Tiếp tuyến của đường tròn.

Leave a reply

Định nghĩa. Đường thẳng $a$ là tiếp tuyến của $(O)$ nếu $a$ và $(O)$ có một điểm chung.

Phương pháp chứng minh tiếp tuyến. Để chứng minh đường thẳng $a$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ ta có thể làm theo các cách sau:

Cách 1: Vẽ $OH \bot $a$. Chứng minh $OH$ bằng bán kính.

Cách 2: Nếu $a$ và $(O)$ có điểm chung là $H$. Chứng minh $OH \bot a$.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC$.

  1. Chứng minh 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn. Xác định tâm $I$ của đường tròn.
  2. Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.
  3. Chứng minh $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $HC$.
Gợi ý

1.Gọi $I$ là giao điểm của $DE$ và $AH$.

Tứ giác $ADHE$ có $\angle A = \angle D = \angle E = 90^\circ$, suy ra $ADHE$ là hình chữ nhật, do đó $IA = ID = IE = IH$.

Vậy 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$ (trung điểm AH).

2. Ta có $IH \bot BC$ và $H$ thuộc (I) nên $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.

3. Gọi $M$ là trung điểm đoạn $HC$ thì $M$ là tâm đường tròn đường kính $HC$.

Xét tam giác $IEM$ và tam giác $IHM$ có: $IM$ chung, $IE = IH, ME = MH$, nên $\Delta IEM = \Delta IHM$ (c.c.c), suy ra $\angle IEM = \angle IHM$.

Ta có $DE \bot ME$ và $E$ thuộc $(M)$ nên $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(M)$.

Ví dụ 2.  Cho hình thang vuông $ABCD$ có $\angle A = \angle D = 90^\circ, CD = AD =2a, AB = a$. Đường tròn tâm $I$ đường kính $CD$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $E$ khác $C$. Chứng minh $AE$ là tiếp tuyến của $(I)$.

Gợi ý
  • Tứ giác $ABCI$ có $AB ||IC$ và $AB = IC = a$ nên là hình bình hành, suy ra $IA||BC$.
  • Tam giác $DCE$ có $IA ||CE$ và $I$ là trung điểm $CD$ nên $IA$ qua trung điểm của $DE$.
  • Hơn nữa $CE \bot DE$, suy ra $IA \bot DE$. Do đó $IA$ là trung trực của $DE$.
  • Từ đó $\Delta IEA = \Delta IDA$, suy ra $\angle IEA = \angle IDA = 90^\circ$.
  • Vì $IE \bot EA$ và $E \in (I)$ nên $AE$ là tiếp tuyến của $ (I)$ .

Bài tập. 

1.Cho tam giác $ABC$ nhọn, các đường cao $BE, CE$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh $MD, ME$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$.

2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC$.

a.Chứng minh 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn. Xác định tâm $I$ của đường tròn. \item Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.

b. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $BH, CH$. Chứng minh rằng $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $MN$.

3. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, trên tiếp tuyến tại $A$ và $B$ lấy các điểm $D, E$ sao cho $D, E$ cùng phía đối với $AB$ và $AD.BE = \dfrac{1}{4}AB^2$. Chứng minh $DE$ là tiếp tuyến của $(O)$.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *