Tag Archives: TiepTuyen

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Định lý. Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

  • Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
  • Tia kẻ từ điểm đố qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
  • Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Ví dụ 1. Cho đường tròn $O$ bán kính $R$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ vẽ các tiếp tuyến $AB, AC$ đến $O$ với $B, C$ là các tiếp điểm. Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$. Chứng minh rằng :

  1. Bốn điểm $O, A, B, C$ cùng thuộc một đường tròn.
  2. $OA$ là đường trung trực của $BC$.
  3. $OH.OA = R^2$.
Gợi ý

1.Ta có $AB, AC$ là tiếp tuyến nên $OB \bot AB,OC \bot AC$. \\

  • Gọi $M$ là trung điểm của $OA$. Tam giác $OAB$ vuông tại $B$ có $BM$ là trung tuyến nên $BM = \dfrac{1}{2}OA = MA = MO$.
  • Tam giác $OCA$ vuông tại $C$ có $CM$ là trung tuyến nên $CM = \dfrac{1}{2}OA$.
  • Từ đó ta có $MA = MO = MB = MC$, do đó 4 điểm $O, A, B, C$ cùng thuộc một đường tròn tâm $M$ đường kính $OA$.

2. Ta có $AB, AC$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ nên $AB = AC$, mặt khác $OB = OC = R$, suy ra $OA$ là đường trung trực của đoạn $BC$.

3. $OA$ là trung trực của $BC$ nên $OA \bot BC$ tại $H$.
Tam giác $OBA$ vuông tại $B$ có $BH$ là đường cao nên $OH\cdot OA = OB^2 = R^2$.

Ví dụ 2. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB=2R$. $d_1$ là tiếp tuyến tại $A$ và $d_2$ là tiếp tuyến tại $B$. $C$ là một điểm thuộc đường tròn $(O)$, tiếp tuyến tại $C$ cắt $d_1$ và $d_2$ lần lượt tại $D, E$.
1. Chứng minh $DE = AD + BE$.
2. Chứng minh $\angle DOE = 90^\circ$ và $CD\cdot CE = R^2$.

Gợi ý

1.

  • Ta có tiếp tuyến tại $C$ và $A$ cắt nhau tại $D$ nên $DC = DA$.
  • Tiếp tuyến tại $C$ và tiếp tuyến tại $B$ cắt nhau tại $E$ nên $CE = BE$.
    Suy ra $DE = CD + CE = AD + BD$.

2.

  • Ta có $OD$ là phân giác của $\angle CAO$, $OE$ là phân giác của của $\angle BOC$ (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau).
  • Mà $\angle CAO$ và $\angle BOC$ là hai góc kề bù, suy ra $OD \bot OE$.
  • Ta có $OC \bot DE$ (t/c tiếp tuyến). Tam giác $DOE$ vuông tại $O$ có $OC$ là đường cao nên $CD.CE = OC^2 = R^2$.

Bài tập.

1.Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Dây cung $AB = R\sqrt{3}$. Tiếp tuyến tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $P$. $OP$ cắt $AB$ tại $K$.

a. Chứng minh $OK \bot AB$. Tính $OK$.
b.Tính $PA, PB$. Chứng minh tam giác $PAB$ đều.

2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC$.

a.Chứng minh 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn. Xác định tâm $I$ của đường tròn.
b.Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.
c.Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $BH, CH$. Chứng minh rằng $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $MN$.

3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính $AB = 2R$. Trên tiếp tuyến tại $A$ của nửa đường tròn lấy điểm $D$ sao cho $\angle ABD = 30^\circ$, $BD$ cắt $(O)$ tại $C$. Từ $D$ vẽ tiếp tuyến $DE$ đến $(O)$.

a.Tính $BD, AC$.
b. Tính $DE$.
c.Gọi $F$ là trung điểm của $AD$. Chứng minh $CF$ là tiếp tuyến của $(O)$.
d.Gọi $M$ là giao điểm của $OD$ và $AE$, chứng minh $FM \bot OE$.

4. Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, $C$ là một điểm thuộc nửa đường tròn sao cho $AC = R$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $O$ qua $C$.

a. Chứng minh rằng $DA$ là tiếp tuyến của $(O)$.
b. Từ $D$ vẽ tiếp tuyến $DE$ đến $(O)$ ($E$ khác $A$). Tính $DE$ và chứng minh tam giác $ADE$ đều.
c. Tứ giác $OACE$ là hình gì? Tại sao?
d.$DB$ cắt $(O)$ tại $F$. Tính $DF$. Chứng minh $\angle DBE =\angle DEF$.

5. Cho đường tròn tâm $O$, điểm $E$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $EM, EN$ với đường tròn ($M, N$ là các tiếp điểm).
a.Chứng minh $OE$ vuông góc với $MN$.
b.Vẽ đường kính $NB$ của đường tròn $(O)$. Biết $OE \bot MN$ tại $H$. Chứng minh tứ giác $OBMH$ là hình thang.
c. Biết $OM = 2, OE = 4$. Tính độ dài các cạnh của tam giác $EMN$.
d.Tính diện tích tam giác $EMN$.

 

 

Tiếp tuyến của đường tròn.

Định nghĩa. Đường thẳng $a$ là tiếp tuyến của $(O)$ nếu $a$ và $(O)$ có một điểm chung.

Phương pháp chứng minh tiếp tuyến. Để chứng minh đường thẳng $a$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ ta có thể làm theo các cách sau:

Cách 1: Vẽ $OH \bot $a$. Chứng minh $OH$ bằng bán kính.

Cách 2: Nếu $a$ và $(O)$ có điểm chung là $H$. Chứng minh $OH \bot a$.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC$.

  1. Chứng minh 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn. Xác định tâm $I$ của đường tròn.
  2. Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.
  3. Chứng minh $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $HC$.
Gợi ý

1.Gọi $I$ là giao điểm của $DE$ và $AH$.

Tứ giác $ADHE$ có $\angle A = \angle D = \angle E = 90^\circ$, suy ra $ADHE$ là hình chữ nhật, do đó $IA = ID = IE = IH$.

Vậy 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$ (trung điểm AH).

2. Ta có $IH \bot BC$ và $H$ thuộc (I) nên $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.

3. Gọi $M$ là trung điểm đoạn $HC$ thì $M$ là tâm đường tròn đường kính $HC$.

Xét tam giác $IEM$ và tam giác $IHM$ có: $IM$ chung, $IE = IH, ME = MH$, nên $\Delta IEM = \Delta IHM$ (c.c.c), suy ra $\angle IEM = \angle IHM$.

Ta có $DE \bot ME$ và $E$ thuộc $(M)$ nên $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(M)$.

Ví dụ 2.  Cho hình thang vuông $ABCD$ có $\angle A = \angle D = 90^\circ, CD = AD =2a, AB = a$. Đường tròn tâm $I$ đường kính $CD$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $E$ khác $C$. Chứng minh $AE$ là tiếp tuyến của $(I)$.

Gợi ý
  • Tứ giác $ABCI$ có $AB ||IC$ và $AB = IC = a$ nên là hình bình hành, suy ra $IA||BC$.
  • Tam giác $DCE$ có $IA ||CE$ và $I$ là trung điểm $CD$ nên $IA$ qua trung điểm của $DE$.
  • Hơn nữa $CE \bot DE$, suy ra $IA \bot DE$. Do đó $IA$ là trung trực của $DE$.
  • Từ đó $\Delta IEA = \Delta IDA$, suy ra $\angle IEA = \angle IDA = 90^\circ$.
  • Vì $IE \bot EA$ và $E \in (I)$ nên $AE$ là tiếp tuyến của $ (I)$ .

Bài tập. 

1.Cho tam giác $ABC$ nhọn, các đường cao $BE, CE$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh $MD, ME$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$.

2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC$.

a.Chứng minh 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn. Xác định tâm $I$ của đường tròn. \item Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.

b. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $BH, CH$. Chứng minh rằng $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $MN$.

3. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, trên tiếp tuyến tại $A$ và $B$ lấy các điểm $D, E$ sao cho $D, E$ cùng phía đối với $AB$ và $AD.BE = \dfrac{1}{4}AB^2$. Chứng minh $DE$ là tiếp tuyến của $(O)$.

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Định lý. Cho đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $a$. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $a$.

  • Nếu $d > R$, thì $a$ và $(O)$ không có điểm chung, ta nói $a$ ngoài $(O)$.
  • Nếu $d = R$, thì $a$ và $(O)$ có 1 điểm chung, ta nói $a$ là tiếp tuyến của $(O)$. Điểm chung của $a$ và $(O)$ được gọi là tiếp điểm.
  • Nếu $d < R$, thì $a$ và $(O)$ có 2 điểm chung, ta nói $a$ cắt $(O)$.

Ví dụ 1. Cho đường tròn $(O;6cm)$, điểm $A$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OA = 10cm$. Một đường thẳng qua $A$ sao cho cắt $(O)$ tại $B, C$, với $B$ nằm gần $A$ hơn, biết khoảng cách từ $O$ đến $BC$ bằng $3cm$.

a. Tính $BC$.

b. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $C$ qua $O$. Tính $AD$ lấy 2 chữ số thập phân.

Gợi ý

 

a. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, khi đó ta có $OM \bot BC$.

Tam giác $OMC$ vuông tại $M$ nên:

  • $OM^2 + MC^2 = OC^2$
  • $MC^2  = OC^2 – OM^2$
  • $MC^2 = 6^2 – 3^2 $
  • $MC^2 = 27$
  • $MC = 3\sqrt{3}$
  • $BC = 2MC = 6\sqrt{3}$.

b.

  • Tam giác $BCD$ có $OM$ là đường trung bình nên $DM = 2OM = 6$.
  • $CD$ là đường kính nên $\angle BDC = 90^\circ$.
  • Tam giác $OAM$ vuông tại $M$ nên $AM^2 = OA^2 – OM^2 = 100-9 = 91$, $AM = \sqrt{91}$
  • Suy ra $AB = AM – BM = \sqrt{91} – 3\sqrt{3} \approx 4.34$.
  • Tam giác $ABD$ vuông tại $B$ nên $AD = \sqrt{AB^2+BD^2} \approx 7.41$.

Ví dụ 2. Cho đường tròn $(A;3cm)$ và điểm $B$ thuộc $(O)$.  Trên tiếp tuyến tại $B$ của $(A)$ lấy $C$ sao cho $BC = 4cm$.  Vẽ $BE \bot AC$ với $E$ thuộc $AC$

a. Tính $AC, BE$.

b. Trên tia đối tia $EB$ lấy $F$ sao cho $EF = 4cm$. Tính $CF$.

c. Xét vị trí tương đối của $CF$ và $(A)$.

Gợi ý

a. Ta có $BC$ là tiếp tuyến nên $AB \bot BC$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên:

  • $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2$
  • $AC^2 = 25$
  • $AC = 5 cm$.

Ta có

  • $BE.AC = AB.BC$
  • $BE.5 = 3.4$
  • $BE = 2.4 cm$.

b. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, đường cao $BE$ nên

  • $CE.CA = CB^2$
  • $CE.5 = 4^2$
  • $CE = 3.2 cm$.
  • Tam giác $CEF$ vuông tại $E$ nên $CF^2 = CE^2 + EF^2 = 3.2^2 + 4^2 = 26.24$, suy ra $CF \approx 5.12$.

c. Vẽ $AG \bot CF$.

  • Ta có $CF.AG = FE.OC$
  • $OG =\dfrac{FE.OC}{CF} = \dfrac{4.5}{5.12} \approx = 3.9cm$
  • Ta có $OG > 3$ nên $CF$ nằm ngoài đường tròn $(A;3cm)$.

Tứ giác nội tiếp tạo bởi hai tiếp tuyến cắt nhau.

Đề bài. Cho đường tròn tâm $O$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ dựng các tiếp tuyến $AB, AC$ đến $(O)$ với $B, C$ là các tiếp điểm. $OA$ cắt $BC$ tại $H$. (a) Chứng minh rằng tứ giác $OBAC$ nội tiếp. (b) Một đường thẳng qua $A$ cắt $(O)$ tại $D$ và $E$ sao cho $E$ nằm giữa $A$ và $D$. Chứng minh rằng $O, H, D, E$ cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý

(a)Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại B và C nên $\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$, suy ra $\angle OBA + \angle OCA = 180^\circ$, nên tứ giác $OBAC$ nội tếp.

Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại B và C nên $\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$, suy ra $\angle OBA + \angle OCA = 180^\circ$, nên tứ giác $OBAC$ nội tếp.

(b) Ta có $AB = AC$ (t/c tiếp tuyến) và $OB = OC$, suy ra $OA$ là trung trực của $BC$, suy ra $OA \bot BC$ tại $H$.

Tam giác $ABO$ vuông có $BH$ là đường cao nên $AH.AO = AB^2$. (1)

Mặt khác $\Delta ABD \backsim AEB (g.g)$, suy ra $AD.AE = AB^2$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $AD.AE = AH.AO$, suy ra $\dfrac{AH}{AD} = \dfrac{AE}{AO}$.

Xét tam giác AHE và tam giác EDO có $\angle DAO$ chung và $\dfrac{AH}{AD} = \dfrac{AE}{AO}$ nên $\Delta AHE \backsim \Delta ADO$, suy ra $\angle AHE = \angle ADO$, suy ra tứ giác $OHED$ nội tiếp.

Chú ý. Tứ giác $ABCD$ có hai cạnh bên $AD, BC$ cắt nhau tại P, hai đường chéo cắt nhau tại $Q$. Khi đó $ABCD$ nội tiếp khi và chỉ khi:

  1. $PA.PD = PB.PC$.
  2. $QA.QC = QB.QD$.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp