Tag Archives: Daiso

Tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau – Phần 2

Bài 1. Cho $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}$. Chứng minh rằng $a=b=c$.
Lời giải.
$$
\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a+b+c}{b+c+a}=1
$$

Khi đó, $a=b ; b=c ; c=a \Rightarrow a=b=c$.
Bài 2. Cho ba tỉ số bằng nhau là $\dfrac{a}{b+c}, \dfrac{b}{c+a}, \dfrac{c}{a+b}$. Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó.
Lời giải.
$$
\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{b}{c+a}=\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a+b+c}{2 a+2 b+2 c}=\dfrac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\dfrac{1}{2} \text {. }
$$

Bài 3. Cho $a+b+c+d \neq 0$ và $\dfrac{a}{b+c+d}=\dfrac{b}{a+c+d}=\dfrac{c}{a+b+d}=\dfrac{d}{a+b+c}$.

Tính giá trị của: $A=\dfrac{a+b}{c+d}+\dfrac{b+c}{a+d}+\dfrac{c+d}{a+b}+\dfrac{d+a}{b+c}$.

Lời giải.
$$
\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\frac{d}{a+b+c}=\frac{a+b+c+d}{3 a+3 b+3 c+3 d}=\frac{a+b+c+d}{3(a+b+c+d)}=\frac{1}{3} \text {. }
$$

Khi đó, $3 a=b+c+d \quad ; 3 b=a+c+d \quad ; 3 c=a+b+d \quad ; 3 d=a+b+c$
$$
4 a=a+b+c+d \quad ; 4 b=a+b+c+d \quad ; 4 c=a+b+c+d \quad ; 4 d=a+b+c+d
$$

Khi đó, $4 a=4 b=4 c=4 d \Rightarrow a=b=c=d$.
Vậy $A=4$.

Bài 4. Cho tỉ lệ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$.
Lời giải.
$$
\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}
$$

Bài 5. Cho tỉ lệ thức $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$. Chứng minh rằng $\dfrac{a b}{c d}=\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2}$.
Lời giải.
$ \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=k .$
$k^2=\dfrac{a}{c} \cdot \dfrac{b}{d}=\dfrac{a b}{c d} . $
$k^2=\dfrac{a^2}{c^2}=\dfrac{b^2}{d^2}=\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2} $

Khi đó, $\dfrac{a b}{c d}=\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2}$.

Bài 6. Cho $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}$.

Chứng minh rằng: $\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\dfrac{a}{d}$.

Lời giải.

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+b+c}{b+c+d}=k $

$\Rightarrow k^3=\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3 . $
$k^3=\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{d} $
$\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\dfrac{a}{d} $

Bài tập tự luyện.


Bài 1. Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
(a) $\dfrac{3 a+5 b}{3 a-5 b}=\dfrac{3 c+5 d}{3 c-5 d}$;
(b) $\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}$;
(c) $\dfrac{a b}{c d}=\dfrac{(a-b)^2}{(c-d)^2}$;
(d) $\dfrac{7 a^2+5 a c}{7 a^2-5 a c}=\dfrac{7 b^2+5 b d}{7 b^2-5 b d}$.

Bài 2. Cho $\dfrac{a}{2018}=\dfrac{b}{2019}=\dfrac{c}{2020}$.

Chứng minh rằng: $ 4(a-b)(b-c)=(c-a)^2$.

Bài 3. Cho dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{a_2}{a_3}=\dfrac{a_3}{a_4}=\ldots=\dfrac{a_{2018}}{a_{2019}}$.

Chứng minh rằng: Ta có đẳng thức: $\dfrac{a_1}{a_{2019}}=\left(\dfrac{a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{2018}}{a_2+a_3+a_4+\ldots+a_{2019}}\right)^{2018}$

Phần trăm

Bài tập 1. Có ba bài kiểm tra, bài số 1 có 25 câu, bài số 2 có 40 câu, bài số 3 có 10 câu. Đức là được $80 \%$ câu đúng bài số 1, $90 \%$ câu đúng bài số 2 và $70 \%$ câu đúng bài số 3. Mỗi câu đúng bài số 1 được 3 điểm, bài số 2 được 5 điểm và bài số 3 được 7 điểm.
a) Tính số câu đúng Đức làm được.
b) Tính số điểm của Đức đạt được.

Lời giải.

a) Số câu đúng Đức làm được: $80 \%.25 + 90 \%.40 + 70 \%.10=63$ câu.

b) Số điểm Đức làm được: $80 \%.25.3 + 90 \%.40.5 + 70 \%.10.7=289$ điểm.

Bài tập 2. Một số nam sinh và nữ sinh đang rửa xe để quyên tiền cho chuyến tham quan Hà Nội của lớp. Ban đầu $40 \%$ của nhóm là con gái. Ngay sau đó, hai cô gái rời đi và hai chàng trai đến, sau đó $30 \%$ trong nhóm là các cô gái. Lúc đầu trong nhóm có bao nhiêu bạn nữ?

Lời giải.
Gọi $x$ (bạn) là số bạn nữ lúc đầu trong nhóm có, $(x>0)$
$$
40 \% \cdot x-2=30 \% . x \Rightarrow x=20
$$

Vậy có 20 bạn nữ.

Bài tập 3. Giả sử trường $\mathrm{A}$ có 1000 học sinh và trường $\mathrm{B}$ có 1200 học sinh. Hỏi số học sinh trường $\mathrm{B}$ nhiều hơn số học sinh trường $\mathrm{A}$ là bao nhiêu phần trăm?

Lời giải.
Số học sinh trường $\mathrm{B}$ nhiều hơn số học sinh trường $\mathrm{A}$ là $1200-1000=200$ (học sinh).
Phần trăm số học sinh trường $\mathrm{B}$ nhiều hơn số học sinh trường $\mathrm{A}$ là $\frac{200}{1000} \cdot 100=20 \%$
Vậy có $20 \%$

Bài tập 4. Thuế thu nhập của TPHCM được đánh ở mức $p \%$ của 28.000.000 đầu tiên của thu nhập hàng năm cộng với $(p+2) \%$ của bất kỳ số tiền nào trên 28.000.000. Nam nhận thấy rằng thuế thu nhập ở TPHCM mà ba bạn phải trả lên tới $(p+0,25) \%$ thu nhập hàng năm của ba. Thu nhập hàng năm của ba Nam ấy là bao nhiêu?

Lời giải.
Gọi $x$ (đồng) là thu nhập hàng năm của ba Nam, $(x>0)$
Thuế thu nhập của TPHCM là $p \% .28000000+(p+2) \%(x-28000000)$
Thuế thu nhập của TPHCM mà ba Nam trả là $(p+0,25) \% . x$
Giải phương trình:
$ p \% .28000000+(p+2) \%(x-28000000)=(p+0,25) \% . x $
$\Leftrightarrow p \% .28000000+x p \%-28000000 p \%+x .2 \%-56000000 \%=x p \%+x .0,25 \% $
$\Leftrightarrow x=32000000$

Bài tập 5. Giá cổ phiếu của công ty $T T C$ là $\$ 100$ vào năm 2021 . Nó đã giảm $25 \%$ vào năm 2022 và sau đó tăng $25 \%$ vào năm 2023 . Giá cổ phiếu cuối năm 2023 là bao nhiêu?

Lời giải.
Giá cổ phiếu sẽ giảm vào năm 2023 là $\$ 100.25 \%=\$ 25$.
$\Rightarrow$ Giá cổ phiếu vào năm 2022 là $\$ 100-\$ 25=\$ 75$.
Giá cổ phiếu sẽ giảm vào năm 2023 là $\$ 75.25 \%=\$ 18,75$.
$\Rightarrow$ Giá cổ phiếu vào năm 2023 là $\$ 75+\$ 18,75=\$ 93,75$.

Bài tập 6. Ông An định cải tạo một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng 2,5 chiều rộng. Ông thấy rằng nếu đào một cái hồ có mặt hồ là hình chữ nhật thì sẽ chiếm mất $3 \%$ diện tích mảnh vườn, còn nếu giảm chiều dài $5 \mathrm{~m}$ và tăng chiều rộng $2 \mathrm{~m}$ thì mặt hồ là hình vuông và diện tích mặt hồ giảm được $20 m^2$. Hãy tính các cạnh của mảnh vườn.

Lời giải.
Gọi $x(\mathrm{~m})$ là chiều rộng của mảnh vườn, $(x>0)$.
Vì chiều dài bằng 2,5 chiều rộng nên chiều dài của mảnh vườn là $2,5 x(\mathrm{~m})$.
Gọi $y(\mathrm{~m})$ là chiều rộng của mặt hồ ban đầu.
Gọi $z(\mathrm{~m})$ là chiều dài của mặt hồ ban đầu.
Vì diện tích của mặt hồ chiếm 3\% diện tích mảnh vườn nên diện tích của mặt hồ là
$$
y . z=3 \% .2,5 x^2 \Rightarrow y z=0,075 x^2\left(\mathrm{~m}^2\right)
$$

Nếu giảm chiều dài $5 m$ và tăng chiều rộng $2 m$ thì mặt hồ là hình vuông nên
$$
y+2=z-5 \Rightarrow z=y+7
$$

Diện tích của mặt hồ giảm $20 \mathrm{~m}^2$ nên
$$
y z-(y+2)(z-5)=20 \Rightarrow y \cdot(y+7)-(y+2)^2=20 \Rightarrow y=8 \Rightarrow z=8+7=15
$$

Thay $y=8$ và $z=15$ vào $y z=0,075 x^2$, ta được $8.15=0,075 x^2 \Rightarrow x^2=1600 \Rightarrow x=40$ hoặc $x=-40$.

Vì $x>0$ nên nhận $x=40$.
Vậy chiều rộng của mảnh vườn là $40(\mathrm{~m})$ và chiều dài của mảnh vườn là $100(\mathrm{~m})$

Bài tập 7. Tổng kết học kì 2 , trường trung học cơ sở $\mathrm{N}$ có 60 học sinh không đạt học sinh giỏi, trong đó có 6 em từng đạt học sinh giỏi học kì 1 , số học sinh giỏi của học kì 2 bằng $\frac{40}{37}$ số học sinh giỏi của học kì 1 và có $8 \%$ số học sinh của trường không đạt học sinh giỏi học kì 1 nhưng đạt học sinh giỏi học kì 2 . Tìm số học sinh giỏi học kì 2 của trường biết rằng số học sinh của trường không thay đổi trong suốt năm học.

Giải thích:
Gọi $x$ (học sinh) là số học sinh giỏi học kì 2 của trường.
Nhóm 1 và nhóm $4=x$ học sinh
60 học sinh không đạt học sinh giỏi học kì 2.
Nhóm 2 và nhóm $3=60$ học sinh

6 học sinh từng đạt học sinh giỏi học kì 1 trong số học sinh không giỏi ở hk2.
Nhóm $3=6$ họ sinh
$8 \%$ số học sinh của trường không đạt học sinh giỏi học kì 1 nhưng đạt học sinh giỏi học kì 2 .
Nhóm $4=8 \%$ học sinh toàn trường

Số học sinh giỏi học kì 2 bằng $\frac{40}{37}$ số học sinh giỏi của học kì 1 .
Nhóm 1 và $4=\frac{40}{37}$ nhóm 1 và 3

Lời giải.
Gọi $x$ (học sinh) là số học sinh giỏi học kì 2 của trường.
Số học sinh toàn trường là $x+60$ (học sinh)
Số học sinh giỏi học kì 2 bằng $\frac{40}{37}$ số học sinh giỏi của học kì 1 nên
$$
x=\frac{40}{37} \text { số học sinh giỏi của học kì } 1 \text {. }
$$

Số học sinh giỏi của học kì 1 là
$$
x-\frac{8}{100}(x+60)+6=\frac{23}{25} x+\frac{6}{5}(\text { học sinh })
$$

Khi đó, $x=\frac{40}{37} \cdot\left(\frac{23}{25} x+\frac{6}{5}\right) \Rightarrow x=240$. Vậy số học sinh giỏi học kì 2 của trường là 240 học sinh.

Sử dụng đánh giá bất đẳng thức để giải hệ phương trình

Một trong các phương pháp khác đặc biệt để giải các hệ phương trình là sử dụng bất đẳng thức, kiểu $A \geq 0$, khi đó $A = 0$ chỉ tại các dấu $=$ xảy ra, hoặc $x \geq y \geq z \geq x$, do đó hệ có nghiệm chỉ khi các dấu $=$ đồng thời xảy ra.

Ta cùng tìm hiểu phương pháp này thông qua một số ví dụ, từ đó rút ra kinh nghiệm giải các hệ phương trình khác.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}
x+\frac{2 x y}{\sqrt[3]{x^2-2 x+9}}=x^2+y \\\\
y+\frac{2 x y}{\sqrt[3]{y^2-2 y+9}}=y^2+x
\end{array}\right.$

Lời giải.

$$
\left\{\begin{array}{l}
x+\frac{2 x y}{\sqrt[3]{x^2-2 x+9}}=x^2+y(1) \\\\
y+\frac{2 x y}{\sqrt[3]{y^2-2 y+9}}=y^2+x(2)
\end{array}\right.
$$
Ta có: $x^2-2 x+9 \geq 8 \Rightarrow \sqrt[3]{x^2-2 x+9} \geq 2 \Rightarrow \frac{2 x y}{\sqrt[3]{x^2-2 x+9}} \leq x y$ Tương tự: $\frac{2 x y}{\sqrt[3]{y^2-2 y+9}} \leq x y$
Do đó: $x+\frac{2 x y}{\sqrt[3]{x^2-2 x+9}}+y+\frac{2 x y}{\sqrt[3]{y^2-2 y+9}} \leq x+y+2 x y \leq x+y+x^2+y^2$
(Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x=y$ Từ $(1),(2)$ và $(3)$ suy ra $x=y$ Thay $x=y$ vào (1) ta được:
(4) $\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2-2 x+9}=2 \Leftrightarrow x^2-2 x+9=8 \Leftrightarrow(x-1)^2=0 \Leftrightarrow x=1 \Rightarrow$ $y=1$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) \in{(0,0) ;(1,1)}$.

Ví dụ 2. (Hệ hoán vị vòng quanh) Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{array}{l}
x^3+3 x^2+2 x-5=y \\\\
y^3+3 y^2+2 y-5=z \\\\
z^3+3 z^2+2 z-5=x
\end{array}\right.$$

Lời giải. Do vai trò bình đẳng trong hoán vị vòng quanh của $x, y, z$ trong hệ trên, ta có thể giả sử
$$
\begin{aligned}
& x=\max {x ; y ; z} \text {. } \\\\
& \text { Vì } y \leq x \text { nên } x^3+3 x^2+2 x-5 \leq x \\\\
& \Leftrightarrow x^3+3 x^2+x-5 \leq 0 \\\\
& \Leftrightarrow(x-1)\left(x^2+4 x+5\right) \leq 0 \text {. } \\\\
& \text { Vì } x^2+4 x+5=(x+2)^2+1>0 \text { nên } x \leq 1 \text {. } \\\\
& \text { Mà } z \leq x \text { nên } z \leq 1 \text {. } \\\\
& \text { Lập luận ngược lại quá trình trên ta được } \\\\
& (z-1)\left(z^2+4 z+5\right) \leq 0 \\\\
& \Leftrightarrow z^3+3 z^2+2 z-5 \leq z \Leftrightarrow x \leq z \text {. } \\\\
& \text { Do đó } x=z \text {. } \\\\
& \text { Suy ra } x=y=z \text {. } \\\\
& \text { Từ đó ta được phương trình } \\\\
& \quad x^3+3 x^2+2 x-5=x \\\\
& \Leftrightarrow(x-1)\left(x^2+4 x+5\right)=0 \Leftrightarrow x=1 \text {. }
\end{aligned}
$$

Ví dụ 3 (Chuyên Toán PTNK 1997) Tìm tất cả các số dương $x, y, z$ thỏa : $\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}=3 \\\\
x+y+z \leq 12
\end{array}\right.$

Lời giải.

\begin{aligned}
& \text { Ta có }(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\right) \leq 36 \Leftrightarrow \frac{y}{x}+\frac{4 x}{y}+\frac{z}{x}+\frac{9 x}{z}+\frac{4 z}{y}+\frac{9 y}{z}-22 \leq 0 \Leftrightarrow \\\\
& \frac{(y-2 x)^2}{x y}+\frac{(z-3 x)^2}{x z}+\frac{(3 y-2 z)^2}{y z} \leq 0 \Leftrightarrow y=2 x, z=2 x, 3 y=2 z \text { Từ đó ta } \\\\
& \text { có } x=2, y=4, z=6
\end{aligned}

Ví dụ 4. (PTNK Chuyên Toán 2103) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}
3 x^2+2 y+1=2 z(x+2) \\\\
3 y^2+2 z+1=2 x(y+2) \\\\
3 z^2+2 x+1=2 y(z+2)
\end{array}\right.$

Lời giải. Cộng ba phương trình lại ta có:
$3\left(x^2+y^2+z^2\right)+2(x+y+z)+3=2(x y+y z+z x)+4(x+y+z) $

$ \Leftrightarrow 3\left(x^2+y^2+z^2\right)-2(x y+y z+x z)-2(x+y+z)+3=0 $
$\Leftrightarrow(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=0 $
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=1 \\\\
y=1 \\\\
z=1
\end{array}\right.
$
Thử lại thấy $(1,1,1)$ là nghiệm của hệ.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}
x+\dfrac{2 x y}{\sqrt{x^2-2 x+5}}=x^2+y \\\\
y+\dfrac{2 x y}{\sqrt{y^2-2 y+5}}=y^2+x
\end{array}\right.$

Bài 2. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}
y^{3}-6 x^{2}+12 x-8=0 \\\\
z^{3}-6 y^{2}+12 y-8=0 \\\\
x^{3}-6 z^{2}+12 z-8=0
\end{array}\right.$

Bài 3. Tìm các số không âm $x, y, z$ thỏa
$$
\left\{\begin{aligned}
x y z & =1 \\\\
x^3+y^3+z^3 & =x+y+z
\end{aligned}\right.
$$

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ – P.2

 CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN THỨC

 

Muốn cộng các phân thức, ta quy đồng mẫu thức, cộng các tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức chung, rồi rút gọn phân thức vừa tìm được.

Muốn trừ đi một phân thức, ta lấy phân thức bị trừ cộng với phân thức đối của phân thức trừ.

Muốn nhân các phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau, rồi rút gọn phân thức vừa tìm được. Muốn chia cho một phân thức khác 0 , ta lấy phân thức bị chia nhân với phân thức nghịch đảo của phân thức chia.

Ví dụ 1.

Cho $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$ và $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ đều khạ́c 0 . Rút gọn biểu thức

$A=\frac{a b}{a^2+b^2-c^2}+\frac{b c}{b^2+c^2-a^2}+\frac{c a}{c^2+a^2-b^2} \text {. }$

Giải : Từ $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$ suy ra $\mathrm{a}+\mathrm{b}=-\mathrm{c}$.

Bình phương hai vế, ta được $\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+2 \mathrm{ab}=\mathrm{c}^2$ nên $\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2-\mathrm{c}^2=-2 \mathrm{ab}$.

Tương tự, $\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2-\mathrm{a}^2=-2 \mathrm{bc}$ và $\mathrm{c}^2+\mathrm{a}^2-\mathrm{b}^2=-2 \mathrm{ca}$.

Do đó $\mathrm{A}=\frac{\mathrm{ab}}{-2 \mathrm{ab}}+\frac{\mathrm{bc}}{-2 \mathrm{bc}}+\frac{\mathrm{ca}}{-2 \mathrm{ca}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$.

Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức

$A=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+x^2}+\frac{4}{1+x^4}+\frac{8}{1+x^8} .$

Giải : Do đặc điểm của bài toán, ta không quy đồng mẫu tất cả các phân thức mà cộng lần lượt từng phân thức.

$A =\frac{2}{1-x^2}+\frac{2}{1+x^2}+\frac{4}{1+x^4}+\frac{8}{1+x^8} $

$=\frac{4}{1-x^4}+\frac{4}{1+x^4}+\frac{8}{1+x^8}=\frac{8}{1-x^8}+\frac{8}{1+x^8}=\frac{16}{1-x^{16}}$

Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức

$\mathrm{B}=\frac{3}{(1.2)^2}+\frac{5}{(2.3)^2}+\ldots+\frac{2 n+1}{[n(n+1)]^2}$

Giải : Đương nhiên không thể quy đồng mẫu tất cả các phân thức. Ta tìm cách tách mỗi phân thức thành hiệu của hai phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp. Ta có :

$\frac{2 \mathrm{k}+1}{\mathrm{k}^2(\mathrm{k}+1)^2}=\frac{(\mathrm{k}+1)^2-\mathrm{k}^2}{\mathrm{k}^2(\mathrm{k}+1)^2}=\frac{1}{\mathrm{k}^2}-\frac{1}{(\mathrm{k}+1)^2}$

Do đó : $\quad \mathrm{B}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{\mathrm{n}^2}-\frac{1}{(\mathrm{n}+1)^2}=$

$=1-\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}$

Ví dụ 4. Xác định các ‘số a, b, c sao cho

$\frac{1}{\left(x^2+1\right)(x-1)}=\frac{a x+b}{x^2+1}+\frac{c}{x-1} \text {. }\quad\quad(1)$

Giải : Thực hiện phép cộng ở vế phải của (1) :

$\frac{(a x+b)(x-1)+c\left(x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)(x-1)}=\frac{a x^2-a x+b x-b+c x^2+c}{\left(x^2+1\right)(x-1)}=$

$=\frac{(a+c) x^2+(b-a) x+(c-b)}{\left(x^2+1\right)(x-1)} \text {. }$

Đồng nhất phân thức trên với phân thức $\frac{1}{\left(x^2+1\right)(x-1)}$, ta được :

$\left\{\begin{array} { l }{ \mathrm { a } + \mathrm { c } = 0 } \\ { \mathrm { b } – \mathrm { a } = 0 } \\ { \mathrm { c } – \mathrm { b } = 1 }\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{c}+\mathrm{b}=0 \\ \mathrm{c}-\mathrm{b}=1\end{array} \Rightarrow \mathrm{c}=\frac{1}{2} ; \mathrm{b}=-\frac{1}{2} .\right.\right.$

Do đó $a=-\frac{1}{2}$. Như vậy : $\frac{1}{\left(x^2+1\right)(x-1)}=\frac{-\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}}{x^2+1}+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}$.

Ví dụ 5. Cho $\quad A=\frac{1}{(x+y)^3}\left(\frac{1}{x^4}-\frac{1}{y^4}\right)$, $B=\frac{2}{(x+y)^4}\left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{y^3}\right), \quad C=\frac{2}{(x+y)^5}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}\right)$.

Thực hiện phép tính $\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}$.

Giải : Ta có

$A =\frac{y^4-x^4}{x^4 y^4(x+y)^3}=\frac{\left(y^2+x^2\right)\left(y^2-x^2\right)}{x^4 y^4(x+y)^3}=\frac{\left(y^2+x^2\right)(y-x)}{x^4 y^4(x+y)^2} $

$B+C =\frac{2}{(x+y)^4}\left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{y^3}+\frac{1}{x+y} \cdot \frac{y^2-x^2}{x^2 y^2}\right) $

$=\frac{2}{(x+y)^4}\left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{y^3}+\frac{y-x}{x^2 y^2}\right)=\frac{2}{(x+y)^4} \cdot \frac{y^3-x^3+x y(y-x)}{x^3 y^3}$

$=\frac{2}{(x+y)^4} \cdot \frac{(y-x)\left(y^2+2 x y+x^2\right)}{x^3 y^3}=\frac{2(y-x)}{(x+y)^2 x^3 y^3}$

Do đó $A+B+C=\frac{\left(y^2+x^2\right)(y-x)}{x^4 y^4(x+y)^2}+\frac{2(y-x)}{x^3 y^3(x+y)^2}=$

$=\frac{\left(y^2+x^2\right)(y-x)+2 x y(y-x)}{x^4 y^4(x+y)^2}=\frac{(y-x)\left(y^2+x^2+2 x y\right)}{x^4 y^4(x+y)^2}=\frac{y-x}{x^4 y^4}$

 

BÀI TẬP

19. Thực hiện phép tính :
a) $\frac{x+3}{x+1}-\frac{2 x-1}{x-1}-\frac{x-3}{x^2-1}$
b) $\frac{1}{x(x+y)}+\frac{1}{y(x+y)}+\frac{1}{x(x-y)}+\frac{1}{y(y-x)}$.
10. Thực hiện phép tính :
a) $A=\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$;
b) $B=\frac{1}{a(a-b)(a-c)}+\frac{1}{b(b-a)(b-c)}+\frac{1}{c(c-a)(c-b)}$;
c) $\mathrm{C}=\frac{\mathrm{bc}}{(\mathrm{a}-\mathrm{b})(\mathrm{a}-\mathrm{c})}+\frac{\mathrm{ac}}{(\mathrm{b}-\mathrm{a})(\mathrm{b}-\mathrm{c})}+\frac{\mathrm{ab}}{(\mathrm{c}-\mathrm{a})(\mathrm{c}-\mathrm{b})}$;
d) $D=\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}$.
11. Cho $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ là các số nguyên khác nhau đôi một. Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên :
$P=\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$

12. Cho $3 y-x=6$. Tính giá trị của biểu thức

$A=\frac{x}{y-2}+\frac{2 x-3 y}{x-6}$

13. Tìm $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$, biết rằng $\frac{\mathrm{x}^2}{2}+\frac{\mathrm{y}^2}{3}+\frac{\mathrm{z}^2}{4}=\frac{\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+\mathrm{z}^2}{5}$.

14. Tìm $\mathrm{x}, \mathrm{y}$, biết rằng $\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+\frac{1}{\mathrm{x}^2}+\frac{1}{\mathrm{y}^2}=4$.

15. Cho biết :

$\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{~b}}+\frac{1}{\mathrm{c}}=2$

$\frac{1}{\mathrm{a}^2}+\frac{1}{\mathrm{~b}^2}+\frac{1}{\mathrm{c}^2}=2 .$

Chứng minh rằng $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{abc}$.

16. Cho

$\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{c}}=0$

và $\quad \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{z}}=2$.

Tính giá trị của biểu thức : $\frac{\mathrm{a}^2}{\mathrm{x}^2}+\frac{\mathrm{b}^2}{\mathrm{y}^2}+\frac{\mathrm{c}^2}{\mathrm{z}^2}$.

17. Cho $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2$ và $a, b, c$ khác 0 . Chứng minh rằng

$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{a b c}$

18. Cho

$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}$

Chứng minh rằng trong ba số $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$, tồn tại hai số bằng nhau.

19. Tìm các giá trị nguyên của $\mathrm{x}$ để phân thức sau có giá trị là số nguyên :

a) $\mathrm{A}=\frac{2 \mathrm{x}^3-6 \mathrm{x}^2+\mathrm{x}-8}{\mathrm{x}-3}$

b) $\mathrm{B}=\frac{\mathrm{x}^4-2 \mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}^2+8 \mathrm{x}-1}{\mathrm{x}^2-2 \mathrm{x}+1}$

c) $C=\frac{x^4+3 x^3+2 x^2+6 x-2}{x^2+2}$

20. Rút gọn biểu thức sau với $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{a}}{3 \mathrm{a}+2}$ :

$A=\frac{x+3 a}{2-x}+\frac{x-3 a}{2+x}-\frac{2 a}{4-x^2}+a$

21. Rút gọn biểu thức :

$A=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}+\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a-b)(b-c)(c-a)} .$

  1. Cho biết $\frac{a+b-c}{a b}-\frac{b+c-a}{b c}-\frac{a+c-b}{a c}=0$. Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng 0 .

