PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ

 

Để phân tích một đa thức thành nhân tử, ta thường dùng các phương pháp :

• Đặt nhân tử chung.

• Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

• Nhóm các hạng tử một cách thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung mới.

Để phân tích đa thức thành nhân tử, người ta còn dùng các phương pháp khác. Xem chuyên đề Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tủ̉.

Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

$x^4+x^3+2 x^2+x+1$

Giải : $\quad \mathrm{x}^4+\mathrm{x}^3+2 \mathrm{x}^2+\mathrm{x}+1=\left(\mathrm{x}^4+2 \mathrm{x}^2+1\right)+\left(\mathrm{x}^3+\mathrm{x}\right)$

$=\left(x^2+1\right)^2+x\left(x^2+1\right)=\left(x^2+1\right)\left(x^2+x+1\right) .$

Ví dụ 2. Cho $a+b+c=0$. Rút gọn biểu thức

$M=a^3+b^3+c\left(a^2+b^2\right)-a b c .$

Giải :

$M =a^3+b^3+a^2 c+b^2 c-a b c=\left(a^3+a^2 c\right)+\left(b^3+b^2 c\right)-a b c $

$=a^2(a+c)+b^2(b+c)-a b c=a^2(-b)+b^2(-a)-a b c $

$=-a b(a+b+c)=0$

Ví dụ 3.

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : $a^3+b^3+c^3-3 a b c$.

b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng cách áp dụng câu a) :

$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$.

Giải : $a^3+b^3+c^3-3 a b c=(a+b)^3-3 a^2 b-3 a b^2+c^3-3 a b c $

$= {\left[(a+b)^3+c^3\right]-3 a b(a+b+c) } $

$=(a+b+c)\left[(a+b)^2-c(a+b)+c^2\right]-3 a b(a+b+c) $

$=(a+b+c)\left(a^2+2 a b+b^2-a c-b c+c^2-3 a b\right) $

$=(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-a b-b c-c a\right)$

b) Đặt $x-y=a, y-z=b, z-x=c$ thì $a+b+c=0$.

Do đó theo câu a) ta có $a^3+b^3+c^3-3 a b c=0 \Rightarrow a^3+b^3+c^3=3 a b c$

$\Rightarrow(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=3(x-y)(y-z)(z-x) .$

Cần nhớ kết quả của câu a) để vận dụng vào giải toán.

Ví dụ 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) $(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3$

b) $8(x+y+z)^3-(x+y)^3-(y+z)^3-(z+x)^3$

Giải : a) Áp dụng nhiều lần công thức $(\mathrm{x}+\mathrm{y})^3=\mathrm{x}^3+\mathrm{y}^3+3 \mathrm{xy}(\mathrm{x}+\mathrm{y})$, ta có :

$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=[(a+b)+c]^3-a^3-b^3-c^3 $

$=(a+b)^3+c^3+3 c(a+b)(a+b+c)-a^3-b^3-c^3 $

$=a^3+b^3+3 a b(a+b)+c^3+3 c(a+b)(a+b+c)-a^3-b^3-c^3 $

$=3(a+b)\left(a b+a c+b c+c^2\right) $

$=3(a+b)[a(b+c)+c(b+c)] $

$=3(a+b)(b+c)(c+a) .$

b) Đặt $\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{a}, \mathrm{y}+\mathrm{z}=\mathrm{b}, \mathrm{z}+\mathrm{x}=\mathrm{c}$ thì $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=2(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z})$. Đa thức đã cho có dạng $(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3$.

Áp dụng kết quả của câu a), đa thức đã cho bằng :

$3(a+b)(b+c)(c+a)=3(x+2 y+z)(y+2 z+x)(z+2 x+y)$

Chú ý : Cần nhớ kết quả của câu a) để vận dụng vào giải toán.

Ví dụ 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

$P=x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)$

Giải :

Cách 1 : Khai triển hai hạng tử cuối rồi nhóm các hạng tử làm xuất hiện ṇân tử chung $\mathrm{y}-\mathrm{z}$.

$P =x^2(y-z)+y^2 z-x y^2+x z^2-y z^2 $

$=x^2(y-z)+y z(y-z)-x\left(y^2-z^2\right) $

$=(y-z)\left(x^2+y z-x y-x z\right) $

$=(y-z)[x(x-y)-z(x-y)] $

$=(y-z)(x-y)(x-z)$

Cách 2. Tách $\mathrm{z}-\mathrm{x}$ thành $-[(\mathrm{y}-\mathrm{z})+(\mathrm{x}-\mathrm{y})]$, ta có

$P =x^2(y-z)-y^2[(y-z)+(x-y)]+z^2(x-y) $

$=(y-z)\left(x^2-y^2\right)-(x-y)\left(y^2-z^2\right) $

$=(y-z)(x+y)(x-y)-(x-y)(y+z)(y-z) $

$=(y-z)(x-y)(x+y-y-z) $

$=(y-z)(x-y)(x-z)$

Ví dụ 6. Xét hằng đẳng thức $(x+1)^3=x^3+3 x^2+3 x+1$.

Lần lượt cho $\mathrm{x}$ bằng $1,2,3, \ldots$, n rồi cộng từng vế $\mathrm{n}$ đẳng thức trên để tính giá trị của biểu thức :

$S=1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2$

Giải : Từ hằng đẳng thức đã cho ta có :

$2^3=1^3+3.1^2+3.1+1 $

$3^3=2^3+3.2^2+3.2+1 $

$\cdots $

$(n+1)^3=n^3+3 n^2+3 n+1 $

Cộng từng vế $\mathrm{n}$ đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được

$(n+1)^3=1^3+3\left(1^2+2^2+\ldots+n^2\right)+3(1+2+\ldots+n)+n$

Do đó

$ 3\left(1^2+2^2+\ldots+n^2\right)=(n+1)^3-\frac{3 n(n+1)}{2}-(n+1)=$

$=(n+1)\left[(n+1)^2-\frac{3 n}{2}-1\right]=(n+1)\left(n^2+\frac{n}{2}\right)=\frac{1}{2} n(n+1)(2 n+1) $

$\text { Vậy } S=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) $

BÀI TẬP

55. Phân tích thành nhân tử :

a) $(a b-1)^2+(a+b)^2$

b) $x^3+2 x^2+2 x+1$;

c) $x^3-4 x^2+12 x-27$

d) $x^4-2 x^3+2 x-1$;

e) $x^4+2 x^3+2 x^2+2 x+1$.

56. Phân tích thành nhân tử :

a) $x^2-2 x-4 y^2-4 y$

b) $x^4+2 x^3-4 x-4$;

c) $x^2\left(1-x^2\right)-4-4 x^2$

d) $(1+2 x)(1-2 x)-x(x+2)(x-2)$;

e) $x^2+y^2-x^2 y^2+x y-x-y$.

57. Chứng minh rằng $199^3-199$ chia hết cho 200 .

58. Tính giá trị của biểu thức sau, biết $x^3-x=6$ :

$A=x^6-2 x^4+x^3+x^2-x $

59. Phân tích thành nhân tử :

a) $a\left(b^2+c^2+b c\right)+b\left(c^2+a^2+a c\right)+c\left(a^2+b^2+a b\right)$

b) $(a+b+c)(a b+b c+c a)-a b c$;

$\left.c^*\right) a(a+2 b)^3-b(2 a+b)^3$

60. Phân tích thành nhân tử :

a) $a b(a+b)-b c(b+c)+a c(a-c)$;

b) $a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)+2 a b c$;

c) $(a+b)\left(a^2-b^2\right)+(b+c)\left(b^2-c^2\right)+(c+a)\left(c^2-a^2\right)$

d) $a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)$;

e) $a^3\left(c-b^2\right)+b^3\left(a-c^2\right)+c^3\left(b-a^2\right)+a b c(a b c-1)$.

61*. Phân tích thành nhân tử :

a) $a(b+c)^2(b-c)+b(c+a)^2(c-a)+c(a+b)^2(a-b)$;

b) $a(b-c)^3+b(c-a)^3+c(a-b)^3$;

c) $a^2 b^2(a-b)+b^2 c^2(b-c)+c^2 a^2(c-a)$

d) $a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)-2 a b c-a^3-b^3-c^3$;

e) $a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b)$.

62. Phân tích thành nhân tử :

a) $(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3$.

b) $a b c-(a b+b c+c a)+(a+b+c)-1$.

63. Chứng minh rằng trong ba số $a, b, c$, tồn tại hąi số bằng nhau, nếu :

$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=0 $

64. Chứng minh rằng nếu $\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2=2 \mathrm{ab}$ thì $\mathrm{a}=\mathrm{b}$.

65*. Chứng minh rằng nếu $\mathrm{a}^3+\mathrm{b}^3+\mathrm{c}^3=3 \mathrm{abc}$ và $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ là các số dương thì $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c} .$

66*. Chứng minh rằng nếu $a^4+b^4+c^4+d^4=4 a b c d$ và $a, b, c, d$ là các số dương thì $a=b=c=d$

67. Chứng minh rằng nếu $\mathrm{m}=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}$ thì

$(\mathrm{am}+\mathrm{bc})(\mathrm{bm}+\mathrm{ac})(\mathrm{cm}+\mathrm{ab})=$

$(\mathrm{a}+\mathrm{b})^2(\mathrm{~b}+\mathrm{c})^2(\mathrm{c}+\mathrm{a})^2 $

68. Cho $a^2+b^2=1, c^2+d^2=1, a c+b d=0$. Chứng minh rằng $a b+c d=0$.

69. Xét hằng đẳng thức $(x+1)^2=x^2+2 x+1$.

Lần lượt cho $x$ bằng $1,2,3, \ldots$, n rồi cộng từng vế n đẳng thức trên để tính giá trị của biểu thức $\mathrm{S}_1=1+2+3+\ldots+\mathrm{n}$.

70*. Bằng phương pháp tương tự như ở ví dụ 14 và bài tập 74 , tính giá trị của biểu thức $\mathrm{S}_3=1^3+2^3+3^3+\ldots+\mathrm{n}^3$.