Category Archives: Tập hợp số

Bài tập Tập hợp

Lí thuyết

Bài 1. Cho các tập $A, B, C, A’, B’, C’$ là tập con của $X$ thỏa:
a) $A \cup B \cup C = X$;
b) $A \cap B = A’ \cap B’, A \cap C = A’ \cap C’, B \cap C = B’ \cap C’$.
c) $A \subset A’, B\subset B’, C\subset C’$.

Chứng minh $A= A’, B = B’, C = C’$.

Bài 2. Cho $A, B$ là các tập con của $X$, ta kí hiệu đối xứng $A \triangle B = (A \cap (X \setminus B)) \cup (B \cap (X \setminus A))$. Chứng minh rằng:
a) $A \triangle \emptyset = A$.
b) $A \triangle A = \emptyset$.
c) $A \triangle X = X \setminus A$.

Bài 3. Cho tập hợp $E$, $P$ là một phân hoạch của $E$, $\mathscr{A}$ là một bộ phận của $P$. Đặt $F = \{x\in E|\exists A\in \mathscr{A},x\in A\}$. Chứng minh $\mathscr{A}$ là một phân hoạch của $F$.

Bài 4. Cho $E$ là một tập hợp, $n\in \mathbb{N}^*$, $A_o, A_1, \cdots, A_n$ là tập con của $E$ sao cho $$\emptyset \subsetneq A_o \subsetneq A_1 \subsetneq A_2 \subsetneq \cdots \subsetneq A_n = E$$
Đặt $B_o = A_o, B_1 = A_1 \setminus A_o, B_n = A_n \setminus A_{n-1}$.
Chứng minh $B_o, B_1, B_2, \cdots, B_n$ là một phân hoạch của $E$.

Bài 5. Cho $X = \{1, 2, \cdots, n\}$. Cho $F$ là một họ các tập con của $X$, mỗi tập có $r$ phần tử sao cho bất kì $r+1$ tập nào thuộc $F$ thì giao khác rỗng. Chứng minh rằng giao của tất cả các tập trong $F$ cũng khác rỗng.

Bài 6. Cho $A$ là tập con của tập các số hữu tỷ dương thỏa:
a) $1 \in A$.
b) Nếu $x \in A$ thì $x +1 \in A$.
c) Nếu $x \in A$ thì $\dfrac{1}{x} \in A$.
Chứng minh $A$ là tập các số hữu tỷ dương.

Bài 7. Một tập hợp hữu hạn có ít nhất 3 số nguyên dương phân biệt được gọi là tập cân nếu bỏ đi một phần tử bất kì thì các số còn lại có thể chia thành hai tập hợp mà tổng các số trong hai tập hợp đó bằng nhau. Tìm số phần tử nhỏ nhất của một tập cân.

Bài 8.  Cho các số thực $x, y, z$ khác 0 thỏa $xy, yz, xz$ là các số hữu tỉ.
a) Chứng minh $x^2 + y^2 + z^2 $ là số hữu tỉ.
b) Giả sử $x^3+y^3+z^3$ cũng là số hữu tỉ. Chứng minh $x, y, z$ là các số hữu tỉ.

Bài 9. Tìm tất cả các bộ số hữu tỉ dương $(x, y, z)$ sao cho $x+\dfrac{1}{y}, y + \dfrac{1}{z}, z+\dfrac{1}{x}$ là các số nguyên.

Bài 10. Tìm các tập con $A$ khác rỗng của tập ${2,3,4,5,6,…}$ sao cho với mọi $n \in A$ thì cả $n^2+4$ và $\lfloor \sqrt{n} \rfloor +1$ cũng thuộc $A$.

Bài 11. Giả sử tập các số tự nhiên được phân hoạch thành hai tập $A$ và $B$. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ tồn tại $a, b$ sao cho $a, b, a+b \in A$ hoặc $a, b, a+b \in B$.

Bài 12. Tập hợp $M$ chứa 4 số nguyên phân biệt được gọi là tập liên kết nếu với mỗi $x \in M$ thì ít nhất một trong hai số $x-1, x+1$ thuộc $M$. Gọi $U_n$ là số tập con liên kết của tập $\{1,2,…,n\}$ .

a) Tính $U_7$.
b) Xác định giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho $U_n \ge 2019.$

Thứ tự của số nguyên

So sánh hai số nguyên

Khi biểu diễn hai số nguyên a, b trên trục số nằm ngang, nếu điểm a nằm bên trái điểm b thì ta nói a nhỏ hơn b hoặc b lớn hơn a và ghi là: $\mathrm{a}<\mathrm{b}$ hoặc $\mathrm{b}>\mathrm{a}$.

Nhận xét:
– Mọi số nguyên dương đều lớn hơn số 0 .
– Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn số 0 .
– Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn bất kì số nguyên dương nào.
– Với hai số nguyên âm, số nào có số đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn.

Ví dụ 1. So sánh các cặp số nguyên sau:

a) – 10 và -8

b) 3 và -14

c) 0 và – 2

Lời giải

Ví dụ 2. Cho ba số nguyên $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ và biết:
$$
\mathrm{a}>2 ; \quad \mathrm{b}<-7 ;-1<\mathrm{c}<1
$$
Hỏi trong các số nói trên, số nào là số nguyên dương, số nào là số nguyên âm và số nào bẳng 0 ?

Lời giải

Thứ tự trong tập hợp số nguyên

Ví dụ 3. Sắp xếp các số nguyên theo thứ tự tăng dần: 4, – 3, -5, 2, – 17.

Lời giải

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. So sánh các cặp số sau:
a) 6 và 5 ;
b) $-5$ và 0
c) $-6$ và 5 ;
d) $-8$ và $-6$;
e) 3 và $-10$;
$\mathrm{g}$ ) $-2$ và $-5$.

Lời giải

Bài 2. Tìm số đối của các số nguyên: $5 ;-4 ;-1 ; 0 ; 10 ;-2021$.
Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự tăng dần và biểu diễn chúng trên trục số:
$2 ;-4 ; 6 ; 4 ; 8 ; 0 ;-2 ;-8 ;-6$

Lời giải

Bài 3. Hãy liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau:
a) $\mathrm{A}={\mathrm{a} \in \mathbb{Z} \mid-4<\mathrm{a}<-1}$
b) $\mathrm{B}={\mathrm{b} \in \mathrm{Z} \mid-2<\mathrm{b}<3}$
c) $\mathrm{C}={\mathrm{c} \in \mathbb{Z} \mid-3<\mathrm{c}<0}$
d) $\mathrm{D}={\mathrm{d} \in \mathbb{Z} \mid-1<\mathrm{d}<6}$.

Lời giải

Bài 4. Sắp xếp theo thứ tự từ thấp đến cao nhiệt độ $\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)$ mùa đông tại các địa điểm sau đây của nước Mĩ: Hawaii (Ha-oai) $12{ }^{\circ} \mathrm{C}$; Montana (Môn-ta-na) $-2^{\circ} \mathrm{C}$; Alaska (A-la-xca) $-51{ }^{\circ} \mathrm{C}$; New York (Niu Oóc) $-15^{\circ} \mathrm{C}$; Florida (Phlo-ri-đa) $8{ }^{\circ} \mathrm{C}$.

Lời giải

Tài liệu tham khảo. 

Chân trời sáng tạo, Toán 6, NXB GD, Trần Nam Dũng (Chủ biên)

Tập hợp số nguyên

Tập hợp số nguyên
Ta đã biết $\mathrm{N}={0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \ldots}$ là tập hợp số tự nhiên.
0 $\quad$

Các số tự nhiên khác 0 còn được gọi là các số nguyên dương. Số nguyên dương có thể được viết là: $+1 ;+2 ;+3 ; \ldots$ hoặc thông thường bỏ đi dấu “+” và chỉ ghi là: $1 ; 2 ; 3 ; \ldots$
Các số $-1 ;-2 ;-3 ; \ldots$ là các số nguyên âm.Số 0 không phải là số nguyên âm và cũng không phải là số nguyên dương.
Tập hợp gồm các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương được gọi là tập hợp
số nguyên.

Kí hiệu là $\mathbb{Z}$.

Ta có $\mathbb{Z} = \{\cdots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\cdots \}$.

Biểu diễn số nguyên trên trục số.

Số đối của một số nguyên

Hai số nguyên trên trục số nằm ở hai phía của điểm 0 và cách đều điểm 0 thì được gọi là hai số đối nhau.

Ví dụ 1. Số đối của 6 là – 6; số đối của – 2021 là 2021.

Chú ý. 

  • Số đối của một số nguyên âm là số nguyên dương;
  • Số đối của một số nguyên dương là số nguyên âm.
  • Số đối của 0 là 0.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Dùng số nguyên thích hợp để diễn tả các tình huống sau:
a) Thưởng 5 điểm trong một cuộc thi đấu.
b) Bớt 2 điểm vì phạm luật.
c) Tăng 1 bậc lương do làm việc hiệu quả.
d) Hạ 2 bậc xếp loại do thi đấu kém.
Bài 2. Các phát biểu sau đúng hay sai?
a) $9 \in \mathbb{N}$
b) $-6 \in \mathbb{N}$
c) $-3 \in \mathbb{Z}$
d) $0 \in \mathbb{Z}$
e) $5 \in \mathbb{Z}$
g) $20 \in \mathbb{N}$.

Bài 3. Vẽ một đoạn của trục số từ $-10$ đến $10 .$ Biểu diễn trên đó các số nguyên sau đây:
$\begin{array}{llllll}+5 ; & -4 ; & 0 ; & -7 ; & -8 ; & 2 ;\end{array}$
3; $\quad 9$;
$-9 .$

Bài 4. Hãy vẽ một trục số rồi vẽ trên đó những điểm nằm cách điểm 0 hai đơn vị. Những điểm này biểu diễn các số nguyên nào?

Bài 5. Tìm số đối của các số nguyên sau: $-5 ;-10 ; 4 ;-4 ; 0 ;-100 ; 2021 .$

Tài liệu tham khảo

Chân trời Sáng tạo, Sách giáo khoa toán 6, NBX GD, Trần Nam Dũng (Chủ biên)

Tập hợp số tự nhiên

1.Tập hợp $N, N^*$.

Các số $0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \ldots$ là các số tự nhiên. Người ta kí hiệu tập hợp các số tự nhiên là $\mathbb{N}$.
$$
\mathbb{N}=\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; \ldots\}
$$
Tập hợp các số tự nhiên khác 0 được kí hiệu là $N^*$.

$$N^* = \{1, 2, 3, \cdots, \}$$

2.Thứ tự trong tập số tự nhiên

Trong hai số tự nhiên a và b khác nhau, có một số nhỏ hơn số kia. Nếu số a nhỏ hơn số b ta viết $\mathrm{a}<\mathrm{b}$ (a nhỏ hơn b). Ta cũng nói số b lớn hơn số a và viết $\mathrm{b}>\mathrm{a}$.

Khi biểu diễn trên tia số nằm ngang có chiều mũi tên đi từ trái sang phải, nếu $\mathrm{a}<\mathrm{b}$ thì điểm a nằm bên trái điểm b.
Ta viết $\mathrm{a} \leq \mathrm{b}$ đề chi $\mathrm{a}<\mathrm{b}$ hoặc $\mathrm{a}=\mathrm{b}, \mathrm{b} \geq \mathrm{a}$ để chỉ $\mathrm{b}>$ a hoặc $\mathrm{b}=\mathrm{a}$.
Mỗi số tự nhiên có một số liền sau cách nó một đơn vị.

Nếu b liền sau a thì a cũng được gọi là liền trước b.

Ví dụ 1.

a) Số liền sau số 4 là số 5, số liền trước số 4 là số 3.

b) Giữa hai số 2021 và 2022 thì không có số tự nhiên nào, tức là không có số tự nhiên nào vừa lớn hơn 2021 vừa nhỏ hơn 2022.

Chú ý.

a) Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$.

b) Nếu $a < b$ thì $a \leq b -1$.

3.Cách ghi số tự nhiên

  • Kí hiệu $\overline{a b}$ chỉ số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chục là a $(a \neq 0)$, chữ số hàng đơn vị là b. Ta có:
    $$
    \overline{a b}=a \times 10+b
    $$
    Kí hiệu abc chi số tự nhiên có ba chữ số, chữ số hàng trăm là a $(a \neq 0)$, chữ số hàng chục là b, chữ số hàng đơn vị là c. Ta có:
    $$
    \overline{\mathrm{abc}}=\mathrm{a} \times 100+\mathrm{b} \times 10+\mathrm{c}
    $$

4.Hệ số La Mã

5. Bài tập sách giáo khoa

Bài 1. (SGK CTST Toán 6 Tập 1 – Trang 12) Chọn kí hiệu thuộc $(\in)$ hoặc không thuộc $(\notin)$ thay cho mỗi dấu $?$.
a) 15 ? $\mathbb{N}$;
b) 10,5 ? $\mathbb{N}^{*}$;
c) $\frac{7}{9}$ ? $\mathbb{N}$;
d) 100 ? $\mathbb{N}$.

Giải

Bài 2. (SGK CTST Toán 6 Tập 1 – Trang 12) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng, khẳng định nào là sai?
a) $1999>2003$;
b) 100000 là số tự nhiên lớn nhất;
c) $5 \leq 5$;
d) Số 1 là số tự nhiên nhỏ nhất.

Giải

Bài 3. (SGK CTST Toán 6 Tập 1 – Trang 12)  Biểu diễn các số $1983 ; 2756 ; 2023$ theo mẫu $1983=1 \times 1000+9 \times 100+8 \times 10+3$.

Giải

Bài 4. Tìm các số tự nhiên sau:

a) Số liền trước số 5

b) Số liền sau số 6

c) Số liền sau số 2018.

d) Lớn hơn 2000 và nhỏ hơn 2005.

Giải

Bài 5. Tìm số tự nhiên có hai chữ số mà tổng các chữ số bằng 17.

Giải

Bài 6. Tìm số tự nhiên có ba chữ số mà tổng các chữ số bằng 2.

Giải

6. Bài tập rèn luyện

Bài 1. Tìm các số tự nhiên sau:

a) Số liền sau 2001

b) Số liền sau 221

c) Lớn hơn 14 và nhỏ hơn 20.

Bài 2. Tìm các số tự nhiên có hai chữ số sao cho khi viết theo thứ tự ngược lại thì lớn hơn số ban đầu 72 đơn vị.

Bài 3. Tìm số tự nhiên biết rằng tổng của nó và số liền sau bằng 2021.

Tài liệu tham khảo.

Bộ sách Chân Trời Sáng Tạo, Toán lớp 6, NXBGD, Trần Nam Dũng (Chủ biên)