Bài 1. Cho các tập $A, B, C, A’, B’, C’$ là tập con của $X$ thỏa:
a) $A \cup B \cup C = X$;
b) $A \cap B = A’ \cap B’, A \cap C = A’ \cap C’, B \cap C = B’ \cap C’$.
c) $A \subset A’, B\subset B’, C\subset C’$.
Chứng minh $A= A’, B = B’, C = C’$.
Bài 2. Cho $A, B$ là các tập con của $X$, ta kí hiệu đối xứng $A \triangle B = (A \cap (X \setminus B)) \cup (B \cap (X \setminus A))$. Chứng minh rằng:
a) $A \triangle \emptyset = A$.
b) $A \triangle A = \emptyset$.
c) $A \triangle X = X \setminus A$.
Bài 3. Cho tập hợp $E$, $P$ là một phân hoạch của $E$, $\mathscr{A}$ là một bộ phận của $P$. Đặt $F = \{x\in E|\exists A\in \mathscr{A},x\in A\}$. Chứng minh $\mathscr{A}$ là một phân hoạch của $F$.
Bài 4. Cho $E$ là một tập hợp, $n\in \mathbb{N}^*$, $A_o, A_1, \cdots, A_n$ là tập con của $E$ sao cho $$\emptyset \subsetneq A_o \subsetneq A_1 \subsetneq A_2 \subsetneq \cdots \subsetneq A_n = E$$
Đặt $B_o = A_o, B_1 = A_1 \setminus A_o, B_n = A_n \setminus A_{n-1}$.
Chứng minh $B_o, B_1, B_2, \cdots, B_n$ là một phân hoạch của $E$.
Bài 5. Cho $X = \{1, 2, \cdots, n\}$. Cho $F$ là một họ các tập con của $X$, mỗi tập có $r$ phần tử sao cho bất kì $r+1$ tập nào thuộc $F$ thì giao khác rỗng. Chứng minh rằng giao của tất cả các tập trong $F$ cũng khác rỗng.
Bài 6. Cho $A$ là tập con của tập các số hữu tỷ dương thỏa:
a) $1 \in A$.
b) Nếu $x \in A$ thì $x +1 \in A$.
c) Nếu $x \in A$ thì $\dfrac{1}{x} \in A$.
Chứng minh $A$ là tập các số hữu tỷ dương.
Bài 7. Một tập hợp hữu hạn có ít nhất 3 số nguyên dương phân biệt được gọi là tập cân nếu bỏ đi một phần tử bất kì thì các số còn lại có thể chia thành hai tập hợp mà tổng các số trong hai tập hợp đó bằng nhau. Tìm số phần tử nhỏ nhất của một tập cân.
Bài 8. Cho các số thực $x, y, z$ khác 0 thỏa $xy, yz, xz$ là các số hữu tỉ.
a) Chứng minh $x^2 + y^2 + z^2 $ là số hữu tỉ.
b) Giả sử $x^3+y^3+z^3$ cũng là số hữu tỉ. Chứng minh $x, y, z$ là các số hữu tỉ.
Bài 9. Tìm tất cả các bộ số hữu tỉ dương $(x, y, z)$ sao cho $x+\dfrac{1}{y}, y + \dfrac{1}{z}, z+\dfrac{1}{x}$ là các số nguyên.
Bài 10. Tìm các tập con $A$ khác rỗng của tập ${2,3,4,5,6,…}$ sao cho với mọi $n \in A$ thì cả $n^2+4$ và $\lfloor \sqrt{n} \rfloor +1$ cũng thuộc $A$.
Bài 11. Giả sử tập các số tự nhiên được phân hoạch thành hai tập $A$ và $B$. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ tồn tại $a, b$ sao cho $a, b, a+b \in A$ hoặc $a, b, a+b \in B$.
Bài 12. Tập hợp $M$ chứa 4 số nguyên phân biệt được gọi là tập liên kết nếu với mỗi $x \in M$ thì ít nhất một trong hai số $x-1, x+1$ thuộc $M$. Gọi $U_n$ là số tập con liên kết của tập $\{1,2,…,n\}$ .
a) Tính $U_7$.
b) Xác định giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho $U_n \ge 2019.$