Trong chuyên đề này, ta chỉ phân tích đa thức thành nhân tử với các hệ số nguyên.
PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử :
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad3 x^2-8 x+4$
Giải : Đa thức trên không chứa nhân tử chung, không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các hạng tử. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn.
Cách 1. (Tách hạng tử thứ hai)
$3 x^2-8 x+4=3 x^2-6 x-2 x+4=3 x(x-2)-2(x-2)=(x-2)(3 x-2) \text {. }$
Cách 2. (Tách hạng tử thứ nhất)
$3 x^2-8 x+4=4 x^2-8 x+4-x^2=(2 x-2)^2-x^2 $
$=(2 x-2+x)(2 x-2-x)=(3 x-2)(x-2) .$
Nhận xét : Trong cách 1 , hạng tử $-8 \mathrm{x}$ được tách thành hai hạng tử $-6 \mathrm{x}$ và $-2 x$. Trong đa thức $3 x^2-6 x-2 x+4$, hệ số của các hạng tử là $3,-6,-2,4$. Các hệ số thứ hai và thứ tư đều gấp $-2$ lần hệ số liền trước, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung $x-2$.
Một cách tổng quát, để phân tích tam thức bậc hai $\mathrm{ax}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$ thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành $b_1 x+b_2 x$ sao cho $\frac{b_1}{a}=\frac{c}{b_2}$, tức là $b_1 b_2=a c$.
Trong thực hành ta làm như sau :
Bước I : Tìm tích ac.
Bước 2 : Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3 : Chọn hai thừa số mà tổng bằng $\mathrm{b}$.
Trong ví dụ trên, đa thức $3 \mathrm{x}^2-8 \mathrm{x}+4$ có $\mathrm{a}=3, \mathrm{~b}=-8, \mathrm{c}=4$. Tích $\mathrm{ac}=3.4=12$. Phân tích 12 ra tích của hai thừa số, hai thừa số này cùng dấu (vì tích của chúng bằng 12 ), và cùng âm (để tổng của chúng bằng $-8)$ : $(-1)(-12)$, $(-2)(-6),(-3)(-4)$. Chọn hai thừa số mà tổng bằng $-8$, đó là $-2$ và $-6$.
Ví dụ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử :
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad4 x^2-4 x-3$
Giải :
Cách 1. (Tách hạng tử thứ hai)
$4 \mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}-3=4 \mathrm{x}^2+2 \mathrm{x}-6 \mathrm{x}-3=2 \mathrm{x}(2 \mathrm{x}+1)-3(2 \mathrm{x}+1)=(2 \mathrm{x}+1)(2 \mathrm{x}-3)$
Chú ý rằng hệ số $-4$ được tách thành 2 và $-6$ có tích bằng $-12$, bằng tích của $4(-3)$.
Cách 2. (Tách hạng tử thứ ba)
$4 x^2-4 x-3=4 x^2-4 x+1-4=(2 x-1)^2-2^2=(2 x+1)(2 x-3)$
Nhận xét : Qua hai ví dụ trên, ta thấy việc tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường nhằm mục đích
- Làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung (cách 1 ) ;
-
Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương (cách 2).
Với các đa thức có bậc từ bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, người ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức.
Ta nhắc lại khái niệm nghiệm của đa thức : số a được gọi là nghiệm của đa thức $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ nếu $\mathrm{f}(\mathrm{a})=0$. Như vậy, nếu đa thức $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có nghiệm $\mathrm{x}=\mathrm{a}$ thì nó chứa nhân tử $x-a$.
Ta chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức, nếu có, phải là ước của hệ số tự do.
Thật vậy, giả sử đa thức $a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\ldots+a_{n-1} x+a_n$ với các hệ số $\mathrm{a}_{\mathrm{O}}$, $a_1, \ldots, a_n$ nguyên, có nghiệm $x=a(a \in \mathbf{Z})$ . Thế thì
$a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\ldots+a_{n-1} x+a_n=(x-a)\left(b_0 x^{n-1}+b_1 x^{n-2}+\ldots+b_{n-1}\right)$
trong đó $b_0, b_1, \ldots, b_{n-1}$ nguyên. Hạng tử có bậc thấp nhất của tích ở vế phải bằng $-a b_{n-1}$ . Do đó $-a b_{n-1}=a_n$, tức a là ước của $a_n$
Ví dụ 3. Phân tích đa thức thành nhân tử :
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad f(x)=x^3-x^2-4$
Giải : Lần lượt kiểm tra với $\mathrm{x}=\pm 1, \pm 2, \pm 4$, ta thấy $\mathrm{f}(2)=2^3-2^2-4=0$. Đa thức có nghiệm $\mathrm{x}=2$, do đó chứa nhân tử $\mathrm{x}-2$.
Ta tách các hạng tử như sau :
Cách 1. $\quad \mathrm{x}^3-\mathrm{x}^2-4=\mathrm{x}^3-2 \mathrm{x}^2+\mathrm{x}^2-2 \mathrm{x}+2 \mathrm{x}-4$
$=x^2(x-2)+x(x-2)+2(x-2)=(x-2)\left(x^2+x+2\right)$
Cách 2. $\quad \mathrm{x}^3-\mathrm{x}^2-4=\mathrm{x}^3-8-\mathrm{x}^2+4$
$=(x-2)\left(x^2+2 x+4\right)-(x+2)(x-2) $
$=(x-2)\left(x^2+2 x+4-x-2\right)=(x-2)\left(x^2+x+2\right)$
Chú ý : Khi xét nghiệm nguyên của đa thức, nên nhớ hai định lí sau :
a) Nếu đa thức $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa nhân tử $\mathrm{x}-1$.
Chẳng hạn, đa thức $\mathrm{x}^3-5 \mathrm{x}^2+8 \mathrm{x}-4$ có $1-5+8-4=0$ nên 1 là nghiệm của đa thức, đa thức chứa nhân tử $\mathrm{x}-1$.
b) Nếu đa thức $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì $-1$ là nghiệm của đa thức, đa thức chứa nhân tử $\mathrm{x}+1$.
Chẳng hạn, đa thức $x^3-5 x^2+3 x+9$ có $9-5=3+1$ nên $-1$ là nghiệm của đa thức, đa thức chứa nhân tử $\mathrm{x}+1$.
Chú ý : Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do không là nghiệm của đa thức, có thể dùng nhận xét sau :
Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ và $\mathrm{f}(1), \mathrm{f}(-1)$ khác 0 thì $\frac{\mathrm{f}(1)}{\mathrm{a}-1}$ và $\frac{\mathrm{f}(-1)}{\mathrm{a}+1}$ đều là số nguyên.
Chứng̉ minh. Số a là nghiệm của $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ nên
$f(x)=(x-a) \cdot Q(x) \quad\quad(1)$
Thay $x=1$ vào (1), ta có $f(1)=(1-a) \cdot Q(1)$.
Do $\mathrm{f}(1) \neq 0$ nên $\mathrm{a} \neq 1$, vì thế $\mathrm{Q}(1)=\frac{\mathrm{f}(1)}{1-\mathrm{a}}$, tức là $\frac{\mathrm{f}(1)}{\mathrm{a}-1}$ là số nguyên.
Thay $\mathrm{x}=-1$ vào (1). Chứng minh tương tự, ta cũng có $\frac{\mathrm{f}(-1)}{a+l}$ là số nguyên. Lấy một ví dụ : $\quad \mathrm{f}(\mathrm{x})=4 \mathrm{x}^3-13 \mathrm{x}^2+9 \mathrm{x}-18$.
Các ước của 18 là $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$.
$f(1)=4-13+9-18=-18, f(-1)=-4-13-9-18=-44 .$
Hiển nhiên $\pm 1$ không là nghiệm của $f(x)$. Ta thấy $\frac{-18}{-3-1}, \frac{-18}{\pm 6-1}, \frac{-18}{\pm 9-1}$, $\frac{-18}{\pm 18-1}$ không nguyên nên $-3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$ không là nghiệm của $f(x)$.
Ta thấy $\frac{-44}{2+1}$ không nguyên nên 2 không là nghiệm của $f(x)$. Chỉ còn $-2$ và 3 .
Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của $\mathrm{f}(\mathrm{x})$. Do đó, ta tách các hạng tử như sau :
$ 4 x^3-13 x^2+9 x-18=4 x^3-12 x^2-x^2+3 x+6 x-18 $
$= 4 x^2(x-3)-x(x-3)+6(x-3)=(x-3)\left(4 x^2-x+6\right)$
Ví dụ 3. Phân tích đa thức thành nhân tử :
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad3 x^3-7 x^2+17 x-5$
Giải : Các số $\pm 1, \pm 5$ không là nghiệm của đa thức. Như vậy, đa thức không có nghiệm nguyên. Tuy vậy, đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ khác. Ta chứng minh được rằng trong đa thức có các hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng $\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}$ trong đó $\mathrm{p}$ là ước của hệ số tự do, $\mathrm{q}$ là ước dương của hệ số cao nhất (*).
Xét các số $\pm \frac{1}{3}, \pm \frac{5}{3}$, ta thấy $\frac{1}{3}$ là nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa thừa số $3 x-1$. Ta tách các hạng tử như sau :
$3 x^3-7 x^2+17 x-5=3 x^3-x^2-6 x^2+2 x+15 x-5 $
$= x^2(3 x-1)-2 x(3 x-1)+5(3 x-1)=(3 x-1)\left(x^2-2 x+5\right)$
(*) $-$ Thật vậy, giả sử đa thức $a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\ldots+a_{n-1} x+a_n$ với các hệ số $a_0, a_1, \ldots, a_n$ nguyên, có nghiệm hữu tỉ $x=\frac{p}{q}$, trong đó $p, q \in \mathbf{Z}, \mathrm{q}>0,(\mathrm{p}, \mathrm{q})=1$. Thế thì
$a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\ldots+a_{n-1} x+a_n=(q x-p)\left(b_0 x^{n-1}+b_1 x^{n-2}+\ldots+b_{n-1}\right)$
Ta có $-pb_n-1=a_n$, $qb_o=a_o$ nên p là ước của $a_n$; còn q là ước dương của $a_o$.
PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
1. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình phương
Ví dụ 4. Phân tích đa thức thành nhân tử :
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad4 x^4+81$
Giải : Thêm và bớt $36 \mathrm{x}^2$ :
$4 \mathrm{x}^4+81=4 \mathrm{x}^4+36 \mathrm{x}^2+81-36 \mathrm{x}^2$
$=\left(2 x^2+9\right)^2-(6 x)^2=\left(2 x^2+9+6 x\right)\left(2 x^2+9-6 x\right) .$
Ví dụ 5. Phân tích đa thức thành nhân tử :
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad 64 x^4+y^4 \text {. }$
Giải : Thêm và bớt $16 \mathrm{x}^2 \mathrm{y}^2$ :
$64 x^4+y^4 =64 x^4+16 x^2 y^2+y^4-16 x^2 y^2=\left(8 x^2+y^2\right)^2-(4 x y)^2 $
$=\left(8 x^2+y^2+4 x y\right)\left(8 x^2+y^2-4 x y\right)$
2. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 6. Phân tích đa thức thành nhân tử :
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad x^5+x-1$
Giải :
Cách 1:
$x^5+x-1 =x^5-x^4+x^3+x^4-x^3+x^2-x^2+x-1 $
$=x^3\left(x^2-x+1\right)+x^2\left(x^2-x+1\right)-\left(x^2-x+1\right) $
$=\left(x^2-x+1\right)\left(x^3+x^2-1\right)$
Cách 2. Thêm và bớt $\mathrm{x}^2$ :
$x^5+x-1=x^5+x^2-x^2+x-1=x^2\left(x^3+1\right)-\left(x^2-x+1\right) $
$=\left(x^2-x+1\right)\left[x^2(x+1)-1\right]=\left(x^2-x+1\right)\left(x^3+x^2-1\right)$
Ví dụ 7. Phân tích đa thức thành nhân tử :
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad x^7+x^2+1$
Giải : Thêm và bớt x :
$x^7+x^2+1 =x^7-x+x^2+x+1 $
$=x\left(x^3+1\right)\left(x^3-1\right)+\left(x^2+x+1\right) $
$=x\left(x^3+1\right)(x-1)\left(x^2+x+1\right)+\left(x^2+x+1\right) $
$=\left(x^2+x+1\right)\left(x^5-x^4+x^2-x+1\right)$
Chú ý : Các đa thức dạng $\mathrm{x}^{3 \mathrm{~m}+1}+\mathrm{x}^{3 \mathrm{n}+2}+1 \mathrm{nhu} \mathrm{x}^7+\mathrm{x}^2+1, \mathrm{x}^7+\mathrm{x}^5+1$, $x+x^5+1, x+x^8+1, \ldots$ đều chứa nhân tử $x^2+x+1$
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Ví dụ 8. Phân tích đa thức thành nhân tử :
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad x(x+4)(x+6)(x+10)+128$
Giải :
$x(x+4)(x+6)(x+10)+128=\left(x^2+10 x\right)\left(x^2+10 x+24\right)+128$
Đặt $x^2+10 x+12=y$, đa thức đã cho có dạng :
$(y-12)(y+12)+128=y^2-16=(y+4)(y-4) $
$=\left(x^2+10 x+16\right)\left(x^2+10 x+8\right)=(x+2)(x+8)\left(x^2+10 x+8\right) .$
Nhận xét : Trong ví dụ trên, nhờ phương pháp đổi biến, ta đã đưa đa thức bậc bốn đối với $x$ thành đa thức bậc hai đối với y.
Ví dụ 9. Phân tích đa thức thành nhân tử :
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad A=x^4+6 x^3+7 x^2-6 x+1$
Giải : Giả sử $\mathrm{x} \neq 0$. Ta viết đa thức dưới dạng :
$A=x^2\left(x^2+6 x+7-\frac{6}{x}+\frac{1}{x^2}\right)=x^2\left[\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+6\left(x-\frac{1}{x}\right)+7\right] \text {. }$
Đặt $x-\frac{1}{x}=y$ thì $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2+2$. Do đó
$A =x^2\left(y^2+2+6 y+7\right)=x^2(y+3)^2=(x y+3 x)^2 $
$=\left[x\left(x-\frac{1}{\dot{x}}\right)+3 x\right]^2=\left(x^2+3 x-1\right)^2$
Dạng phân tích này cũng đúng với $x=0$.
Chú ý : Có thể trình bày lời giải của ví dụ trên như sau :
$A =x^4+6 x^3-2 x^2+9 x^2-6 x+1 $
$=x^4+2 x^2(3 x-1)+(3 x-1)^2=\left(x^2+3 x-1\right)^2$
PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
Ví dụ 10. Phân tích đa thức thành nhân tử :
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad x^4-6 x^3+12 x^2-14 x+3$
Giải : Các số $\pm 1, \pm 3$ không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ. Như vậy nếu đa thức trè̀n phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng $\left(x^2+a x+b\right)\left(x^2+c x+d\right)$. Phép nhân. này cho kết quả $\mathrm{x}^4+(\mathrm{a}+\mathrm{c}) \mathrm{x}^3+(\mathrm{ac}+\mathrm{b}+\mathrm{d}) \mathrm{x}^2+(\mathrm{ad}+\mathrm{bc}) \mathrm{x}+\mathrm{bd}$. Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta được hệ điều kiện :
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\left\{\begin{array}{l}a+c=-6 \\ a c+b+d=12 \\ a d+b c=-14 \\ b d=3 .\end{array}\right.$
Xét bd $=3$ với $\mathrm{b}, \mathrm{d} \in \mathbf{Z}, \mathrm{b} \in{\pm 1, \pm 3}$. Với $\mathrm{b}=3$ thì $\mathrm{d}=1$, hệ điều kiện trên trở thành :
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\left\{\begin{array}{l}a+c=-6 \\ a c=8 \\ a+3 c=-14\end{array}\right.$
Suy ra $2 \mathrm{c}=-14-(-6)=-8$. Do đó $\mathrm{c}=-4$, $\mathrm{a}=-2$.
