Category Archives: Hàm số

Bài toán hàm số trong kì thi tuyển sinh vào 10

Leave a reply

Trong các kì thi tuyển sinh vào 10 có dạng toán liên quan đến hàm số, chủ yếu là hàm bậc hai dạng $y = ax^2$ (1) và đường thẳng $y = mx + n$ (2)Trong bài viết này chủ yếu xét các bài toán tương giao giữa đồ thị hàm số (1) và (2).

Nếu hàm số $y =ax^2$ có đồ thị là parabol $(P)$ và hàm số $y = mx + n$ có đồ thị là đường thẳng $d$, thì phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là

$$ax^2 = mx + n \Leftrightarrow ax^2 – m x – n =0 (*)$$

$(*)$ là một phương trình bậc hai, nên có 3 trường hợp xảy ra:

  • TH1: Nếu $(*)$ vô nghiệm thì $(d)$ và $(P)$ không có giao điểm.
  • TH2: Nếu $(*)$ có 1 nghiệm thì $(d)$ và $(P)$ có 1 giao điểm, ta nói $d$ tiếp xúc với $(P)$.
  • TH3: Nếu $(*)$ có hai nghiệm phân biệt thì ta nói $(d)$ cắt $(P)$, và nghiệm của $(*)$ là hoành độ của hai giao điểm, từ hoành độ ta có thể tính tung độ của giao điểm dựa vào phương trình của $(d)$ hoặc của $(P)$.

Ta xét một vài ví dụ sau:

Bài 1. (Thi vào lớp 10 trường PTNK năm 2018) Gọi $(P),(d)$ lần lượt là đồ thị của các hàm số $y=x^2$ và $y=2 m x+3$.
a) Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$ và tính $y_1+y_2$ theo $m$.
b) Tìm $m$ sao cho $y_1-4 y_2=x_1-4 x_2+3 x_1 x_2$.

Lời giải bài 1.
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:
$$
x^2=2 m x+3 \Leftrightarrow x^2-2 m x-3=0 \quad(1)
$$

Xét phương trình (1), ta có: $\Delta^{\prime}=m^2+3>0$ với mọi $m \in \mathbb{R}$
Suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ với mọi $m$ hay $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$.
Theo định lý Viete, ta có: $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=2 m \\\ x_1 x_2=-3\end{array}\right.$
Khi đó $y_1=2 m x_1+3, y_2=2 m x_2+3$
$y_1+y_2=2 m x_1+3+2 m x_2+3=2 m\left(x_1+x_2\right)+6=4 m^2+6$
b) Ta có:
$y_1-4 y_2=x_1-4 x_2+3 x_1 x_2 $
$\Leftrightarrow 2 m x_1+3-8 m x_2-12=x_1-4 x_2-9 $
$ \Leftrightarrow 2 m\left(x_1-4 x_2\right)=x_1-4 x_2 $
$ \Leftrightarrow\left(x_1-4 x_2\right)(2 m-1)=0 $
$ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x_1=4 x_2 \\\
m=\frac{1}{2} \quad(n)
\end{array}\right. $
Với $x_1=4 x_2 $ lại có $x_1 x_2=-3 \Rightarrow 4 x_2^2=-3 $ (vô lý)
Vậy $m=\frac{1}{2} $

Bài 2. (Đề thi vào 10 trường PTNK năm 2019) Cho $(P),(d)$ lần lượt là đồ thị hàm số $y=x^2$ và $y=2 x+m$.
a) Tìm $m$ sao cho $(P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$.
b) Tìm $m$ sao cho $\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=5$.

Lời giải bài 2.
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$
$$
x^2=2 x+m \Leftrightarrow x^2-2 x-m=0 \quad(1)
$$
$(P)$ cắt $(d)$ tại 2 điểm phân biệt $A, B \Leftrightarrow (1)$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta^{\prime}>0 \Leftrightarrow 1+m>0 $
$ \Leftrightarrow m>-1(*)$
Vậy $m>-1$ thì $(P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt.


b) Với điều kiện $(*)$ theo Viete ta có: $S=x_1+x_2=2, P=x_1 \cdot x_2=-m$

Ta có: $A\left(x_1 ; y_1\right) \in(d) \Leftrightarrow y_1=2 x_1+m ; B\left(x_2 ; y_2\right) \in(d) \Leftrightarrow y_2=2 x_2+m$

Ta có: $\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=5 $

$\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2+\left(2 x_1-2 x_2\right)^2=5$

$\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2+4\left(x_1-x_2\right)^2=5 $

$\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=1 \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4 x_1 x_2=1$

$\Leftrightarrow 4+4 m=1 \Leftrightarrow m=\frac{-3}{4} $ thỏa (*)
Vậy $m = \dfrac{-3}{4}$.

Bài 3. Đồ thị của hàm số $f(x)=a x^2$ và $g(x)=-a x+b(a ; b$ là các số thực), điểm chung thứ nhất có hoành độ bằng 1 và tung độ điểm chung thứ 2 là 8 . Tìm hoành độ của điểm chung thứ hai của hai đồ thị và tính $a, b$.

Lời giải bài 3.

  • Phương trình hoành độ giao điểm $a x^2=-a x+b \Leftrightarrow a x^2+a x-b=0$ thì phương trình nhận 1 là nghiệm nên $a 1^2+a \cdot 1-b=0 \Rightarrow b=2 a$.
  • Khi đó gọi nghiệm còn lại là $x_2$ ta có $1 \cdot x_2=\frac{-b}{a}=-2$
  • Do đó tung độ $a(-2)^2=8$, suy ra $a=2$ và $b=4$.

Bài 4. (TS chuyên Đăk Lăk 2020 – 2021) Trong mặt phẳng $O x y$, cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=2(m+1) x+3$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$ thoả mãn điều kiện $x_1^2-2 m x_1+2 x_2-x_1 x_2=2$.

Lời giải bài 4.

  • Phương trình hoành độ giao điểm $x^2-2(m+1) x-3=0\left(^*\right)$ $\Delta^{\prime}=(m+1)^2+3>0$ với mọi $m$.
  • Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=2(m+1), x_1 x_2=-3$.
    Ta có $x_1^2-2(m+1) x_1-3=0$, suy ra $x_1^2-2 m x_1=2 x_1+3$ $x_1^2-2 m x_1+2 x_2-x_1 x_2=2 \Leftrightarrow 2 x_1+3+2 x_2-(-3)=2 \Leftrightarrow m=-2$.
  • Vậy $m=-2$.

Bài 5. (TS chuyên Khánh Hoà 2020 – 2021) Trên mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho parabol $(P)$ có phương trình $y=2 x^2$ và đường thẳng $(d): y=-2 m x+m+1$ với $m$ là tham số.
a) Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt.
b) Gọi $x_1, x_2$ lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$, tìm $m$ thoả mãn đẳng thức $\frac{1}{\left(2 x_1-1\right)^2}+\frac{1}{\left(2 x_2-1\right)^2}=66$.

Lời giải bài 5 .
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $P$ là
$$
2 x^2+2 m x-m-1=0
$$
$\Delta^{\prime}=m^2-2(-m-1)=(m+1)^2+1>0$ với mọi $m$, do đó $d$ cắt $P$ tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.
b) Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=-m, x_1 x_2=\frac{-m-1}{2}$.
Suy ra $x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2 x_1 x_2=m^2+m+1$
Ta có $66=\frac{1}{\left(2 x_1-1\right)^2}+\frac{1}{\left(2 x_2-1\right)^2}=\frac{\left(2 x_1-1\right)^2+\left(2 x_2-1\right)^2}{\left(2 x_1-1\right)^2\left(2 x_2-1\right)^2}=\frac{4\left(x_1^2+x_2^2\right)-4\left(x_1+x_2\right)+2}{\left(4 x_1 x_2-2\left(x_1+x_2\right)+1\right)^2}$
$$
=\frac{4\left(m^2+m+1\right)-4(-m)+2}{(-2 m-2-2(-m)+1)^2}=\frac{4 m^2+8 m+6}{1}
$$

Giải ra được $m=-5, m=3$.

Bài 6. (TS chuyên Thái Bình 2020 – 2021) Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho parabol $(P): y=\frac{x^2}{2}$ và hai đường thẳng $\left(d_1\right): y=5 x+2,\left(d_2\right): y=\left(m^2+1\right) x+m$ với $m$ là tham số.
a) Tìm $m$ để $\left(d_1\right)$ song song với $\left(d_2\right)$.
b) Tìm $m$ để $\left(d_2\right)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$ sao cho $Q=x_1+x_2-4 x_1 x_2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải bài 6 .
a) Điều kiện để $d_1 || d_2$ là $m^2+1=5, m \neq 2$, giải ra được $m=-2$.
b) Phương trình hoành độ giao điểm của $d_2$ và $P$ là
$$
\frac{x^2}{2}=\left(m^2+1\right) x+m \Leftrightarrow x^2-2\left(m^2+1\right) x-2 m=0
$$

Điều kiện $\Delta^{\prime}=\left(m^2+1\right)^2-(-2 m)>0 \Leftrightarrow m^4+2 m^2+1+2 m>0 \Leftrightarrow m^4+m^2+(m+1)^2>0$ (Đúng với mọi $m)$

Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=2\left(m^2+1\right), x_1 x_2=-2 m$

Ta có $P=x_1+x_2-4 x_1 x_2=$ $2\left(m^2+1\right)-4(-2 m)=2\left(m^2+1+4 m\right)=2(m+2)^2-6 \geq-6$, đẳng thức xảy ra khi $m=-2$.

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=2 x-m-2$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt lần lượt có hoành độ $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2+1=2 x_2$.

Lời giải bài 8 .

  • Phương trình hoành độ giao điểm
    $$
    x^2=2 x-m-2 \Leftrightarrow x^2-2 x+m+2=0
    $$
  • Điều kiện $\Delta^{\prime}=1-(m+2)>0 \Leftrightarrow m<-1$.
  • Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=2, x_1 x_2=m+2$.

Ta có $x_1^2=2 x_1-m-2$, suy ra $x_1^2+1=2 x_2 \Leftrightarrow 2 x_1-m-2+1=2 x^2 \Leftrightarrow 2\left(x_1-x_2\right)=m+1$ Kết hợp với Viete ta có $x_1=\frac{m+5}{4}, x_2=\frac{3-m}{4}$
Khi đó $x_1 x_2=m+2 \Leftrightarrow \frac{m+5}{4} \frac{3-m}{4}=m+2 \Leftrightarrow m=-1(l), m=-17(n)$.

  • Vậy $m=-17$.

Bài 9. Cho $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=(m+2) x-2 m$.
a) Tìm $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$.
b) Tìm $m$ để $x_1+2 y_2=7$.

Lời giải bài 9 .
a) Phương trình hoành độ giao điểm

$\quad x^2-(m+2) x+2 m=0 $
$\Delta=(m+2)^2-8 m=(m-2)^2>0 \Leftrightarrow m \neq 2 .$

b) Khi đó phương trình có nghiệm $x=2, x=m$.
3

  • TH1: $x_1=2, x_2=m$ suy ra $y_1=4, y_2=m^2$. Ta có $2+2 m^2=7$ giải ra được $m=\sqrt{2,5}, m=$ $-\sqrt{2,5}$.
  • TH2: $x_1=m, x_2=2$, suy ra $y_1=m^2, y_2=4$. Ta có $m+2.4=7 \Leftrightarrow m=-1$.
  • Vậy có 3 giá trị $m$ thỏa đề bài $m=\sqrt{2,5}, m=-\sqrt{2,5}, m=-1$.

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho parabol $(P)$ có phương trình $y=x^2$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=2 m x-m^2-m-2$ (với $m$ là tham số).
a) Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(P)$ biết điểm $M$ có hoành độ bằng -3 .
b) Tìm điều kiện của $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$ là hai giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$, xác định $m$ để $x_1 y_2+x_2 y_1=2 m^3+6$.

Lời giải bài 10.

b) Tìm điều kiện của $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai đie biệt. Gọi $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$ là hai giao điểm của đường thẳng $(d)$ và $(P)$, xác định $m$ để $x_1 y_2+x_2 y_1=2 m^3+6$. Ta có phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là

$ x^2=2 m x-m^2-m-2 \Leftrightarrow x^2-2 m x+m^2+m+2=0(1) $
$ \Delta^{\prime}=(-m)^2-\left(m^2+m+2\right)=-m-2$

$(d)$ cắt parabol $(P)$ tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta^{\prime}>$ $0 \Leftrightarrow-m-2>0 \Leftrightarrow m<-2(*)$

$ \text { Ta có } x_1+x_2=2 m, x_1 x_2=m^2+m+2 $
$x_1 y_2+x_2 y_1=x_1 \cdot x_2^2+x_2 \cdot x_1^2=x_1 \cdot x_2\left(x_1+x_2\right)=2$ $m\left(m^2+m+2\right) $
$=2 m^3+2 m^2+4 m $
$2 m^3+2 m^2+4 m=2 m^3+6 \Leftrightarrow 2 m^2+4 m-6=0 $

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
m=1 \\\
m=-3
\end{array}\right.$

Đối chiếu (*) vậy $m=-3$.

Ánh xạ – Bài tập

Bài giảng ánh xạ

Bài 1 Trong các quy tắc sau, quy tắc nào là ánh xạ?

a) Xét quy tắc $f$ từ tập các số nguyên $\mathbb{Z}$ vào $X = \{-1, 0 , 1\}$ sao cho với mỗi $x\in \mathbb{Z}$ thì:
$f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
– 1 \,\, khi\,\,\,x < 0 \hfill \\
0 \,\, khi\,\,\,x = 0 \hfill \\
1 \,\, khi\,\,\,x > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

a)Xét quy tắc cho tương ứng mỗi số thực dương $x$ với số thực $y$ sao cho $y^2 = x$.
b)Cho tương ứng các điểm $M$ thuộc mặt phẳng với các điểm $M’$ thuộc mặt phẳng sao cho $\overrightarrow{MM’} = \overrightarrow{u}$ cho trước.
c)Trong mặt phẳng cho tương ứng điểm $M$ với điểm $M’$ sao cho $MM’ = r > 0$ cho trước.
d)Trong mặt phẳng cho đường thẳng $d$. Quy tắc cho tương ứng $M$ thuộc $d$ ứng với $M$, $M$ không thuộc $d$ ứng với $M’$ sao cho $MM’ \bot d$.
e)Quy tắc cho tương ứng mỗi số hữu tỷ ứng với 1, mỗi số vô tỷ ứng với 0.

Bài 2 Trong các ánh xạ ở bài trên, ánh xạ nào là đơn ánh, song ánh, toàn ánh?

Bài 3 Trong các ánh xạ sau, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh?

a)Ánh xạ $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa $f(x) = x^3$.
b)Ánh xạ $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}$ thỏa $f(x) = |x|$.
c)Cho tương ứng mỗi số thực với phần nguyên của nó.

Bài 4 Cho ánh xạ $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: f(x) = x^2+3x+1$.

a)$f$ có là đơn ánh?
b)$f$ có là toàn ánh không?

Bài 5 Cho $f: (0;1) \to (0;+\infty) $ thỏa $f(x) = \dfrac{x}{1-x}$.

a)Tìm $f(f(x))$.
b)Chứng minh $f$ là song ánh.
c)Tìm ánh xạ ngược của $f$.

Bài 6 Cho $A, B, C, D$ là các tập con của $X$. Đặt ${\chi _D}\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \in D \hfill \\
0\,\,\,\,khi\,\,\,x \notin D \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Chứng minh rằng:

a)Quy tắc trên là ánh xạ từ $X$ vào ${0, 1}$.
b)$\chi A\cdot \chi _A = \chi_A,\chi{X\backslash A} = 1 – \chi_A$
c)$\chi {A \cap B} = \chi_A.\chi _B,\chi{A \cup B} = \chi_A+ \chi_B – \chi_A\cdot \chi_B$
d)$\chi_A \geqslant \chi _B \Leftrightarrow B \subset A,\chi_A \equiv 0 \Leftrightarrow A = \emptyset $

Bài 7 Cho $f: X \to Y$. $A, B$ là các tập con của $X$; $C, D$ là các tập con của $Y$. Đặt $f(A) = {f(x)|x \in A}$ là tập ảnh của $A$; $f^{-1}(C) = {x \in X|f(x) \in X}$ là tạo ảnh của $C$.

a)Chứng minh nếu $A \subset B$ thì $f(A) \subset f(B)$.
b)Nếu $C \subset D$ thì $f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D)$.
c)$f(A\cup B) = f(A) \cup f(B)$.
c)$f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$. Và $f(A \cap B) = f(A) \cap f(b)$ khi $f$ là đơn ánh.
d)$f^{-1}(C \cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$ và $f^{-1}(C \cup D) = f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)$.
e)$A \subset f^{-1}(f(A))$.

Bài 8 Cho $h: A \to B$, $g:B \to C$ và $f: C \to D$.

a)Chứng minh rằng nếu $f\circ g$ là đơn ánh và $f$ toàn ánh thì $g$ đơn ánh.
b)Nếu $f \circ g$ là toàn ánh thì $f$ cũng là toàn ánh.
c)Nếu $f, g$ là đơn ánh(toàn ánh, song ánh) thì $f \circ g$ cũng là đơn ánh (toàn ánh, song ánh).
d)Nếu $h$ là song ánh thì $h^{-1}$ cũng là song ánh.
e)Nếu $f \circ g$ và $g \circ h$ là song ánh thì $f, h, g$ cũng là song ánh.

Bài 9 Cho ánh xạ$f:\mathbb{R} \mapsto \left\{ {0,1} \right\}$

$f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
1\,\,\,khi\,\,x \in \mathbb{Q} \hfill \\
0\,\,khi\,\,x \notin \mathbb{Q} \hfill \\
\end{gathered} \right.$

a) Tìm tập ảnh của $f$.
b)Tìm ${f^{ – 1}}\left( 1 \right),{f^{ – 1}}\left( 0 \right)$
c)$f$ có là song ánh không? Vì sao?

Bài 10 Cho $A$ và $B$ là hai tập hợp sao cho có một đơn ánh từ $A$ vào $B$. Chứng minh rằng có một toàn ánh từ $B$ vào $A$.

Bài 11 Cho $A$ và $B$ là hai tập hợp sao cho có một toàn ánh từ $A$ vào $B$. Chứng minh rằng có một đơn ánh từ $B$ vào $A$.

Bài 12 Tìm một song ánh từ tập tập các số tự nhiên chẵn đến tập các số tự nhiên lẻ.

Bài 13 Tìm một đơn ánh từ tập các số tự nhiên đến tập các số nguyên.

Bài 14 Tìm một song ánh từ tập các số tự nhiên đến tập các số nguyên.

Bài 15 Tìm một song ánh từ tập $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ đến $\mathbb{N}^*$.

Bài 16 Gọi tập X là tập gồm các khoảng có dạng $\left( {a,b} \right)$ thỏa $0 \leqslant a < b \leqslant 1$.
Xét ánh xạ $X \to \left( {0,1} \right),f\left( {\left( {a,b} \right)} \right) = \frac{{a + b}}{2}$

a)$f$ có phải đơn ánh không? Vì sao?
b)$f$ có phải toàn ánh không? Vì sao?

Bài 17 Cho $X$ là tập khác rỗng, $P(X)$ là tập tất cả các tập con của $X$. Có tồn tại hay không một song ánh đi từ $X$ đến $P(X)$?

Bài 18 Tìm một song ánh từ tập $(0;1)$ đến tập các số thực.

Bài 19 Cho $m$ là số nguyên dương và tập $X = \{-m, -m+1, …, -1, 0, 1, …,m\}$. \Ánh xạ $f: X \to X$ thỏa $f(f(n)) = -n$ với mọi $n \in X$.\
Chứng minh $m$ là số chẵn.

Đồ thị hàm số bậc hai

Leave a reply

Đồ thị của hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $

Đồ thị của hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $ là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh $O$.

Nếu $a>0$ thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, $O$ là điểm thấp nhất của đồ thị.

Nếu $a<0$ thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, $O$ là điểm cao nhất của đồ thị.

Cách vẽ đồ thị của hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số $y=2x^2$

Bảng giá trị:

Vẽ đồ thị:

Ví dụ 2: Tìm $a$ biết đồ thị $\left( P\right): y=ax^2$ đi qua điểm $A\left( -2; -\dfrac{1}{4}\right) $. Từ đó chứng minh $B\left( 4;-1\right) $ thuộc đồ thị $\left( P\right) $.

Giải

Ta có: $A\in \left( P\right) \Leftrightarrow -\dfrac{1}{4}=a.\left( -2\right) ^2 \Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{16}$

Vậy $\left( P\right): y=-\dfrac{1}{16}x^2$.

Ta có: $y_B=-1=-\dfrac{1}{16}.4^2=-\dfrac{1}{16}.{x_B}^2$

Suy ra $B\in \left( P\right) $.

Ví dụ 3: Cho parabol $\left( P\right) : y=x^2$. Tìm điểm $M$ trên $\left( P\right) $ sao cho hoành độ bằng $4$ lần tung độ.

Giải

Điểm $M$ có hoành độ bằng $4$ lần tung độ nên $M\left( 4y_M; y_M\right) $

Ta có: $M\in \left( P\right) \Leftrightarrow y_M=\left( 4y_M\right) ^2\Leftrightarrow y_M=0$ hoặc $y_M=\dfrac{1}{16}$.

Vậy $M\left( 0;0\right) $ hoặc $M\left( \dfrac{1}{4};\dfrac{1}{16}\right) $.

Ví dụ 4: Cho parabol $\left( P\right) : y=2x^2$ và đường thẳng $d: y=3x+2$. Tìm tọa độ giao điểm của $\left( P\right) $ và $d$.

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P\right) $ và $d$ là:

$2x^2=3x+2\Leftrightarrow 2x^2-3x-2=0\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=-\dfrac{1}{2}$

Với $x=2\Rightarrow y=8$

Với $x=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}$

Vậy tọa độ giao điểm là $A\left( 2;8\right) $ và $B\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right) $.

Bài tập:

Bài 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=-2x^2$

b) $y=\dfrac{x^2}{2}$

c) $y=-\dfrac{x^2}{3}$

Bài 2: Tìm $a$ biết đồ thị $\left( P\right) : y=ax^2$ đi qua:

a) $A\left( 1;2\right) $

b) $B\left( -1;4\right) $

c) $C\left( 2; -8\right) $

Bài 3: Cho hàm số: $y=\dfrac{1}{4}x^2$

a) Vẽ đồ thị $\left( P\right) $ của hàm số.

b) Các điểm nào sau đây thuộc đồ thị $\left( P\right) $: $A\left( -2;1\right) ; B\left( 1;1\right) ; C\left( -1;\dfrac{1}{4}\right) $?

Bài 4: Trên mặt phẳng tọa độ cho parabol $\left( P\right) : y=ax^2$.

a) Biết $\left( P\right) $ đi qua điểm $M\left( 2;-1\right) $, tìm hệ số $a$. Vẽ parabol $\left( P\right) $ vừa tìm được.

b) Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ $x=-2$.

c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ $y=-9$.

Bài 5: Cho parabol $\left( P\right): y=mx^2$ và đường thẳng $\left( D\right) : y=2x-1$.

a) Tìm $m$ để $\left( P\right) $ đi qua điểm $A\left( 2;8\right) $.

b) Tìm $m$ để $\left( P\right) $ tiếp xúc với $\left( D\right) $.

Bài 6: Một vật chuyển động với vận tốc được tính theo thời gian bởi công thức $v=2t^2$ với $t\ge 0$. Một vật khác chuyển động cùng lúc với vận tốc được tính theo thời gian là $v=3t+2$.

a) Vẽ đồ thị hàm số biểu diễn vận tộc của hai vật trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm thời điểm hai vật có vận tốc bằng nhau.

 

 

Hàm số bậc hai $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $

Leave a reply

Hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $

Ví dụ 1: Một số loại gạch lát nền hình vuông có nhiều kích cỡ khác nhau.

Nếu gọi $x$ $\left( cm\right) $ là chiều dài cạch của một miếng gạch thì diện tích của một miếng gạch là $S=x^2$.

Công thức $S=x^2$ là một hàm số bậc hai có dạng $y=ax^2$ với $a=1$.

Ví dụ 2:

a) Xác định hệ số $a$ của các hàm số sau: $y=3x^2$, $y=-2x^2$, $y=\dfrac{2}{3} x^2$.

b) Tính giá trị tương ứng của $y$ trong bảng sau:

Giải

a) Hàm số $y=3x^2$ có hệ số $a=3$.

Hàm số $y=-2x^2$ có hệ số $a=-2$.

Hàm số $y=\dfrac{2}{3}x^2$ có hệ số $a=\dfrac{2}{3}$.

b)

Tính chất: Hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $ xác định với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

  • Nếu $a>0$ thì hàm số đồng biến khi $x>0$, nghịch biến khi $x<0$.
  • Nếu $a<0$ thì hàm số đồng biến khi $x<0$, nghịch biến khi $x>0$.

Ví dụ 3: 

a) Hàm số $y=3x^2$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ có $a=3>0$ nên hàm số đồng biến khi $x>0$ và nghịch biến khi $x<0$.

b) Hàm số $y=-2x^2$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ có $a=-2<0$ nên hàm số đồng biến khi $x<0$ và nghịch biến khi $x>0$.

Nhận xét:

  • Nếu $a>0$ thì $y>0$ với mọi $x\ne 0$; $y=0$ khi $x=0$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $y=0$.
  • Nếu $a<0$ thì $y<0$ với mọi $x\ne 0$; $y=0$ khi $x=0$. Giá trị lớn nhất của hàm số là $y=0$.

Bài tập:

Bài 1: Cho hàm số $y=f(x)=-5x^2$.

a) Xác định hệ số $a$. Tìm điều kiện của $x$ để hàm số đồng biến, nghịch biến.

b) Tính $f\left( -2\right) $, $f\left( \dfrac{2}{5}\right) $, $f\left( \sqrt{3}\right) $.

c) Tìm $x$ khi $f\left( x\right) =-1$, $f\left( x\right) =0$, $f\left( x\right) =3$.

Bài 2: Diện tích $S$ $\left( m^2\right) $ của một hình tròn sẽ phụ thuộc vào bán kính $r$ $\left( m\right) $ của hình tròn đó.

a) Lập hàm số của $S$ theo $r$. Xác định hệ số $a$.

b) Diện tích hình tròn sẽ thay đổi như thế nào nếu bán kính giảm đi 2 lần? Bán kính tăng lên 3 lần?

Bài 3: Một vật rơi từ độ cao $144$ $m$ xuống mặt đất. Biết rằng quãng đường chuyển động $s$ $\left( m\right) $ của vật phụ thuộc vào thời gian $t$ (giây) thông qua công thức: $s=4t^2$.

a) Tính quãng đường vật đi được sau $3$ giây. Lúc đó vật còn cách mặt đất bao nhiêu mét?

b) Sau bao lâu thì vật chạm đất?

c) Tính quãng đường đi được trong giây thứ $3$.

Bài 4: Lực $F\left( N\right) $ của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc của gió $v$ $\left( m/s\right) $ theo công thức $F=kv^2$ ($k$ là một hằng số).

a) Tìm hằng số $k$ biết vận tốc của gió là $v=5$ $\left( m/s\right) $ thì lực tác dụng vào cánh buồm là $F=100N$.

b) Nếu vận tốc của gió là $v=20$ $\left( m/s\right) $ thì lực của gió tác động vào cánh buồm là bao nhiêu?

c) Cánh buồm của chiếc thuyền chỉ có thể chịu được lực tối đa là $F=2116N$. Hỏi thuyền có thể ra khởi khi vận tốc gió là $v=90$ $\left( km/h\right) $ hay không? Nếu không thì thuyền có thể ra khơi khi vận tốc của gió tối đa là bao nhiêu?

Bài 5: Khi thả một viên đá xuống một chiếc giếng, quãng đường viên đá rơi được trong thời gian $t$ (giây) sẽ được tính theo công thức $D=4,9t^2$ $\left( m\right) $.

a) Tính quãng đường viên đá rơi được trong $1$ giây, $2$ giây, $3$ giây.

b) Hãy tính độ sâu của cái giếng nếu viên đá chạm đáy giếng sau $4,3$ giây.

c) Nếu cái giếng sâu $100$ $m$, hãy tính thời gian từ lúc viên đá rơi cho tới khi viên đá chạm đáy giếng.

Hệ số góc của đường thẳng d: y=ax+b

Leave a reply

1. Hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$ $\left( a\ne 0\right) $

a) Góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$

 

 

 

 

 

 

 

 

Đường thẳng $y=ax+b$ cắt trục $Ox$ tại điểm $A$ và đi qua điểm $T$ có tung độ dương.

Góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$ là góc tạo bởi hai tia $AT$ và $Ax$.

b) Hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$

Khi $a>0$, góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ với trục $Ox$ là góc nhọn. Nếu hệ sô $a$ càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn $90^\circ $.

Khi $a<0$, góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$ là góc tù. Nếu hệ số $a$ càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn $180^\circ$.

Hai đường thẳng $y=a_1x+b_1$ và $y=a_2x+b_2$ có $a_1=a_2$ thì cùng tạo với trục $Ox$ hai góc bằng nhau.

Góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ với $Ox$ phụ thuộc vào $a$.

Ta gọi $a$ là hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$.

Ngoài ra ta có công thức sau: $a=tan\alpha$ (với $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ với trục $Ox$).

Ví dụ 1: Xác định và tính góc tạo bởi đường thẳng $d: y=x+2$ với trục $Ox$.

Giải

Đường thẳng $d: y=x+2$ cắt trục $Ox$ tại điểm$A\left(-2;0\right) $. Chọn điểm $T\left( 0;2\right) $ thuộc đường thẳng $d$ có tung độ $2$ lớn hơn $0$. Vậy góc tạo bởi đường thẳng $d$ với trục $Ox$ là góc $\angle OAT$.

Hệ số góc của $d$ là $a=1$ nên $tan\angle OAT=1\Rightarrow \angle OAT=45^\circ $.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( 1;-1\right) $  và có hệ số góc bằng $-2$.

Giải

Gọi phương trình đường thẳng $d$ có dạng $y=ax+b$

$d$ có hệ số góc bằng $-2 \Rightarrow  a=-2$

$d$ đi qua $A\left( 1;-1\right) \Rightarrow a+b=-1\Rightarrow b=1$

Vậy $d: y=-2x+1$

Ví dụ 3: Dựng một cái thang lên tường với độ cao $3$ $m$, thì khoảng cách từ chân thang tới chân tường tối thiểu là bao nhiêu $m$ để đảm bảo an toàn? Biết rằng để có sự an toàn thì hệ số góc của thang tối đa là $5$.

Giải

Gọi $x$ là khoảng cách từ chân thang tới chân tường. Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ, ta có $A\left( -x;0\right) $ là giao điểm của đường thẳng (cái thang) với trục $Ox$ và $T\left( 0;3\right) $ là điểm thuộc đường thẳng có tung độ dương. Do đó góc tạo bởi đường thẳng với trục $Ox$ là $\angle OAT$.

Ta có: $a=tan\angle OAT=\dfrac{OT}{OA}=\dfrac{3}{x}$

Để đảm bảo an toàn thì $a\le 5$ nên $\dfrac{3}{x} \le 5\Leftrightarrow x\ge \dfrac{3}{5}$.

Vậy khoảng cách $x$ tối thiểu là $x=0,6$ $m$.

Bài tập:

Bài 1: Cho đường thẳng $d_1: y=2x+3m+1$ và  $d_2: y=\left( m+1\right) x-4$.

a) Tìm điều kiện của $m$ để $d_1$ cắt $d_2$.

b) Tìm $m$ để $d_1$ và $d_2$ có hệ số góc bằng nhau.

c) Tìm $m$ để $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng tung độ.

Bài 2: Cho hàm số $y=\left( 2m-1\right) x+1$ có đồ thị $d$.

a) Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

b) Tìm $m$ để $d$ đi qua điểm $A\left( 1;4\right) $.

c) Tìm $m$ để $d$ có hệ  số góc là $4$.

d) Tìm $m$ để $d$ cắt $Ox$, $Oy$ tại $M$, $N$ sao cho diện tích tam giác $OMN$ bằng $\dfrac{1}{2}$.

Bài 3: Cho đường thẳng $d$ là đồ thị của hàm số $y=\left( m-1\right) x+4$.

a) Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

b) Chứng minh rằng $d$ luôn đi qua một điểm cố định.

c) Tìm $m$ để $d$ cắt $Ox$, $Oy$ tại $A$, $B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích bằng $8$.

d) Biết $d$ trùng $d_1: y=\left( 2m^2-7\right) x-2m+1$. Tìm hệ số góc của $d_1$.

Bài 4: Cho hai đường thẳng phân biệt $d_1: y=\left( 2-m^2\right) x+m-5$ và $d_2: y=mx+3m-7$. Tìm $m$ để $d_1$ và $d_2$ có hệ số góc bằng nhau.

Bài 5: Tính chiều cao của một ngọn núi cho biết tại hai điểm cách nhau $1$ $km$ trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi dọc theo đường thẳng có hệ số góc lần lượt là $a_1=0,62$ và $a_2=0,84$.

Ứng dụng của hàm số bậc nhất

Leave a reply

Ví dụ 1: Giá của một chiếc máy tính bảng sau khi sử dụng $t$ năm được cho bởi công thức:

$T\left( t\right) =10000000-1250000t$ (đồng)

a) Hãy tính $T\left( 2\right) $ và cho biết $T\left( t\right) $ có nghĩa là gì?

b) Sau bao nhiêu năm thì giá trị của chiếc máy tính bảng là $5000000$ đồng.

Giải

a) $T\left( 2\right) =10000000-1250000.2=7500000$

$T\left( 2\right) $ là giá tiền của chiếc máy tính bảng sau $2$ năm sử dụng.

b) Ta có: $10000000-1250000t=5000000 \Rightarrow t=4$

Vậy sau $4$ năm sử dụng, chiếc máy tính bẳng sẽ có giá $5000000$.

Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có hai kích thước là $20$ cm và $30$ cm. Gọi $y$ (cm) là chu vi hình chữ nhật sau khi đã giảm mỗi kích thước $x$ (cm).

a) Lập hàm số của $y$ theo $x$.

b) Hãy cho biết hàm số thiết lập ở câu a) là hàm số đồng biến hay nghịch biến.

c) Tính chu vi hình chữ nhật sau khi đã giảm mỗi kích thước $3$ cm.

Giải

a) Hai kích thước của hình chữ nhật sau khi đã giảm mỗi kích thước là: $20-x$ (cm) và $30-x$ (cm).

Khi đó $y=2\left[ \left( 20-x\right) +\left( 30-x\right) \right]  =100-4x$.

Vậy hàm số của $y$ theo $x$ là: $y=-4x+100$.

b) Vì $a=-4<0$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

c) Với $x=3$ suy ra chu vi hình chữ nhật $y=-4.3+100=88$ (cm).

Bài tập:

Bài 1: Diện tích rừng nhiệt đới trên Trái Đất được cho bởi hàm số $A=718,3-4,6t$ trong đó $A$ tính bằng triệu héc-ta, $t$ tính bằng số năm kể từ năm $1990$. Hãy tính diện tích rằng nhiệt đới vào các năm $1990$ và $2000$.

Bài 2: Bạn An hiện có số tiền là $32000$ đồng, bạn định sử dụng số tiền này để chơi game, mối giờ bạn chơi tốn $5000$ đồng. Gọi $t$ là số giờ chơi game của bạn An và $T$ là số tiền còn lại.

a) Lập hàm số của $T$ theo $t$.

b) Sau khi chơi $3$ giờ thì số tiền An còn lại là bao nhiêu?

c) Với số tiền ban đầu thì An chơi tối đa được bao nhiêu giờ (chỉ tính tiền theo giờ không được đóng lẻ theo phút).

Bài 3: Bảng giá cước gọi quốc tế của công ty viễn thông A được cho bởi bảng sau:

Thời gian gọi (phút)

Giá cước điện thoại (đồng/phút)

Không quá $8$ phút

$6500$

Từ phút thứ $9$ đến phút thứ $15$

$6000$

Từ phút thứ $16$ đến phút thứ $25$

$5500$

Từ phút thứ $26$ trở đi

$5000$

a) Gọi $T$ (đồng) là số tiền khách hàng phải trả khi gọi quốc tế trong $t$ (phút). Lập hàm số của $T$ theo $t$.

b) Bà Lan gọi cho người thân ở nước ngoài tốn tổng cộng $174000$ đồng. Hãy tính số phút bà Lan gọi điện cho người thân bên nước ngoài?

Bài 4: Trong một xưởng sản xuất đồ gia dụng có tổng cộng $900$ thùng hàng và mỗi ngày nhân viên sẽ lấy $30$ thùng hàng để đi phân phối cho các đại lí.

a) Gọi $y$ là số thùng hàng còn lại trong kho sau $x$ ngày. Hãy lập hàm số $y$ theo $x$.

b) Sau bao nhiêu ngày thì xưởng sẽ vận chuyển hết được $900$ thùng hàng?

c) Biết rằng một thùng hàng có giá trị là $2000000$ đồng và mỗi chuyến xe vận chuyển $30$ thùng hàng trong mỗi ngày sẽ tốn $2500000$ đồng. Hỏi sau khi bán hết tất cả thùng hàng thì xưởng sẽ lời bao nhiêu tiền?

Bài 5: Một xí nghiệp may cứ mỗi tháng thì phải trả tiền lương cho công nhân viên, tiền vật liệu, tiền điện, tiền thuế,… tổng cộng là $410000000$ (đồng). Mỗi chiếc áo được bán với giá là $350000$ (đồng). Gọi số tiền lời (hoặc lỗ) mà xí nghiệp thu được mỗi tháng là $L$ (đồng) và mỗi tháng xí nghiệp sản xuất được $A$ chiếc áo.

a) Lập hàm số của $L$ theo $A$.

b) Nếu trong một tháng công ty bán được $1000$ chiếc áo thì công ty lời hay lỗ bao nhiêu?

c) Mỗi tháng phải sản xuất ít nhất bao nhiêu chiếc áo để xí nghiệp không bị lỗ?

d) Hỏi cần phải sản xuất trung bình bao nhiêu chiếc áo mỗi tháng để sau một năm xí nghiệp thu được tiền lời là $1380000000$ (đồng).

Bài 6:  Một cửa hàng sách cũ có chính sách như sau: nếu khách hàng đăng kí làm hội viên của cửa hàng sách thì mỗi năm phải đóng $50000$ (đồng) chi phí và chỉ phải mướn sách với giá $5000$ (đồng/cuốn sách), còn nếu khách hàng không phải hội viên thì sẽ mướn sách với giá $10000$ (đồng/cuốn sách). Gọi $T$ (đồng) là tổng số tiền mỗi khách hàng phải trả trong mỗi năm và $n$ là số cuốn sách mà khách hàng mướn.

a) Lập hàm số của $T$ theo $n$ đối với khách hàng là hội viên và khách hàng không là hội viên.

b) Phát là một hội viên của cửa hàng sách, năm ngoái Phát đã trả cho cửa hàng tổng cộng $90000$ đồng. Hỏi nếu Phát không phải là hội viên  của cửa hàng thì số tiền Phát phải trả là bao nhiêu?

c) Mỗi hội viên cần thuê tối thiểu bao nhiêu cuốn sách để có thể bù được phí hội viên?

Đường thẳng cắt nhau, tọa độ giao điểm

Leave a reply

Tính chất: Cho hai đường thẳng $\left( d_1\right) : y=a_1x+b_1$, $\left( d_2\right) : y=a_2x+b_2$.

Khi đó: $d_1$ cắt $d_2$ khi và chỉ khi $a_1\ne a_2$

và phương trình hoành độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là:

$a_1x+b_1=a_2x+b_2$.

Ví dụ 1: Cho hàm số $y=2x+1$ và $y=3x+2$ có đồ thị là $d_1$ và $d_2$.

a) Vẽ $d_1$ và $d_2$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của $d_1$ với trục hoành, trục tung, $d_2$.

Giải

a)

  • Bảng giá trị của $d_1: y=2x+1$:

  • Bảng giá trị của $d_2: y=3x+2$:

  • Vẽ đồ thị của $d_1$ và $d_2$:

b)

  • Gọi $A\left( x_A;y_A\right) $ là giao điểm của $d_1$ với trục hoành $\left( Ox\right) $

Ta có: $A\in Ox\Rightarrow y_A=0\Rightarrow A\left( x_A;0\right) $

$A\in d_1\Rightarrow y_A=2x_A+1\Rightarrow 2x_A+1=0\Rightarrow x_A=-\dfrac{1}{2}$

Vậy giao điểm của $d_1$ với $Ox$ có tọa độ là $A\left(- \dfrac{1}{2};0\right) $.

  • Gọi $B\left( x_B;y_B\right) $ là giao điểm của $d_1$ với trục tung $\left( Oy\right) $

Ta có: $B\in Oy\Rightarrow x_B=0\Rightarrow B\left( 0;y_B\right) $

$B\in d_1\Rightarrow y_B=2x_B+1\Rightarrow y_B=1$

Vậy giao điểm của $d_1$ với $Oy$ có tọa độ là $B\left( 0;1\right) $.

  • Gọi $C\left( x_C;y_C\right) $ là giao điểm của $d_1$ với $d_2$

Phương trình hoành độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là:

$2x_C+1=3x_C+2$

$\Rightarrow  x_C=-1$

$\Rightarrow y_C=-1$

Vậy giao điểm của $d_1$ với $d_2$ có tọa độ là $C\left( -1;-1\right) $.

Ví dụ 2: Cho $d_1: y=\left( 2m-1\right) x+1$ và $d_2: y=4x-1$.

a) Tìm điều kiện của $m$ để $d_1$ cắt $d_2$.

b) Tìm $m$ để $d_1$ cắt $d_2$ tại điểm có hoành độ bằng tung độ.

Giải

a) $d_1$ cắt $d_2\Leftrightarrow 2m-1\ne 4\Leftrightarrow m\ne \dfrac{5}{2}$.

b) Gọi $M$ là giao điểm của $d_1$ và $d_2$

Giao điểm $M$ có hoành độ bằng tung độ nên có tọa độ là $M\left( x_M;x_M\right) $

Ta có: $M\in d_2\Rightarrow x_M=4x_M-1\Rightarrow x_M=\dfrac{1}{3} \Rightarrow M\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right) $

$M\in d_1\Rightarrow \dfrac{1}{3}=\left( 2m-1\right) \dfrac{1}{3}+1\Rightarrow m=-\dfrac{1}{2}$

Vậy $m=-\dfrac{1}{2}$  thì $d_1$ cắt $d_2$ tại điểm có hoành độ bằng tung độ.

Bài tập:

Bài 1: Cho $d_1: y=-x$ và $d_2: y=2x+3$.

a) Vẽ $d_1$ và $d_2$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm giao điểm $A$ của $d_1$ và $d_2$. Tìm giao điểm $B$ của $d_2$ với trục tung.

c) Tính diện tích tam giác $OAB$.

Bài 2: Cho đường thẳng $\left( d_1\right) : y=x$, $\left( d_2\right) : y=2x+1$, $\left( d_3\right) : y=3x+2$.

a) Tìm tọa độ giao điểm của $\left( d_1\right) $ và $\left( d_2\right) $.

b) Chứng minh rằng ba đường thẳng đã cho đồng quy.

Bài 3: Cho đường thẳng $d_1: y=2x-1$ và $d_2: y=\left( m-1\right) x+3$.

a) Tìm điều kiện của $m$ để $d_1$ cắt $d_2$.

b) Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi thì $d_2$ luôn đi qua điểm $A\left( 0;3\right) $.

c) Tìm $m$ để $d_1$ cắt $d_2$ tại điểm có hoành độ bằng $1$.

Bài 4: Tìm phương trình đường thẳng $\left( d\right): y=ax+b$ biết rằng:

a) $\left( d\right) $ đi qua hai điểm $A\left( 1;-2\right) $ và $B\left( 3;2\right) $.

b) $\left( d\right) $ song song với $\left( d_1\right): y=3-x $ và đi qua điểm $C\left( 1; -\dfrac{1}{2}\right) $.

c) $\left( d\right) $ đi qua điểm $D\left( -1;4\right) $ và cắt đường thẳng $\left( d_2\right): y=2x-1 $ tại điểm có hoành độ $x=2$.

Bài 5: Cho hai đường thẳng $d_1: y=-\dfrac{1}{2}x$ và $d_2: y=\dfrac{1}{2}x+3$.

a) Vẽ $d_1$ và $d_2$ trên cùng mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

b) Tìm tọa độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$.

c) Cho đường thẳng $d_3: y=2x+b$, tìm $b$ biết $d_3$ cắt $d_2$ tại điểm $M$ có hoành độ và tung độ đối nhau.

Bài 6: Hai bạn Chánh và Hiệp cùng đi xe máy từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Vũng Tàu. Chánh xuất phát từ $7$ giờ và đi với vận tốc $30$ km/h. Hiệp xuất phát lúc $7$ giờ $40$ phút và đi với vận tốc $40$ km/h.

a) Gọi $s$ (km) là quãng đường đã đi được, $t$ (giờ) là thời gian đã đi tính từ lúc Hiệp xuất phát. Viết biểu thức liên hệ giữa $s$ và $t$ đối với mỗi bạn. Hai bạn gặp nhau lúc mấy giờ.

b) Biết quãng đường từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Vũng Tàu dài $90$ km. Hỏi ai đến Vũng Tàu trước và khi đó là mấy giờ?

Đường thẳng song song

Leave a reply

TÍnh chất: Cho hai hàm số $y=a_1x+b_1$ có đồ thị là $d_1$ và $y=a_2x+b_2$ có đồ thị là $d_2$. Khi đó:

  • $d_1$ song song $d_2$ khi và chỉ khi $a_1=a_2$, $b_1\ne b_2$.
  • $d_1$ trùng $d_2$ khi và chỉ khi $a_1=a_2$, $b_1=b_2$.

Ví dụ 1: Cho $d_1: y=2x+1$ và $d_2: y=2x-2$. Chứng minh rằng $d_1//d_2$.

Giải

$d_1: y=2x+1$ có $a_1=2$, $b_1=1$

$d_2: y=2x-2$ có $a_2=2$, $b_2=-2$

Vì $a_1=a_2$ và $b_1\ne b_2$ nên hai đường thẳng $d_1$, $d_2$ song song với nhau.

Ví dụ 2: Cho hai hàm số $y=\left( m-2\right)x-3$ $\left( d_1\right) $ và $y=\left( 2m+5\right)x-3$ $\left( d_2\right)$. Tìm $m$ để $d_1$ và $d_2$ trùng nhau.

Giải

$y=\left( m-2\right)x-3$ có $a_1=m-2$, $b_1=-3$

$y=\left( 2m+5\right)x-3$ có $a_2=2m+5$, $b_2=-3$

$d_1$ trùng $d_2$ $\Leftrightarrow  a_1=a_2$ và $b_1=b_2$

$\Leftrightarrow m-2=2m+5$ và $-3=-3$

$\Leftrightarrow m=-7$

Vậy $m=-7$ thì $d_1$ trùng $d_2$.

Bài tập:

Bài 1: Cho $d_1: y=\left( 2m-1\right)x+1$ và $d_2: y=4x-1$.

a) Tìm $m$ để $d_1//d_2$.

b) Tìm $m$ để $A\left( 1;3\right) \in d_1$.

Bài 2: Cho hàm số $y=-2x+3$ có đồ thị $d_1$ và $y=x-1$ có đồ thị $d_2$.

a) Vẽ $d_1$ và $d_2$ trên cùng mặt phẳng tọa độ.

b) Xác định hệ số $a$, $b$ biết đường thẳng $d_3: y=ax+b$ song song với $d_2$ và đi qua điểm $A\left( 1;2\right) $.

Bài 3: Cho đường thẳng $d_1: y=4x-6$, $d_2: y=3x-4$ và $d_3:y=ax+2a+1$

a) Tìm $a$ để $d_3//d_1$.

b) Tìm $a$ để $d_3//d_2$.

Bài 4: Tìm phương trình đường thẳng $\left( d\right) : y=ax+b$ biết rằng:

a) $\left( d\right) $ đi qua hai điểm $A\left( -1;3\right) $ và $B\left( 2;0\right) $.

b) $\left( d\right) $ song song với $\left( d_1\right) : y=-4x+3$ và đi qua điểm $C\left(-1;2\right) $.

Bài 5: Cho ba điểm $A\left( 2;1\right) $, $B\left( 3;3\right) $, $C\left( 4;5\right) $.

a) Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A$ và $B$. Chứng minh rằng ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.

b) Viết phương trình đường thẳng qua $M\left( 0;1\right)$ và song song với $d$.

 

 

Đồ thị của hàm số y=ax+b

Leave a reply

Tính chất: Đồ thị của hàm số $y=ax+b$ $\left( a\ne 0\right) $ là một đường thẳng:

  • Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $b$;
  • Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $\dfrac{-b}{a}$.

Đồ thị của hàm số $y=ax+b$ còn được gọi là đường thẳng $y=ax+b$, $b$ được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.

Cách vẽ đồ thị của hàm số $y=ax+b$ $(a\ne 0)$

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số $y=2x-1$

Bảng giá trị:

 

 

Vẽ đồ thị:

Chú ý:

  • Điểm $M\left( x_M;y_M\right) $ thuộc trục hoành $\left( Ox\right) $ thì $b=0$.
  • Điểm $M\left( x_M;y_M\right) $ thuộc trục tung $\left( Oy\right) $ thì $a=0$.
  • Điểm $M\left( x_M;y_M\right) $ thuộc đường thẳng $d: y=ax+b $ khi và chỉ khi $y_M=ax_M+b$.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng $d: y=x+2$, $A\left( 1;3\right) $. Chứng minh điểm $A$ thuộc đường thẳng $d$.

Giải

Ta có: $y_A=3=1+2=x_A+2\Rightarrow A \in d$.

Bài tập:

Bài 1: Cho hàm số $y=2x+1$ và $y=-3x-1$ có đồ thị là đường thẳng $d_1$ và $d_2$. Hãy vẽ $d_1$ và $d_2$ trên cũng một hệ trục tọa độ.

Bài 2: Cho hàm số $y=\left( 2m-1\right)x +2$.

a) Tìm điều kiện để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

b) Vẽ đồ thị hàm số khi $m=2$.

c) Tìm $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( 1;-3\right) $.

Bài 3: Cho đường thẳng $d: y=ax+b$. TÌm $a$, $b$ biết rằng đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A\left( -1;3\right) $ và $B\left( 2;-5\right) $.

Bài 4: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\left|x\right|$.

b) $y=\left|x-2\right|$.