CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

 

Thực hiện phép nhân đa thức, ta được các hằng đẳng thức sau :

1. $(a+b)^2=a^2+2 a b+b^2$.

2. $(a-b)^2=a^2-2 a b+b^2$.

3. $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

4. $(a+b)^3=a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3$

$(a+b)^3=a^3+b^3+3 a b(a+b) \text {. }$

5. $(a-b)^3=a^3-3 a^2 b+3 a b^2-b^3$

$(a-b)^3=a^3-b^3-3 a b(a-b)$

6. $(a+b)\left(a^2-a b+b^2\right)=a^3+b^3$

7. $(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right)=a^3-b^3$.

Ta cũng có :

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2 a b+2 a c+2 b c .$

Tổng quát của các hằng đẳng thức 3 và 7 , ta có hằng đẳng thức :

8. $a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3} b^2+\ldots+a b^{n-2}+b^{n-1}\right)$

với mọi số nguyên dương $\mathrm{n}$.

Tổng quát của hằng đẳng thức 6 , ta có hằng đẳng thức :

9. $a^n+b^n=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2} b+a^{n-3} b^2-\ldots-a b^{n-2}+b^{n-1}\right)$

với mọi số lẻ n.

Tổng quát của các hằng đẳng thức $1,2,4,5$, ta có công thức Niu-tơn (xem chuyên đề Tính chia hết đối với số nguyên).

Ví dụ 1. Chứng minh rằng số 3599 viết được dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1 .

Giải : $\quad 3599=3600-1=60^2-1=(60+1)(60-1)=61.59$.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức :

$x^2+2(x+1)^2+3(x+2)^2+4(x+3)^2$

Giải: $\mathrm{x}^2+2(\mathrm{x}+1)^2+3(\mathrm{x}+2)^2+4(\mathrm{x}+3)^2=$

$=x^2+2\left(x^2+2 x+1\right)+3\left(x^2+4 x+4\right)+4\left(x^2+6 x+9\right) $

$=x^2+2 x^2+4 x+2+3 x^2+12 x+12+4 x^2+24 x+36 $

$=10 x^2+40 x+50 $

$=\left(x^2+10 x+25\right)+\left(9 x^2+30 x+25\right) $

$=(x+5)^2+(3 x+5)^2$

Ví dụ 3. Cho

$x+y+z=0 $

$4x y+y z+z x=0$

Chứng minh rằng $\mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{z}$.

Giải : Ta có $(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z})^2=\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+\mathrm{z}^2+2(\mathrm{xy}+\mathrm{yz}+\mathrm{zx})$.

Suy ra

$0=x^2+y^2+z^2+2.0$

hay

$\text { Vậy } x=y=z(=0) \text {. }$

Ví dụ 4 :

a) Tính $A=-1^2+2^2-3^2+4^2-\ldots-99^2+100^2$.

b) Tính $\mathrm{A}=-1^2+2^2-3^2+4^2-\ldots+(-1)^{\mathrm{n}} \cdot \mathrm{n}^2$.

Giải: a) $\mathrm{A}=\left(2^2-1^2\right)+\left(4^2-3^2\right)+\ldots+\left(100^2-99^2\right)$

$=(2-1)(1+2)+(4-3)(3+4)+\ldots+(100-99)(99+100) $

$=1+2+3+4+\ldots+99+100 $

$=\frac{100.101}{2}=5050 .$

b) Xét hai trường hợp :

Nếu n chẵn thì $\mathrm{A}=\left(2^2-1^2\right)+\left(4^2-3^2\right)+\ldots+\left[\mathrm{n}^2-(\mathrm{n}-1)^2\right]$

$=1+2+3+4+\ldots+(n-1)+n$

$=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2} \text {. }$

Nếu n lẻ thì $\mathrm{A}=\left(2^2-1^2\right)+\left(4^2-3^2\right)+\ldots+\left[(\mathrm{n}-1)^2-(\mathrm{n}-2)^2\right]-\mathrm{n}^2$

$=1+2+3+4+\ldots+(n-1)-n^2 $

$=\frac{n(n-1)}{2}-n^2=-\frac{n(n+1)}{2}$

Chú ý : Hai kết quả trên có thể viết chung trong một công thức

$(-1)^{\mathrm{n}} \cdot \frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$

Ví dụ 5. Cho

$x+y=a+b\quad(1)$

$x^2+y^2=a^2+b^2\quad(2)$

Chứng minh rằng $x^3+y^3=a^3+b^3$.

Giải : Ta có : $\quad \mathrm{x}^3+\mathrm{y}^3=(\mathrm{x}+\mathrm{y})\left(\mathrm{x}^2-\mathrm{xy}+\mathrm{y}^2\right)\quad(3)$.

Từ (1) suy ra : $\quad(x+y)^2=(a+b)^2$,

tức là $\quad x^2+2 x y+y^2=a^2+2 a b+b^2$.

