e) $\forall n \in \mathbb{N}: (n^5-n) \vdots 15.$

Lời giải

a) $\exists x \in \mathbb{R}: x^2 < -1$

b) $\forall n \in \mathbb{N} : n+1 > 2n$.
c) $\exists x \in \mathbb{R}: |x| < \dfrac{2}{3}$ hoặc $|x| > \dfrac{5}{4}$
d) $\forall n \in \mathbb{N}: n^4+n^2+1$ không là số nguyên tố.
e) $\exists n \in \mathbb{N}: (n^5-n)$ không chia hết cho 15.

Ví dụ 2. 
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và lập mệnh đề phủ định

a) $\exists n \in \mathbb{Q}: n^2=2$
b) $\exists x \in \mathbb{R}: x \ge x^2$
c) $\forall n \in \mathbb{N}: n^2 +1$ không chia hết cho 3.
d) $\exists n \in \mathbb{N}: 10^n-9n-1$ là số nguyên tố.

Lời giải

a) $\forall n \in \mathbb{Q}: n^2 \neq 2$
b) $\forall x \in \mathbb{R}: x < x^2$
c) $\exists n \in \mathbb{N}: n^2 +1$ chia hết cho 3.
d) $\forall n \in \mathbb{N}: 10^n-9n-1$ không là số nguyên tố.

Bài tập rèn luyện

Mệnh đề – Ứng dụng vào chứng minh

Định nghĩa
Trong toán học định lí là một mệnh đề đúng. Nhiều định lí được phát biểu dưới dạng:

$$”\forall x \in X, P(x) \Rightarrow Q(x),” (1)$$
trong đó P(x), Q(x) là các mệnh đề chứa biến còn X là một tập hợp nào đó. \
Chứng minh định lí  dạng (1) là dùng suy luận và các kiến thức đã biết để khẳng định mệnh đề (1) là đúng.

Phương pháp chứng minh
Có thể chứng minh định lí dạng (1) một cách trực tiếp hoặc gián tiếp.\

Phép chứng minh trực tiếp gồm các bước sau:

  • Lấy $x \in X$ tuỳ ý mà P(x) đúng.
  • Dùng suy luận và các kiến thức đã biết để chỉ ra rằng Q(x) đúng.

Phép chứng minh gián tiếp thường hay được dùng là chứng minh phản chứng. Phép chứng minh phản chứng gồm các bước sau:

  • Giả sử tồn tại $x_0 \in X $ sao cho $P(x_0)$ đúng còn $Q(x_0)$ sai.
  • Dùng kiến thức toán học để chỉ ra mâu thuẫn.

Cho định lí dưới dạng $$”\forall x \in X, P(x) \Rightarrow Q(x).” \ \ \ \ (1)$$
P(x) được gọi là giả thiết, Q(x) được gọi là kết luận của định lí. Định lí trên còn được phát biểu lại dưới dạng

a)P(x) là điều kiện đủ để có Q(x).
b)Q(x) là điều kiện cần  để có P(x).

Xét mệnh đề đảo của định lí dạng (1):
$$\forall x \in X, Q(x) \Rightarrow P(x). \ (2)$$

Định nghĩa Nếu mệnh đề (2) đúng thì nó được gọi là định lí đảo  của định lí dạng (1). Lúc đó định lí dạng (1) được gọi là định lí thuận. Định lí thuận và định lí đảo có thể viết gộp thành một định lí.

$$\forall x \in X, P(x) \Leftrightarrow Q(x).$$
Khi đó ta nói P(x) là điều kiện cần và đủ  để có Q(x).

Các ví dụ

Ví dụ 1. Phát biểu các định lí sau dưới dạng điều kiện cần và điều kiện đủ:

a)Nếu một tứ giác là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc.
b)Với mọi số tự nhiên $n$ nếu $n \vdots 4$ thì $n \vdots 2.$

Ví dụ 2.
Trong các định lí sau định lí nào có định lí đảo. Với định lí có định lí đảo hãy phát biểu lại dưới dạng “Điều kiện cần và đủ”

a)Nếu một tứ giác là hình thoi thì nó có 2 đường chéo vuông góc nhau.
b)Nếu một tứ giác là hình bình hành thì hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
c)Nếu số nguyên dương $a$ chia hết cho 24 thì nó chia hết cho 6 và 4.
d)Nếu tứ giác ABCD là hình bình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.$

Ví dụ 3. Chứng minh rằng:

a)Tổng của một số vô tỷ và một số hữu tỷ là số vô tỷ.
a)Chứng minh nếu $a$ là số vô tỷ, $b$ là hữu tỷ khác 0 thì $ab$ là số vô tỷ.