23. Xác định các số a, b, c sao cho :

a) $\frac{1}{x\left(x^2+1\right)}=\frac{a}{x}+\frac{b x+c}{x^2+1}$

b) $\frac{1}{x^2-4}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+2}$

c) $\frac{1}{(x+1)^2(x+2)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{(x+1)^2}+\frac{c}{x+2}$.

24. Rút gọn biểu thức

$\mathrm{B}=(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca})\left(\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{~b}}+\frac{1}{\mathrm{c}}\right)-\mathrm{abc}\left(\frac{1}{\mathrm{a}^2}+\frac{1}{\mathrm{~b}^2}+\frac{1}{\mathrm{c}^2}\right)$

25. Cho $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ khác nhau đôi một và $\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{~b}}+\frac{1}{\mathrm{c}}=0$. Rút gọn các biểu thức :

a) $M=\frac{1}{a^2+2 b c}+\frac{1}{b^2+2 a c}+\frac{1}{c^2+2 a b}$

b) $\mathrm{N}=\frac{\mathrm{bc}}{\mathrm{a}^2+2 \mathrm{bc}}+\frac{\mathrm{ca}}{\mathrm{b}^2+2 \mathrm{ac}}+\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{c}^2+2 \mathrm{ab}}$;

c) $\mathrm{P}=\frac{\mathrm{a}^2}{\mathrm{a}^2+2 \mathrm{bc}}+\frac{\mathrm{b}^2}{\mathrm{~b}^2+2 \mathrm{ac}}+\frac{\mathrm{c}^2}{\mathrm{c}^2+2 \mathrm{ab}}$.

26. Cho các số $a, b, c$ khác nhau đôi một và $\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}$. Tính giá trị của biểu thức

$\mathrm{M}=\left(1+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)\left(1+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\right)\left(1+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\right)$

27*. Cho $\mathrm{a}^3+\mathrm{b}^3+\mathrm{c}^3=3 \mathrm{abc}$ và $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c} \neq 0$. Tính giá trị của biểu thức :

$N=\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}$

28. Rút gọn các biểu thức :

a) $A=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right) \ldots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$;

b) $\mathrm{B}=\frac{1^2}{2^2-1} \cdot \frac{3^2}{4^2-1} \cdot \frac{5^2}{6^2-1} \cdot \cdots \cdot \frac{(2 n+1)^2}{(2 n+2)^2-1} .$

29. Rút gọn các biểu thức :

a) $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\ldots+\frac{1}{(n-1) n}$;

b) $\frac{1}{2.5}+\frac{1}{5.8}+\frac{1}{8.11}+\ldots+\frac{1}{(3 n+2)(3 n+5)}$;

c) $\frac{1}{1.2 .3}+\frac{1}{2.3 .4}+\frac{1}{3.4 .5}+\ldots+\frac{1}{(n-1) n(n+1)}$.

30. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $\mathrm{n} \geq 1$ :

a) $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\ldots+\frac{1}{(2 n)^2}<\frac{1}{2}$

b) $\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\ldots+\frac{1}{(2 n+1)^2}<\frac{1}{4}$.

31. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiện $\mathrm{n} \geq 2$ :

$A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}<\frac{2}{3} .$

32. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $\mathrm{n} \geq 3$ :

$\mathrm{B}=\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}+\ldots+\frac{1}{\mathrm{n}^3}<\frac{1}{12} $

33. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $\mathrm{n} \geq 1$ :

$A=\left(1+\frac{1}{1.3}\right)\left(1+\frac{1}{2.4}\right)\left(1+\frac{1}{3.5}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)<2$

34. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $\mathrm{n} \geq 2$ :

$\mathrm{B}=\left(1-\frac{2}{6}\right)\left(1-\frac{2}{12}\right)\left(1-\frac{2}{20}\right) \ldots\left(1-\frac{2}{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}\right)>\frac{1}{3} \text {. }$

35. Rút gọn biểu thức

$A=\frac{3^2-1}{5^2-1} \cdot \frac{7^2-1}{9^2-1} \cdot \frac{11^2-1}{13^2-1} \cdot \ldots \frac{43^2-1}{45^2-1} .$

36*. Chứng minh rằng :

a) $\mathrm{A}=\frac{2^3+1}{2^3-1} \cdot \frac{3^3+1}{3^3-1} \cdot \frac{4^3+1}{4^3-1} \cdot \ldots \cdot \frac{9^3+1}{9^3-1}<\frac{3}{2}$.

b) $\mathrm{B}=\frac{2^3-1}{2^3+1} \cdot \frac{3^3-1}{3^3+1} \cdot \ldots \cdot \frac{\mathrm{n}^3-1}{\mathrm{n}^3+1}>\frac{2}{3}$.

37*. Rút gọn biểu thức

$P=\frac{\left(1^4+4\right)\left(5^4+4\right)\left(9^4+4\right) \ldots\left(21^4+4\right)}{\left(3^4+4\right)\left(7^4+4\right)\left(11^4+4\right) \ldots\left(23^4+4\right)} .$

38. Rút gọn biểu thức

$M=\frac{1}{a^2-5 a+6}+\frac{1}{a^2-7 a+12}+\frac{1}{a^2-9 a+20}+\frac{1}{a^2-11 a+30}$

39. Rút gọn biểu thức

9.$\left(\frac{\mathrm{n}-1}{1}+\frac{\mathrm{n}-2}{2}+\frac{\mathrm{n}-3}{3}+\ldots+\frac{2}{\mathrm{n}-2}+\frac{1}{\mathrm{n}-1}\right):\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{\mathrm{n}}\right) .$

40. Rút gọn biểu thức

$\frac{A}{B}=\frac{\frac{1}{1(2 n-1)}+\frac{1}{3(2 n-3)}+\frac{1}{5(2 n-5)}+\ldots+\frac{1}{(2 n-3) \cdot 3}+\frac{1}{(2 n-1) .1}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{2 n-1}} .$

41. Cho

$a b c=1$

và $\quad \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{~b}}+\frac{1}{\mathrm{c}}$.

Chứng minh rằng trong ba số a, b, c, tồn tại một số bằng 1 .

42. Chứng minh rằng nếu $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=\mathrm{a}$ và $\frac{1}{\dot{\mathrm{x}}}+\frac{1}{\mathrm{y}}+\frac{1}{\mathrm{z}}=\frac{1}{\mathrm{a}}$ thì tồn tại một trong ba số $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ bằng $\mathrm{a}$.

43. Các biểu thức $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}$ và $\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}+\frac{1}{\mathrm{z}}$ có thể cùng có giá trị bằng 0 được hay không ?

44. Tính giá trị của biểu thức $\mathrm{M}=\frac{1}{\mathrm{x}+2}+\frac{1}{\mathrm{y}+2}+\frac{1}{\mathrm{z}+2}$, biết rằng $2 a=b y+c z, 2 b=a x+c z, 2 c=a x+b y$ và $a+b+c \neq 0$.

45. a) Cho abc $=2$. Rút gọn biểu thức

$M=\frac{a}{a b+a+2}+\frac{b}{b c+b+1}+\frac{2 c}{a c+2 c+2} .$

b) Cho abc $=1$. Rút gọn biểu thức

$\mathrm{N}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{ab}+\mathrm{a}+1}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{bc}+\mathrm{b}+1}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{ac}+\mathrm{c}+1} .$

46. Cho $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{\mathrm{b}-\mathrm{c}}, \mathrm{a} \neq 0, \mathrm{c} \neq 0, \mathrm{a}-\mathrm{b} \neq 0, \mathrm{~b}-\mathrm{c} \neq 0$. Chứng minh rằng

$\frac{1}{a}+\frac{1}{a-b}=\frac{1}{b-c}-\frac{1}{c}$

47. Cho $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0(\mathrm{a} \neq 0, \mathrm{~b} \neq 0, \mathrm{c} \neq 0)$. Rút gọn các biểu thức :

a) $\mathrm{A}=\frac{\mathrm{a}^2}{\mathrm{bc}}+\frac{\mathrm{b}^2}{\mathrm{ca}}+\frac{\mathrm{c}^2}{\mathrm{ab}}$

b) $\mathrm{B}=\frac{\mathrm{a}^2}{\mathrm{a}^2-\mathrm{b}^2-\mathrm{c}^2}+\frac{\mathrm{b}^2}{\mathrm{~b}^2-\mathrm{c}^2-\mathrm{a}^2}+\frac{\mathrm{c}^2}{\mathrm{c}^2-\mathrm{a}^2-\mathrm{b}^2}$.

48*. Tính giá trị của biểu thức sau, biết rằng $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$ :

$A=\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\right) \text {. }$

49. Chứng minh rằng nếu $\left(\mathrm{a}^2-\mathrm{bc}\right)(\mathrm{b}-\mathrm{abc})=\left(\mathrm{b}^2-\mathrm{ac}\right)(\mathrm{a}-\mathrm{abc})$ và các số $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{a}-\mathrm{b}$ khác 0 thì $\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{~b}}+\frac{1}{\mathrm{c}}=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}$.

50*. Cho $a+b+c=0, x+y+z=0, \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$. Chứng minh rằng

$a x^2+b y^2+c z^2=0 .$

51. Cho $\frac{x y+1}{y}=\frac{y z+1}{z}=\frac{x z+1}{x}$. Chứng minh rằng $x=y=z$ hoặc $x^2 y^2 z^2=1$.

52. Cho $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0$.

53*. Cho $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}-\mathrm{c}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}-\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}-\mathrm{b}}=0$. Chứng minh rằng

$\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0$

54. Cho $\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}=\mathrm{a}$. Tính các biểu thức sau theo $\mathrm{a}$ :

a) $x^2+\frac{1}{x^2}$

b) $x^3+\frac{1}{x^3}$

c) $x^4+\frac{1}{x^4}$

d) $x^5+\frac{1}{x^5}$

55. Cho $\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right):\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=a$. Tính biểu thức

$M=\left(x^4-\frac{1}{x^4}\right):\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right) \text { theo } a$

  1. Cho $x^2-4 x+1=0$. Tính giá trị của biểu thức $A=\frac{x^4+x^2+1}{x^2}$.

57. Cho $\frac{x}{x^2-x+1}=a$. Tính $M=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}$ theo $a$.

58. Cho $x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}, y=\frac{a^2-(b-c)^2}{(b+c)^2-a^2}$.

Tính giá trị của biểu thức $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{xy}$.

59. Tìm hai số tự nhiên a và b sao cho :

a) $a-b=\frac{a}{b}$;

b) $a-b=\frac{a}{2 b}$

60. Cho hai số nguyên dương $\mathrm{a}$ và $\mathrm{b}$ trong đó $\mathrm{a}>\mathrm{b}$. Tìm số nguyên dương $\mathrm{c}$ khác b sao cho

$\frac{a^3+b^3}{a^3+c^3}=\frac{a+b}{a+c}$

61. Cho dãy số $a_1, a_2, a_3, \ldots$ sao cho :

$a_2=\frac{a_1-1}{a_1+1} ; a_3=\frac{a_2-1}{a_2+1} ; \ldots ; a_n=\frac{a_{n-1}-1}{a_{n-1}+1} .$

a) Chứng minh rằng $\mathrm{a}_1=\mathrm{a}_5$.

b) Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng $\mathrm{a}_{101}=3$.

62. Tìm phân số $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$ khác 0 và số tự nhiên $\mathrm{k}$, biết rằng $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{m}+\mathrm{k}}{\mathrm{nk}}$.

63*. Cho hai số tự nhiên a và $\mathrm{b}(\mathrm{a}<\mathrm{b})$. Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng 7 , mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.

64. a) Mức sản xuất của một xí nghiệp năm 2001 tăng a\% so với năm 2000, năm 2002 tăng b\% so với năm 2001. Mức sản xuất của xí nghiệp đó năm 2002 tăng so với năm 2000 là :

A) $(a+b) \%$;

B) $a b \%$

C) $\left(a+b+\frac{a+b}{100}\right) \%$

D) $\left(a+b+\frac{a b}{100}\right) \%$

$\mathrm{E})\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{100}+\frac{\mathrm{ab}}{10000}\right) \%$

Hãy chọn câu trả lời đúng.

b) Một số a tăng m\%, sau đó lại giảm đi n\% ( $\mathrm{a}, \mathrm{m}, \mathrm{n}$ là các số dương) thì được số $b$. Tìm liên hệ giữa $m$ và $n$ để $b>a$.

65*. Chứng minh rằng các tổng sau không là số nguyên :

a) $\mathrm{A}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{\mathrm{n}}(\mathrm{n} \in \mathrm{N}, \mathrm{n} \geq 2)$

b) $\mathrm{B}=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\ldots+\frac{1}{2 \mathrm{n}+1}(\mathrm{n} \in \mathrm{N}, \mathrm{n} \geq 1)$.

 

CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC

Định lý Bezout và áp dụng

1. Đa thức chia có dạng $x-a$ (a là hằng)

Ví dụ 1. Chứng minh rằng số dư khi chia đa thức $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ cho nhị thức $\mathrm{x}$ – a bằng giá trị của đa thức $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ tại $\mathrm{x}=\mathrm{a}$.

Định lí Bê-du (Bézout, 1730 – 1783, nhà toán học Pháp).

Giải : Do đa thức chia $\mathrm{x}$ – a có bậc nhất nên số dư khi chia $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ cho $\mathrm{x}-\mathrm{a}$ là hằng số $\mathrm{r}$.

Ta có $\quad \mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-\mathrm{a}) 、 \mathrm{Q}(\mathrm{x})+\mathrm{r}$.

