Tag Archives: DuongTron

Góc trong đường tròn (tt)

Leave a reply

 

 

 

 

 

 

 

 

Ví dụ 1.
Tính số đo góc $\angle BAC$ và $\angle BDC$ như hình vẽ.

Giải
  •  Ta có $\angle BAC = \dfrac{1}{2} \angle BOC = 60^\circ$.
  • Và $\angle BDC 180^\circ – \angle BAC = 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ$.

Ví dụ 2.
Trên đường tròn $(O;R)$ lấy các điểm $A, B$ sao cho $\text{sđ} \arc{AB} = 120^\circ$ và $C$ thuộc cung nhỏ cung ${AB}$ và $\text{sđ} \text{cung}{AC} = 30^\circ$.
a) Tính số đo cung $BC$.
b) Tính độ dài $AB, BC$ theo $R$.

Giải
  • Nếu $C$ thuộc cung nhỏ $AB$ thì $\text{sđ} \arc{AB} = \text{sđ} \arc{AC}+\text{sđ} \arc{CB}$, suy ra $\text{sđ} \arc{BC} = 120^\circ – 30^\circ = 90^\circ$.
    Gọi $\arc{AmB}$ là cung lớn $AB$. Suy ra $\text{sđ} \arc{AmB} = 240^\circ$.
  • Gọi $M$ là trung điểm $AB$ ta có $OM \bot AB$ và $OM$ là phân giác $\angle AOB$.\\
    $\angle AOB = \text{sđ} \arc{AOB} = 120^\circ$, suy ra $\angle AOM = 60^\circ$. Suy ra $AM = OA.\sin AOM = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$. Do đó $AB = 2AM = R\sqrt{3}$.
  • Tam giác $OBC$ vuông cân tại O nên $BC=\sqrt{OB^2+OC^2} = R\sqrt{2}$.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn $(O)$. Phân giác trong góc $A$ cắt $(O)$ tại $D$. Chứng minh $DB = DC$ và $OD \bot BC$.

Giải


Ta có $\text{sđ} \text{cung} {DB} = 2\angle DAB$, $\text{sđ} \text{cung} {DC} = 2\angle DAC$. Mà $\angle DAB = \angle DAC$(gt) nên $\text{sđ} {DB}= \text{sđ} {CD}$, suy ra $DB = DC$. \\
Ta có $OB = OC, DB = DC$ nên $OD$ là trung trực của $BC$, do đó $OD \bot BC$.

Ví dụ 4. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Hai điểm $C, D$ khác phía đối với $AB$ sao cho $\angle CAB = 60^\circ, \angle DAB = 45^\circ$.
a) Tính $\angle ACB, \angle ADB$.
b) Tính $\angle DCB$ và $\angle CDB$.
c) Tính $\angle COD$.

Giải

a) Ta có $\angle ACB = 90^\circ$ (góc nội tiếp nửa đường tròn)\\
$\angle ADB = 90^\circ$ (góc nội tiếp nửa đường tròn).
b) Ta có $\angle DCB = \angle DAB$ (góc nội tiếp cùng chắn cung DB), mà $\angle DAB = 60^\circ$ nên $\angle DCB = 60^\circ$.\\
Ta có $\angle ADC = \angle ABC$(góc nội tiếp cùng chắc cung AC).\\
Mà $\angle ABC = 90^\circ – \angle CAB = 45^\circ$, nên $\angle ADC =45^\circ$.
b) Ta có $\angle ABD = 90^\circ – \angle DAB = 30^\circ$, suy ra $\angle CBD = \angle ABC + \angle ABD = 75^\circ$.\\
Khi đó $\angle COD = 2\angle CBD = 150^\circ$.

Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $\angle A = 60^\circ, \angle B = 75^\circ$. Tiếp tuyến tại $A$ cắt $BC$ tại $D$.
a) Tính $\angle DAB$.
b) Phân giác góc $BAC$ cắt $BC$ tại $E$. Chứng minh tam giác $DAE$ cân.
c) Chứng minh $DA^2 = DB\cdot DC$.

