Tag Archives: HinhHoc

Bất đẳng thức trong tam giác

Định lý 1. Trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Chứng minh.

Giả thiết : $\triangle \mathrm{ABC}$.
Kết luận : $\mathrm{AC}+\mathrm{BC}>\mathrm{AB} ; \mathrm{AB}+$ $+\mathrm{BC}>\mathrm{AC} ; \mathrm{AB}+\mathrm{AC}>\mathrm{BC}$.

Trên tia đối của tia $\mathrm{CA}$ xác định điểm $\mathrm{D}$ sao cho $\mathrm{CL}=\mathrm{CB}$ (h. 94). Tia $\mathrm{BC}$ nằm giữa hai tia $\mathrm{BA}$ và
$\mathrm{BD}$, do đó : $\widehat{\mathrm{ABD}}>\mathrm{CBD}$. (1)

Theo cách xác định điểm $\mathrm{D}$ thì tam giác $\mathrm{BCD}$ là tam giác cân cạnh đáy $\mathrm{BD}$; do đó : $\widehat{\mathrm{CBD}}=\widehat{\mathrm{D}}$.
(2)

Từ (1) và $(2)$ suy ra: $\widehat{\mathrm{ABD}}>\widehat{\mathrm{D}}$.
Trong tam giác $\mathrm{ABD}$ : vì $\widehat{\mathrm{ABD}}>\widehat{\mathrm{D}}$ nên $\mathrm{AD}>\mathrm{AB}$. Ta biết $\mathrm{AD}=\mathrm{AC}+\mathrm{CD}=\mathrm{AC}+\mathrm{CB}$, do đó $\mathrm{AC}+\mathrm{CB}>\mathrm{AB}$.

Chứng minh tương tự cho các trường hợp còn lại.

Hệ quả. Trong một tam giác hiệu độ dài hai cạnh nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

Ví dụ 1. Có thể có tam giác nào mà ba cạnh như sau không :
a) $5 \mathrm{~m}, 10 \mathrm{~m}, 12 \mathrm{~m}$;

b) $1 \mathrm{~m}, 2 \mathrm{~m}, 3,3 \mathrm{~m}$; c) $1,2 \mathrm{~m}, 1 \mathrm{~m}, 2,2 \mathrm{~m}$.

Ví dụ 2. Trong một tam giác cân, một cạnh bằng 25m, cạnh kia bằng $10 \mathrm{~m}$. Cạnh nào là cạnh đáy ? Vi sao ?

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của đoạn $AC$. Chứng minh

$2BM + AC > AB + BC$.

Bài tập.

Tính chu vi tam giác cân $\mathrm{ABC}$ biết rằng :
a) $\mathrm{AB}=8 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=5 \mathrm{~cm}$.
b) $\mathrm{AB}=25 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=12 \mathrm{~cm}$.
Cho điểm $M$ nằm trong tam giác $\mathrm{ABC}$. Chứng minh rằng tổng $\mathrm{MA}+\mathrm{MB}+\mathrm{MC}$ lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi tam giạc.
Cho điểm $\mathrm{D}$ nằm trên cạnh $\mathrm{BC}$ của tam giác $\mathrm{ABC}$. Chứng minh rằng :
$$
\frac{A B+A C-B C}{2}<A D<\frac{A B+A C+B C}{2}
$$

Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác

Leave a reply

Định lý 1. Trong một tam giác góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Chứng minh. Trên tia $\mathrm{AC}$ xác định điểm $\mathrm{B}^{\prime}$ sao cho $\mathrm{AB}^{\prime}=$ $\mathrm{AB}$ (h.88) ‘ tam giác $\mathrm{ABB}$ ‘ là tam giác cân cạnh đáy $\mathrm{BB}$ ‘, từ đó suy ra : $\widehat{\mathrm{ABB}^{\prime}}=\widehat{\mathrm{AB}^{\prime} \mathrm{B}}$ (1).