Đẳng thức trên đúng với mọi $\mathrm{x}$ nên với $\mathrm{x}=\mathrm{a}$ ta có

$f(a)=0 . Q(a)+r \text { hay } f(a)=r \text {. }$

Chú ý : Từ định lí Bê-du ta suy ra :

Đa thức $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ chia hết cho $\mathrm{x}-\mathrm{a}$ khi và chỉ khi $\mathrm{f}(\mathrm{a})=0$ (tức là khi và chỉ khi a là nghiệm của đa thức).

Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu đa thức $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức ấy chia hết cho $\mathrm{x}-1$ ‘.

Giải : Gọi : $f(x)=a_ox^n+a_1 x^n-1+\ldots+a_n-1x+a_n$.

Theo giả thiết, $\quad a_0+a_1+\ldots+a_{n-1}+a_n=0 $.

Theo định lí Bê-du, số dư khi chia $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ cho $\mathrm{x}-1$ là

$r = f(1) = a_\circ + a_1 + \ldots + a_{n-1} + a_n $

Từ (1) và (2) suy ra $r=0$. Vậy $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ chia hết cho $\mathrm{x}-1$.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu đa thức $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì đa thức ấy chia hết cho $x+1$.

Giải : Gọi $f(x)=a_0 x^{2 n}+a_1 x^{2 n-1}+a_2 x^{2 n-2}+\ldots+a_{2 n-2} x^2+a_{2 n-1} x+a_{2 n}$, trong đó $\mathrm{a}_0$ có thể bằng 0 .

Theo giả thiết

$a_\circ + a_2 + \ldots + a_{2n} = a_2 + a_3 + \ldots + a_{2n-1}$ nên

$\left(a_0+a_2+\ldots+a_{2 n}\right)-\left(a_1+a_3+\ldots+a_{2 n-1}\right)=0 .$

Theo định lí Bê-du, số dư khi chia $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ cho $\mathrm{x}+1$ bằng

$r =f(-1)=a_0-a_1+a_2-\ldots+a_{2 n-2}-a_{2 n-1}+a_{2 n} $

$=\left(a_o+a_2+\ldots+a_{2 n}\right)-\left(a_1+a_3+\ldots+a_{2 n-1}\right) $

Từ (1) và (2) suy ra $\mathrm{r}=0$. Vậy $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ chia hết cho $\mathrm{x}+1$.

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Trong chuyên đề này, ta chỉ phân tích đa thức thành nhân tử với các hệ số nguyên.

 

PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ

 

Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử :

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad3 x^2-8 x+4$

Giải : Đa thức trên không chứa nhân tử chung, không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các hạng tử. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn.

Cách 1. (Tách hạng tử thứ hai)

$3 x^2-8 x+4=3 x^2-6 x-2 x+4=3 x(x-2)-2(x-2)=(x-2)(3 x-2) \text {. }$

Cách 2. (Tách hạng tử thứ nhất)

$3 x^2-8 x+4=4 x^2-8 x+4-x^2=(2 x-2)^2-x^2 $

$=(2 x-2+x)(2 x-2-x)=(3 x-2)(x-2) .$

Nhận xét : Trong cách 1 , hạng tử $-8 \mathrm{x}$ được tách thành hai hạng tử $-6 \mathrm{x}$ và $-2 x$. Trong đa thức $3 x^2-6 x-2 x+4$, hệ số của các hạng tử là $3,-6,-2,4$. Các hệ số thứ hai và thứ tư đều gấp $-2$ lần hệ số liền trước, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung $x-2$.

Một cách tổng quát, để phân tích tam thức bậc hai $\mathrm{ax}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$ thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành $b_1 x+b_2 x$ sao cho $\frac{b_1}{a}=\frac{c}{b_2}$, tức là $b_1 b_2=a c$.

Trong thực hành ta làm như sau :

Bước I : Tìm tích ac.

Bước 2 : Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.

Bước 3 : Chọn hai thừa số mà tổng bằng $\mathrm{b}$.

Trong ví dụ trên, đa thức $3 \mathrm{x}^2-8 \mathrm{x}+4$ có $\mathrm{a}=3, \mathrm{~b}=-8, \mathrm{c}=4$. Tích $\mathrm{ac}=3.4=12$. Phân tích 12 ra tích của hai thừa số, hai thừa số này cùng dấu (vì tích của chúng bằng 12 ), và cùng âm (để tổng của chúng bằng $-8)$ : $(-1)(-12)$, $(-2)(-6),(-3)(-4)$. Chọn hai thừa số mà tổng bằng $-8$, đó là $-2$ và $-6$.

Ví dụ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử :

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad4 x^2-4 x-3$

Giải :

Cách 1. (Tách hạng tử thứ hai)

$4 \mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}-3=4 \mathrm{x}^2+2 \mathrm{x}-6 \mathrm{x}-3=2 \mathrm{x}(2 \mathrm{x}+1)-3(2 \mathrm{x}+1)=(2 \mathrm{x}+1)(2 \mathrm{x}-3)$

Chú ý rằng hệ số $-4$ được tách thành 2 và $-6$ có tích bằng $-12$, bằng tích của $4(-3)$.

Cách 2. (Tách hạng tử thứ ba)

$4 x^2-4 x-3=4 x^2-4 x+1-4=(2 x-1)^2-2^2=(2 x+1)(2 x-3)$

Nhận xét : Qua hai ví dụ trên, ta thấy việc tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường nhằm mục đích

  • Làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung (cách 1 ) ;

  • Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương (cách 2).

Với các đa thức có bậc từ bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, người ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức.

Ta nhắc lại khái niệm nghiệm của đa thức : số a được gọi là nghiệm của đa thức $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ nếu $\mathrm{f}(\mathrm{a})=0$. Như vậy, nếu đa thức $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có nghiệm $\mathrm{x}=\mathrm{a}$ thì nó chứa nhân tử $x-a$.

Ta chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức, nếu có, phải là ước của hệ số tự do.

Thật vậy, giả sử đa thức $a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\ldots+a_{n-1} x+a_n$ với các hệ số $\mathrm{a}_{\mathrm{O}}$, $a_1, \ldots, a_n$ nguyên, có nghiệm $x=a(a \in \mathbf{Z})$ . Thế thì

$a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\ldots+a_{n-1} x+a_n=(x-a)\left(b_0 x^{n-1}+b_1 x^{n-2}+\ldots+b_{n-1}\right)$

trong đó $b_0, b_1, \ldots, b_{n-1}$ nguyên. Hạng tử có bậc thấp nhất của tích ở vế phải bằng $-a b_{n-1}$ . Do đó $-a b_{n-1}=a_n$, tức a là ước của $a_n$

Ví dụ 3. Phân tích đa thức thành nhân tử :

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad f(x)=x^3-x^2-4$

Giải : Lần lượt kiểm tra với $\mathrm{x}=\pm 1, \pm 2, \pm 4$, ta thấy $\mathrm{f}(2)=2^3-2^2-4=0$. Đa thức có nghiệm $\mathrm{x}=2$, do đó chứa nhân tử $\mathrm{x}-2$.

Ta tách các hạng tử như sau :

Cách 1. $\quad \mathrm{x}^3-\mathrm{x}^2-4=\mathrm{x}^3-2 \mathrm{x}^2+\mathrm{x}^2-2 \mathrm{x}+2 \mathrm{x}-4$

$=x^2(x-2)+x(x-2)+2(x-2)=(x-2)\left(x^2+x+2\right)$

Cách 2. $\quad \mathrm{x}^3-\mathrm{x}^2-4=\mathrm{x}^3-8-\mathrm{x}^2+4$

$=(x-2)\left(x^2+2 x+4\right)-(x+2)(x-2) $

$=(x-2)\left(x^2+2 x+4-x-2\right)=(x-2)\left(x^2+x+2\right)$

Chú ý : Khi xét nghiệm nguyên của đa thức, nên nhớ hai định lí sau :

a) Nếu đa thức $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa nhân tử $\mathrm{x}-1$.

Chẳng hạn, đa thức $\mathrm{x}^3-5 \mathrm{x}^2+8 \mathrm{x}-4$ có $1-5+8-4=0$ nên 1 là nghiệm của đa thức, đa thức chứa nhân tử $\mathrm{x}-1$.

b) Nếu đa thức $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì $-1$ là nghiệm của đa thức, đa thức chứa nhân tử $\mathrm{x}+1$.

Chẳng hạn, đa thức $x^3-5 x^2+3 x+9$ có $9-5=3+1$ nên $-1$ là nghiệm của đa thức, đa thức chứa nhân tử $\mathrm{x}+1$.

Chú ý : Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do không là nghiệm của đa thức, có thể dùng nhận xét sau :

Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ và $\mathrm{f}(1), \mathrm{f}(-1)$ khác 0 thì $\frac{\mathrm{f}(1)}{\mathrm{a}-1}$ và $\frac{\mathrm{f}(-1)}{\mathrm{a}+1}$ đều là số nguyên.

Chứng̉ minh. Số a là nghiệm của $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ nên

$f(x)=(x-a) \cdot Q(x) \quad\quad(1)$

Thay $x=1$ vào (1), ta có $f(1)=(1-a) \cdot Q(1)$.

Do $\mathrm{f}(1) \neq 0$ nên $\mathrm{a} \neq 1$, vì thế $\mathrm{Q}(1)=\frac{\mathrm{f}(1)}{1-\mathrm{a}}$, tức là $\frac{\mathrm{f}(1)}{\mathrm{a}-1}$ là số nguyên.

Thay $\mathrm{x}=-1$ vào (1). Chứng minh tương tự, ta cũng có $\frac{\mathrm{f}(-1)}{a+l}$ là số nguyên. Lấy một ví dụ : $\quad \mathrm{f}(\mathrm{x})=4 \mathrm{x}^3-13 \mathrm{x}^2+9 \mathrm{x}-18$.

Các ước của 18 là $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$.

$f(1)=4-13+9-18=-18, f(-1)=-4-13-9-18=-44 .$

Hiển nhiên $\pm 1$ không là nghiệm của $f(x)$. Ta thấy $\frac{-18}{-3-1}, \frac{-18}{\pm 6-1}, \frac{-18}{\pm 9-1}$, $\frac{-18}{\pm 18-1}$ không nguyên nên $-3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$ không là nghiệm của $f(x)$.

Ta thấy $\frac{-44}{2+1}$ không nguyên nên 2 không là nghiệm của $f(x)$. Chỉ còn $-2$ và 3 .

Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của $\mathrm{f}(\mathrm{x})$. Do đó, ta tách các hạng tử như sau :

$ 4 x^3-13 x^2+9 x-18=4 x^3-12 x^2-x^2+3 x+6 x-18 $

$= 4 x^2(x-3)-x(x-3)+6(x-3)=(x-3)\left(4 x^2-x+6\right)$

Ví dụ 3. Phân tích đa thức thành nhân tử :

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad3 x^3-7 x^2+17 x-5$

Giải : Các số $\pm 1, \pm 5$ không là nghiệm của đa thức. Như vậy, đa thức không có nghiệm nguyên. Tuy vậy, đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ khác. Ta chứng minh được rằng trong đa thức có các hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng $\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}$ trong đó $\mathrm{p}$ là ước của hệ số tự do, $\mathrm{q}$ là ước dương của hệ số cao nhất (*).

Xét các số $\pm \frac{1}{3}, \pm \frac{5}{3}$, ta thấy $\frac{1}{3}$ là nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa thừa số $3 x-1$. Ta tách các hạng tử như sau :

$3 x^3-7 x^2+17 x-5=3 x^3-x^2-6 x^2+2 x+15 x-5 $

$= x^2(3 x-1)-2 x(3 x-1)+5(3 x-1)=(3 x-1)\left(x^2-2 x+5\right)$

(*) $-$ Thật vậy, giả sử đa thức $a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\ldots+a_{n-1} x+a_n$ với các hệ số $a_0, a_1, \ldots, a_n$ nguyên, có nghiệm hữu tỉ $x=\frac{p}{q}$, trong đó $p, q \in \mathbf{Z}, \mathrm{q}>0,(\mathrm{p}, \mathrm{q})=1$. Thế thì

$a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\ldots+a_{n-1} x+a_n=(q x-p)\left(b_0 x^{n-1}+b_1 x^{n-2}+\ldots+b_{n-1}\right)$

Ta có $-pb_n-1=a_n$, $qb_o=a_o$ nên p là ước của $a_n$; còn q là ước dương của $a_o$.

 

PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ

 

1. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình phương

Ví dụ 4. Phân tích đa thức thành nhân tử :

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad4 x^4+81$

Giải : Thêm và bớt $36 \mathrm{x}^2$ :

$4 \mathrm{x}^4+81=4 \mathrm{x}^4+36 \mathrm{x}^2+81-36 \mathrm{x}^2$

$=\left(2 x^2+9\right)^2-(6 x)^2=\left(2 x^2+9+6 x\right)\left(2 x^2+9-6 x\right) .$

Ví dụ 5. Phân tích đa thức thành nhân tử :

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad 64 x^4+y^4 \text {. }$

Giải : Thêm và bớt $16 \mathrm{x}^2 \mathrm{y}^2$ :

$64 x^4+y^4 =64 x^4+16 x^2 y^2+y^4-16 x^2 y^2=\left(8 x^2+y^2\right)^2-(4 x y)^2 $

$=\left(8 x^2+y^2+4 x y\right)\left(8 x^2+y^2-4 x y\right)$

2. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ 6. Phân tích đa thức thành nhân tử :

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad x^5+x-1$

Giải :

Cách 1:

$x^5+x-1 =x^5-x^4+x^3+x^4-x^3+x^2-x^2+x-1 $

$=x^3\left(x^2-x+1\right)+x^2\left(x^2-x+1\right)-\left(x^2-x+1\right) $

$=\left(x^2-x+1\right)\left(x^3+x^2-1\right)$

Cách 2. Thêm và bớt $\mathrm{x}^2$ :

$x^5+x-1=x^5+x^2-x^2+x-1=x^2\left(x^3+1\right)-\left(x^2-x+1\right) $

$=\left(x^2-x+1\right)\left[x^2(x+1)-1\right]=\left(x^2-x+1\right)\left(x^3+x^2-1\right)$

Ví dụ 7. Phân tích đa thức thành nhân tử :

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad x^7+x^2+1$

Giải : Thêm và bớt x :

$x^7+x^2+1 =x^7-x+x^2+x+1 $

$=x\left(x^3+1\right)\left(x^3-1\right)+\left(x^2+x+1\right) $

$=x\left(x^3+1\right)(x-1)\left(x^2+x+1\right)+\left(x^2+x+1\right) $

$=\left(x^2+x+1\right)\left(x^5-x^4+x^2-x+1\right)$

Chú ý : Các đa thức dạng $\mathrm{x}^{3 \mathrm{~m}+1}+\mathrm{x}^{3 \mathrm{n}+2}+1 \mathrm{nhu} \mathrm{x}^7+\mathrm{x}^2+1, \mathrm{x}^7+\mathrm{x}^5+1$, $x+x^5+1, x+x^8+1, \ldots$ đều chứa nhân tử $x^2+x+1$

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Ví dụ 8. Phân tích đa thức thành nhân tử :

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad x(x+4)(x+6)(x+10)+128$

Giải :

$x(x+4)(x+6)(x+10)+128=\left(x^2+10 x\right)\left(x^2+10 x+24\right)+128$

Đặt $x^2+10 x+12=y$, đa thức đã cho có dạng :

$(y-12)(y+12)+128=y^2-16=(y+4)(y-4) $

$=\left(x^2+10 x+16\right)\left(x^2+10 x+8\right)=(x+2)(x+8)\left(x^2+10 x+8\right) .$

Nhận xét : Trong ví dụ trên, nhờ phương pháp đổi biến, ta đã đưa đa thức bậc bốn đối với $x$ thành đa thức bậc hai đối với y.

Ví dụ 9. Phân tích đa thức thành nhân tử :

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad A=x^4+6 x^3+7 x^2-6 x+1$

Giải : Giả sử $\mathrm{x} \neq 0$. Ta viết đa thức dưới dạng :

$A=x^2\left(x^2+6 x+7-\frac{6}{x}+\frac{1}{x^2}\right)=x^2\left[\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+6\left(x-\frac{1}{x}\right)+7\right] \text {. }$

Đặt $x-\frac{1}{x}=y$ thì $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2+2$. Do đó

$A =x^2\left(y^2+2+6 y+7\right)=x^2(y+3)^2=(x y+3 x)^2 $

$=\left[x\left(x-\frac{1}{\dot{x}}\right)+3 x\right]^2=\left(x^2+3 x-1\right)^2$

Dạng phân tích này cũng đúng với $x=0$.

Chú ý : Có thể trình bày lời giải của ví dụ trên như sau :

$A =x^4+6 x^3-2 x^2+9 x^2-6 x+1 $

$=x^4+2 x^2(3 x-1)+(3 x-1)^2=\left(x^2+3 x-1\right)^2$

 

PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

Ví dụ 10. Phân tích đa thức thành nhân tử :

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad x^4-6 x^3+12 x^2-14 x+3$

Giải : Các số $\pm 1, \pm 3$ không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ. Như vậy nếu đa thức trè̀n phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng $\left(x^2+a x+b\right)\left(x^2+c x+d\right)$. Phép nhân. này cho kết quả $\mathrm{x}^4+(\mathrm{a}+\mathrm{c}) \mathrm{x}^3+(\mathrm{ac}+\mathrm{b}+\mathrm{d}) \mathrm{x}^2+(\mathrm{ad}+\mathrm{bc}) \mathrm{x}+\mathrm{bd}$. Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta được hệ điều kiện :

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\left\{\begin{array}{l}a+c=-6 \\ a c+b+d=12 \\ a d+b c=-14 \\ b d=3 .\end{array}\right.$

Xét bd $=3$ với $\mathrm{b}, \mathrm{d} \in \mathbf{Z}, \mathrm{b} \in{\pm 1, \pm 3}$. Với $\mathrm{b}=3$ thì $\mathrm{d}=1$, hệ điều kiện trên trở thành :

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\left\{\begin{array}{l}a+c=-6 \\ a c=8 \\ a+3 c=-14\end{array}\right.$

Suy ra $2 \mathrm{c}=-14-(-6)=-8$. Do đó $\mathrm{c}=-4$, $\mathrm{a}=-2$.

Vậy đa thức đã cho phân tich thành $\left(x^2-2 x+3\right)\left(x^2-4 x+1\right)$.

Chú ý : Ta trình bày lời giải của ví dụ trên như sau :

$x^4-6 x^3+12 x^2-14 x+3=$

$= x^4-4 x^3+x^2-2 x^3+8 x^2-2 x+3 x^2-12 x+3 $

$= x^2\left(x^2-4 x+1\right)-2 x\left(x^2-4 x+1\right)+3\left(x^2-4 x+1\right) $

$=\left(x^2-4 x+1\right)\left(x^2-2 x+3\right)$

PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG

Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định nhân tử còn lại.

Ví dụ 11. Phân tích đa thức thành nhân tử :

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad P=x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)$

Giải : Thử thay $\mathrm{x}$ bởi $\mathrm{y}$ thì $\mathrm{P}=\mathrm{y}^2(\mathrm{y}-\mathrm{z})+\mathrm{y}^2(\mathrm{z}-\mathrm{y})=0$. Như vậy $\mathrm{P}$ chia hết cho $\mathrm{x}-\mathrm{y}$.

Ta lại thấy nếu thay $\mathrm{x}$ bởi $\mathrm{y}$, thay $\mathrm{y}$ bởi $\mathrm{z}$, thay $\mathrm{z}$ bởi $\mathrm{x}$ thì $\mathrm{P}$ không đổi ( $\mathrm{ta}$ nói đa thức $\mathrm{P}$ có thể hoán vị vòng quanh $\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{y} \rightarrow \mathrm{z} \rightarrow \mathrm{x}$ ). Do đó, nếu $\mathrm{P}$ đã chia hết cho $\mathrm{x}-\mathrm{y}$ thì cũng chia hết cho $\mathrm{y}-\mathrm{z}$ và $\mathrm{z}-\mathrm{x}$. Vậy $\mathrm{P}$ có dạng

$\mathrm{k}(\mathrm{x}-\mathrm{y})(\mathrm{y}-\mathrm{z})(\mathrm{z}-\mathrm{x}) \text {. }$

Ta thấy $\mathrm{k}$ phải là hằng số (không chứa biến) vì $\mathrm{P}$ có bậc ba đối với tập hợp các biến $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$, còn tích $(\mathrm{x}-\mathrm{y})(\mathrm{y}-\mathrm{z})(\mathrm{z}-\mathrm{x})$ cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$.

Vì đẳng thức $\mathrm{x}^2(\mathrm{y}-\mathrm{z})+\mathrm{y}^2(\mathrm{z}-\mathrm{x})+\mathrm{z}^2(\mathrm{x}-\mathrm{y})=\mathrm{k}(\mathrm{x}-\mathrm{y})(\mathrm{y}-\mathrm{z})(\mathrm{z}-\mathrm{x})$ đúng với mọi $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ nên ta gán cho các biến $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ các giá trị riêng, chẳng hạn $\mathrm{x}=2$, $\mathrm{y}=1$, $\mathrm{z}=0$(*), ta được :

$4 \cdot 1+1 \cdot(-2)+0=\mathrm{k} \cdot 1 \cdot 1 \cdot(-2) \Leftrightarrow 2=-2 \mathrm{k} \Leftrightarrow \mathrm{k}=-1 \text {. }$

Vậy $P=-(x-y)(y-z)(z-x)=(x-y)(y-z)(x-z)$.

(*) Các giá trị của $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ có thể chọn tuỳ ý, chỉ cần chúng đôi một khác nhau để

$(x-y)(y-z)(z-x) \neq 0$

 

BÀI TẬP

 

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (từ bài 1 đến bài 14)

1. a) $6 \mathrm{x}^2-11 \mathrm{x}+3$

b) $2 x^2+3 x-27$

c) $2 x^2-5 x y-3 y^2$

2. a) $x^3+2 x-3$;

b) $x^3-7 x+6$

c) $x^3+5 x^2+8 x+4$

d) $x^3-9 x^2+6 x+16$

e) $x^3-x^2-x-2$;

g) $x^3+x^2-x+2$;

h) $x^3-6 x^2-x+30$.

3. $x^3-7 x-6$ (giải bằng nhiều cách).

4. a) $27 \mathrm{x}^3-27 \mathrm{x}^2+18 \mathrm{x}-4$

b) $2 x^3-x^2+5 x+3$;

c) $\left(x^2-3\right)^2+16$.

5. a) $\left(x^2+x\right)^2-2\left(x^2+x\right)-15$;

b) $x^2+2 x y+y^2-x-y-12$

c) $\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)-12$;

d) $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24$

6. a) $(x+a)(x+2 a)(x+3 a)(x+4 a)+a^4$;

b) $\left(x^2+y^2+z^2\right)(x+y+z)^2+(x y+y z+z x)^2$;

$\left.c^*\right) 2\left(x^4+y^4+z^4\right)-\left(x^2+y^2+z^2\right)^2-2\left(x^2+y^2+z^2\right)(x+y+z)^2+$

$+(x+y+z)^4$

7*. $(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})^3-4\left(\mathrm{a}^3+\mathrm{b}^3+\mathrm{c}^3\right)-12 \mathrm{abc}$ bằng cách đổi biến : đặt $\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{m}$, $a-b=n$.

8. a) $4 x^4-32 x^2+1$;

b) $x^6+27$;

c) $3\left(x^4+x^2+1\right)-\left(x^2+x+1\right)^2$

d) $\left(2 x^2-4\right)^2+9$

9. a) $4 x^4+1$

b) $4 x^4+y^4$;

c) $x^4+324$.

10. a) $x^5+x^4+1$

b) $x^5+x+1$

c) $x^8+x^7+1$

d) $x^5-x^4-1$

e) $x^7+x^5+1$

g) $x^8+x^4+1$.

11. a) $a^6+a^4+a^2 b^2+b^4-b^6$

$\left.b^*\right) x^3+3 x y+y^3-1$

12. Dùng phương pháp hệ số bất định :

a) $4 x^4+4 x^3+5 x^2+2 x+1$

b) $x^4-7 x^3+14 x^2-7 x+1$

c) $x^4-8 x+63$

d) $(x+1)^4+\left(x^2+x+1\right)^2$.

13* *. a) $x^8+14 x^4+1$;

b) $x^8+98 x^4+1$

14. Dùng phương pháp xét giá trị riêng :

$\mathrm{M}=\mathrm{a}(\mathrm{b}+\mathrm{c}-\mathrm{a})^2+\mathrm{b}(\mathrm{c}+\mathrm{a}-\mathrm{b})^2+\mathrm{c}(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c})^2+$

$+(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c})(\mathrm{b}+\mathrm{c}-\mathrm{a})(\mathrm{c}+\mathrm{a}-\mathrm{b})$

$180(3)$. Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phương.

15*. Chứng minh rằng số $\mathrm{A}=(\mathrm{n}+1)^4+\mathrm{n}^4+1$ chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số n nguyên dương.

16. Tìm các số nguyên a, b, c sao cho khi phân tích đa thức $(x+a)(x-4)-7$ thành nhân tử ta được $(\mathrm{x}+\mathrm{b})(\mathrm{x}+\mathrm{c})$.

17. Tìm các số hữu tỉ $a, b, c$ sao cho khi phân tích đa thức $x^3+a x^2+b x+c$ thành nhân tử ta được $(x+a)(x+b)(x+c)$.

18. Số tự nhiên $\mathrm{n}$ có thể nhận bao nhiêu giá trị, biết rằng khi phân tích đa thức $x^2+x-n$ thành nhân tử ta được $(x-a)(x+b)$ với $a, b$ là các số tự nhiên và $1<\mathrm{n}<100$ ?

19. Cho $A=a^2+b^2+c^2$, trong đó $a$ và $b$ là hai số tự nhiên liên tiếp, $\mathrm{c}=\mathrm{ab}$. Chứng minh rằng $\sqrt{\mathrm{A}}$ là một số tự nhiên lẻ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ – P.1

TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC.

RÚT GỌN PHÂN THỨC

Phân thức đại số là một biểu thức có dạng $\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}$, trong đó $\mathrm{A}$ và $\mathrm{B}$ là các đa thức, $\mathrm{B} \neq 0$.

Phân thức đại số có các tính chất cơ bản sau :

$-$ Nếu nhân cả tử thức và mẫu thức của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$-$ Nếu chia cả tử thức và mầu thức của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

Muốn rút gọn một phân thức đại số, ta có thể :

$-$ Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử ;

$-$ Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung.

Ví dụ 1. Cho phân thức

$M=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)(a+b+c)^2+(a b+b c+c a)^2}{(a+b+c)^2-(a b+b c+c a)}$

a) Tìm các giá trị của $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ để phân thức được xác định (tức là để mẫu . khác 0).

b) Rút gọn phân thức $M$.

Giải : Ta có

$(a+b+c)^2-(a b+b c+c a)=0 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+a b+b c+c a=0 $

$\Leftrightarrow  2 a^2+2 b^2+2 c^2+2 a b+2 b c+2 c a=0 $

$\Leftrightarrow (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=0 \Leftrightarrow a+b=b+c=c+a=0 $

$\Leftrightarrow  a=b=c=0$

Vậy điều kiện để phân thức $\mathrm{M}$ được xác định là $\mathrm{a}, \mathrm{b}$, $\mathrm{c}$ không đồng thời bằng $0 .$

b) Chú ý rằng $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(a b+b c+c a)$. Do đó, ta đặt $a^2+b^2+c^2=x, a b+b c+c a=y$. Khi đó $(a+b+c)^2=x+2 y$. Ta có

$M=\frac{x(x+2 y)+y^2}{x+2 y-y}=\frac{x^2+2 x y+y^2}{x+y}=\frac{(x+y)^2}{x+y}=x+y$

$=a^2+b^2+c^2+a b+b c+c a .$

Ví  dụ 2.Rút gọn phân thức

$A=\frac{(b-c)^3+(c-a)^3+(a-b)^3}{a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)} .$

Giải : Phân tích mẫu thức thành nhân tử :

$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=a^2(b-c)+b^2 c-a b^2+a c^2-b c^2 $

$= a^2(b-c)+b c(b-c)-a\left(b^2-c^2\right)=(b-c)\left(a a^2+b c-a b-a c\right) $

$=(b-c)[a(a-b)-c(a-b)]=(b-c)(a-b)(a-c) . $

$\text { Do đó } \quad A=\frac{(b-c)^3+(c-a)^3+(a-b)^3}{-(a-b)(b-c)(c-a)} .$

Ta có nhận xét : Nếu $x+y+z=0$ thì $x^3+y^3+z^3=3 x y z$ (chứng minh : xem bài tập 42). Đặt $b-c=x, c-a=y, a-b=z$ thì $x+y+z=0$. Theo nhận xét trên :

$A=\frac{x^3+y^3+z^3}{-x y z}=\frac{3 x y z}{-x y z}=-3$

Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số $\frac{n^3+2 n}{n^4+3 n^2+1}$ là phân số tối giản.

Giải : Để chứng minh phân số đã cho là tối giản, ta sẽ chứng tỏ rằng tử và mẫu chỉ có ước chung là $\pm 1$.

Gọi d là ước chung của $n^3+2 n$ và $n^4+3 n^2+1$. Ta có :

$n^3+2 n \vdots d \Rightarrow n\left(n^3+2 n\right) \vdots d \Rightarrow n^4+2 n^2 \vdots d $

$n^4+3 n^2+1-\left(n^4+2 n^2\right)=n^2+1 \vdots d \Rightarrow\left(n^2+1\right)^2=n^4+2 n^2+1 \vdots d$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra

$\left(n^4+2 n^2+1\right)-\left(n^4+2 n^2\right): d \Rightarrow 1: d \Rightarrow d=\pm 1 .$

Vậy $\frac{n^3+2 n}{n^4+3 n^2+1}$ là phân số tối giản.

Ví dụ 4. Chứng minh rằng

$1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{31}=(1+x)\left(1+x^2\right)\left(1+x^4\right)\left(1+x^8\right)\left(1+x^{16}\right)\quad(1)$

Giải : Gọi vế trái của đẳng thức (1) là $\mathrm{A}$, vế phải là $\mathrm{B}$.

Ta có $(1-\mathrm{x}) \cdot \mathrm{A}=1-\mathrm{x}^{32}$ theo hằng đẳng thức 8 ,

$(1-x) \cdot B=(1-x)(1+x)\left(1+x^2\right)\left(1+x^4\right)\left(1+x^8\right)\left(1+x^{16}\right)=1-x^{32} \text {. }$

Nếu $\mathrm{x} \neq 1$ thì $\mathrm{A}$ và $\mathrm{B}$ đều bằng phân thức $\frac{1-\mathrm{x}^{32}}{1-\mathrm{x}}$. Do đó $\mathrm{A}=\mathrm{B}$.

Nếu $\mathrm{x}=1$ thì hai vế của (1) đều bằng 32 . Do đó $\mathrm{A}=\mathrm{B}$.

Trong cả hai trường hợp, đẳng thức (1) đều đúng.

 

BÀI TẬP

1. Tìm giá trị của $\mathrm{x}$ để các phân thức sau bằng 0 :

a) $\frac{x^4+x^3+x+1}{x^4-x^3+2 x^2-x+1}$

b) $\frac{x^4-5 x^2+4}{x^4-10 x^2+9}$

2. Rút gọn các phân thức :

a) $\mathrm{A}=\frac{1235.2469-1234}{1234.2469+1235}$;

b) $\mathrm{B}=\frac{4002}{1000.1002-999.1001}$.

3. Rút gọn các phân thức :

a) $\frac{3 x^3-7 x^2+5 x-1}{2 x^3-x^2-4 x+3}$

b) $\frac{(x-y)^3-3 x y(x+y)+y^3}{x-6 y}$

c) $\frac{x^2+y^2+z^2-2 x y+2 x z-2 y z}{x^2-2 x y+y^2-z^2}$.

4. Rút gọn các phân thức với n là số tự nhiên :

a) $\frac{(n+1) !}{n !(n+2)}$

b) $\frac{n !}{(n+1) !-n !}$

c) $\frac{(n+1) !-(n+2) !}{(n+1) !+(n+2) !}$

5. Rút gọn các phân thức :

a) $\frac{a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)}{a b^2-a c^2-b^3+b c^2}$;

b) $\frac{2 x^3-7 x^2-12 x+45}{3 x^3-19 x^2+33 x-9}$

c) $\frac{x^3-y^3+z^3+3 x y z}{(x+y)^2+(y+z)^2+(z-x)^2}$

d) $\frac{x^3+y^3+z^3-3 x y z}{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}$.

6. Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên $\mathrm{n}$ :

a) $\frac{3 n+1}{5 n+2}$;

b) $\frac{12 n+1}{30 n+2}$

$\left.c^*\right) \frac{n^3+2 n}{n^4+3 n^2+1}$

d) $\frac{2 n+1}{2 n^2-1}$.

7. Chứng minh rằng phân số $\frac{n^7+n^2+1}{n^8+n+1}$ không tối giản với mọi số nguyên dương $n$.

8. Viết gọn biểu thức sau dưới dạng một phân thức :

$\left(x^2-x+1\right)\left(x^4-x^2+1\right)\left(x^8-x^4+1\right)\left(x^{16}-x^8+1\right)\left(x^{32}-x^{16}+1\right)$

9. Cho biết $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ khác 0 và $\frac{(\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{cz})^2}{\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+\mathrm{z}^2}=\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2$.

Chứng minh rằng $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{z}}$.

10*. Cho biết $\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{cz}=0$.

Rút gọn $\mathrm{A}=\frac{\mathrm{bc}(\mathrm{y}-\mathrm{z})^2+\mathrm{ca}(\mathrm{z}-\mathrm{x})^2+\mathrm{ab}(\mathrm{x}-\mathrm{y})^2}{a \mathrm{x}^2+\mathrm{by}^2+c \mathrm{z}^2}$.

11. Rút gọn $\frac{\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+\mathrm{z}^2}{(\mathrm{y}-\mathrm{z})^2+(\mathrm{z}-\mathrm{x})^2+(\mathrm{x}-\mathrm{y})^2}$, biết rằng $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=0$.

12. Tính giá trị của biểu thức $\mathrm{A}=\frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}$, biết $\mathrm{x}^2-2 \mathrm{y}^2=\mathrm{xy}(\mathrm{y} \neq 0 ; \mathrm{x}+\mathrm{y} \neq 0)$.

13. Tính giá trị của phân thức $A=\frac{3 x-2 y}{3 x+2 y}$, biết rằng $9 x^2+4 y^2=20 x y$ và $2 y<3 x<0$

14. Cho $3 \mathrm{x}-\mathrm{y}=3 \mathrm{z}$ và $2 \mathrm{x}+\mathrm{y}=7 \mathrm{z}$. Tính giá trị của biểu thức

$M=\frac{x^2-2 x y}{x^2+y^2}(x \neq 0, y \neq 0)$

15. Tìm số nguyên $x$ để phân thức sau có giá trị là số nguyên :

a) $\frac{3}{2 x-1}$

b) $\frac{5}{x^2+1}$;

c) $\frac{7}{x^2-x+1}$

d) $\frac{x^2-59}{x+8}$

e) $\frac{x+2}{x^2+4}$

16. Tìm số hữu tỉ $x$ để phân thức $\frac{10}{x^2+1}$ có giá trị là số nguyên.

17*. Chứng minh rằng nếu các chữ số $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ khác 0 thoả mãn điều kiện $\overline{\mathrm{ab}}: \overline{\mathrm{bc}}=\mathrm{a}: \mathrm{c}$ thì $\overline{\mathrm{abbb}}: \overline{\mathrm{bbbc}}=\mathrm{a}: \mathrm{c} .$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC – P.3

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ

 

Để phân tích một đa thức thành nhân tử, ta thường dùng các phương pháp :

  • Đặt nhân tử chung.

  • Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

  • Nhóm các hạng tử một cách thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung mới.

Để phân tích đa thức thành nhân tử, người ta còn dùng các phương pháp khác. Xem chuyên đề Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tủ̉.

Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

$x^4+x^3+2 x^2+x+1$

Giải : $\quad \mathrm{x}^4+\mathrm{x}^3+2 \mathrm{x}^2+\mathrm{x}+1=\left(\mathrm{x}^4+2 \mathrm{x}^2+1\right)+\left(\mathrm{x}^3+\mathrm{x}\right)$

$=\left(x^2+1\right)^2+x\left(x^2+1\right)=\left(x^2+1\right)\left(x^2+x+1\right) .$

Ví dụ 2. Cho $a+b+c=0$. Rút gọn biểu thức

$M=a^3+b^3+c\left(a^2+b^2\right)-a b c .$

Giải :

$M =a^3+b^3+a^2 c+b^2 c-a b c=\left(a^3+a^2 c\right)+\left(b^3+b^2 c\right)-a b c $

$=a^2(a+c)+b^2(b+c)-a b c=a^2(-b)+b^2(-a)-a b c $

$=-a b(a+b+c)=0$

Ví dụ 3.

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : $a^3+b^3+c^3-3 a b c$.

b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng cách áp dụng câu a) :

$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$.

Giải : $a^3+b^3+c^3-3 a b c=(a+b)^3-3 a^2 b-3 a b^2+c^3-3 a b c $

$= {\left[(a+b)^3+c^3\right]-3 a b(a+b+c) } $

$=(a+b+c)\left[(a+b)^2-c(a+b)+c^2\right]-3 a b(a+b+c) $

$=(a+b+c)\left(a^2+2 a b+b^2-a c-b c+c^2-3 a b\right) $

$=(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-a b-b c-c a\right)$

b) Đặt $x-y=a, y-z=b, z-x=c$ thì $a+b+c=0$.

Do đó theo câu a) ta có $a^3+b^3+c^3-3 a b c=0 \Rightarrow a^3+b^3+c^3=3 a b c$

$\Rightarrow(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=3(x-y)(y-z)(z-x) .$

Cần nhớ kết quả của câu a) để vận dụng vào giải toán.

Ví dụ 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) $(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3$

b) $8(x+y+z)^3-(x+y)^3-(y+z)^3-(z+x)^3$

Giải : a) Áp dụng nhiều lần công thức $(\mathrm{x}+\mathrm{y})^3=\mathrm{x}^3+\mathrm{y}^3+3 \mathrm{xy}(\mathrm{x}+\mathrm{y})$, ta có :

$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=[(a+b)+c]^3-a^3-b^3-c^3 $

$=(a+b)^3+c^3+3 c(a+b)(a+b+c)-a^3-b^3-c^3 $

$=a^3+b^3+3 a b(a+b)+c^3+3 c(a+b)(a+b+c)-a^3-b^3-c^3 $

$=3(a+b)\left(a b+a c+b c+c^2\right) $

$=3(a+b)[a(b+c)+c(b+c)] $

$=3(a+b)(b+c)(c+a) .$

b) Đặt $\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{a}, \mathrm{y}+\mathrm{z}=\mathrm{b}, \mathrm{z}+\mathrm{x}=\mathrm{c}$ thì $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=2(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z})$. Đa thức đã cho có dạng $(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3$.

Áp dụng kết quả của câu a), đa thức đã cho bằng :

$3(a+b)(b+c)(c+a)=3(x+2 y+z)(y+2 z+x)(z+2 x+y)$

Chú ý : Cần nhớ kết quả của câu a) để vận dụng vào giải toán.

Ví dụ 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

$P=x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)$

Giải :

Cách 1 : Khai triển hai hạng tử cuối rồi nhóm các hạng tử làm xuất hiện ṇân tử chung $\mathrm{y}-\mathrm{z}$.

$P =x^2(y-z)+y^2 z-x y^2+x z^2-y z^2 $

$=x^2(y-z)+y z(y-z)-x\left(y^2-z^2\right) $

$=(y-z)\left(x^2+y z-x y-x z\right) $

$=(y-z)[x(x-y)-z(x-y)] $

$=(y-z)(x-y)(x-z)$

Cách 2. Tách $\mathrm{z}-\mathrm{x}$ thành $-[(\mathrm{y}-\mathrm{z})+(\mathrm{x}-\mathrm{y})]$, ta có

$P =x^2(y-z)-y^2[(y-z)+(x-y)]+z^2(x-y) $

$=(y-z)\left(x^2-y^2\right)-(x-y)\left(y^2-z^2\right) $

$=(y-z)(x+y)(x-y)-(x-y)(y+z)(y-z) $

$=(y-z)(x-y)(x+y-y-z) $

$=(y-z)(x-y)(x-z)$

Ví dụ 6. Xét hằng đẳng thức $(x+1)^3=x^3+3 x^2+3 x+1$.

Lần lượt cho $\mathrm{x}$ bằng $1,2,3, \ldots$, n rồi cộng từng vế $\mathrm{n}$ đẳng thức trên để tính giá trị của biểu thức :

$S=1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2$

Giải : Từ hằng đẳng thức đã cho ta có :

$2^3=1^3+3.1^2+3.1+1 $

$3^3=2^3+3.2^2+3.2+1 $

$\cdots $

$(n+1)^3=n^3+3 n^2+3 n+1 $

Cộng từng vế $\mathrm{n}$ đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được

$(n+1)^3=1^3+3\left(1^2+2^2+\ldots+n^2\right)+3(1+2+\ldots+n)+n$

Do đó

$ 3\left(1^2+2^2+\ldots+n^2\right)=(n+1)^3-\frac{3 n(n+1)}{2}-(n+1)=$

$=(n+1)\left[(n+1)^2-\frac{3 n}{2}-1\right]=(n+1)\left(n^2+\frac{n}{2}\right)=\frac{1}{2} n(n+1)(2 n+1) $

$\text { Vậy } S=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) $

BÀI TẬP

55. Phân tích thành nhân tử :

a) $(a b-1)^2+(a+b)^2$

b) $x^3+2 x^2+2 x+1$;

c) $x^3-4 x^2+12 x-27$

d) $x^4-2 x^3+2 x-1$;

e) $x^4+2 x^3+2 x^2+2 x+1$.

56. Phân tích thành nhân tử :

a) $x^2-2 x-4 y^2-4 y$

b) $x^4+2 x^3-4 x-4$;

c) $x^2\left(1-x^2\right)-4-4 x^2$

d) $(1+2 x)(1-2 x)-x(x+2)(x-2)$;

e) $x^2+y^2-x^2 y^2+x y-x-y$.

57. Chứng minh rằng $199^3-199$ chia hết cho 200 .

58. Tính giá trị của biểu thức sau, biết $x^3-x=6$ :

$A=x^6-2 x^4+x^3+x^2-x $

59. Phân tích thành nhân tử :

a) $a\left(b^2+c^2+b c\right)+b\left(c^2+a^2+a c\right)+c\left(a^2+b^2+a b\right)$

b) $(a+b+c)(a b+b c+c a)-a b c$;

$\left.c^*\right) a(a+2 b)^3-b(2 a+b)^3$

60. Phân tích thành nhân tử :

a) $a b(a+b)-b c(b+c)+a c(a-c)$;

b) $a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)+2 a b c$;

c) $(a+b)\left(a^2-b^2\right)+(b+c)\left(b^2-c^2\right)+(c+a)\left(c^2-a^2\right)$

d) $a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)$;

e) $a^3\left(c-b^2\right)+b^3\left(a-c^2\right)+c^3\left(b-a^2\right)+a b c(a b c-1)$.

61*. Phân tích thành nhân tử :

a) $a(b+c)^2(b-c)+b(c+a)^2(c-a)+c(a+b)^2(a-b)$;

b) $a(b-c)^3+b(c-a)^3+c(a-b)^3$;

c) $a^2 b^2(a-b)+b^2 c^2(b-c)+c^2 a^2(c-a)$

d) $a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)-2 a b c-a^3-b^3-c^3$;

e) $a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b)$.

62. Phân tích thành nhân tử :

a) $(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3$.

b) $a b c-(a b+b c+c a)+(a+b+c)-1$.

63. Chứng minh rằng trong ba số $a, b, c$, tồn tại hąi số bằng nhau, nếu :

$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=0 $

64. Chứng minh rằng nếu $\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2=2 \mathrm{ab}$ thì $\mathrm{a}=\mathrm{b}$.

65*. Chứng minh rằng nếu $\mathrm{a}^3+\mathrm{b}^3+\mathrm{c}^3=3 \mathrm{abc}$ và $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ là các số dương thì $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c} .$

66*. Chứng minh rằng nếu $a^4+b^4+c^4+d^4=4 a b c d$ và $a, b, c, d$ là các số dương thì $a=b=c=d$

67. Chứng minh rằng nếu $\mathrm{m}=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}$ thì

$(\mathrm{am}+\mathrm{bc})(\mathrm{bm}+\mathrm{ac})(\mathrm{cm}+\mathrm{ab})=$

$(\mathrm{a}+\mathrm{b})^2(\mathrm{~b}+\mathrm{c})^2(\mathrm{c}+\mathrm{a})^2 $

68. Cho $a^2+b^2=1, c^2+d^2=1, a c+b d=0$. Chứng minh rằng $a b+c d=0$.

69. Xét hằng đẳng thức $(x+1)^2=x^2+2 x+1$.

Lần lượt cho $x$ bằng $1,2,3, \ldots$, n rồi cộng từng vế n đẳng thức trên để tính giá trị của biểu thức $\mathrm{S}_1=1+2+3+\ldots+\mathrm{n}$.

70*. Bằng phương pháp tương tự như ở ví dụ 14 và bài tập 74 , tính giá trị của biểu thức $\mathrm{S}_3=1^3+2^3+3^3+\ldots+\mathrm{n}^3$.

 

PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC – P.2

CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

 

Thực hiện phép nhân đa thức, ta được các hằng đẳng thức sau :

1. $(a+b)^2=a^2+2 a b+b^2$.

2. $(a-b)^2=a^2-2 a b+b^2$.

3. $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

4. $(a+b)^3=a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3$

$(a+b)^3=a^3+b^3+3 a b(a+b) \text {. }$

5. $(a-b)^3=a^3-3 a^2 b+3 a b^2-b^3$

$(a-b)^3=a^3-b^3-3 a b(a-b)$

6. $(a+b)\left(a^2-a b+b^2\right)=a^3+b^3$

7. $(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right)=a^3-b^3$.

Ta cũng có :

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2 a b+2 a c+2 b c .$

Tổng quát của các hằng đẳng thức 3 và 7 , ta có hằng đẳng thức :

8. $a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3} b^2+\ldots+a b^{n-2}+b^{n-1}\right)$

với mọi số nguyên dương $\mathrm{n}$.

Tổng quát của hằng đẳng thức 6 , ta có hằng đẳng thức :

9. $a^n+b^n=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2} b+a^{n-3} b^2-\ldots-a b^{n-2}+b^{n-1}\right)$

với mọi số lẻ n.

Tổng quát của các hằng đẳng thức $1,2,4,5$, ta có công thức Niu-tơn (xem chuyên đề Tính chia hết đối với số nguyên).

Ví dụ 1. Chứng minh rằng số 3599 viết được dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1 .

Giải : $\quad 3599=3600-1=60^2-1=(60+1)(60-1)=61.59$.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức :

$x^2+2(x+1)^2+3(x+2)^2+4(x+3)^2$

Giải: $\mathrm{x}^2+2(\mathrm{x}+1)^2+3(\mathrm{x}+2)^2+4(\mathrm{x}+3)^2=$

$=x^2+2\left(x^2+2 x+1\right)+3\left(x^2+4 x+4\right)+4\left(x^2+6 x+9\right) $

$=x^2+2 x^2+4 x+2+3 x^2+12 x+12+4 x^2+24 x+36 $

$=10 x^2+40 x+50 $

$=\left(x^2+10 x+25\right)+\left(9 x^2+30 x+25\right) $

$=(x+5)^2+(3 x+5)^2$

Ví dụ 3. Cho

$x+y+z=0 $

$4x y+y z+z x=0$

Chứng minh rằng $\mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{z}$.

Giải : Ta có $(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z})^2=\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+\mathrm{z}^2+2(\mathrm{xy}+\mathrm{yz}+\mathrm{zx})$.

Suy ra

$0=x^2+y^2+z^2+2.0$

hay

$\text { Vậy } x=y=z(=0) \text {. }$

Ví dụ 4 :

a) Tính $A=-1^2+2^2-3^2+4^2-\ldots-99^2+100^2$.

b) Tính $\mathrm{A}=-1^2+2^2-3^2+4^2-\ldots+(-1)^{\mathrm{n}} \cdot \mathrm{n}^2$.

Giải: a) $\mathrm{A}=\left(2^2-1^2\right)+\left(4^2-3^2\right)+\ldots+\left(100^2-99^2\right)$

$=(2-1)(1+2)+(4-3)(3+4)+\ldots+(100-99)(99+100) $

$=1+2+3+4+\ldots+99+100 $

$=\frac{100.101}{2}=5050 .$

b) Xét hai trường hợp :

Nếu n chẵn thì $\mathrm{A}=\left(2^2-1^2\right)+\left(4^2-3^2\right)+\ldots+\left[\mathrm{n}^2-(\mathrm{n}-1)^2\right]$

$=1+2+3+4+\ldots+(n-1)+n$

$=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2} \text {. }$

Nếu n lẻ thì $\mathrm{A}=\left(2^2-1^2\right)+\left(4^2-3^2\right)+\ldots+\left[(\mathrm{n}-1)^2-(\mathrm{n}-2)^2\right]-\mathrm{n}^2$

$=1+2+3+4+\ldots+(n-1)-n^2 $

$=\frac{n(n-1)}{2}-n^2=-\frac{n(n+1)}{2}$

Chú ý : Hai kết quả trên có thể viết chung trong một công thức

$(-1)^{\mathrm{n}} \cdot \frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$

Ví dụ 5. Cho

$x+y=a+b\quad(1)$

$x^2+y^2=a^2+b^2\quad(2)$

Chứng minh rằng $x^3+y^3=a^3+b^3$.

Giải : Ta có : $\quad \mathrm{x}^3+\mathrm{y}^3=(\mathrm{x}+\mathrm{y})\left(\mathrm{x}^2-\mathrm{xy}+\mathrm{y}^2\right)\quad(3)$.

Từ (1) suy ra : $\quad(x+y)^2=(a+b)^2$,

tức là $\quad x^2+2 x y+y^2=a^2+2 a b+b^2$.

Do $x^2+y^2=a^2+b^2$ nên $2 x y=2 a b$, suy ra $x y=a b\quad(4)$

Thay các kết quả (1), (2), (4) vào (3), ta được

$x^3+y^3=(x+y)\left(x^2+y^2-x y\right)=(a+b)\left(a^2+b^2-a b\right)=a^3+b^3 .$

Ví dụ 6. Cho $a+b=m, a-b=n$. Tính $a b$ và $a^3-b^3$ theo $m$ và $n$.

Giải :

Cách 1. Từ $\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{m}, \mathrm{a}-\mathrm{b}=\mathrm{n}$, ta tính được $\mathrm{b}=\frac{\mathrm{m}-\mathrm{n}}{2}, \mathrm{a}=\frac{\mathrm{m}+\mathrm{n}}{2}$.

Do đó $\quad \mathrm{ab}=\frac{\mathrm{m}+\mathrm{n}}{2} \cdot \frac{\mathrm{m}-\mathrm{n}}{2}=\frac{\mathrm{m}^2-\mathrm{n}^2}{4} ;$

$a^3-b^3=\left(\frac{m+n}{2}\right)^3-\left(\frac{m-n}{2}\right)^3=\frac{(m+n)^3-(m-n)^3}{8}$

Rút gọn biểu thức trên, ta được $\frac{3 \mathrm{~m}^2 \mathrm{n}+\mathrm{n}^3}{4}$.

Cách 2. Ta có

$4 a b =(a+b)^2-(a-b)^2=m^2-n^2 \text { nên } a b=\frac{m^2-n^2}{4} . $

$\text { Ta có } a^3-b^3 =(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right)=(a-b)\left[(a+b)^2-a b\right] $

$=n\left(m^2-\frac{m^2-n^2}{4}\right)=\frac{n\left(3 m^2+n^2\right)}{4}=\frac{3 m^2 n+n^3}{4} .$

BÀI TẬP

16. Tính giá trị của các biểu thức :

a) $\frac{63^2-47^2}{215^2-105^2}$

b) $\frac{437^2-363^2}{537^2-463^2}$

17. So sánh $\mathrm{A}=26^2-24^2$ và $\mathrm{B}=27^2-25^2$.

18. Tìm $\mathrm{x}$, biết :

$4(x+1)^2+(2 x-1)^2-8(x-1)(x+1)=11$

19. Rút gọn các biểu thức :

a) $2 x(2 x-1)^2-3 x(x+3)(x-3)-4 x(x+1)^2$;

b) $(a-b+c)^2-(b-c)^2+2 a b-2 a c$;

c) $(3 x+1)^2-2(3 x+1)(3 x+5)+(3 x+5)^2$;

d) $(3+1)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)$;

e) $(a+b-c)^2+(a-b+c)^2-2(b-c)^2$

g) $(a+b+c)^2+(a-b-c)^2+(b-c-a)^2+(c-a-b)^2$;

h) $(a+b+c+d)^2+(a+b-c-d)^2+(a+c-b-d)^2+(a+d-b-c)^2$.

20. Cho $x+y=3$. Tính giá trị của biểu thức

$A=x^2+2 x y+y^2-4 x-4 y+1 $

21. Cho $\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=\mathrm{m}$. Tính giá trị của biểu thức sau theo $\mathrm{m}$ :

$A=(2 a+2 b-c)^2+(2 b+2 c-a)^2+(2 c+2 a-b)^2 .$

22. Hãy viết các số sau đây dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1 :

a) $899$

b) $9991$

23. Chứng minh rằng hiệu sau đây là một số gồm toàn các chữ số như nhau :

$7778^2-2223^2$

24. Chứng minh các hằng đẳng thức :

a) $(a+b+c)^2+a^2+b^2+c^2=(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2$

b) $x^4+y^4+(x+y)^4=2\left(x^2+x y+y^2\right)^2$

25. Cho $\mathrm{a}^2-\mathrm{b}^2=4 \mathrm{c}^2$. Chứng minh hằng đẳng thức

$(5 a-3 b+8 c)(5 a-3 b-8 c)=(3 a-5 b)^2$

26. Chứng minh rằng nếu $\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=(a x+b y)^2$ với $x, y$ khác 0 thì $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{y}}$

27. Chứng minh rằng nếu $\left(\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2\right)\left(\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+\mathrm{z}^2\right)=(\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{cz})^2$ với $x, y, z$ khác 0 thì $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$.

28. Cho $(a+b)^2=2\left(a^2+b^2\right)$. Chứng minh rằng $a=b$.

29. Chứng minh rằng $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}$ nếu có một trong các điều kiện sau :

a) $a^2+b^2+c^2=a b+b c+c a$

b) $(a+b+c)^2=3\left(a^2+b^2+c^2\right)$

c) $(a+b+c)^2=3(a b+b c+c a)$.

  1. Hãy viết các biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương :

a) $(a+b+c)^2+a^2+b^2+c^2$

b) $2(a-b)(c-b)+2(b-a)(c-a)+2(b-c)(a-c)$

31. Tính giá trị của biểu thức $\mathrm{a}^4+\mathrm{b}^4+\mathrm{c}^4$, biết rằng $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$ và :

a) $a^2+b^2+c^2=2$;

b) $a^2+b^2+c^2=1$.

32. Cho $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$. Chứng minh $\mathrm{a}^4+\mathrm{b}^4+\mathrm{c}^4$ bằng mỗi biểu thức :

a) $2\left(a^2 b^2+b^2 c^2+c^2 a^2\right)$;

b) $2(a b+b c+c a)^2$

c) $\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}$

33. Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến :

a) $9 x^2-6 x+2$

b) $\mathrm{x}^2+\mathrm{x}+1$

c) $2 x^2+2 x+1$.

34. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức :

a) $A=x^2-3 x+5 ;$

b) $B=(2 x-1)^2+(x+2)^2$

35. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức :

a) $A=4-x^2+2 x$

b) $B=4 x-x^2$

36. Chứng minh rằng :

a) Nếu $\mathrm{p}$ và $\mathrm{p}^2+8$ là các số nguyên tố thì $\mathrm{p}^2+2$ cũng là số nguyên tố.

b) Nếu $\mathrm{p}$ và $8 \mathrm{p}^2+1$ là các số nguyên tố thì $2 \mathrm{p}+1$ cũng là số nguyên tố.

37. Chứng minh rằng các số sau là hợp số :

a) 999991 ;

b) 1000027 .

38. Thực hiện phép tính :

a) $(x-2)^3-x(x+1)(x-1)+6 x(x-3)$

b) $(x-2)\left(x^2-2 x+4\right)(x+2)\left(x^2+2 x+4\right)$.

39. Tìm $x$, biết :

a) $(x-3)\left(x^2+3 x+9\right)+x(x+2)(2-x)=1$

b) $(x+1)^3-(x-1)^3-6(x-1)^2=-10$

40. Rút gọn các biểu thức :

a) $(a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(a+c-b)^3-(a+b-c)^3$

b) $(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)$

41. Chứng minh các hằng đẳng thức :

a) $(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a)$.

b) $a^3+b^3+c^3-3 a b c=(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-a b-b c-c a\right)$.

42. Cho $a+b+c=0$. Chứng minh rằng $a^3+b^3+c^3=3 a b c$.

43. Cho $\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{a}$ và $\mathrm{xy}=\mathrm{b}$. Tính giá trị của các biểu thức sau theo $\mathrm{a}$ và $\mathrm{b}$ :

a) $x^2+y^2$

b) $x^3+y^3$

c) $x^4+y^4$;

d) $x^5+y^5$.

44. a) Cho $x+y=1$. Tính giá trị của biểu thức $x^3+y^3+3 x y$.

b) Cho $\mathrm{x}-\mathrm{y}=1$. Tính giá trị của biểu thức $\mathrm{x}^3-\mathrm{y}^3-3 \mathrm{xy}$.

45. Cho $\mathrm{a}+\mathrm{b}=1$. Tính giá trị của biểu thức

$M=a^3+b^3+3 a b\left(a^2+b^2\right)+6 a^2 b^2(a+b)$

46. a) Cho $x+y=2$ và $x^2+y^2=10$. Tính giá trị của biểu thức $x^3+y^3$.

b) Cho $x+y=a$ và $x^2+y^2=b$. Tính $x^3+y^3$ theo a và $b$.

47. Chứng minh rằng :

a) Nếu số n’ là tổng của hai số chính phương thì 2 n cũng là tổng của hai số chính phương.

b) Nếu số $2 \mathrm{n}$ là tổng của hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính phương.

c) Nếu số $\mathrm{n}$ là tổng của hai số chính phương thì $\mathrm{n}^2$ cũng là tổng của hai số chính phương.

d) Nếu mỗi số m và $\mathrm{n}$ đều là tổng của hai số chính phương thì tích mn cũng là tổng của hai số chính phương.

48. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $\mathrm{a}$, tồn tại số tự nhiên $\mathrm{b}$ sao cho $\mathrm{ab}+4$ là số chính phương.

49. Cho a là số gồm $2 \mathrm{n}$ chữ số $1, \mathrm{~b}$ là số gồm $\mathrm{n}+1$ chữ số $1, \mathrm{c}$ là số gồm $\mathrm{n}$ chữ số 6. Chứng minh rằng $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+8$ là số chính phương.

50. Chứng minh rằng biểu thức sau không là lập phương của một số tự nhiên :

$10^{150}+5.10^{50}+1 .$

51. Chứng minh rằng tích ba số nguyền dương liên tiếp không là lập phương của một số tự nhiên.

52. Chia 27 quả cân có khối lượng $10,20,30, \ldots, 270$ gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau.

53*. Chia 18 quả cân có khối lượng $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 18^2$ gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau.

54*. Chia 27 quả cân có khối lượng $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 27^2$ gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau.

PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC – P.4

CHIA ĐA THỨC

 

Đa thức $\mathrm{A}(\mathrm{x})$ gọi là chia hết cho đa thức $\mathrm{B}(\mathrm{x})$ khác 0 nếu tồn tại đa thức $\mathrm{Q}(\mathrm{x})$ sao cho $\mathrm{A}(\mathrm{x})=\mathrm{B}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{Q}(\mathrm{x})$.

Người ta chứng minh được rằng : Với mọi cặp đa thức $\mathrm{A}(\mathrm{x})$ và $\mathrm{B}(\mathrm{x})$ trong đó $\mathrm{B}(\mathrm{x}) \neq 0$, tồn tại duy nhất cặp đa thức $\mathrm{Q}(\mathrm{x})$ và $\mathrm{R}(\mathrm{x})$ sao cho $\mathrm{A}(\mathrm{x})=\mathrm{B}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{Q}(\mathrm{x})+\mathrm{R}(\mathrm{x})$, trong đó $R(x)=0$ hoặc bậc của $R(x)$ nhỏ hơn bậc của $B(x)$.

Nếu $R(x)=0$ thì $A(x)$ chia hết cho $B(x)$. Nếu $R(x) \neq 0$ thì $A(x)$ không chia hết cho $B(x)$, khi đó $Q(x)$ là thương và $R(x)$ là dư của phép chia $A(x)$ cho $B(x)$.

Ví dụ 1. Tìm số tự nhiên $\mathrm{n}$ để đa thức $\mathrm{A}$ chia hết cho đơn thức $\mathrm{B}$ :

$A=3 x^{n-1} y^6-5 x^{n+1} y^4 ; B=2 x^3 y^n$

Tìm thương $\mathrm{A}: \mathrm{B}$ trong trường hợp đó.

Giải : Điều kiện để $\mathrm{A}$ chia hết cho $\mathrm{B}$ là :

$\left\{\begin{array}{r}\mathrm{n}-1 \geq 3 \\ \mathrm{n}+1 \geq 3 \\ 6 \geq \mathrm{n} \\ 4 \geq \mathrm{n}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{n} \geq 4 \\ \mathrm{n} \leq 4\end{array} \Leftrightarrow \mathrm{n}=4\right.\right.$

Vậy với $\mathrm{n}=4$ thì đa thức $\mathrm{A}$ chia hết cho đơn thức $\mathrm{B}$. Khi đó

$A: B=\left(3 x^3 y^6-5 x^5 y^4\right):\left(2 x^3 y^4\right)=\frac{3}{2} y^2-\frac{5}{2} x^2$

Ví dụ 2. Xác định các số hữu tỉ a và $\mathrm{b}$ để đa thức $\mathrm{x}^3+\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ chia hết cho đa thức $x^2+x-2$.

Giải : Cách 1. Đặt tính chia :

Để chia hết thì đa thức dư phải bằng 0 với mọi giá trị của $x$, nên :

$\left\{\begin{array}{l}a+3=0 \\ b-2=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-3 \\ b=2\end{array}\right.\right.$

Vậy với $\mathrm{a}=-3 ; \mathrm{b}=2$ thì $\mathrm{x}^3+\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ chia hết cho $\mathrm{x}^2+\mathrm{x}-2$.

Cách 2. (Phương pháp hệ số bất định)

Đa thức bị chia có bậc ba, đa thức chia có bậc hai nên thương là một nhị thức bậc nhất, hạng tử bậc nhất là $\mathrm{x}^3: \mathrm{x}^2=\mathrm{x}$.

Gọi thương là $\mathrm{x}+\mathrm{c}$, ta có :

$x^3+a x+b=\left(x^2+x-2\right)(x+c)$

nên

$x^3+a x+b=x^3+(c+1) x^2+(c-2) x-2 c $

Hai đa thức trên bằng nhau nên :

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{c}+1=0 \\ \mathrm{c}-2=\mathrm{a} \\ -2 \mathrm{c}=\mathrm{b}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{c}=-1 \\ \mathrm{a}=-3 \\ \mathrm{~b}=2\end{array}\right.\right.$

Vậy với $\mathrm{a}=-3 ; \mathrm{b}=2$ thì $\mathrm{x}^3+\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ chia hết cho $\mathrm{x}^2+\mathrm{x}-2$, thương là $\mathrm{x}-1$.

Cách 3. (Phương pháp xét giá trị riêng)

Gọi thương khi chia $\mathrm{x}^3+\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ cho $\mathrm{x}^2+\mathrm{x}-2$ là $\mathrm{Q}(\mathrm{x})$, ta có :

$x^3+a x+b=(x-1)(x+2) Q(x)$

Vì đẳng thức đúng với mọi $x$ nên lần lượt cho $\mathrm{x}=1, \mathrm{x}=-2$, ta được :

$\left\{\begin{array}{l}1+a+b=0 \\ -8-2 a+b=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a+b=-1 \\ -2 a+b=8\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-3 \\ b=2 .\end{array}\right.\right.\right.$

Với $a=-3 ; b=2$ thì $x^3+a x+b$ chia hết cho $x^2+x-2$.

BÀI TẬP

Chia đơn thức cho đơn thức

71. Thực hiện phép tính :

a) $8^{12}: 4^6$;

b) $27^6: 9^2$;

c) $\frac{9^{15} \cdot 25^3 \cdot 4^3}{3^{10} \cdot 50^6}$

72. Chứng minh rằng biểu thức sau không âm với mọi giá trị của biến :

$A=\left(-15 x^3 y^6\right):\left(-5 x y^2\right)$

73. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến $\mathrm{y}(\mathrm{x} \neq 0 ; \mathrm{y} \neq 0)$ :

$B=\frac{2}{3} x^2 y^3:\left(-\frac{1}{3} x y\right)+2 x(y-1)(y+1)$

74. Tìm số tự nhiên $\mathrm{n}$ để đơn thức $\mathrm{A}$ chia hết cho đơn thức $\mathrm{B}$ :

$A=4 x^{n+1} y^2 ; B=3 x^3 y^{n-1}$

Chia đa thức cho dơn thức

75. Thực hiện phép tính :

a) $\left(\frac{1}{2} a^2 x^4+\frac{4}{3} a x^3-\frac{2}{3} a x^2\right):\left(-\frac{2}{3} a x^2\right)$

b) $4\left(\frac{3}{4} x-1\right)+\left(12 x^2-3 x\right):(-3 x)-(2 x+1)$.

76. Thực hiện phép tính rồi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$A=\left(9 x y^2-6 x^2 y\right):(-3 x y)+\left(6 x^2 y+2 x^4\right):\left(2 x^2\right) $

77. Tìm số tự nhiên $\mathrm{n}$ để đa thức $\mathrm{A}$ chia hết cho đơn thức $\mathrm{B}$ :

$A=7 x^{n-1} y^5-5 x^3 y^4 ; \quad B=5 x^2 y^n$

Chia đa thức cho đa thức

78. Rút gọn biểu thức

$\left[\left(x^3+y^3\right)-2\left(x^2-y^2\right)+3(x+y)^2\right]:(x+y)$

79. Chia các đa thức :

a) $\left(3 x^4-2 x^3-2 x^2+4 x-8\right):\left(x^2-2\right)$;

b) $\left(2 x^3-26 x-24\right):\left(x^2+4 x+3\right)$;

c) $\left(x^3-7 x+6\right):(x+3)$.

80. Xác định hằng số a sao cho :

a) $4 x^2-6 x+$ a chia hết cho $x-3$;

b) $2 \mathrm{x}^2+\mathrm{x}+\mathrm{a}$ chia hết cho $\mathrm{x}+3$;

c) $x^3+a x^2-4$ chia hết cho $x^2+4 x+4$.

81. Xác địṇh hằng số a sao cho :

a) $10 x^2-7 x+a$ chia hết cho $2 x-3$;

b) $2 x^2+a x+1$ chia cho $x-3$ dư 4 ;

c) $a x^5+5 x^4-9$ chia hết cho $x-1$.

82. Xác định các hằng số a và $\mathrm{b}$ sao cho :

a) $\mathrm{x}^4+\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ chia hết cho $\mathrm{x}^2-4$;

b) $x^4+a x^3+b x-1$ chia hết cho $x^2-1$;

c) $x^3+a x+b$ chia hết cho $x^2+2 x-2$.

83. Xác định các hằng số a và b sao cho :

a) $x^4+a x^2+b$ chia hết cho $x^2-x+1$;

b) $a x^3+b x^2+5 x-50$ chia hết cho $x^2+3 x-10$;

c) $a x^4+b x^3+1$ chia hết cho $(x-1)^2$;

d) $x^4+4$ chia hết cho $x^2+a x+b$.

84. Tìm các hằng số $a$ và $b$ sao cho $x^3+a x+b$ chia cho $x+1$ thì dư 7 , chia cho $x-3$ thì dư $-5$.

85. Tìm các hằng số $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ sao cho $\mathrm{ax}^3+\mathrm{bx}^2+\mathrm{c}$ chia hết cho $\mathrm{x}+2$, chia cho $x^2-1$ thì dư $x+5$.