Lời giải

a) Cho $a$ vô tỉ và $b$ hữu tỉ. Giả sử $a+b = c$ là số hữu tỉ.

Khi đó ta có $a = c -b$, mà do $c, b \in Q$ nên $c-b \in Q $, vô lí vì $a$ vô tỉ.

Vậy tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ là một số vô tỉ.

b) Cho $a$ vô tỉ và $b$ hữu tỉ khác 0. Ta chứng minh $ab$ cũng là vô tỉ.

Giả sử $ab =c$ là hữu tỉ, khi đó $a = \dfrac{c}{b}$ hữu tỉ (vô lí).

Vậy $ab$ là số vô tỉ.

Ví dụ 4. (Tuyển sinh PTNK 2009)
Người ta xếp các số từ 1 đến 9 thành một vòng tròn, mỗi số ghi một lần, có tồn tại hay không cách sắp xếp sao cho tổng hai số liền nhau bất kì thì lớn hơn hoặc bằng 10.

Lời giải

Giả sử tồn tại các sắp xếp thỏa đề bài, tức là hai số kề nhau có tổng lớn hơn hoặc bằng 10.

Khi đó ta xét số 1 và 2 số kề 1 là $a, b$. Ta có $1+a \geq 10, 1+b \geq 10$, suy ra $a=b=9$ (vô lí vì mỗi số chỉ viết được 1 lần).

Vậy không tồn tại cách viết thỏa đề bài.

Ví dụ 5. Chứng minh $\sqrt{2}$ là một số vô tỷ.

Lời giải

Giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ, đặt $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ trong đó $(p,q)=1$.

Khi đó $p^2 = 2q^2$, suy ra $p^2$ chia hết cho 2, mà 2 nguyên tố nên $p$ chia hết cho 2.

Đặt $p = 2m$ ta có $q^2 = 2m^2$, suy ra $q$ chia hết cho 2, suy ra $q = 2n$.

Mâu thuẫn vì $(p,q)=1$.

Vậy $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho định lí “Nếu $n$ là số tự nhiên thì $(n^3-n) \vdots 6.$”

a)Hãy xác định mệnh đề P(n), Q(n).
a)Phát biểu định lí trên sử dụng thuật ngữ “Điều kiện cần” và “Điều kiện đủ”.
a)Chứng minh định lí trên.

Bài 2.  Có tồn tại hay không cách chia tập các số tự nhiên từ 1 đến 9 thành hai tập sao cho tổng các phần tử của hai tập đó là bằng nhau? Tại sao?

Bài 3. Tích của 22 số nguyên bằng 1. Chứng minh rằng tổng của chúng không thể bằng 0.

Bài 4. Một con mã đang ở ô $a1$, hỏi con mã có đi qua mỗi ô đúng một lần và kết thúc ở ô $h8$ được không?Tại sao?

Bài 5. Sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh các bài toán sau:

a)Nếu $x \ne 1, y \ne 1$ thì $xy-x-y \ne -1$.
b)Cho hai số tự nhiên $a,b$. Chứng minh rằng nếu $a^2+b^2 \vdots 8$ thì $a,b$ không thể đồng thời là các số lẻ.
c)Chứng minh có ít nhất một trong 3 bất đẳng thức sau là đúng: $a^2+b^2 \ge 2bc, c^2+a^2 \ge 2ab, b^2+c^2 \ge 2ca$.
d)Cho $n \in \mathbb{N}$, chứng minh rằng nếu $n^2 \vdots 3$ thì $n \vdots 3$.

Bài 6. Sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh các bài toán sau:

a)Chứng minh rằng có ít nhất một trong 3 phương trình :$ax^2+bx+c=0, bx^2+cx+a=0, cx^2+ax+b=0$ vô nghiệm.
b)Cho $0<a,b,c<1$. Chứng minh có ít nhất 1 trong các bất đẳng thức sau sai: $a(1-b)>\dfrac{1}{4}, b(1-c)> \dfrac{1}{4}, c(1-a) > \dfrac{1}{4}$.
c)Cho các số thực $x,y,z$ thỏa $x.y.z>0, x+y+z>0, xy+xz+yz>0$. Chứng minh $x,y,z$ là các số dương.

Bài 7. Sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh các bài toán sau:

a)Cho $x, y \in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng nếu $x^2+y^2 \vdots 3$ thì $x, y$ cùng chia hết cho 3.
b)Chứng minh có vô hạn số nguyên tố.
c)Cho $2^n-1$ là số nguyên tố, chứng minh $n$ là số nguyên tố.

Bài 9. Sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh các bài toán sau:

a)Chứng minh $\sqrt{3}$ là số vô tỷ.
a)Chứng minh $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ là số vô tỷ.
a)Với hai số hữu tỷ $a,b$. Chứng minh rằng nếu $a \sqrt{2}+b \sqrt{3}$ là số hữu tỷ thì $a=b=0$.

Bài 10. Chứng minh rằng trong một tam giác nếu độ dài hai đường phân giác bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Mệnh đề – Bài tập

Lí thuyết mệnh đề

Bài 1 Giả sử $Q$ có mệnh đề là Đ, hãy xác định chân trị của $P, R, S$ nếu giá trị của biểu thức mệnh đề sau cũng là Đ.
$$\left( {Q \to \left( {\left( {\overline P \vee R} \right) \wedge \overline S } \right)} \right) \wedge \left( {\overline S \to \left( {\overline R \wedge Q} \right)} \right)$$

Bài 2 Dùng các tương đương logic đã biết để chứng minh các biểu thức mệnh đề sau là hằng đúng:

a) $\left( {P \wedge Q} \right) \to P$
b) $P \to \left( {\overline P \to P} \right)$
c) $P \to \left( {Q \to \left( {P \wedge Q} \right)} \right)$
d) $\overline {P \vee \overline Q } \to \overline P $
e) $\left( {\left( {P \to Q} \right) \wedge \left( {Q \to R} \right)} \right) \to \left( {P \to R} \right)$

Bài 3 Không lập bảng chân trị, sử dụng các tương đương logic đã biết để xét mệnh đề $G$ có phải là hệ quả của $F$ không?

a) $F = P \wedge \left( {Q \vee R} \right)$ và $G = \left( {P \wedge Q} \right) \vee R$.
b) $F = \left( {P \to Q} \right) \wedge \left( {Q \to R} \right)$ và $G = P \to \left( {Q \to R} \right)$.
c) $F = P \wedge Q$ và $G = \left( {\overline P \to Q} \right) \vee \left( {P \to \overline Q } \right)$.

Bài 4 Chứng minh rằng

a) $\overline{A} \Rightarrow B =A \lor B$
b) $P \Rightarrow Q = \overline{P} \lor Q$
c) $P \Rightarrow Q= \overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$ (mệnh đề thuận và mệnh đề phản đảo là tương đương)
d) $Q \Rightarrow P = \overline{P} \Rightarrow {Q}$ (mệnh đề đảo và mênh đề phản là tương đương)

Bài 5 Chứng minh

a) $P =P \lor (P \land Q)$
b) $P= P \land (P \lor Q)$

Bài 6 Chứng minh mệnh đề $(P \Rightarrow Q) \Rightarrow R$ không tương đương với mệnh đề $P \Rightarrow (Q \Rightarrow R).$

Bài 7 Chứng minh rằng $\overline{P \Leftrightarrow Q}=\overline{P} \Leftrightarrow Q$

Bài 8 Chứng minh rằng

a) $P \lor Q= \overline{\overline{P} \land \overline{Q}}$
b) $P \Rightarrow Q = \overline{P \land \overline{Q}}$
c) $P \Leftarrow Q = \overline{P \land \overline{Q}} \land \overline{Q \land \overline{P}}$

Bài 9 Chứng minh

a) $(P \Rightarrow Q) \Rightarrow R= \overline{R} \Rightarrow \overline{P \Rightarrow Q}$
b) $P \Rightarrow (Q \Rightarrow R)=(P \land Q) \Rightarrow R$

Bài 10 Chứng minh các tương đương logic sau:

a) $\left( {P \vee Q} \right) \wedge \overline {\overline P \wedge Q} = P$
b) $\overline {\overline {\left( {P \vee Q} \right) \wedge R} \vee \overline Q } = Q \wedge R$
c) $\left( {\left( {P \vee Q} \right) \wedge \left( {P \vee \overline Q } \right)} \right) \vee Q = P \vee Q$
d) $\left( {P \to Q} \right) \wedge \left( {\overline Q \wedge \left( {R \vee \overline Q } \right)} \right) = \overline {P \vee Q} $
d) $\left( {\left( {\overline P \vee \overline Q } \right) \to \left( {P \wedge Q \wedge R} \right)} \right) = P \wedge Q$

Bài 11 Các bạn Nam, Hùng, Dũng đang cưa cẩm cô X, trong lúc cô X hỏi lại thì các bạn trả lời sự thật rằng.\
Nam: Hùng có bồ và Dũng chưa có bồ.\
Hùng:Nếu Nam có bồ thì Dũng cũng có bồ.\
Dũng: anh chưa có bồ nhưng một trong hai anh kia có có bồ.\
Vậy ai là người có bồ?

Bài 12 Cho các mệnh đề sau, hãy tìm số lớn nhất các mệnh đề đúng.

a) Angela Trinh là người diễn viên.
b) T không giàu có.
c) T giàu nhưng không là diễn viên.
d) Nếu T là diễn viên thì T không giàu.
e) T là người diễn viên khi và chỉ khi T giàu.
f) Hoặc T là diễn viên, hoặc T là giàu nhưng không đồng thời cả hai.

Bài 13 Có 3 học sinh A, B, C được xếp ngồi thành một hàng và nhìn về phía trước, người ngồi sau chỉ nhìn thấy đầu của những người ngồi trước và không được quay đầu lại. Các bạn này được biết trước là có 5 chiếc mũ: 3 màu xanh, 2 màu đỏ.\
Người ta đội cho mỗi bạn này một chiếc mũ trong số 5 chiếc mũ đó. Sau đó người ta yêu cầu các bạn đoán xem là mình đang đội mũ màu gì. Bạn A ngồi sau cùng trả lời không biết, bạn B ngồi ở giữa cũng trả lời không biết. Do đó bạn C trả lời đúng mình đội mũ màu gì. Hãy giải thích tại sao bạn C biết được điều đó.

Bài 14 Lớp 10 văn được chia thành 3 tổ: tổ A, tổ B và tổ C để tham gia văn nghệ do trường tổ chức.

a) Nếu tổ A tham gia thì tổ B không tham gia.
b) Nếu cả tổ B và tổ C tham gia thì tổ A cũng phải tham gia.

Với quy ước trên khi tổ B tham gia thì tổ A và tổ C có tham gia hay không?

Bài 15 Một nhóm học sinh gồm A,B,C được phân công trực nhật lớp trong 1 tuần từ thứ 2 đến thứ 7, mỗi ngày trực không quá 2 người, riêng ngày thứ 7 trực 1 người. Theo yêu cầu của GVCN:

a) Nếu A không trực thì B phải trực
b) Hai em B, C không đồng thời trực hoặc không đồng thời không trực.

Hỏi ai là người trực ngày thứ 7?

Bài 16 Bốn bạn Anh, Huy, Trường và Linh tham gia đội tuyển bóng đá của nhà trường. Khi sắp xếp đội hình thi đấu với các đôi bạn, huấn luyện viên đưa ra chiến thuật như sau:

a) Nếu Huy tham gia trận đấu thì Anh cũng tham gia
b) Nếu Linh không tham gia thì trường cũng không tham gia.

Trên cơ sở quy định trên hỏi:\
– Nếu trong một trận đấu có Huy tham gia và Linh không tham gia thì Anh và Trường có tham gia hay không?\
– Nếu trong một trận đấu mà Anh không tham gia và Trường hoặc Huy tham gia thì Linh có tham gia hay không?

Bài 17 Nhà trường cần xếp thời khoá biểu cho lớp 10 Toán 4 môn học Toán, Lý, Hoá và Văn vào hai ngày thứ 3 và 4. Các giáo viên dạy các môn này đưa ra yêu cầu như sau:

a) Nếu giờ Toán vào thứ 3 thì môn Hoá phải vào thứ 4.
b) Môn Toán hoặc môn Lý cần xếp vào thứ 3.
c) Nếu môn Lý vào ngày thứ 3 thì môn Văn phải vào thứ 4.
d) Môn Văn không thể dạy vào ngày thứ 4.

Hỏi thời khoá biểu được xếp như thế nào?

Bài 18 Ta có cơ sở tri thức mô tả mối quan hệ của các thành phần trong một tam giác như sau:

a) Nếu biết 3 cạnh của 1 tam giác ta có thể biết nủa chu vi của tam giác đó
b) Nếu biết 2 cạnh và nữa chu vi của một tam giác thì ta có thể biết được cạnh còn lại của tam giác đó
c) Nếu biết được diện tích và một cạnh của một tam giác thì ta có thể biết được chiều cao tương ứng với cạnh đó
d) Nếu biết 2 cạnh và một góc kẹp giữa 2 cạnh đó của một tam giác thì ta có thể biết được cạnh còn lại của tam giác đó.
e) Nếu biết 2 cạnh và một góc kẹp giữa 2 cạnh đó của một tam giác thì ta có thể biết được diện tích của tam giác đó
f) Nếu biết ba cạnh và nữa chu vi của một tam giác thì ta biết được diện tích của tam giác đó
g) Nếu biết diện tích và đường cao của một tam giác thì ta biết được cạnh tương ứng với đường cao của tam giác đó

Giả sử biết được 2 cạnh và và góc kẹp giữ hai cạnh đó. Hãy chứng minh rằng ta có thể suy ra được đường cao tương ứng với cạnh còn lại.

Bài 19 Giả sử chúng ta biết các thông tin sau đây:

a) Ông Ba nuôi một con chó.
b) Hoặc ông Ba hoặc ông Am đã giết con mèo Bibi.
c) Mọi người nuôi chó đều yêu quý động vật.
d) Ai yêu quý động vật cũng không giết động vật.
e) Chó mèo đều là động vật.

Ai đã giết Bibi?

Bài tập trắc nghiệm đại số 10 – Học kì 1

Chương 1. Mệnh đề – Tập hợp

Bài 1. Mệnh đề

[WpProQuiz 50]

Bài 2. Tập hợp

 

Bài 3. Tổng hợp

[WpProQuiz 72]

Chương 2. Hàm số

Bài 1. Đại cương hàm số

[WpProQuiz 76]

Bài 2. Hàm số bậc nhất

 

Bài 3. Hàm số bậc hai

 

Bài 4. Tổng hợp

Chương 3. Phương trình – Hệ phương trình

Bài 1. Phương trình bậc nhất

 

Bài 2. Phương trình bậc hai – bậc cao

 

Bài 3. Phương trình chứa trị tuyệt đối, chứa căn

 

Bài 4. Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

 

Bài 5. Hệ phương trình bậc cao

 

Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học

Leave a reply

Một định lý được phát biểu thường có dạng một biểu thức mệnh đề như $P \Rightarrow Q$ (1) hoặc $P \Leftrightarrow Q$ (2)

Ví dụ. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi và chỉ khi $AB^2+AC^2=BC^2$ (Pitago).

Ví dụ. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có thể biểu diễn thành tích các thừa số nguyên tố.

Thực ra dạng (2) cũng có dạng $P \Rightarrow Q \wedge Q \Rightarrow P$, nên ta xét dạng 1.

Với mệnh đề dạng $P \Rightarrow Q$ thì

  • $P$ được gọi là điều kiện đủ để có $Q$.
  • $Q$ được gọi là điều kiện cần để có $P$.

Phương pháp chứng minh trực tiếp. Để chứng minh mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là đúng, ta sử dụng hằng đúng sau: $((P \Rightarrow R) \wedge (R \Rightarrow Q))  \Rightarrow (P \Rightarrow Q)$, tức là ta đi qua các bước trung gian $P \Rightarrow R$ và $R \Rightarrow Q$.

Ví dụ. Chứng minh nếu $A \subset B$ và $B \subset C$ thì $A \subset C$.

Chứng minh. Ta có $X \subset Y \Leftrightarrow \forall x \in X \Rightarrow x \in Y$.

Do đó lấy $x$ bất kì $x\in A$, ta chứng minh $x \in C$.

Thực vậy, do $x \in A$ mà $A \subset B$ nên $x \in B$. Hơn nữa $B \subset $ nên $x \in C$.

Vậy $A \subset C$.

Phương pháp chứng minh gián tiếp. Cụ thể ở đây là phương pháp phản chứng, ta sử dụng tương đương logic $P \Rightarrow Q \Leftrightarrow \overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$.  Thay vì chứng minh $P \Rightarrow Q$ là đúng ta chứng minh $\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$ là đúng. Lợi thế của phản chứng minh ta có thể tạo ra một giả thiết mới là $\overline{Q}$ từ đó giúp ta suy luận tiếp.

Ví dụ. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ là một số hữu tỉ.

Chứng minh. Lấy $a \in \mathbb{Q}, b \notin \mathbb{Q}$, ta chứng minh $a + b \notin \mathbb{Q}$.

Giả sử ngược lại $a +b = c \in \mathbb{Q}$. Suy ra $b = c – a$, mà $c, a \in \mathbb{Q} \Rightarrow c – a \in \mathbb{Q}$, suy ra $b \in \mathbb{Q}$ (mâu thuẫn).

Mệnh đề

Leave a reply
1. Mệnh đề là gì?
Một mệnh đề lôgic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định đúng hoặc khẳng định sai.
Một câu khẳng định đúng được gọi là mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là một mệnh đề sai.
Tính “Đúng” hay “Sai” của mệnh đề được goi là chân trị của mệnh đề.
Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Một mệnh đề thường được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa: P, Q, R…
2. Các phép toán trên mệnh đề
a. Mệnh đề phủ định
Cho mệnh đề P. Mệnh đề Không phải P được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là $\overline{P}$.
Nếu P đúng thì $\overline{P}$ sai và ngược lại.
Ví dụ 1. P =”TPHCM là thủ đô của Việt Nam”. Thì $\overline{P}$ = “TPHCM không là thủ đô của Việt Nam.”.
b. Mệnh đề kéo theo.
Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, và ký hiệu $P \Rightarrow Q$.
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ sai khi P đúng Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại.
Cho mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$. Khi đó mệnh đề $Q \Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$.
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng $Q$ sai.
Ví dụ 2. P = “6 chia hết cho 3”. Q = “6 là số nguyên tố”.
khi đó $ P \Rightarrow Q$ = “6 chia hết cho 3 suy ra 6 là số nguyên tố”.
c. Mệnh đề tương đương.
Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là $P \Leftrightarrow Q$.
Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đúng và sai trong các trường hợp còn lại.
Ví dụ 3. P = “6 chia hết cho 3”. Q = “6 là số nguyên tố”.
khi đó $ P \Leftrightarrow Q$ = “6 chia hết cho 3 khi và chỉ khi 6 là số nguyên tố”.
d. Mệnh đề hội.
Cho hai mệnh P và Q. Khi đó mệnh đề “P và Q” được gọi là mệnh đề hội. Kí hiệu $$P \wedge Q$$
Mệnh đề $P \wedge Q$ đúng khi $P$ và $Q$ cùng đúng, và sai trong các trường hợp còn lại.
Ví dụ 4. P = “Việt Nam có phía đông giáp biển”,  Q = “Việt Nam có khí hậu nhiệt đới gió mùa”
$ P \wedge Q$ = “Việt Nam có phía đông giáp biển và khí hậu nhiệt đới gió mùa”.
e. Mệnh đề tuyển.
Cho hai mệnh P và Q. Khi đó mệnh đề “P hoặc Q” được gọi là mệnh đề tuyển hay mệnh đề hoặc. Kí hiệu $$P \vee  Q$$.
Mệnh đề $P \vee Q$ sai khi $P$ và $Q$ cùng sai, và đúng trong các trường hợp còn lại.
Ví dụ 5. P = “Việt Nam có phía đông giáp biển”,  Q = “Việt Nam có khí hậu nhiệt đới gió mùa”
$ P \vee Q$ = “Việt Nam có phía đông giáp biển hoặc có khí hậu nhiệt đới gió mùa”.
f. Biểu thức mệnh đề.
Một biểu thức mệnh đề là một biểu thức chứa mệnh đề và các phép toán trên mệnh đề, giá trị của nó là chân trị Đúng hoặc Sai.
Ví dụ 6. $(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C)$ , $ (P \Rightarrow (Q \vee R)) \wedge (P \Rightarrow Q)$.
g. Mệnh đề hằng đúng, hằng sai.
Mệnh đề luôn nhận chân trị đúng được gọi là mệnh đề hằng đúng, kí hiệu là Đ. Mệnh đề luôn nhận chân trị sai được gọi là mệnh đề hằng sai, kí hiệu là S.
Ví dụ 7. $P \vee \overline{P}$ là hằng đúng, $P \wedge \overline{P}$ là hằng sai.
h. Tương đương logic.
Hai biểu thức mệnh đề $P$ và $Q$ được gọi là tương đương logic nếu $P \Leftrightarrow Q$ là hằng đúng. Ta có thể kí hiệu $P = Q$ nếu chúng tương đương logic.
Ví dụ 8. $\overline{P \vee Q} = \overline{P} \wedge \overline{Q}$ và $\overline{P \wedge Q} = \overline{P} \vee \overline{Q}$.
Bài tập rèn luyện

Bài 1.  Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

a)Hà Nội là thủ đô của Lào .
b) Danh đẹp trai!
c) Tú Anh hát thật hay!
d) Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô của Pháp.
e) Có phải em là mùa thu Hà Nội?

Bài 2.  Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

a) $\pi$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn.
b) Đức vô định Fifa World Cup 2014.
c) Việt Nam đạt 3 HCV Toán Quốc tế năm 2014.
d) $x + 1 = 2$
e) $x + y = z$
f) Mọi số tự nhiên đều là số không âm.
g) 5 là số vô tỷ.

Bài 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? mệnh đề nào là mệnh đề sai?

a) Số 2015 chia hết cho 3.
b) Số 8 là số nguyên tố.
c) 121 là số chính phương (số chính phương là bình phương của một số nguyên)
d)Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác đều.
e) Phương trình $x^2 + 3x + 1=0$ vô nghiệm.
f) Tam giác có độ dài 3 cạnh lần lượt là 3, 4, 5 là tam giác vuông.
g) Hai phương trình $x^2-4x+3= 0$ và phương trình $\sqrt{3x+1}+\sqrt{x}=3$ có nghiệm chung.

Bài 4.  Hãy viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết mệnh đề phủ định đúng hay sai?

a) Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô của Việt Nam.
b) 13 là số nguyên tố .
c) 25 < 37.
d) $\sqrt{2}$ là số hữu tỷ.
e) Tổng 3 góc trong một tam giác bằng $360^o$.
f) Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại.
g) Tổng hai đường chéo của một tứ giác nhỏ hơn nửa chu vi.

Bài 5. Viết mệnh đề hội của các cặp mệnh đề sau và cho biết mệnh đề hội là đúng hay sai?

a) P:”30 chia hết cho 5” ; Q:”30 chia hết cho 3”.
b) P: “Thầy Vũ đã có vợ” ; Q:”Thầy Vũ dạy trường Phổ Thông Năng Khiếu”
c) P:”25 là số chính phương”; Q:”25 là số âm”
d) P:”Tam giác vuông có một góc bằng $90^o$”; Q:”Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau”;
e) P:”Việt Nam là nước thuộc vùng Đông Nam Á” ;
Q:” Việt Nam là nước khí hậu gió mùa nhiệt đới ẩm”

Bài 6.  Hãy viết mệnh đề tuyển của các mệnh đề sau và cho biết mệnh đề tuyển là đúng hay sai?

a) P:” 30 là số nguyên tố” Q:”30 là số chính phương”
b) P:” – 2 = 2” Q:” – 5 < 6”
c) P:”$\dfrac{1}{3}$ là số hữu tỷ” Q:” $\pi$ là số vô tỷ”

Bài 7. Cho các cặp mệnh đề sau:

1) P: “ – 2 = 2” Q:” $(-2)^2 = 2^2$”
2) P:” Xuân Diệu là nhà Toán học vĩ đại” Q:” Galois là nhà thơ lớn người Việt Nam”
3) Cho tam giác ABC.
P:”Tam giác ABC có$\angle B = \angle C$ ” Q:”Tam giác ABC có AB = AC”
4) P:” – 5 < – 6 “ Q:” 100 > 1000″
5) P:” $\dfrac{1}{3}$ là số hữu tỷ” Q:”3 là hợp số”a) Viết mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và cho biết mệnh đề này đúng hay sai?
b) Viết mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ và cho biết mệnh đề này đúng hay sai?
c) Viết mệnh đề $\overline{Q} \Rightarrow P$ và cho biết mệnh đề này đúng hay sai?
Bài 8. Cho các hai mệnh đề P và Q. Chứng minh rằng:a) Mệnh đề $P \wedge \overline{P}$ hằng sai.
b) Mệnh đề $P \vee \overline{P}$ hằng đúng.
c) Mệnh đề $\overline{P \wedge Q}$ và $\overline{P} \vee \overline{Q}$ cùng chân trị.
d) Mệnh đề $\overline{P \vee Q}$ và $\overline{P} \wedge \overline{Q}$ cùng chân trị.