Giải

a) Ta có $\angle ACB = 180^\circ – \angle ABC – \angle BAC = 45^\circ$. \\
Suy ra $\angle DAB = \angle ACB$ (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó). Suy ra $\angle DAB = 45^\circ$.
b) Ta có $\angle DEA = \angle ACB + \angle EAC = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ$.\\
Và $\angle DAE = \angle DAB + \angle BAE = 75^\circ$.\\
Do đó $\angle DAE = \angle DEA$, suy ra tam giác $DAE$ cân tại $D$.
c)  Xét tam giác $DAB$ và tam giác $DCA$ có $\angle DAB$ chung và $\angle DAB = \angle DCA$, suy ra $\triangle DAB \backsim \triangle DCA \Rightarrow \dfrac{DA}{DC} = \dfrac{DB}{DA} \Rightarrow DB\cdot DC = DA^2$.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ và $B$ cắt nhau tại điểm $M$. Biết $\angle AMB = 60^\circ$.
a) Tính số đo góc ở tâm tạo bởi hai bán kính $OA, OB$.
b) Tính số đo mỗi cung $AB$ (cung lớn và cung nhỏ).

Bài 2. Cho tứ giác $ABCE$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $BE$ và $AC$ cắt nhau tại $I$. Cho $\angle ABE = 40^\circ, \angle BAE = 100^o$.

a)Tính $\angle AOE$ và $\angle OAE$.
b)Tính $\angle ACE$.
c) Tính $\angle BCE$.
d) Chứng minh $IA\cdot IC = IB\cdot IE$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$, thỏa $\widehat {BAC} = {75^0},\widehat {ACB} = {45^0}$.
a) Tính $\widehat {AOB}$ và $AB$.
b) Tính $AC$.
c) Tính diện tích tam giác $ABC$.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ có $\angle BAC = 60^\circ$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Vẽ đường kính $BD$.
a) Tính các góc của tam giác $BCD$.
b) Tính $BC$ theo $R$.
c) Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Chứng minh $AH = R$.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $D$ là điểm
chính giữa cung $AC$ không chứa $B$. Ta kẻ dây $DE$ song
song với cạnh $AB$, cắt $BC$ tại $I$. Chứng tỏ các tam giác
$ICE$ và $IBD$ cân.

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Leave a reply

Định lý. Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

  • Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
  • Tia kẻ từ điểm đố qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
  • Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Ví dụ 1. Cho đường tròn $O$ bán kính $R$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ vẽ các tiếp tuyến $AB, AC$ đến $O$ với $B, C$ là các tiếp điểm. Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$. Chứng minh rằng :

  1. Bốn điểm $O, A, B, C$ cùng thuộc một đường tròn.
  2. $OA$ là đường trung trực của $BC$.
  3. $OH.OA = R^2$.
Gợi ý

1.Ta có $AB, AC$ là tiếp tuyến nên $OB \bot AB,OC \bot AC$. \\

  • Gọi $M$ là trung điểm của $OA$. Tam giác $OAB$ vuông tại $B$ có $BM$ là trung tuyến nên $BM = \dfrac{1}{2}OA = MA = MO$.
  • Tam giác $OCA$ vuông tại $C$ có $CM$ là trung tuyến nên $CM = \dfrac{1}{2}OA$.
  • Từ đó ta có $MA = MO = MB = MC$, do đó 4 điểm $O, A, B, C$ cùng thuộc một đường tròn tâm $M$ đường kính $OA$.

2. Ta có $AB, AC$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ nên $AB = AC$, mặt khác $OB = OC = R$, suy ra $OA$ là đường trung trực của đoạn $BC$.

3. $OA$ là trung trực của $BC$ nên $OA \bot BC$ tại $H$.
Tam giác $OBA$ vuông tại $B$ có $BH$ là đường cao nên $OH\cdot OA = OB^2 = R^2$.

Ví dụ 2. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB=2R$. $d_1$ là tiếp tuyến tại $A$ và $d_2$ là tiếp tuyến tại $B$. $C$ là một điểm thuộc đường tròn $(O)$, tiếp tuyến tại $C$ cắt $d_1$ và $d_2$ lần lượt tại $D, E$.
1. Chứng minh $DE = AD + BE$.
2. Chứng minh $\angle DOE = 90^\circ$ và $CD\cdot CE = R^2$.

Gợi ý

1.

  • Ta có tiếp tuyến tại $C$ và $A$ cắt nhau tại $D$ nên $DC = DA$.
  • Tiếp tuyến tại $C$ và tiếp tuyến tại $B$ cắt nhau tại $E$ nên $CE = BE$.
    Suy ra $DE = CD + CE = AD + BD$.

2.

  • Ta có $OD$ là phân giác của $\angle CAO$, $OE$ là phân giác của của $\angle BOC$ (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau).
  • Mà $\angle CAO$ và $\angle BOC$ là hai góc kề bù, suy ra $OD \bot OE$.
  • Ta có $OC \bot DE$ (t/c tiếp tuyến). Tam giác $DOE$ vuông tại $O$ có $OC$ là đường cao nên $CD.CE = OC^2 = R^2$.

Bài tập.

1.Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Dây cung $AB = R\sqrt{3}$. Tiếp tuyến tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $P$. $OP$ cắt $AB$ tại $K$.

a. Chứng minh $OK \bot AB$. Tính $OK$.
b.Tính $PA, PB$. Chứng minh tam giác $PAB$ đều.

2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC$.

a.Chứng minh 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn. Xác định tâm $I$ của đường tròn.
b.Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.
c.Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $BH, CH$. Chứng minh rằng $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $MN$.

3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính $AB = 2R$. Trên tiếp tuyến tại $A$ của nửa đường tròn lấy điểm $D$ sao cho $\angle ABD = 30^\circ$, $BD$ cắt $(O)$ tại $C$. Từ $D$ vẽ tiếp tuyến $DE$ đến $(O)$.

a.Tính $BD, AC$.
b. Tính $DE$.
c.Gọi $F$ là trung điểm của $AD$. Chứng minh $CF$ là tiếp tuyến của $(O)$.
d.Gọi $M$ là giao điểm của $OD$ và $AE$, chứng minh $FM \bot OE$.

4. Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, $C$ là một điểm thuộc nửa đường tròn sao cho $AC = R$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $O$ qua $C$.

a. Chứng minh rằng $DA$ là tiếp tuyến của $(O)$.
b. Từ $D$ vẽ tiếp tuyến $DE$ đến $(O)$ ($E$ khác $A$). Tính $DE$ và chứng minh tam giác $ADE$ đều.
c. Tứ giác $OACE$ là hình gì? Tại sao?
d.$DB$ cắt $(O)$ tại $F$. Tính $DF$. Chứng minh $\angle DBE =\angle DEF$.

5. Cho đường tròn tâm $O$, điểm $E$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $EM, EN$ với đường tròn ($M, N$ là các tiếp điểm).
a.Chứng minh $OE$ vuông góc với $MN$.
b.Vẽ đường kính $NB$ của đường tròn $(O)$. Biết $OE \bot MN$ tại $H$. Chứng minh tứ giác $OBMH$ là hình thang.
c. Biết $OM = 2, OE = 4$. Tính độ dài các cạnh của tam giác $EMN$.
d.Tính diện tích tam giác $EMN$.

 

 

Tiếp tuyến của đường tròn.

Leave a reply

Định nghĩa. Đường thẳng $a$ là tiếp tuyến của $(O)$ nếu $a$ và $(O)$ có một điểm chung.

Phương pháp chứng minh tiếp tuyến. Để chứng minh đường thẳng $a$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ ta có thể làm theo các cách sau:

Cách 1: Vẽ $OH \bot $a$. Chứng minh $OH$ bằng bán kính.

Cách 2: Nếu $a$ và $(O)$ có điểm chung là $H$. Chứng minh $OH \bot a$.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC$.

  1. Chứng minh 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn. Xác định tâm $I$ của đường tròn.
  2. Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.
  3. Chứng minh $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $HC$.
Gợi ý

1.Gọi $I$ là giao điểm của $DE$ và $AH$.

Tứ giác $ADHE$ có $\angle A = \angle D = \angle E = 90^\circ$, suy ra $ADHE$ là hình chữ nhật, do đó $IA = ID = IE = IH$.

Vậy 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$ (trung điểm AH).

2. Ta có $IH \bot BC$ và $H$ thuộc (I) nên $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.

3. Gọi $M$ là trung điểm đoạn $HC$ thì $M$ là tâm đường tròn đường kính $HC$.

Xét tam giác $IEM$ và tam giác $IHM$ có: $IM$ chung, $IE = IH, ME = MH$, nên $\Delta IEM = \Delta IHM$ (c.c.c), suy ra $\angle IEM = \angle IHM$.

Ta có $DE \bot ME$ và $E$ thuộc $(M)$ nên $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(M)$.

Ví dụ 2.  Cho hình thang vuông $ABCD$ có $\angle A = \angle D = 90^\circ, CD = AD =2a, AB = a$. Đường tròn tâm $I$ đường kính $CD$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $E$ khác $C$. Chứng minh $AE$ là tiếp tuyến của $(I)$.

Gợi ý
  • Tứ giác $ABCI$ có $AB ||IC$ và $AB = IC = a$ nên là hình bình hành, suy ra $IA||BC$.
  • Tam giác $DCE$ có $IA ||CE$ và $I$ là trung điểm $CD$ nên $IA$ qua trung điểm của $DE$.
  • Hơn nữa $CE \bot DE$, suy ra $IA \bot DE$. Do đó $IA$ là trung trực của $DE$.
  • Từ đó $\Delta IEA = \Delta IDA$, suy ra $\angle IEA = \angle IDA = 90^\circ$.
  • Vì $IE \bot EA$ và $E \in (I)$ nên $AE$ là tiếp tuyến của $ (I)$ .

Bài tập. 

1.Cho tam giác $ABC$ nhọn, các đường cao $BE, CE$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh $MD, ME$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$.

2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC$.

a.Chứng minh 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn. Xác định tâm $I$ của đường tròn. \item Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.

b. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $BH, CH$. Chứng minh rằng $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $MN$.

3. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, trên tiếp tuyến tại $A$ và $B$ lấy các điểm $D, E$ sao cho $D, E$ cùng phía đối với $AB$ và $AD.BE = \dfrac{1}{4}AB^2$. Chứng minh $DE$ là tiếp tuyến của $(O)$.

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Leave a reply

Định lý. Cho đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $a$. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $a$.

  • Nếu $d > R$, thì $a$ và $(O)$ không có điểm chung, ta nói $a$ ngoài $(O)$.
  • Nếu $d = R$, thì $a$ và $(O)$ có 1 điểm chung, ta nói $a$ là tiếp tuyến của $(O)$. Điểm chung của $a$ và $(O)$ được gọi là tiếp điểm.
  • Nếu $d < R$, thì $a$ và $(O)$ có 2 điểm chung, ta nói $a$ cắt $(O)$.

Ví dụ 1. Cho đường tròn $(O;6cm)$, điểm $A$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OA = 10cm$. Một đường thẳng qua $A$ sao cho cắt $(O)$ tại $B, C$, với $B$ nằm gần $A$ hơn, biết khoảng cách từ $O$ đến $BC$ bằng $3cm$.

a. Tính $BC$.

b. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $C$ qua $O$. Tính $AD$ lấy 2 chữ số thập phân.

Gợi ý

 

a. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, khi đó ta có $OM \bot BC$.

Tam giác $OMC$ vuông tại $M$ nên:

  • $OM^2 + MC^2 = OC^2$
  • $MC^2  = OC^2 – OM^2$
  • $MC^2 = 6^2 – 3^2 $
  • $MC^2 = 27$
  • $MC = 3\sqrt{3}$
  • $BC = 2MC = 6\sqrt{3}$.

b.

  • Tam giác $BCD$ có $OM$ là đường trung bình nên $DM = 2OM = 6$.
  • $CD$ là đường kính nên $\angle BDC = 90^\circ$.
  • Tam giác $OAM$ vuông tại $M$ nên $AM^2 = OA^2 – OM^2 = 100-9 = 91$, $AM = \sqrt{91}$
  • Suy ra $AB = AM – BM = \sqrt{91} – 3\sqrt{3} \approx 4.34$.
  • Tam giác $ABD$ vuông tại $B$ nên $AD = \sqrt{AB^2+BD^2} \approx 7.41$.

Ví dụ 2. Cho đường tròn $(A;3cm)$ và điểm $B$ thuộc $(O)$.  Trên tiếp tuyến tại $B$ của $(A)$ lấy $C$ sao cho $BC = 4cm$.  Vẽ $BE \bot AC$ với $E$ thuộc $AC$

a. Tính $AC, BE$.

b. Trên tia đối tia $EB$ lấy $F$ sao cho $EF = 4cm$. Tính $CF$.

c. Xét vị trí tương đối của $CF$ và $(A)$.

Gợi ý

a. Ta có $BC$ là tiếp tuyến nên $AB \bot BC$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên:

  • $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2$
  • $AC^2 = 25$
  • $AC = 5 cm$.

Ta có

  • $BE.AC = AB.BC$
  • $BE.5 = 3.4$
  • $BE = 2.4 cm$.

b. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, đường cao $BE$ nên

  • $CE.CA = CB^2$
  • $CE.5 = 4^2$
  • $CE = 3.2 cm$.
  • Tam giác $CEF$ vuông tại $E$ nên $CF^2 = CE^2 + EF^2 = 3.2^2 + 4^2 = 26.24$, suy ra $CF \approx 5.12$.

c. Vẽ $AG \bot CF$.

  • Ta có $CF.AG = FE.OC$
  • $OG =\dfrac{FE.OC}{CF} = \dfrac{4.5}{5.12} \approx = 3.9cm$
  • Ta có $OG > 3$ nên $CF$ nằm ngoài đường tròn $(A;3cm)$.

Sự xác định đường tròn

Leave a reply

Định lý. Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định được một đường tròn.

Chú ý. Tâm $O$ của đường tròn qua 3 đỉnh $A, B, C$ là giao điểm ba đường trung trực của các cạnh của tam giác $ABC$. Đường tròn qua 3 đỉnh của tam giác $ABC$ được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, tam giác $ABC$ được gọi là tam giác nội tiếp đường trò $(O)$.}

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB = 6, BC = 10$. Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Gợi ý
  • Gọi $O$ là trung điểm cạnh $BC$.
  • Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AO$ là trung tuyến nên $AO = \dfrac{1}{2}BC$.
  • Suy ra $AO = OB = OC$. Vậy $O$ là tâm đường tròn qua 3 đỉnh $A, B, C$ của tam giác $ABC$.
  • Ta có $BC = \sqrt{AB^2+AC^2}= \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$. Suy ra $OA = \dfrac{1}{2} BC = 5$.
  • Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông $ABC$ là trung điểm $O$ của $BC$ và bán kính bằng $OA =5$.

Ví dụ 2. Cho hình chữ nhận $ABCD$ có $\angle ABD = 60^\circ, AB = a$. Chứng minh 4 điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc đường tròn, xác định tâm và tính bán kính của đường tròn.

Gợi ý
  • Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
  • $ABCD$ là hình chữ nhật nên $OA = OB = OC = OD$, đó đó 4 điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc đường tròn tâm $O$.
  • Ta có $\cos \angle ABD = \dfrac{AB}{AD}$, hay $\cos 60^\circ = \dfrac{a}{BD}$, suy ra $BD = 2a$. Từ đó $OB = a$.
  • Vậy bán kính đường tròn là $a$.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ có $AB  = AC = 5cm, BC = 6cm$.

a. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.

b. Vẽ đường kính $BD$. Tính $AD$ và $CD$.  \item Chứng minh $\angle ADB = \angle ABC$.

Gợi ý

a.

  • Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Tam giác $ABC$ cân nên $AM$ là trung trực của $BC$.
  • Trung trực của $AB$ cắt $AB$ tại $E$ và cắt $AM$ tại $O$, thì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
  • Ta có $\Delta AEO \backsim \Delta AMB$, suy ra $AE\cdot AB = AO\cdot AM$, suy ra $AO = \dfrac{AE\cdot AB}{AM}$.
  • Mà $AE = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{5}{2}, AM = \sqrt{AB^2-BM^2}= 4$.  Suy ra $AO = \dfrac{25}{8}$.
  • Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $\dfrac{25}{8}$.

b.

  • Ta có $BD = 2OA = \dfrac{25}{4}$.
  • Tam giác $ABD$ có trung tuyến $AO$ bằng $\dfrac{1}{2}BD$ nên vuông tại $A$, suy ra $AD = \sqrt{BD^2-AB^2}= \dfrac{15}{4}$.
  • Ta có $CD = \sqrt{BD^2-BC^2}= \dfrac{\sqrt{481}}{4}$.
  • Ta có $\angle ABD + \angle ADB = 90^\circ$, $\angle ABC = \angle BAM = 90^\circ$.
  • Mà $\angle ABD = \angle BAM$ (do tam giác $OAB$ cân tại $O$), suy ra $\angle ABD = \angle ADB$.

Bài tập.

1. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác trong các trường hợp sau.

a. Tam giác đều cạnh a.

b. Tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 6 và 8.

c. Tam giác cân có các cạnh là 12, 12, 10.

2. Cho tam giác $ABC$ nhọn, đường cao $AD$ với $AD = DC = 4, DB = 2$. Gọi $E, F$ chân đường vuông góc từ $D$ đến $AB, AC$.

a. Tính $AE, AF$.  \item Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$.

b. Trung trực của $BC$ cắt $DF$ tại $O$. Chứng minh $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tính $OA$.

3. Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB = 2R$. $C$ là điểm thay đổi thuộc nửa đường tròn. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc vuông góc của $C$ trên $AB$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên các cạnh $AC, BC$. Gọi $I$ là giao điểm của $DE$ và $CH$.

a. Tìm vị trí của $C$ để $DE$ đạt giá trị lớn nhất.

b. Gọi $F$ là giao điểm của $OC$ và $DE$. Chứng minh 4 điểm $I, H, O,F$ cùng thuộc một đường tròn.

c. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $DE$ và đường thẳng qua $O$ vuông góc với $AB$ cắt nhau tại điểm $K$. Chứng minh $IK$ không đổi và 4 điểm $A, B, D, E$ cùng thuộc đường tròn tâm $K$.