Tag Archives: ViTriTuongDoi

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Định lý. Cho đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $a$. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $a$.

  • Nếu $d > R$, thì $a$ và $(O)$ không có điểm chung, ta nói $a$ ngoài $(O)$.
  • Nếu $d = R$, thì $a$ và $(O)$ có 1 điểm chung, ta nói $a$ là tiếp tuyến của $(O)$. Điểm chung của $a$ và $(O)$ được gọi là tiếp điểm.
  • Nếu $d < R$, thì $a$ và $(O)$ có 2 điểm chung, ta nói $a$ cắt $(O)$.

Ví dụ 1. Cho đường tròn $(O;6cm)$, điểm $A$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OA = 10cm$. Một đường thẳng qua $A$ sao cho cắt $(O)$ tại $B, C$, với $B$ nằm gần $A$ hơn, biết khoảng cách từ $O$ đến $BC$ bằng $3cm$.

a. Tính $BC$.

b. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $C$ qua $O$. Tính $AD$ lấy 2 chữ số thập phân.

Gợi ý

 

a. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, khi đó ta có $OM \bot BC$.

Tam giác $OMC$ vuông tại $M$ nên:

  • $OM^2 + MC^2 = OC^2$
  • $MC^2  = OC^2 – OM^2$
  • $MC^2 = 6^2 – 3^2 $
  • $MC^2 = 27$
  • $MC = 3\sqrt{3}$
  • $BC = 2MC = 6\sqrt{3}$.

b.

  • Tam giác $BCD$ có $OM$ là đường trung bình nên $DM = 2OM = 6$.
  • $CD$ là đường kính nên $\angle BDC = 90^\circ$.
  • Tam giác $OAM$ vuông tại $M$ nên $AM^2 = OA^2 – OM^2 = 100-9 = 91$, $AM = \sqrt{91}$
  • Suy ra $AB = AM – BM = \sqrt{91} – 3\sqrt{3} \approx 4.34$.
  • Tam giác $ABD$ vuông tại $B$ nên $AD = \sqrt{AB^2+BD^2} \approx 7.41$.

Ví dụ 2. Cho đường tròn $(A;3cm)$ và điểm $B$ thuộc $(O)$.  Trên tiếp tuyến tại $B$ của $(A)$ lấy $C$ sao cho $BC = 4cm$.  Vẽ $BE \bot AC$ với $E$ thuộc $AC$

a. Tính $AC, BE$.

b. Trên tia đối tia $EB$ lấy $F$ sao cho $EF = 4cm$. Tính $CF$.

c. Xét vị trí tương đối của $CF$ và $(A)$.

Gợi ý

a. Ta có $BC$ là tiếp tuyến nên $AB \bot BC$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên:

  • $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2$
  • $AC^2 = 25$
  • $AC = 5 cm$.

Ta có

  • $BE.AC = AB.BC$
  • $BE.5 = 3.4$
  • $BE = 2.4 cm$.

b. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, đường cao $BE$ nên

  • $CE.CA = CB^2$
  • $CE.5 = 4^2$
  • $CE = 3.2 cm$.
  • Tam giác $CEF$ vuông tại $E$ nên $CF^2 = CE^2 + EF^2 = 3.2^2 + 4^2 = 26.24$, suy ra $CF \approx 5.12$.

c. Vẽ $AG \bot CF$.

  • Ta có $CF.AG = FE.OC$
  • $OG =\dfrac{FE.OC}{CF} = \dfrac{4.5}{5.12} \approx = 3.9cm$
  • Ta có $OG > 3$ nên $CF$ nằm ngoài đường tròn $(A;3cm)$.