Vậy đa thức đã cho phân tich thành $\left(x^2-2 x+3\right)\left(x^2-4 x+1\right)$.
Chú ý : Ta trình bày lời giải của ví dụ trên như sau :
$x^4-6 x^3+12 x^2-14 x+3=$
$= x^4-4 x^3+x^2-2 x^3+8 x^2-2 x+3 x^2-12 x+3 $
$= x^2\left(x^2-4 x+1\right)-2 x\left(x^2-4 x+1\right)+3\left(x^2-4 x+1\right) $
$=\left(x^2-4 x+1\right)\left(x^2-2 x+3\right)$
PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG
Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định nhân tử còn lại.
Ví dụ 11. Phân tích đa thức thành nhân tử :
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad P=x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)$
Giải : Thử thay $\mathrm{x}$ bởi $\mathrm{y}$ thì $\mathrm{P}=\mathrm{y}^2(\mathrm{y}-\mathrm{z})+\mathrm{y}^2(\mathrm{z}-\mathrm{y})=0$. Như vậy $\mathrm{P}$ chia hết cho $\mathrm{x}-\mathrm{y}$.
Ta lại thấy nếu thay $\mathrm{x}$ bởi $\mathrm{y}$, thay $\mathrm{y}$ bởi $\mathrm{z}$, thay $\mathrm{z}$ bởi $\mathrm{x}$ thì $\mathrm{P}$ không đổi ( $\mathrm{ta}$ nói đa thức $\mathrm{P}$ có thể hoán vị vòng quanh $\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{y} \rightarrow \mathrm{z} \rightarrow \mathrm{x}$ ). Do đó, nếu $\mathrm{P}$ đã chia hết cho $\mathrm{x}-\mathrm{y}$ thì cũng chia hết cho $\mathrm{y}-\mathrm{z}$ và $\mathrm{z}-\mathrm{x}$. Vậy $\mathrm{P}$ có dạng
$\mathrm{k}(\mathrm{x}-\mathrm{y})(\mathrm{y}-\mathrm{z})(\mathrm{z}-\mathrm{x}) \text {. }$
Ta thấy $\mathrm{k}$ phải là hằng số (không chứa biến) vì $\mathrm{P}$ có bậc ba đối với tập hợp các biến $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$, còn tích $(\mathrm{x}-\mathrm{y})(\mathrm{y}-\mathrm{z})(\mathrm{z}-\mathrm{x})$ cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$.
Vì đẳng thức $\mathrm{x}^2(\mathrm{y}-\mathrm{z})+\mathrm{y}^2(\mathrm{z}-\mathrm{x})+\mathrm{z}^2(\mathrm{x}-\mathrm{y})=\mathrm{k}(\mathrm{x}-\mathrm{y})(\mathrm{y}-\mathrm{z})(\mathrm{z}-\mathrm{x})$ đúng với mọi $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ nên ta gán cho các biến $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ các giá trị riêng, chẳng hạn $\mathrm{x}=2$, $\mathrm{y}=1$, $\mathrm{z}=0$(*), ta được :
$4 \cdot 1+1 \cdot(-2)+0=\mathrm{k} \cdot 1 \cdot 1 \cdot(-2) \Leftrightarrow 2=-2 \mathrm{k} \Leftrightarrow \mathrm{k}=-1 \text {. }$
Vậy $P=-(x-y)(y-z)(z-x)=(x-y)(y-z)(x-z)$.
(*) Các giá trị của $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ có thể chọn tuỳ ý, chỉ cần chúng đôi một khác nhau để
$(x-y)(y-z)(z-x) \neq 0$
BÀI TẬP
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (từ bài 1 đến bài 14)
1. a) $6 \mathrm{x}^2-11 \mathrm{x}+3$
b) $2 x^2+3 x-27$
c) $2 x^2-5 x y-3 y^2$
2. a) $x^3+2 x-3$;
b) $x^3-7 x+6$
c) $x^3+5 x^2+8 x+4$
d) $x^3-9 x^2+6 x+16$
e) $x^3-x^2-x-2$;
g) $x^3+x^2-x+2$;
h) $x^3-6 x^2-x+30$.
3. $x^3-7 x-6$ (giải bằng nhiều cách).
4. a) $27 \mathrm{x}^3-27 \mathrm{x}^2+18 \mathrm{x}-4$
b) $2 x^3-x^2+5 x+3$;
c) $\left(x^2-3\right)^2+16$.
5. a) $\left(x^2+x\right)^2-2\left(x^2+x\right)-15$;
b) $x^2+2 x y+y^2-x-y-12$
c) $\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)-12$;
d) $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24$
6. a) $(x+a)(x+2 a)(x+3 a)(x+4 a)+a^4$;
b) $\left(x^2+y^2+z^2\right)(x+y+z)^2+(x y+y z+z x)^2$;
$\left.c^*\right) 2\left(x^4+y^4+z^4\right)-\left(x^2+y^2+z^2\right)^2-2\left(x^2+y^2+z^2\right)(x+y+z)^2+$
$+(x+y+z)^4$
7*. $(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})^3-4\left(\mathrm{a}^3+\mathrm{b}^3+\mathrm{c}^3\right)-12 \mathrm{abc}$ bằng cách đổi biến : đặt $\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{m}$, $a-b=n$.
8. a) $4 x^4-32 x^2+1$;
b) $x^6+27$;
c) $3\left(x^4+x^2+1\right)-\left(x^2+x+1\right)^2$
d) $\left(2 x^2-4\right)^2+9$
9. a) $4 x^4+1$
b) $4 x^4+y^4$;
c) $x^4+324$.
10. a) $x^5+x^4+1$
b) $x^5+x+1$
c) $x^8+x^7+1$
d) $x^5-x^4-1$
e) $x^7+x^5+1$
g) $x^8+x^4+1$.
11. a) $a^6+a^4+a^2 b^2+b^4-b^6$
$\left.b^*\right) x^3+3 x y+y^3-1$
12. Dùng phương pháp hệ số bất định :
a) $4 x^4+4 x^3+5 x^2+2 x+1$
b) $x^4-7 x^3+14 x^2-7 x+1$
c) $x^4-8 x+63$
d) $(x+1)^4+\left(x^2+x+1\right)^2$.
13* *. a) $x^8+14 x^4+1$;
b) $x^8+98 x^4+1$
14. Dùng phương pháp xét giá trị riêng :
$\mathrm{M}=\mathrm{a}(\mathrm{b}+\mathrm{c}-\mathrm{a})^2+\mathrm{b}(\mathrm{c}+\mathrm{a}-\mathrm{b})^2+\mathrm{c}(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c})^2+$
$+(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c})(\mathrm{b}+\mathrm{c}-\mathrm{a})(\mathrm{c}+\mathrm{a}-\mathrm{b})$
$180(3)$. Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phương.
15*. Chứng minh rằng số $\mathrm{A}=(\mathrm{n}+1)^4+\mathrm{n}^4+1$ chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số n nguyên dương.
16. Tìm các số nguyên a, b, c sao cho khi phân tích đa thức $(x+a)(x-4)-7$ thành nhân tử ta được $(\mathrm{x}+\mathrm{b})(\mathrm{x}+\mathrm{c})$.
17. Tìm các số hữu tỉ $a, b, c$ sao cho khi phân tích đa thức $x^3+a x^2+b x+c$ thành nhân tử ta được $(x+a)(x+b)(x+c)$.
18. Số tự nhiên $\mathrm{n}$ có thể nhận bao nhiêu giá trị, biết rằng khi phân tích đa thức $x^2+x-n$ thành nhân tử ta được $(x-a)(x+b)$ với $a, b$ là các số tự nhiên và $1<\mathrm{n}<100$ ?
19. Cho $A=a^2+b^2+c^2$, trong đó $a$ và $b$ là hai số tự nhiên liên tiếp, $\mathrm{c}=\mathrm{ab}$. Chứng minh rằng $\sqrt{\mathrm{A}}$ là một số tự nhiên lẻ.