Do $x^2+y^2=a^2+b^2$ nên $2 x y=2 a b$, suy ra $x y=a b\quad(4)$

Thay các kết quả (1), (2), (4) vào (3), ta được

$x^3+y^3=(x+y)\left(x^2+y^2-x y\right)=(a+b)\left(a^2+b^2-a b\right)=a^3+b^3 .$

Ví dụ 6. Cho $a+b=m, a-b=n$. Tính $a b$ và $a^3-b^3$ theo $m$ và $n$.

Giải :

Cách 1. Từ $\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{m}, \mathrm{a}-\mathrm{b}=\mathrm{n}$, ta tính được $\mathrm{b}=\frac{\mathrm{m}-\mathrm{n}}{2}, \mathrm{a}=\frac{\mathrm{m}+\mathrm{n}}{2}$.

Do đó $\quad \mathrm{ab}=\frac{\mathrm{m}+\mathrm{n}}{2} \cdot \frac{\mathrm{m}-\mathrm{n}}{2}=\frac{\mathrm{m}^2-\mathrm{n}^2}{4} ;$

$a^3-b^3=\left(\frac{m+n}{2}\right)^3-\left(\frac{m-n}{2}\right)^3=\frac{(m+n)^3-(m-n)^3}{8}$

Rút gọn biểu thức trên, ta được $\frac{3 \mathrm{~m}^2 \mathrm{n}+\mathrm{n}^3}{4}$.

Cách 2. Ta có

$4 a b =(a+b)^2-(a-b)^2=m^2-n^2 \text { nên } a b=\frac{m^2-n^2}{4} . $

$\text { Ta có } a^3-b^3 =(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right)=(a-b)\left[(a+b)^2-a b\right] $

$=n\left(m^2-\frac{m^2-n^2}{4}\right)=\frac{n\left(3 m^2+n^2\right)}{4}=\frac{3 m^2 n+n^3}{4} .$

BÀI TẬP

16. Tính giá trị của các biểu thức :

a) $\frac{63^2-47^2}{215^2-105^2}$

b) $\frac{437^2-363^2}{537^2-463^2}$

17. So sánh $\mathrm{A}=26^2-24^2$ và $\mathrm{B}=27^2-25^2$.

18. Tìm $\mathrm{x}$, biết :

$4(x+1)^2+(2 x-1)^2-8(x-1)(x+1)=11$

19. Rút gọn các biểu thức :

a) $2 x(2 x-1)^2-3 x(x+3)(x-3)-4 x(x+1)^2$;

b) $(a-b+c)^2-(b-c)^2+2 a b-2 a c$;

c) $(3 x+1)^2-2(3 x+1)(3 x+5)+(3 x+5)^2$;

d) $(3+1)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)$;

e) $(a+b-c)^2+(a-b+c)^2-2(b-c)^2$

g) $(a+b+c)^2+(a-b-c)^2+(b-c-a)^2+(c-a-b)^2$;

h) $(a+b+c+d)^2+(a+b-c-d)^2+(a+c-b-d)^2+(a+d-b-c)^2$.

20. Cho $x+y=3$. Tính giá trị của biểu thức

$A=x^2+2 x y+y^2-4 x-4 y+1 $

21. Cho $\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=\mathrm{m}$. Tính giá trị của biểu thức sau theo $\mathrm{m}$ :

$A=(2 a+2 b-c)^2+(2 b+2 c-a)^2+(2 c+2 a-b)^2 .$

22. Hãy viết các số sau đây dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1 :

a) $899$

b) $9991$

23. Chứng minh rằng hiệu sau đây là một số gồm toàn các chữ số như nhau :

$7778^2-2223^2$

24. Chứng minh các hằng đẳng thức :

a) $(a+b+c)^2+a^2+b^2+c^2=(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2$

b) $x^4+y^4+(x+y)^4=2\left(x^2+x y+y^2\right)^2$

25. Cho $\mathrm{a}^2-\mathrm{b}^2=4 \mathrm{c}^2$. Chứng minh hằng đẳng thức

$(5 a-3 b+8 c)(5 a-3 b-8 c)=(3 a-5 b)^2$

26. Chứng minh rằng nếu $\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=(a x+b y)^2$ với $x, y$ khác 0 thì $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{y}}$

27. Chứng minh rằng nếu $\left(\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2\right)\left(\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+\mathrm{z}^2\right)=(\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{cz})^2$ với $x, y, z$ khác 0 thì $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$.

28. Cho $(a+b)^2=2\left(a^2+b^2\right)$. Chứng minh rằng $a=b$.

29. Chứng minh rằng $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}$ nếu có một trong các điều kiện sau :

a) $a^2+b^2+c^2=a b+b c+c a$

b) $(a+b+c)^2=3\left(a^2+b^2+c^2\right)$

c) $(a+b+c)^2=3(a b+b c+c a)$.

1. Hãy viết các biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương :

a) $(a+b+c)^2+a^2+b^2+c^2$

b) $2(a-b)(c-b)+2(b-a)(c-a)+2(b-c)(a-c)$

31. Tính giá trị của biểu thức $\mathrm{a}^4+\mathrm{b}^4+\mathrm{c}^4$, biết rằng $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$ và :

a) $a^2+b^2+c^2=2$;

b) $a^2+b^2+c^2=1$.

32. Cho $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$. Chứng minh $\mathrm{a}^4+\mathrm{b}^4+\mathrm{c}^4$ bằng mỗi biểu thức :

a) $2\left(a^2 b^2+b^2 c^2+c^2 a^2\right)$;

b) $2(a b+b c+c a)^2$

c) $\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}$

33. Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến :

a) $9 x^2-6 x+2$

b) $\mathrm{x}^2+\mathrm{x}+1$

c) $2 x^2+2 x+1$.

34. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức :

a) $A=x^2-3 x+5 ;$

b) $B=(2 x-1)^2+(x+2)^2$

35. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức :

a) $A=4-x^2+2 x$

b) $B=4 x-x^2$

36. Chứng minh rằng :

a) Nếu $\mathrm{p}$ và $\mathrm{p}^2+8$ là các số nguyên tố thì $\mathrm{p}^2+2$ cũng là số nguyên tố.

b) Nếu $\mathrm{p}$ và $8 \mathrm{p}^2+1$ là các số nguyên tố thì $2 \mathrm{p}+1$ cũng là số nguyên tố.

37. Chứng minh rằng các số sau là hợp số :

a) 999991 ;

b) 1000027 .

38. Thực hiện phép tính :

a) $(x-2)^3-x(x+1)(x-1)+6 x(x-3)$

b) $(x-2)\left(x^2-2 x+4\right)(x+2)\left(x^2+2 x+4\right)$.

39. Tìm $x$, biết :

a) $(x-3)\left(x^2+3 x+9\right)+x(x+2)(2-x)=1$

b) $(x+1)^3-(x-1)^3-6(x-1)^2=-10$

40. Rút gọn các biểu thức :

a) $(a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(a+c-b)^3-(a+b-c)^3$

b) $(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)$

41. Chứng minh các hằng đẳng thức :

a) $(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a)$.

b) $a^3+b^3+c^3-3 a b c=(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-a b-b c-c a\right)$.

42. Cho $a+b+c=0$. Chứng minh rằng $a^3+b^3+c^3=3 a b c$.

43. Cho $\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{a}$ và $\mathrm{xy}=\mathrm{b}$. Tính giá trị của các biểu thức sau theo $\mathrm{a}$ và $\mathrm{b}$ :

a) $x^2+y^2$

b) $x^3+y^3$

c) $x^4+y^4$;

d) $x^5+y^5$.

44. a) Cho $x+y=1$. Tính giá trị của biểu thức $x^3+y^3+3 x y$.

b) Cho $\mathrm{x}-\mathrm{y}=1$. Tính giá trị của biểu thức $\mathrm{x}^3-\mathrm{y}^3-3 \mathrm{xy}$.

45. Cho $\mathrm{a}+\mathrm{b}=1$. Tính giá trị của biểu thức

$M=a^3+b^3+3 a b\left(a^2+b^2\right)+6 a^2 b^2(a+b)$

46. a) Cho $x+y=2$ và $x^2+y^2=10$. Tính giá trị của biểu thức $x^3+y^3$.

b) Cho $x+y=a$ và $x^2+y^2=b$. Tính $x^3+y^3$ theo a và $b$.

47. Chứng minh rằng :

a) Nếu số n’ là tổng của hai số chính phương thì 2 n cũng là tổng của hai số chính phương.

b) Nếu số $2 \mathrm{n}$ là tổng của hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính phương.

c) Nếu số $\mathrm{n}$ là tổng của hai số chính phương thì $\mathrm{n}^2$ cũng là tổng của hai số chính phương.

d) Nếu mỗi số m và $\mathrm{n}$ đều là tổng của hai số chính phương thì tích mn cũng là tổng của hai số chính phương.

48. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $\mathrm{a}$, tồn tại số tự nhiên $\mathrm{b}$ sao cho $\mathrm{ab}+4$ là số chính phương.

49. Cho a là số gồm $2 \mathrm{n}$ chữ số $1, \mathrm{~b}$ là số gồm $\mathrm{n}+1$ chữ số $1, \mathrm{c}$ là số gồm $\mathrm{n}$ chữ số 6. Chứng minh rằng $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+8$ là số chính phương.

50. Chứng minh rằng biểu thức sau không là lập phương của một số tự nhiên :

$10^{150}+5.10^{50}+1 .$

51. Chứng minh rằng tích ba số nguyền dương liên tiếp không là lập phương của một số tự nhiên.

52. Chia 27 quả cân có khối lượng $10,20,30, \ldots, 270$ gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau.

53*. Chia 18 quả cân có khối lượng $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 18^2$ gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau.

54*. Chia 27 quả cân có khối lượng $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 27^2$ gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau.