Một số bài tập hình học tổng hợp dành cho các bạn chuẩn bị ôn thi vào 10 chuyên toán, các bài toán cũng quen thuộc để ôn tập, đôi khi có thêm tính chất mới để rèn luyện.
Đây là nội dung Chương 4 trong sách Chuyên đề hình học 9 – Bồi dưỡng học sinh năng khiếu (Nguyễn Tăng Vũ). Chương này quan trọng, có nhiều bài toán khó và rất khó.
Gửi quý bạn đọc lời giải hướng dẫn chi tiết các bài tập trong chương, có chỉnh sửa bổ sung cho phù hợp với nội dung so với sách gốc.
Bài viết dành cho các em trung học cơ sở, các tính chất không được sử dụng trong các bài thi vào 10 mà không chứng minh lại.
Ví dụ 1: Cho góc bẹt $A O B$ và tia $O M$ sao cho $\widehat{A O M}=60^{\circ}$. Vẽ tia $O N$ nằm trong góc $B O M$ sao cho $O N \perp O M$. Chứng tỏ rằng $\widehat{B O N}=\dfrac{1}{2} \widehat{A O M}$.
Ví dụ 2: Cho góc bẹt $A O B$. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $A B$ vẽ các tia $O E, O F$ sao cho $\widehat{A O E}=\widehat{B O F}<90^{\circ}$. Vẽ tia phân giác $O M$ của góc $E O F$. Chứng tỏ rằng $O M \perp A B$.
Ví dụ 3: Cho góc tù $A O B$. Vẽ vào trong góc này các tia $O M, O N$ sao cho $O M \perp O A, O N \perp O B$. Vẽ tia $O K$ là tia phân giác của góc $M O N$. Chứng tỏ rằng tia $O K$ cũng là tia phân giác của góc $A O B$.
Bài tập vận dụng Bài 1. Cho hai đường thẳng $A B$ và $C D$ vuông góc với nhau tại $O$. Vẽ tia $O K$ là tia phân giác của góc $A O C$. Tính số đo góc $K O D$ và $K O B$.
Bài 2. Cho góc $A O B$ và tia $O C$ nằm trong góc đó sao cho $\widehat{A O C}=4 \widehat{B O C}$. Vẽ tia phân giác $O M$ của góc $A O C$. Tính số đo của góc $A O B$ nếu $O M \perp O B$.
Bài 3. Cho góc tù $A O B, \widehat{A O B}=m^{\circ}$. Vẽ vào trong góc này các tia $O C, O D$ sao cho $O C \perp O A ; O D \perp O B$.
Do đó, $\widehat{A O D}=\widehat{D O C}=\widehat{C O D} \Leftrightarrow \widehat{A O B}=3 \cdot \widehat{D O C}=3.45^{\circ}=135^{\circ} \Leftrightarrow m=135$ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Bài 4. Trong hình 2.7 có góc $M O N$ là góc bẹt, góc $A O C$ là góc vuông. Các tia $O M, O N$ lần lượt là các tia phân giác của các góc $A O B$ và $C O D$. Chứng tỏ rằng $O B \perp O D$. Bài 5. Cho góc nhọn $A O B$. Trên nửa mặt phẳng bờ $O A$ có chứa tia $O B$, vẽ tia $O C \perp O A$. Trên nửa mặt phẳng bờ $O B$ có chứa tia $O A$ vẽ tia $O D \perp O B$. Gọi $O M$ và $O N$ lần lượt là các tia phân giác của các góc $A O D$ và $B O C$. Chứng tỏ rằng $O M \perp O N$. Bài 6. Cho góc bẹt $A O B$. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $A B$ vẽ các tia $O M$ và $O N$ sao cho $\widehat{A O M}=\widehat{B O N}=m^{\circ}(90<m<180)$. Vẽ tia phân giác $O C$ của góc $M O N$. CHỨNG MINH MỘT TIA LÀ TIA PHÂN GIÁC, LÀ TIA ĐỐI Bài 7. Cho góc $A O B$ có số đo bằng $120^{\circ}$. Vẽ tia phân giác $O M$ của góc đó. Trên nửa mặt phẳng bờ $O M$ có chứa tia $O A$, vẽ tia $O N \perp O M$. Trong góc $A O B$ vẽ tia $O C \perp O B$. Chứng tỏ rằng: Bài 8. Cho góc bẹt $A O B$, tia $O C \perp A B$. Vẽ tia $O M$ và $O N$ ở trong góc $B O C$ sao cho $\widehat{B O M}=\widehat{C O N}=\frac{1}{3} \widehat{B O C}$. Tìm trong hình vẽ các tia là tia phân giác của một góc. Bài 9. Cho hai tia $O M$ và $O N$ vuông góc với nhau, tia $O C$ nằm giữa hai tia đó. Vẽ các tia $O A$ và $O B$ sao cho tia $O M$ là tia phân giác của góc $A O C$, tia $O N$ là tia phân giác của góc $B O C$. Chứng tỏ rằng hai tia $O A$, $O B$ đối nhau.
ĐƯỜNG TRUNG TRỰC – HAI GÓC CÓ CẠNH TƯƠNG ỨNG VUÔNG GÓC Bài 10. Cho đoạn thẳng $A B=2 a$. Lấy các điểm $E$ và $F$ nằm giữa $A$ và $B$ sao cho $A E=B F$. Chứng tỏ rằng hai đoạn thẳng $A B$ và $E F$ cùng có chung một đường trung trực.
Bài 11. Cho bốn điểm $M, N, P, Q$ nằm ngoài đường thẳng $x y$. Biết $M N \perp x y ; P Q \perp x y$ và $x y$ là đường trung trực của đoạn thẳng $N P$. Chứng tỏ rằng bốn điểm $M, N, P, Q$ thẳng hàng. Bài 2.12. Hai góc gọi là có cạnh tương ứng vuông góc nếu đường thẳng chứa mỗi cạnh của góc này tương ứng vuông góc với đường thẳng chứa một cạnh của góc kia. Xem hình $2.8(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ rồi kể tên các góc nhọn (hoặc tù) có cạnh tương ứng vuông góc.
a) Chứng tỏ rằng $\widehat{A O D}=\widehat{B O C}$.
b) Tìm giá trị của $m$ để $\widehat{A O D}=\widehat{D O C}=\widehat{C O B}$.
a) Chứng tỏ rằng $O C \perp A B$.
b) Xác định giá trị của $m$ để $O M \perp O N$.
a) Tia $O C$ là tia phân giác của góc $A O M$;
b) Tia $O A$ là tia phân giác của góc $C O N$.
Ta có một số kí hiệu thường dùng.
Cho tam giác $A B C$, khi đó
Định lý Cosin trong tam giác
Định lý. Cho tam giác ABC
Khi đó ta có:
Chứng minh
Để chứng minh định lý ta có thể sử dụng định lý Pitago và tỉ số lượng giác của góc nhọn, hoặc có thể dùng tích vô hướng, ở đây tôi trình bày theo tích vô hướng.
$a^2=B C^2=(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})^2$
$=\overrightarrow{A C}^2+\overrightarrow{A B}^2-2 \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B}$
$=A C^2+A B^2-2 A B \cdot A C \cos A $
$=b^2+c^2-2 b c \cdot \cos A$
Các hệ thức còn lại chứng minh tương tự.
Từ định lý trên ta dễ dàng suy ra hệ quả sau
Hệ quả.
Trong tam giác $A B C$
$$
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c} ; \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2 a c} ; \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}
$$
Từ đây suy ra tam giác $A B C$ có
$$
A<90^{\circ} \Leftrightarrow b^2+c^2>a^2
$$
và
$$
A>90^{\circ} \Leftrightarrow b^2+c^2<a^2
$$
Nhận xét:
Định lý Sin trong tam giác
Định lý.
Cho tam giác $A B C$, gọi $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$. Khi đó
$$
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R
$$
Chứng minh. Vẽ đường kính $B D$, khi đó $\angle BDC = \angle BAC$ hoặc $\angle BDC = 180^\circ – \angle BAC$, suy ra:
$$
\sin B A C=\sin B D C=\frac{B C}{B D}=\frac{a}{2 R}
$$
suy ra
$$
\frac{a}{\sin A}=2 R
$$
Chứng minh tương tự ta cũng có
$$
\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R
$$
Hệ quả
Nhận xét:
Công thức đường trung tuyến
Định lý. (Độ dài đường trung tuyến) Trong tam giác $A B C$, gọi $m_a, m_b, m_c$ lần lượt là độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ $A, B, C$. Khi đó
Chứng minh. Ta có thể chứng minh định lý này bằng định lý Cosin, áp dụng định lý cosin cho hai tam giác $A M B, A M C$ ta có
$$
\cos A M B=\frac{A M^2+M B^2-A B^2}{2 A M \cdot M B}, \cos A M C=\frac{A M^2+M C^2-A C^2}{2 A M \cdot M C}
$$
Mà $\cos A M B+\cos A M C=0$ và $M B=M C=\frac{B C}{2}$
$$
\frac{A M^2+M B^2-A B^2}{2 A M \cdot B M}+\frac{A M^2+M C^2-A C^2}{2 A M \cdot M C}=0
$$
Từ đó ta có $2 A M^2=A B^2+A C^2-M B^2-M C^2$ hay $A M^2=\frac{1}{2}\left(A B^2+A C^2\right)-\frac{1}{4} B C^2$, ta có điều cần chứng minh.
Công thức tính diện tích tam giác
Định lý. Các công thức tính diện tích tam giác
Chứng minh dành cho bạn đọc.
Chứng minh các điểm thẳng hàng là một trong các dạng toán thường gặp trong các bài toán về vector, trong bài trình trình bày một số ví dụ, thông qua đó các em có thêm kinh nghiệm giải dạng toán này.
Tính chất 1. Cho $A, B, C$ là 3 điểm phân biệt.
a) $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại $k$ sao cho $\overrightarrow{A B}=k \cdot \overrightarrow{A C}$.
b) Giả sử $\overrightarrow{A B}=x \vec{a}+y \vec{b}$ và $\overrightarrow{A C}=x^{\prime} \vec{a}+y^{\prime} \vec{b}$. Khi đó $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại $k$ để $x=k x^{\prime}, y=k y^{\prime}$ hay $\frac{x}{x^{\prime}}=\frac{y}{y^{\prime}}$.
Tính chất 2. Cho 2 điểm $A, B$ phân biệt và điểm $O$ nằm ngoài đường thẳng $A B$. Khi đó điểm $M$ thuộc đường thẳng $A B$ khi và chỉ khi tồn tại các số $x, y$ thỏa $x+y=1$ và
$$
\overrightarrow{O M}=x \cdot \vec{a}+y \cdot \vec{b}
$$
Ví dụ 1. Cho tam giác $A B C$. Gọi $M$ là trung điểm $A B, N$ thỏa $\overrightarrow{N A}+2 \overrightarrow{N C}=\overrightarrow{0}$ và P là điểm đối xứng của B qua C.
a) Chứng minh $\overrightarrow{A N}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$
b) Chứng minh $\overrightarrow{N M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}-\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$.
c) Chứng minh $M, N, P$ thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho tứ giác $A B C D$. Gọi $M, N$ thuộc cạnh $A D, B C$ sao cho $A M=2 M D, B N=2 N C$. Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng $A B, M N$ và $C D$ thẳng hàng.
Ví dụ 3. Cho tam giác $A B C$ và điểm $D$ thỏa mãn $\overrightarrow{A D}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A C}$, I là trung điểm của $B D$. M là điể thỏa $\overrightarrow{B M}=x \overrightarrow{B C}, x \in \mathbb{R}$.
a) Tinh $\overrightarrow{A I}$ theo $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$.
b) Tinh $\overrightarrow{A M}$ theo $x$ và $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$
c) Tìm $x$ để $A, I, M$ thẳng hàng.
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Cho tam giác $\mathrm{ABC}$. Hai điểm $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ được xác định bởi hệ thức: $\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{M A}=\overrightarrow{0}, \overrightarrow{A B}-$ $\overrightarrow{N A}-3 \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh $M N \parallel A C$.
Bài 2. Cho $3 \overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}-5 \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh $A, B, C$ thẳng hàng.
Bài 3. Cho tam giác $A B C$ có trung tuyến $A M$. Gọi $I$ là trung điểm $A M$ và $K$ là trung điểm AC sao $A K=\frac{1}{3} A C$.
a) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{B I}, \overrightarrow{B K}$ theo $\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B C}$.
b) Chứng minh các điểm $B, I, K$ thẳng hàng.
Bài 4. Cho tam giác $A B C$ có trọng tâm $G$. Gọi $I, J$ là hai điểm xác định bởi $\overrightarrow{I A}=2 \overrightarrow{I B}, 3 \overrightarrow{J A}+$ $2 \overrightarrow{J C}=\overrightarrow{0}$.
a) Tính $\overrightarrow{I f}, \overrightarrow{I G}$ theo $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$.
b) Chứng minh $I, J, G$ thẳng hàng.
Bài 5. Cho tam giác $A B C$. Lấy các điểm $M, N, P$ thỏa mãn
$$
\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}=\overrightarrow{0}, 3 \overrightarrow{A N}-2 \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}, \overrightarrow{P B}=2 \overrightarrow{P C}
$$
Chứng minh $M, N, P$ thẳng hàng.
Tính chất 1. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$
a) Nếu $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ cùng phương thì tồn tại số thực $k$ sao cho $\overrightarrow{a} = k \cdot \overrightarrow{b}$.
b) Nếu $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ không cùng phương và $ x \cdot \overrightarrow{a}+y \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$, suy ra $x = y = 0$.
Chứng minh.
a) Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ cùng phương.
b) Giả sử $x \neq 0$, suy ra $\overrightarrow{a} = \dfrac{-y}{x} \cdot \overrightarrow{b}$ cùng phương $\overrightarrow{b}$, mâu thuẫn, do đó $x = 0$, dẫn đến $y = 0$.
Tính chất 2. Cho $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ không cùng phương, khi đó với mọi vectơ $\overrightarrow{c}$ tồn tại duy nhất cặp số $(x;y)$ thỏa mãn $$\overrightarrow{c} = x \cdot \overrightarrow{a} + y \cdot \overrightarrow{b}$$
Chứng minh
Việc biểu diễn một vec tơ theo hai vec tơ không cùng phương có nhiều ứng dụng trong việc chứng minh vec tơ bằng nhau, cùng phương, dẫn đến các bài toán chứng minh thẳng hàng, tính toán độ dài, góc, …
Ví dụ 1. Cho tam giác $A B C$ và điểm $D$ thỏa mãn $\overrightarrow{A D}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A C}$, I là trung điểm của $B D$.
a) Tính $\overrightarrow{A I}$ theo $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$.
b) Cho $\overrightarrow{BM} = x \cdot \overrightarrow{BC}$. Tính $\overrightarrow{A M}$ theo $x$ và $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$
Lời giải.
a) Ta có $2 \overrightarrow{A I}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\frac{3}{4} \overrightarrow{A C} \Rightarrow \overrightarrow{A I}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{3}{8} \overrightarrow{A C}$.
b) Ta có $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{A B}+x \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+x(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=(1-x) \overrightarrow{A B}+x \overrightarrow{A C}$.
Ví dụ 2. Cho tam giác $A B C$ gọi $M$ là điểm thỏa $\overrightarrow{M A}+3 \overrightarrow{M B}=\overrightarrow{0}$.
Giả sử $\overrightarrow{C M}=x \cdot \overrightarrow{C A}+y \cdot \overrightarrow{C B}$. Tính $x, y$.
Lời giải.
Ta có $\overrightarrow{0}=\overrightarrow{M A}+3 \overrightarrow{M B}=\overrightarrow{C A}-\overrightarrow{C M}+3 \overrightarrow{C B}-3 \overrightarrow{C M}$
$ \Leftrightarrow 4 \overrightarrow{C M}=\overrightarrow{C A}+3 \overrightarrow{C B} \Leftrightarrow \overrightarrow{C M}=$
$\frac{1}{4} \overrightarrow{C A}+\frac{3}{4} \overrightarrow{C B}$.
Từ đó ta có $x=\frac{1}{4}, y=\frac{3}{4}$, do sự biểu diễn $\overrightarrow{C M}$ theo $\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{C B}$ là duy nhất.
Ví dụ 3. Cho tam giác $A B C$ và các điểm $I$, J thỏa mãn $2 \overrightarrow{C I}+3 \overrightarrow{B I}=\overrightarrow{0}, 5 \overrightarrow{J B}-2 \overrightarrow{J C}=\overrightarrow{0}$.
a) Tinh $\overrightarrow{A I}, \overrightarrow{A J}$ theo $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác $A B C$. Tính $\overrightarrow{A G}$ theo $\overrightarrow{A I}, \overrightarrow{A J}$.
Lời giải
Ta có:
$2 \overrightarrow{C I}+3 \overrightarrow{B I}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow 2 \overrightarrow{C I}+3(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C I})=\overrightarrow{0} $
$\Leftrightarrow 5 \overrightarrow{C I}+3 \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{C I}=\frac{3}{5} \overrightarrow{C B} $
$ 5 \overrightarrow{J B}-2 \overrightarrow{J C}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow 5 \overrightarrow{J B}-2(\overrightarrow{J B}+\overrightarrow{B C})=\overrightarrow{0} $
$\Leftrightarrow 3 \overrightarrow{J B}=2 \overrightarrow{B C} \Leftrightarrow \overrightarrow{B J}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}$
a) – Tính $\overrightarrow{A I}$ theo $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$.
Ta có:
$$
\overrightarrow{A I}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C I}=\overrightarrow{A C}+\frac{3}{5} \overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A C}+\frac{3}{5}(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C})=\frac{3}{5} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{5} \overrightarrow{A C}
$$
b) Tính $\overrightarrow{A G}$ theo $\overrightarrow{A I}, \overrightarrow{A J}$.
Đặt $\overrightarrow{A G}=x \overrightarrow{A I}+y \overrightarrow{A J}$.
$\overrightarrow{A G} =x\left(\frac{3}{5} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{5} \overrightarrow{A C}\right)+y\left(\frac{5}{3} \overrightarrow{A B}-\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}\right) $
$=\left(\frac{3 x}{5}+\frac{5 y}{3}\right) \overrightarrow{A B}+\left(\frac{2 x}{5}-\frac{2 y}{3}\right) \overrightarrow{A C}$
Mặt khác, $\overrightarrow{A G}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$
$\Rightarrow \left\{\begin{array} { l }
{ \frac { 3 } { 5 } x + \frac { 5 } { 3 } y = \frac { 1 } { 3 } } \\\\
{ \frac { 2 } { 5 } x – \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 1 } { 3 } }
\end{array} \right.$
$ \left \{\begin{array}{l}
x=\frac{35}{48} \\\\
y=-\frac{1}{16}
\end{array}\right. $
Vậy $\overrightarrow{A G}=\frac{35}{48} \overrightarrow{A I}-\frac{1}{16} \overrightarrow{A J}$
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Cho tam giác $A B C$ và $M$ là trung điểm cạnh $B C ; N$ là điểm thuộc đoạn $A C$ sao cho $A N=2 N C$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{A M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$.
b) $\overrightarrow{B N}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}$
c) $\overrightarrow{M N}=\frac{1}{3} \overrightarrow{C A}-\frac{1}{2} \overrightarrow{C B}$.
Bài 2. Cho tam giác $A B C$ có $I$ là điểm đối xứng với $B$ qua $C, J$ là trung điểm $A C, K$ thuộc $A B$ thoả $A B=3 A K$.
a) Tính $\overrightarrow{B I}, \overrightarrow{B J}, \overrightarrow{B K}$ theo $\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B C}$.
b) Tính $\overrightarrow{I f}, \overrightarrow{I K}$ theo $\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B C}$.
Bài 3. Cho tam giác $A B C$. Lấy $M, N$ lần lượt là trung điểm $A B, A C$. $L$ là điểm thoả mãn $2 \overrightarrow{L A}+5 \overrightarrow{L B}+3 \overrightarrow{L C}=\overrightarrow{0}$
a) Tính $\overrightarrow{B M}, \overrightarrow{B M}, \overrightarrow{B L}$ theo $\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B C}$.
b) Tính $\overrightarrow{M N}, \overrightarrow{M L}$ theo $\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B C}$.
Bài viết trình bày một số kĩ thuật tính toán hình học để chứng minh các bài toán hình học phẳng, các định lý được dùng chính là định lý Sin, Cosin, công thức diện tích, vectơ,..và một số tính chất, bổ đề đơn giản.
Một số kí hiệu thường dùng.
Trong tam giác $ABC$, đặt $BC = a, AC = b, AB = c, p = \dfrac{a+b+c}{2}, S = S_{ABC}$, $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp.
Sau đây là một số định lý quan trọng và đã có trong các phần khác, bạn đọc có thể tự chứng minh một cách dễ dàng.
Định lý 1. (Định lý Sin) Trong tam giác $ABC$ thì $$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$$
Định lý 2. (Định lý Cosin) Trong tam giác $ABC$ thì $a^2 =b^2 + c^2 – 2bc \cos A$ và các hệ thức tương tự.
Định lý 3. (Định lý Ceva dạng sin) Cho tam giác $ABC$, $P$ là điểm bất kì, khi đó $$\frac{\sin \left(A A_1 ; A B\right)}{\sin \left(A A_1 ; A C\right)} \cdot \frac{\sin \left(B B_1 ; B C\right)}{\sin \left(B B_1 ; B A\right)} \cdot \frac{\sin \left(C C_1 ; C A\right)}{\sin \left(C C_1 ; C B\right)}=-1$$
Một số tính chất và bổ đề cần dùng.
Tính chất 1. Nếu $\alpha$ là góc nhọn và $0^{\circ} \leq x, y \leq \alpha$ thỏa
$$
\frac{\sin x}{\sin (\alpha-x)}=\frac{\sin y}{\sin (\alpha-y)}
$$
thì $x=y$.
Tính chất 2. Cho tam giác $A B C$. Khi đó:
(a) $S_{A B C}=\frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot \sin B A C$.
(b) $M$ là điểm trên cạnh $B C$, khi đó $\frac{B M}{C A M}=\frac{A B \cdot \sin M A B}{A C \cdot \sin M A C}$. $M$ là trung điểm $B C$ khi và chỉ khi $\frac{A B}{A C}=\frac{\sin M A C}{\sin M A B}$.
Tính chất 3. Cho tam giác $A B C$ cân tại $A, M$ là điểm thuộc cạnh $B C$. Khi đó:
$$
\frac{M B}{M C}=\frac{\sin M A B}{\sin M A C}
$$
Một số ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho tam giác $A B C$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $A B C$ tiếp xúc với $B C, A C, A B$ tại $D, E, F . D I$ cắt $E F$ tại $K$. Chứng minh $A K$ qua trung điểm của $B C$.
Hướng dẫn giải
Gọi $M$ là trung điểm $B C$, ta sẽ chứng minh tia $A K$ trùng tia $A M$. Từ 6.1.6 ta thấy rằng để chứng minh 2 tia này trùng nhau, ta chỉ cần chứng minh
$$
\dfrac{\sin B A K}{\sin C A K}=\dfrac{\sin B A M}{\sin C A M}(*)
$$
Ta có: $\dfrac{A B}{A C}=\dfrac{\sin C}{\sin B}=\dfrac{\sin K I E}{\sin K I F}=\dfrac{K E}{K F}=\dfrac{\sin K A E}{\sin K A F}$.
Mà $\dfrac{A B}{A C}=\dfrac{\sin M A B}{\sin M A C}$.
Từ (1) và (2) ta có $\dfrac{\sin K A E}{\sin K A F}=\dfrac{\sin M A E}{\sin M A F}$.
Ví dụ 2. Cho tam giác $A B C$ nhọn, tiếp tuyến tại $B, C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt nhau tại $P$. Chứng minh rằng $\angle P A B=\angle C A M$ với $M$ là trung điểm $B C$.
Hướng dẫn giải.
Ta có $S_{A B M}=S_{A C M} \Leftrightarrow A B \cdot A M \sin B A M=A B \cdot A M \cdot \sin C A M \Rightarrow \dfrac{\sin B A M}{\sin C A M}=\dfrac{A C}{A B}$
(1) Ta có $\dfrac{S_{P A B}}{S_{P A C}}=\dfrac{A B \cdot A P \cdot \sin P A B}{A C \cdot A P \cdot \sin P A C}=\dfrac{A B \cdot \sin P A B}{A C \cdot \sin P A C}$.
Mà $\dfrac{S_{P A B}}{S_{P A C}}=\dfrac{A B \cdot P B \cdot \sin A B P}{A C \cdot P C \cdot \sin A C P}=\dfrac{A B}{A C} \cdot \dfrac{\sin A C B}{\sin A B C}=\dfrac{A B^2}{A C^2}$.
Từ (3) và (4) ta có $\dfrac{\sin P A B}{\sin P A C}=\dfrac{A B}{A C}=\dfrac{\sin C A M}{\sin B A M} \Rightarrow \angle P A B=\angle C A M$.
Ví dụ 3. (Đường thẳng Newton) Cho các tứ giác $A B C D$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $E, F, G, H$ là tiếp điểm của $(I)$ với các cạnh $A B, B C, C D, D A ; M, N$ là trung điểm của $A C$ và $B D$.
(a) Chứng minh $A C, B D, E G, F H$ dồng quy.
(b) Chứng minh $I, M, N$ thẳng hàng và $\frac{I M}{I N}=\frac{B E+D H}{A E+C H}$.
Hướng dẫn giải.
Đặt $A E=A H=a, B E=B F=b, C F=C G=c, D G=D H=d$.
(a) Gọi $K$ là giao điểm của $E G$ và $A C$.
Ta có $\dfrac{A K}{A E}=\dfrac{\sin \angle A E K}{\sin A K E}$ và $\dfrac{C K}{C G}=\dfrac{\sin \angle C G K}{\sin \angle C K G}$.
Mà $\sin \angle A K E=\sin \angle C K G, \sin \angle A E K=\sin C G K$.
Do đó $\frac{A K}{C K}=\dfrac{A E}{C G}=\frac{a}{c}$.
Gọi $K^{\prime}$ là giao điểm của $H F$ và $A C$ ta cũng chứng minh được $\frac{A K^{\prime}}{C K^{\prime}}=\dfrac{a}{c}$. Do đó $K \equiv K^{\prime}$ hay $E G, H F, A C$ dồng quy.
Tương tự ta cũng có $B D, E G, H F$ dồng quy.
b) Ta có $A B \overrightarrow{I E}=b \overrightarrow{I A}+a \overrightarrow{I B}, B C \overrightarrow{I F}=b \overrightarrow{I C}+c \overrightarrow{I B}, C D \overrightarrow{I G}=c \overrightarrow{I D}+d \overrightarrow{I C}, A D \overrightarrow{I H}=d \overrightarrow{I A}+a \overrightarrow{I D}$.
Theo định lý con nhím ta có $A B \overrightarrow{I E}+B C \overrightarrow{I F}+C D \overrightarrow{I G}+A D \overrightarrow{I H}=\overrightarrow{0}$, suy ra $(a+c)(\overrightarrow{I B}+$ $\overrightarrow{I D})+(b+d)(\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I C})=\overrightarrow{0}$
Mà $\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I C}=2 \overrightarrow{I M}, \overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I D}=2 \overrightarrow{I N}$.
Do đó $(a+c) \overrightarrow{I N}+(b+d) \overrightarrow{I M}=\overrightarrow{0}$, từ đó suy ra $I, M, N$ thẳng hàng và $\dfrac{I M}{I N}=\dfrac{b+d}{a+c}$.
Ví dụ 4. Cho tam giác $A B C$ nhọn có trực tâm $H$. Gọi $M$ là trung điểm $B C$, đường tròn tâm $M$ bán kính $M H$ cắt $B C$ tại $A_1, A_2$; các điểm $B_1, B_2, C_1, C_2$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng 6 điểm $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải.
Ta dễ nhận ra rằng các điểm này cách đều tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$, vậy ta chỉ cần tính $O A_1$ sao cho không phụ thuộc vào vị trí của $A_1$, hay kết quả là một biểu thức đối xứng ta sẽ có điều cần chứng minh.
$O A_1^2=O M^2+M A_1^2=O M^2+M H^2$.
$M H^2=\dfrac{1}{2}\left(H B^2+H C^2\right)-\dfrac{1}{4} B C^2=2 O N^2+2 O P^2-\dfrac{1}{4} a^2=R^2\left(2 \cos ^2 B+2 \cos ^2 C-\sin ^2 A\right)$.
Khi đó
$$
O A_1^2=R^2\left(2 \cos ^2 B+2 \cos ^2 C+\cos ^2 A-\sin ^2 A\right)=R^2\left(2 \cos ^2 B+2 \cos ^2 C+2 \cos ^2 A-1\right)
$$
Tương tự cho các độ dài khác, từ đó ta có 6 điểm thuộc đường tròn tâm $O$.
Chú ý: Để ý vai trò như nhau của các đối tượng cần tính và cố gắng đưa về các yếu tố của hình gốc, cụ thể trong bài này là tam giác $ABC$.
Bài 5. Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến tại $B, C$ cắt nhau tại $L$. Gọi $X$ là điểm đối xứng của $A$ qua $B C$, tiếp tuyến tuyến tại $A$ cắt $L X$ tại $K$. Chứng minh $K$ thuộc đường thẳng Euler của tam giác $A B C$.
Hướng dẫn giải
Gọi giao điểm của $O K$ với $A X$ là $J$, ta sẽ chứng minh $J$ là trực tâm của $\triangle A B C$. Gọi giao điểm của $O L$ với $A K$ là $I$, theo định lý Thales ta có $\dfrac{J A}{O I}=\dfrac{K J}{K O}=\dfrac{J X}{O L} \Leftrightarrow \dfrac{J A}{J X}=\dfrac{O I}{O L}$.
Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$ và $P$ là giao của $A H$ và $(O)$, do tính đối xứng thì $A P=H X$. Ta cần chứng minh $\dfrac{H A}{H X}=\dfrac{J A}{J X}$, tức là $\dfrac{A H}{A P}=\dfrac{O I}{O L}(1)$.
Từ đây chú ý thêm $\angle O I A=90^{\circ}-\angle O A H=\angle A C P=\alpha$, hướng giải quyết của ta đã sáng sủa hơn, ta có : $O I=\dfrac{O A}{\sin \alpha} ; O L=\dfrac{O C}{\cos \angle B A C} \Rightarrow \dfrac{O I}{O L}=\dfrac{\cos \angle B A C}{\sin \alpha}$
Ta có $A H=2 R \cos \angle B A C ; A P=2 R$. $\sin \alpha$, suy ra $\dfrac{A H}{A P}=\dfrac{\cos \angle B A C}{\sin \alpha}=\frac{O I}{O L}$. Suy ra $\dfrac{H A}{H X}=$ $\dfrac{J A}{J X}$; nghĩa là $H$ trùng $J$, suy ra $K$ thuộc đường thẳng Euler của tam giác $A B C$.
(Hết phần 1)