Tag Archives: TiepTuyen

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Định lý. Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Tia kẻ từ điểm đố qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Ví dụ 1. Cho đường tròn $O$ bán kính $R$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ vẽ các tiếp tuyến $AB, AC$ đến $O$ với $B, C$ là các tiếp điểm. Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$. Chứng minh rằng :

Bốn điểm $O, A, B, C$ cùng thuộc một đường tròn.
$OA$ là đường trung trực của $BC$.
$OH.OA = R^2$.

Gợi ý

1.Ta có $AB, AC$ là tiếp tuyến nên $OB \bot AB,OC \bot AC$. \\

Gọi $M$ là trung điểm của $OA$. Tam giác $OAB$ vuông tại $B$ có $BM$ là trung tuyến nên $BM = \dfrac{1}{2}OA = MA = MO$.
Tam giác $OCA$ vuông tại $C$ có $CM$ là trung tuyến nên $CM = \dfrac{1}{2}OA$.
Từ đó ta có $MA = MO = MB = MC$, do đó 4 điểm $O, A, B, C$ cùng thuộc một đường tròn tâm $M$ đường kính $OA$.

2. Ta có $AB, AC$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ nên $AB = AC$, mặt khác $OB = OC = R$, suy ra $OA$ là đường trung trực của đoạn $BC$.

3. $OA$ là trung trực của $BC$ nên $OA \bot BC$ tại $H$.
Tam giác $OBA$ vuông tại $B$ có $BH$ là đường cao nên $OH\cdot OA = OB^2 = R^2$.

Ví dụ 2. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB=2R$. $d_1$ là tiếp tuyến tại $A$ và $d_2$ là tiếp tuyến tại $B$. $C$ là một điểm thuộc đường tròn $(O)$, tiếp tuyến tại $C$ cắt $d_1$ và $d_2$ lần lượt tại $D, E$.
1. Chứng minh $DE = AD + BE$.
2. Chứng minh $\angle DOE = 90^\circ$ và $CD\cdot CE = R^2$.

Gợi ý

1.

Ta có tiếp tuyến tại $C$ và $A$ cắt nhau tại $D$ nên $DC = DA$.
Tiếp tuyến tại $C$ và tiếp tuyến tại $B$ cắt nhau tại $E$ nên $CE = BE$.
Suy ra $DE = CD + CE = AD + BD$.

2.

Ta có $OD$ là phân giác của $\angle CAO$, $OE$ là phân giác của của $\angle BOC$ (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau).
Mà $\angle CAO$ và $\angle BOC$ là hai góc kề bù, suy ra $OD \bot OE$.
Ta có $OC \bot DE$ (t/c tiếp tuyến). Tam giác $DOE$ vuông tại $O$ có $OC$ là đường cao nên $CD.CE = OC^2 = R^2$.

Bài tập.

1.Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Dây cung $AB = R\sqrt{3}$. Tiếp tuyến tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $P$. $OP$ cắt $AB$ tại $K$.

a. Chứng minh $OK \bot AB$. Tính $OK$.
b.Tính $PA, PB$. Chứng minh tam giác $PAB$ đều.

2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC$.

a.Chứng minh 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn. Xác định tâm $I$ của đường tròn.
b.Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.
c.Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $BH, CH$. Chứng minh rằng $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $MN$.

3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính $AB = 2R$. Trên tiếp tuyến tại $A$ của nửa đường tròn lấy điểm $D$ sao cho $\angle ABD = 30^\circ$, $BD$ cắt $(O)$ tại $C$. Từ $D$ vẽ tiếp tuyến $DE$ đến $(O)$.

a.Tính $BD, AC$.
b. Tính $DE$.
c.Gọi $F$ là trung điểm của $AD$. Chứng minh $CF$ là tiếp tuyến của $(O)$.
d.Gọi $M$ là giao điểm của $OD$ và $AE$, chứng minh $FM \bot OE$.

4. Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, $C$ là một điểm thuộc nửa đường tròn sao cho $AC = R$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $O$ qua $C$.

a. Chứng minh rằng $DA$ là tiếp tuyến của $(O)$.
b. Từ $D$ vẽ tiếp tuyến $DE$ đến $(O)$ ($E$ khác $A$). Tính $DE$ và chứng minh tam giác $ADE$ đều.
c. Tứ giác $OACE$ là hình gì? Tại sao?
d.$DB$ cắt $(O)$ tại $F$. Tính $DF$. Chứng minh $\angle DBE =\angle DEF$.

5. Cho đường tròn tâm $O$, điểm $E$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $EM, EN$ với đường tròn ($M, N$ là các tiếp điểm).
a.Chứng minh $OE$ vuông góc với $MN$.
b.Vẽ đường kính $NB$ của đường tròn $(O)$. Biết $OE \bot MN$ tại $H$. Chứng minh tứ giác $OBMH$ là hình thang.
c. Biết $OM = 2, OE = 4$. Tính độ dài các cạnh của tam giác $EMN$.
d.Tính diện tích tam giác $EMN$.

Tiếp tuyến của đường tròn.

Định nghĩa. Đường thẳng $a$ là tiếp tuyến của $(O)$ nếu $a$ và $(O)$ có một điểm chung.

Phương pháp chứng minh tiếp tuyến. Để chứng minh đường thẳng $a$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ ta có thể làm theo các cách sau:

Cách 1: Vẽ $OH \bot $a$. Chứng minh $OH$ bằng bán kính.

Cách 2: Nếu $a$ và $(O)$ có điểm chung là $H$. Chứng minh $OH \bot a$.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC$.

Chứng minh 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn. Xác định tâm $I$ của đường tròn.
Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.
Chứng minh $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $HC$.

Gợi ý

1.Gọi $I$ là giao điểm của $DE$ và $AH$.

Tứ giác $ADHE$ có $\angle A = \angle D = \angle E = 90^\circ$, suy ra $ADHE$ là hình chữ nhật, do đó $IA = ID = IE = IH$.

Vậy 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$ (trung điểm AH).

2. Ta có $IH \bot BC$ và $H$ thuộc (I) nên $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.

3. Gọi $M$ là trung điểm đoạn $HC$ thì $M$ là tâm đường tròn đường kính $HC$.

Xét tam giác $IEM$ và tam giác $IHM$ có: $IM$ chung, $IE = IH, ME = MH$, nên $\Delta IEM = \Delta IHM$ (c.c.c), suy ra $\angle IEM = \angle IHM$.

Ta có $DE \bot ME$ và $E$ thuộc $(M)$ nên $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(M)$.

Ví dụ 2. Cho hình thang vuông $ABCD$ có $\angle A = \angle D = 90^\circ, CD = AD =2a, AB = a$. Đường tròn tâm $I$ đường kính $CD$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $E$ khác $C$. Chứng minh $AE$ là tiếp tuyến của $(I)$.

Gợi ý

Tứ giác $ABCI$ có $AB ||IC$ và $AB = IC = a$ nên là hình bình hành, suy ra $IA||BC$.
Tam giác $DCE$ có $IA ||CE$ và $I$ là trung điểm $CD$ nên $IA$ qua trung điểm của $DE$.
Hơn nữa $CE \bot DE$, suy ra $IA \bot DE$. Do đó $IA$ là trung trực của $DE$.
Từ đó $\Delta IEA = \Delta IDA$, suy ra $\angle IEA = \angle IDA = 90^\circ$.
Vì $IE \bot EA$ và $E \in (I)$ nên $AE$ là tiếp tuyến của $ (I)$ .

Bài tập.

1.Cho tam giác $ABC$ nhọn, các đường cao $BE, CE$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh $MD, ME$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$.

2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC$.

a.Chứng minh 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn. Xác định tâm $I$ của đường tròn. \item Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.

b. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $BH, CH$. Chứng minh rằng $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $MN$.

3. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, trên tiếp tuyến tại $A$ và $B$ lấy các điểm $D, E$ sao cho $D, E$ cùng phía đối với $AB$ và $AD.BE = \dfrac{1}{4}AB^2$. Chứng minh $DE$ là tiếp tuyến của $(O)$.

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Định lý. Cho đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $a$. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $a$.

Nếu $d > R$, thì $a$ và $(O)$ không có điểm chung, ta nói $a$ ngoài $(O)$.
Nếu $d = R$, thì $a$ và $(O)$ có 1 điểm chung, ta nói $a$ là tiếp tuyến của $(O)$. Điểm chung của $a$ và $(O)$ được gọi là tiếp điểm.
Nếu $d < R$, thì $a$ và $(O)$ có 2 điểm chung, ta nói $a$ cắt $(O)$.

Ví dụ 1. Cho đường tròn $(O;6cm)$, điểm $A$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OA = 10cm$. Một đường thẳng qua $A$ sao cho cắt $(O)$ tại $B, C$, với $B$ nằm gần $A$ hơn, biết khoảng cách từ $O$ đến $BC$ bằng $3cm$.

a. Tính $BC$.

b. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $C$ qua $O$. Tính $AD$ lấy 2 chữ số thập phân.

Gợi ý

a. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, khi đó ta có $OM \bot BC$.

Tam giác $OMC$ vuông tại $M$ nên:

$OM^2 + MC^2 = OC^2$
$MC^2 = OC^2 – OM^2$
$MC^2 = 6^2 – 3^2 $
$MC^2 = 27$
$MC = 3\sqrt{3}$
$BC = 2MC = 6\sqrt{3}$.

b.

Tam giác $BCD$ có $OM$ là đường trung bình nên $DM = 2OM = 6$.
$CD$ là đường kính nên $\angle BDC = 90^\circ$.
Tam giác $OAM$ vuông tại $M$ nên $AM^2 = OA^2 – OM^2 = 100-9 = 91$, $AM = \sqrt{91}$
Suy ra $AB = AM – BM = \sqrt{91} – 3\sqrt{3} \approx 4.34$.
Tam giác $ABD$ vuông tại $B$ nên $AD = \sqrt{AB^2+BD^2} \approx 7.41$.

Ví dụ 2. Cho đường tròn $(A;3cm)$ và điểm $B$ thuộc $(O)$. Trên tiếp tuyến tại $B$ của $(A)$ lấy $C$ sao cho $BC = 4cm$. Vẽ $BE \bot AC$ với $E$ thuộc $AC$

a. Tính $AC, BE$.

b. Trên tia đối tia $EB$ lấy $F$ sao cho $EF = 4cm$. Tính $CF$.

c. Xét vị trí tương đối của $CF$ và $(A)$.

Gợi ý

a. Ta có $BC$ là tiếp tuyến nên $AB \bot BC$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2$
$AC^2 = 25$
$AC = 5 cm$.

Ta có

$BE.AC = AB.BC$
$BE.5 = 3.4$
$BE = 2.4 cm$.

b. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, đường cao $BE$ nên

$CE.CA = CB^2$
$CE.5 = 4^2$
$CE = 3.2 cm$.
Tam giác $CEF$ vuông tại $E$ nên $CF^2 = CE^2 + EF^2 = 3.2^2 + 4^2 = 26.24$, suy ra $CF \approx 5.12$.

c. Vẽ $AG \bot CF$.

Ta có $CF.AG = FE.OC$
$OG =\dfrac{FE.OC}{CF} = \dfrac{4.5}{5.12} \approx = 3.9cm$
Ta có $OG > 3$ nên $CF$ nằm ngoài đường tròn $(A;3cm)$.

Tứ giác nội tiếp tạo bởi hai tiếp tuyến cắt nhau.

1 Reply

Đề bài. Cho đường tròn tâm $O$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ dựng các tiếp tuyến $AB, AC$ đến $(O)$ với $B, C$ là các tiếp điểm. $OA$ cắt $BC$ tại $H$. (a) Chứng minh rằng tứ giác $OBAC$ nội tiếp. (b) Một đường thẳng qua $A$ cắt $(O)$ tại $D$ và $E$ sao cho $E$ nằm giữa $A$ và $D$. Chứng minh rằng $O, H, D, E$ cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý

(a)Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại B và C nên $\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$, suy ra $\angle OBA + \angle OCA = 180^\circ$, nên tứ giác $OBAC$ nội tếp.

Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại B và C nên $\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$, suy ra $\angle OBA + \angle OCA = 180^\circ$, nên tứ giác $OBAC$ nội tếp.

(b) Ta có $AB = AC$ (t/c tiếp tuyến) và $OB = OC$, suy ra $OA$ là trung trực của $BC$, suy ra $OA \bot BC$ tại $H$.

Tam giác $ABO$ vuông có $BH$ là đường cao nên $AH.AO = AB^2$. (1)

Mặt khác $\Delta ABD \backsim AEB (g.g)$, suy ra $AD.AE = AB^2$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $AD.AE = AH.AO$, suy ra $\dfrac{AH}{AD} = \dfrac{AE}{AO}$.

Xét tam giác AHE và tam giác EDO có $\angle DAO$ chung và $\dfrac{AH}{AD} = \dfrac{AE}{AO}$ nên $\Delta AHE \backsim \Delta ADO$, suy ra $\angle AHE = \angle ADO$, suy ra tứ giác $OHED$ nội tiếp.

Chú ý. Tứ giác $ABCD$ có hai cạnh bên $AD, BC$ cắt nhau tại P, hai đường chéo cắt nhau tại $Q$. Khi đó $ABCD$ nội tiếp khi và chỉ khi:

$PA.PD = PB.PC$.
$QA.QC = QB.QD$.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp