Tính chất: Cho hai đường thẳng $\left( d_1\right) : y=a_1x+b_1$, $\left( d_2\right) : y=a_2x+b_2$.
Khi đó: $d_1$ cắt $d_2$ khi và chỉ khi $a_1\ne a_2$
và phương trình hoành độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là:
$a_1x+b_1=a_2x+b_2$.
Ví dụ 1: Cho hàm số $y=2x+1$ và $y=3x+2$ có đồ thị là $d_1$ và $d_2$.
a) Vẽ $d_1$ và $d_2$ trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của $d_1$ với trục hoành, trục tung, $d_2$.
a) b) Ta có: $A\in Ox\Rightarrow y_A=0\Rightarrow A\left( x_A;0\right) $ $A\in d_1\Rightarrow y_A=2x_A+1\Rightarrow 2x_A+1=0\Rightarrow x_A=-\dfrac{1}{2}$ Vậy giao điểm của $d_1$ với $Ox$ có tọa độ là $A\left(- \dfrac{1}{2};0\right) $. Ta có: $B\in Oy\Rightarrow x_B=0\Rightarrow B\left( 0;y_B\right) $ $B\in d_1\Rightarrow y_B=2x_B+1\Rightarrow y_B=1$ Vậy giao điểm của $d_1$ với $Oy$ có tọa độ là $B\left( 0;1\right) $. Phương trình hoành độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là: $2x_C+1=3x_C+2$ $\Rightarrow x_C=-1$ $\Rightarrow y_C=-1$ Vậy giao điểm của $d_1$ với $d_2$ có tọa độ là $C\left( -1;-1\right) $. Ví dụ 2: Cho $d_1: y=\left( 2m-1\right) x+1$ và $d_2: y=4x-1$. a) Tìm điều kiện của $m$ để $d_1$ cắt $d_2$. b) Tìm $m$ để $d_1$ cắt $d_2$ tại điểm có hoành độ bằng tung độ.
Bài tập: Bài 1: Cho $d_1: y=-x$ và $d_2: y=2x+3$. a) Vẽ $d_1$ và $d_2$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Tìm giao điểm $A$ của $d_1$ và $d_2$. Tìm giao điểm $B$ của $d_2$ với trục tung. c) Tính diện tích tam giác $OAB$. Bài 2: Cho đường thẳng $\left( d_1\right) : y=x$, $\left( d_2\right) : y=2x+1$, $\left( d_3\right) : y=3x+2$. a) Tìm tọa độ giao điểm của $\left( d_1\right) $ và $\left( d_2\right) $. b) Chứng minh rằng ba đường thẳng đã cho đồng quy. Bài 3: Cho đường thẳng $d_1: y=2x-1$ và $d_2: y=\left( m-1\right) x+3$. a) Tìm điều kiện của $m$ để $d_1$ cắt $d_2$. b) Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi thì $d_2$ luôn đi qua điểm $A\left( 0;3\right) $. c) Tìm $m$ để $d_1$ cắt $d_2$ tại điểm có hoành độ bằng $1$. Bài 4: Tìm phương trình đường thẳng $\left( d\right): y=ax+b$ biết rằng: a) $\left( d\right) $ đi qua hai điểm $A\left( 1;-2\right) $ và $B\left( 3;2\right) $. b) $\left( d\right) $ song song với $\left( d_1\right): y=3-x $ và đi qua điểm $C\left( 1; -\dfrac{1}{2}\right) $. c) $\left( d\right) $ đi qua điểm $D\left( -1;4\right) $ và cắt đường thẳng $\left( d_2\right): y=2x-1 $ tại điểm có hoành độ $x=2$. Bài 5: Cho hai đường thẳng $d_1: y=-\dfrac{1}{2}x$ và $d_2: y=\dfrac{1}{2}x+3$. a) Vẽ $d_1$ và $d_2$ trên cùng mặt phẳng tọa độ $Oxy$. b) Tìm tọa độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$. c) Cho đường thẳng $d_3: y=2x+b$, tìm $b$ biết $d_3$ cắt $d_2$ tại điểm $M$ có hoành độ và tung độ đối nhau. Bài 6: Hai bạn Chánh và Hiệp cùng đi xe máy từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Vũng Tàu. Chánh xuất phát từ $7$ giờ và đi với vận tốc $30$ km/h. Hiệp xuất phát lúc $7$ giờ $40$ phút và đi với vận tốc $40$ km/h. a) Gọi $s$ (km) là quãng đường đã đi được, $t$ (giờ) là thời gian đã đi tính từ lúc Hiệp xuất phát. Viết biểu thức liên hệ giữa $s$ và $t$ đối với mỗi bạn. Hai bạn gặp nhau lúc mấy giờ. b) Biết quãng đường từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Vũng Tàu dài $90$ km. Hỏi ai đến Vũng Tàu trước và khi đó là mấy giờ?