Vì $\mathrm{AB}^{\prime}<\mathrm{AC}$ nên điểm $\mathrm{B}^{\prime}$ nằm giữa hai điểm $\mathrm{A}$ và $\mathrm{C}$, từ đó suy $\mathrm{ra}$ : – tia $\mathrm{BB}^{\prime}$ nằm giữa hai tia $\mathrm{BA}$ và $\mathrm{BC}$, do đó : $\widehat{\mathrm{ABC}}>\widehat{\mathrm{ABB}^{\prime}}$ (2)

góc $\widehat{\mathrm{AB}^{\prime} \mathrm{B}}$ là góc ngoài ở đỉnh $\mathrm{B}^{\prime}$ của tam giác $\mathrm{BCB}$, do đó : $\widehat{\mathrm{AB}} \mathrm{B}>\widehat{\mathrm{C}}$. (3)

Từ (1) và (2) ta suy $\mathrm{ra} \widehat{\mathrm{ABC}}>$ $>\widehat{\mathrm{AB}^{\prime} \mathrm{B}}(4)$; từ (3) và (4) ta suy ra : $\widehat{\mathrm{B}}>\widehat{\mathrm{C}}$. Đó là điều phải chứng minh.

Định lý 2. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Chứng minh.

Giả sử tam giác $\triangle \mathrm{ABC}, \widehat{\mathrm{B}}>\widehat{\mathrm{C}}$.
Ta cần chứng minh: $\mathrm{AC}>\mathrm{AB}$.
Chứng minh : Giả sử $A C=A B$, tam giác $A B C$ là tam giác cân cạnh đáy $\mathrm{BC}$, do đó $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{C}}$; đó là điều trái với giả thiết.

Giả sử $\mathrm{AC}<\mathrm{AB}$, theo định lí 1 , thì ta có $\widehat{\mathrm{B}}<\widehat{\mathrm{C}}$, đó cũng là điều trái với giả thiết.
Do đó $\mathrm{AC}>\mathrm{AB}$.

Hệ quả 1. Trong một tam giác vuông, cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông) là cạnh có độ dài lớn nhất.

Ví dụ 1.

a) So sánh các góc của tam giác $\mathrm{ABC}$ có $\mathrm{AB}=4 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=7 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=6 \mathrm{~cm}$.
b) So sánh các cạnh của tam giác $\mathrm{ABC}$ có $\widehat{\mathrm{A}}=50^{\circ}, \widehat{\mathrm{C}}=50^{\circ}$.

Ví dụ 2. Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ có $\widehat{\mathrm{A}}=100^{\circ}, \widehat{\mathrm{B}}=40^{\circ}$.
a) Tim cạnh lớn nhất của tam giác $\mathrm{ABC}$.
b) Tam giác $\mathrm{ABC}$ là tam giác gi? Vì sao?

Ví dụ 3. Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ vuông tại $\mathrm{A}$ có $\widehat{\mathrm{B}}>45^{\circ}$.
a) So sánh các cạnh của tam giác.
b) Lấy điểm $\mathrm{K}$ bất ki thuộc đoạn thẳng $\mathrm{AC}$. So sánh độ dài $\mathrm{BK}$ và $\mathrm{BC}$.

Bài tập

So sánh các góc của tam giác $\mathrm{ABC}$ biết rằng $\mathrm{AB}=4 \mathrm{~cm}$, $\mathrm{BC}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=6 \mathrm{~cm}$.
So sánh các cạnh của tam giác $\mathrm{ABC}$ biết rằng $\widehat{\mathrm{A}}=92^{\circ}$, $\widehat{\mathrm{B}}=48^{\circ}$.
Chứng minh rằng trong tam giác vuông cạnh huyển bao giờ cũng lớn hơn mỗi cạnh góc vuông.
Chứng minh rằng trong một tam giác góc đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhọn.
Góc ở đáy của tam giác cân nhỏ hơn $60^{\circ}$, cạnh nào của tam giác cân là lớn nhất ?
Chứng minh rằng : Nếu một tam giác có hai đường cao bằng nhau thì nó là tam giác cân.

Tứ giác nội tiếp – Phần 3

2 Replies

Bài 1. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác
$ABM, ACM, ABC$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $F$ trên BC. Chứng minh $D, H, M, E$ cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải

Gọi $P, Q$ là hình chiếu của $D, E$ trên BC.

Ta có $\triangle MDP \backsim \triangle EMQ$, suy ra $MQ\cdot MP = EQ\cdot PD$.

Ta có $BP = \dfrac{1}{2}(AB+BM-AM), BH = \dfrac{1}{2}(AB+BC-AC)$

Suy ra $PH = BH – BP = \dfrac{1}{2}(BC – AC – BM + AM ) = \dfrac{1}{2}(MC + AM – AC) = MQ$

Suy ra $PM = HQ$. Suy ra $PH\cdot HQ = MQ\cdot MP = DP\cdot EQ$, suy ra $\triangle DPH \backsim \triangle HQE$

Từ đó ta có $\angle DHE = 90^\circ$.

Bài 2. Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và dây $BC =R \sqrt{3}$ cố định. $A$ là một điểm thay đổi trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$. Phân giác trong góc $A$ cắt $(O)$ tại $G$ và cắt $DE$ tại $F$.

a) Chứng minh tứ giác $BEGF$ nội tiếp.
b) Gọi $I$ là giao điểm của $AH$ và $BC$. Chứng minh $FIHG$ nội tiếp.

Lời giải

(a) Ta có $BEFC$ nội tiếp nên $\angle AED = \angle ACB$
Và $\angle ACB = \angle AFB$ (cùng chắn cung AB).
Suy ra $\angle AED = \angle AFB$, do đó tứ giác $BEGF$ nội tiếp.
(b) Tứ giác $BEGF$ nội tiếp, suy ra $AG\cdot AF = AE\cdot AB$.
Mặt khác ta có $AE\cdot AB = AH \cdot AI$
Suy ra $AG\cdot AF = AH\cdot AI$, từ đó ta có $\triangle AHF \backsim AGI$, suy ra $\angle AFH = \angle AIG$.

Bài 3. Cho đường tròn $(O)$ và điểm $P$ nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến $PA, PB$ đến $(O)$ với $A, B$ là các tiếp điểm. $C$ là điểm trên cung nhỏ $AB$, tiếp tuyến tại $C$ cắt $PA, PB$ và $PO$ lần lượt tại $D, E, F$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PAB, PDE$ và $PCF$ cùng đi qua một điểm khác $P$.

Lời giải

Gọi $Q$ là giao điểm của $(PDE)$ và $(PAB)$.

Ta có $\triangle QAD \backsim \triangle QBE$, suy ra $QD/QE = AD/EB = CD/CE$. Khi đó $QC$ là phân giác $\angle DQE$.

Ta có $QO$ cũng là phân giác $\angle AQB$ và $\angle AQB = \angle DQE$. Suy ra $\angle DQC = \angle OQB$.

Mà $\angle QDC = \angle QOB$ nên $\angle QCD =\angle QBO = \angle QPF$. Vậy tứ giác $QPFC$ nội tiếp.

Bài 4. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo hình thang $ABCD$ có đáy là $AB, CD$. Lấy $M, N$ là điểm thuộc $OA$, $N$ là điểm thuộc $OD$ sao cho $\angle BMD = \angle AMC$. Chứng minh rằng BMNC là tứ giác nội tiếp.

Lời giải

Cho đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABM$ cắt $OC$ tại $N’$. Chứng minh $\angle AN’C = \angle BMD = \angle ANC$.

Bài 5. Cho $(O)$ và $(O_1)$ cắt nhau tại $M, N$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$ cắt $(O_1)$ tại $B$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(O_1)$ cắt $(O)$ tại $A$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $N$. Chứng minh rằng tứ giác $MAPB$ nội tiếp.

Lời giải

Chứng minh $NM^2 = NA \cdot NB = NP^2$. Suy ra $\angle A + \angle B = \angle M + \angle N$.

Bài 6. Cho tứ giác $ABCD$ có các cạnh đối diện $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $E$, $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $F$. Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ nội tiếp khi và chỉ khi $EA.ED + FA.FB = EF^2$.

Lời giải

Gọi $K$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADF$ và $EF$. Ta có $EK \cdot EF = EA \cdot ED$, suy ra $FK \cdot FE = FA \cdot FB$, suy ra $EKAB$ nội tiếp. \\
Khi đó $\angle EBA = \angle FKA = \angle ADC$ nên $ABCD$ nội tiếp.

Bài 7. Cho tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc nhau tại $I$. Gọi $E, F, G, H$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $AB, BC, CD$ và $DA$. $IE$ cắt $CD$ tại $M$.

a) Chứng minh $EFGH$ và $HGMF$ nội tiếp.
b) $BH$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $IEH$ tại $J$, $BG$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $IFG$ tại $K$. Chứng minh $E, J, K, F$ cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải

(a) Ta có $BD$ là tiếp tuyến chung của $(IHE)$ và $(IFG)$. \\ $\angle BEF = \angle BIF = \angle IGF, \angle AEH = \angle EIH = \angle HGI$. \\ Suy ra $\angle FEF + \angle HGF = 180^\circ $. Suy ra $HEFG$ nội tiếp. \\ Ta có $\angle IMG = \angle ICM + \angle MIC = \angle DIG + \angle AIE = \angle DHG + \angle AHE = 180^\circ – \angle EHG$. \\ Suy ra $EHGM$ nội tiếp. \\ Do đó $EGMF$ nội tiếp. \\ (b) Ta có $BJ\cdot BH = BE\cdot BA = BI^2 = BK\cdot BG$. \\ Suy ra $GHJK$ nội tiếp. \\ Ta có $\angle EFK = \angle EFI – \angle KFI = \angle EBI – \angle IGB$. \\ Và $\angle EJK = \angle EJB + \angle BJK = \angle DAB + \angle HGB$. \\ Suy ra $\angle EFK + \angle EJK = \angle DAB + \angle HGB – \angle IBG + \angle EBI = \angle DAB + \angle HGI + \angle EBI = 180^\circ $. \\ Do đó $EJKF$ nội tiếp.

Bài 8. (Thi HSGQG THPT Việt Nam năm 2010) Cho tam giác $ABC$ không cân có $\angle ABC$ và $\angle ACB$ nhọn. $D$ là điểm di chuyển trên cạnh $BC$ sao cho $AD$ không vuông góc $BC$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $BC$ cắt các đường thẳng $AB, AC$ tại $E$ và $F$. Gọi $M, N, P$ là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $AEF, BDE, CDF$. Chứng minh rằng $A, M, N, P$ cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi $d$ đi qua tâm nội tiếp của tam giác $ABC$.

Lời giải

Gọi $I$ là tâm nội tiếp của tam giác $ABC$.
Gọi $J$ là giao điểm của $AI$ và $EN$, suy ra $FJ$ là phân giác góc $AFD$.
Ta có $FKC = 90^o + \dfrac{1}{2}\angle ACB = \angle JIN$.
Tứ giác $AMFJ$ nội tiếp, suy ra $\angle NJI =\angle AJM = \angle AFM = \angle KFP$ ($K$ là giao điểm của $d$ và $IC$).
Từ đó $\triangle NIJ \backsim \triangle PFK$.
Suy ra $IJ/FK = JN/FP$.
Ta có $A, M, P, N$ đồng viên khi và chỉ khi $\angle ANJ = \angle APF \Leftrightarrow \triangle AJN \backsim \triangle AFP \Leftrightarrow AF/AJ = FP/JN$.
Mà $AF/AJ = FS/JS$ (Với $S$ là giao điểm của $AI$ và $d$)
Vậy $A, M, P, N$ đồng viên khi và chỉ khi $IJ/KF = FS/JS$.
Điều này chỉ đúng khi $I$ trùng $S$. Vì nếu $I$ khác $S$ thì $IK//FJ$ (!)

Bài tập rèn luyện

Bài 9. Cho tam giác $ABC$ nhọn và khác tam giác cân. Phân giác góc nhọn tạo bởi hai đường cao hạ từ $B$ và $C$ của tam giác cắt các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Phân giác của góc $BAC$ cắt đoạn thẳng nối trực tâm của tam giác $ABC$ và trung điểm $BC$ tại $R$. Chứng minh rằng $P, A, Q, R$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 10. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, phân giác góc $A$ cắt $BC$ tại $D$, $M$ là trung điểm $BC$, $E$ là điểm đối xứng của $D$ qua $M$. Trên các đường thẳng $AO$ và $AD$ lấy điểm $P$ và $Q$ sao cho $PD$ và $EQ$ vuông góc $BC$. Chứng minh 4 điểm $B, C, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 11. (Đề đề nghị thi Toán Quốc Tế 2010) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $w$, các đường cao là $AD, BE, CF$. Tia $EF$ cắt $w$ tại $P$. $BP$ cắt $DF$ tại $Q$. Chứng minh 4 điểm $A, P, Q, F$ cùng thuộc một đường tròn và $AQ = AP$.

Tứ giác nội tiếp – Phần 2

3 Replies

(Bài viết dành cho học sinh lớp 9 chuyên toán – Lời giải bài tập chương 1 sách [1]) Chứng minh 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn là dạng toán thường xuất hiện nhất trong các đề thi, đây cũng là kĩ năng quan trọng để chứng minh các ý toán khác trong một bài toán, có nhiều cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc đường tròn trong đó chủ ý các các dấu hiệu một tứ giác nội tiếp. Một tứ giác là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi có một trong các dấu hiệu sau:

4 đỉnh cách đều một điểm
Tổng hai góc đối bằng $180^\circ$ (đặc biệt hai góc đối vuông)
Góc ngoài bằng góc đối trong
Hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh còn lại với hai góc bằng nhau (đặc biệt hai góc nhìn là góc vuông).

Ngoài ra còn có bổ đề thường dùng. Bổ đề 1. Cho tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $P$ và hai đường thẳng $AB, CD$ cắt nhau tại $P$. Khi đó $ABCD$ nội tiếp khi và chỉ khi $PA \cdot PC = PB \cdot PD$ hoặc $QA \cdot QB=QC \cdot QD$. Bổ đề 2. Phân giác trong góc $A$ của tam giác $ABC$ cắt trung trực của $BC$ tại $D$, khi đó $D$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Ta bắt đầu với các bài toán sau: Bài 1. Hai dây $AB$ và $CD$ của một đường tròn cắt nhau tại $I$. Gọi $M$ là trung điểm của $IC$ và $N$ đối xứng với $I$ qua $D$. Chứng minh rằng $AMBN$ nội tiếp một đường tròn. Lời giải. Xét tam giác $IAC$ và $IBD$ có $\angle AIC = \angle BID$ và $\angle IAC = \angle IBD$, suy ra $\triangle IBD \backsim \triangle IAC$; $\Rightarrow IA \cdot IB = IC \cdot ID = 2 IM \cdot \dfrac{IN}{2} = IM \cdot IN \Rightarrow \dfrac{IM}{IB} = \dfrac{IA}{IN}$. Suy ra $\triangle IMA \backsim \triangle IBN \Rightarrow \angle IAM = \angle INB$; Do đó tứ giác $AMBN$ nội tiếp. Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nhọn, nội tiếp đường tròn tâm $O$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. $AO$ cắt $EF$ tại $K$ và cắt $(O)$ tại $L$ khác $A$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $A$ qua $K$. Chứng minh rằng các tứ giác $DHKL$ và $DHOP$ nội tiếp.

Lời giải. Dễ thấy tứ giác $BCEF$ nội tiếp, suy ra $\angle AEF = \angle ABC$; Mà $\angle ABC = \angle ALC$, suy ra $\angle AEF = \angle ALC$, từ đó $KECL$ nội tiếp; Theo chú ý trên ta có $AK \cdot AL = AE \cdot AC$ \hfill (1) Mặt khác tứ giác $CDHE$ nội tiếp nên $AH \cdot AD = AE \cdot AC$ \hfill (2) Từ (1) và (2) suy ra $AK \cdot AK = AH \cdot AD \Rightarrow DHKL$ nội tiếp. Ta có $AP = 2AK, AL = 2AO \Rightarrow AP \cdot AO = AK \cdot AL = AH \cdot AD$, suy ra $DHOP$ nội tiếp. Bài 3. Cho hình vuông $ABCD$. Trên các cạnh $BC, CD$ lấy điểm $M,N$ sao cho $\angle MAN = 45^\circ$. $AM, AN$ cắt $BD$ lần lượt tại $P$ và $Q$. a) Chứng minh các tứ giác $ADNP, ABMQ$ nội tiếp. b) Chứng minh $MNQP$ nội tiếp. Lời giải.

Tứ giác $APND$ có $\angle PAN = \angle PDN = 45^\circ$ nên là tứ giác nội tiếp. Tương tự thì $ABMQ$ cũng là tứ giác nội tiếp. Từ $ADNP, ABMQ$ nội tiếp suy ra $\angle APN = 180^\circ – \angle ADN = 90^\circ$ và $\angle AQM = 180^\circ -\angle ABM = 90^\circ$. Tứ giác $MPQN$ có $\angle MPN = \angle MQN = 90^\circ$ nên là tứ giác nội tiếp. Bài 4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Phân giác trong góc $A$ cắt $(O)$ tại $D$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $AB, AC$. $DM, DN$ cắt $(O)$ tại $E, F$ khác $M$, $AD$ cắt $MN$ tại $S$. a) Chứng minh rằng 4 điểm $M, N, E, F$ cùng thuộc một đường tròn. b) $OD$ cắt $BC$ tại $P$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $DPS$ cắt $BC$ tại $Q$ khác $P$. Chứng minh $QA$ là tiếp tuyến của $(O)$. Lời giải.

Gọi $K$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. a) Ta có $\angle AED = \angle ABD = \angle AKC$. Mà $MN \parallel BC \Rightarrow \angle AKC = \angle ASN$. Suy ra $\angle AED = \angle ASN \Rightarrow AEMS$ nội tiếp. Do đó $DM \cdot DE = DS \cdot DA$. Chứng minh tương tự ta có $MN \cdot DF = DS \cdot DA$. Suy ra $DM \cdot DE = DN \cdot DF$, từ đó dẫn đến tứ giác $MNFE$ nội tiếp. b) Ta có $OD \bot BC$ tại $P$. Suy ra $\angle QPD = \angle QPD = 90^\circ$. Tam giác $AQK$ có $QS \bot AK$ và $S$ là trung điểm $AK$ nên $QAK$ cân tại $Q$. Suy ra $\angle QAK = \angle AKQ = \angle ACD$, suy ra $QA$ là tiếp tuyến của $(O)$. Bài 5. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Từ một điểm $M$ tùy ý trên cạnh $BC$ kẻ các đường song song với các cạnh bên cắt $AB$ tại $P$ và cắt $AC$ tại $Q$. $D$ là điểm đối xứng của $M$ qua $PQ$. Chứng minh rằng $ADBC$ nội tiếp đường tròn. Lời giải. Tứ giác $APMQ$ là hình bình hành, $D$ đối xứng với $M$ qua $PQ$ ta suy ra được $ADPQ$ là hình thang cân. Suy ra $\angle DAP = 180^\circ – \angle DPQ$.\hfill (1) Ta có $PB = PM = PD$ nên $B, M, D$ thuộc đường tròn tâm $P$, suy ra $\angle MBD = \dfrac{1}{2}(360^\circ – \angle DPM) = \angle DPQ$. \hfill (2) Từ (1) và (2) ta có $\angle DAQ + \angle MBD = 180^\circ$, suy ra $ADBC$ nội tiếp. Bài 6. Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ cắt nhau tại $A, B$. Qua điểm $I$ nằm trên $AB$ vẽ cát tuyến $IMN$ đến $(O)$ và cát tuyến $IPQ$ đến $(O’)$. Chứng minh rằng $M, N, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn. Lời giải. Ta có $\angle INA = \angle IBN$, suy ra $\triangle INA \backsim \triangle IBN$ (g.g), khi đó $\dfrac{IA}{IB} = \dfrac{IA}{IN} \Rightarrow IN^2 = IA \cdot IB \Rightarrow IN = \sqrt{IA \cdot IB}$. Chứng minh tương tự thì $IP = \sqrt{IA \cdot IB}$. Mặt khác $IM = IN, IP = IQ$ nên $IM = IN = IP = IQ$, do đó $M, N, P, Q$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$. Bài 7. Cho tam giác $ABC$ nhọn, $D$ thuộc cạnh $BC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ cắt cạnh $AC$ tại $E$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ cắt cạnh $AB$ tại $F$. $BE, CF$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKC$ qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$. Lời giải. Các tứ giác $AEDB, ADDC$ nội tiếp nên ta có $\angle AFB = \angle ADB$ và $\angle AEC = \angle ADC$; Suy ra $\angle AFB + \angle AEC = \angle ADB + \angle ADC = 180^\circ$, suy ra $AEKF$ nội tiếp. Suy ra $\angle EKF = 180^\circ – \angle BAC$, mà $\angle BKC = \angle EKF$ nên $\angle BKC= 180^\circ – \angle BAC$.\hfill (1) Mặt khác, từ $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên $\angle BHC = 180^\circ – \angle BAC$. \hfill (2) Từ (1) và (2), ta có $\angle BHC = \angle BKC$, suy ra $BHKC$ nội tiếp. Bài 8. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp tiếp xúc với $AB, BC$,$AC$ lần lượt tại $M, D, N$. Lấy điểm $E$ thuộc miền trong của tam giác $ABC$ sao cho đường tròn nội tiếp tam giác $EBC$ cũng tiếp xúc với $BC$ tại $D$ và tiếp xúc với $EB, EC$ tại $P, Q$. Chứng minh rằng $MNPQ$ nội tiếp đường tròn. Lời giải.

Gọi $T$ là giao điểm của $MN$ và $BC$. Chứng minh được $\dfrac{TB}{TC} = \dfrac{TB}{TC}$ và $PM \cdot PN = PD^2$. Gọi $T’$ là giao điểm của $PQ$ và $BC$ ta cũng có $\dfrac{T’B}{T’C} = \dfrac{DB}{DC}$. Suy ra $\dfrac{TB}{TC} = \dfrac{T’B}{T’C} = \dfrac{DB}{DC}$, do đó $T’ \equiv T$. Và $TP \cdot TQ = TD^2$. Từ đó ta có $TM \cdot TN = TP \cdot TQ$. Suy ra 4 điểm $M, N, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn. Bài tập tự luyện. Bài 9. Cho đường tròn tâm $O$ và dây cung $AB$ khác đường kính. $C$ là một điểm thuộc cung nhỏ $AB$. Tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của $(O)$ cắt nhau tại $P$. $AC$ cắt $BP$ tại $D$ và $BC$ cắt $AP$ tại $E$. Gọi $Q$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEC$ và $BCD$. a) Chứng minh $Q$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác $APD$ và $BPE$. b) Chứng minh $Q$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $OPC$. Bài 10. Cho hình bình hành $ABCD$ có góc $A$ tù. Gọi $F$ là trung điểm cạnh $AD, CF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ tại $K$ khác $C$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCK$ cắt $CD$ tại $E$. a) Chứng minh $AE \bot CD$. b) $BD$ cắt $AC$ tại $I$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCK$ tại $G$. Chứng minh 4 điểm $E, F, G, I$ cùng thuộc một đường tròn. Tài liệu tham khảo.

Chuyên đề hình học 9 – Bồi dưỡng học sinh năng khiếu, Nguyễn Tăng Vũ, NXB GD 2018.

Một số định lý, mô hình hình học quan trọng hình học 9

Leave a reply

Bài 1. (Đường thẳng Euler, Đường tròn Euler) Cho tam giác $ABC$, các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$, trung điểm các cạnh là $M, N, P$, các đường thẳng $AM, BN, CP$ cắt nhau tại $G$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

a) Chứng minh $AH = 2OM$.

b) Chứng minh $H, G, O$ thẳng hàng và $HG = 2OG$. (Đường thẳng qua $O, H, G$ là đường thẳng Euler)

c) Gọi $X, Y, Z$ là trung điểm của $HA, HB, HC$. Chứng minh 9 điểm $D, E, F, M, N, P, X, Y, Z$ cùng thuộc một đường tròn và tâm là trung điểm $OH$. (Đường tròn Euler – Đường tròn 9 điểm).

d) Lấy một điểm $T$ thuộc (O), chứng minh trung điểm của $HT$ thuộc đường tròn Euler.

Hướng dẫn

a) Vẽ đường kính $AK$, ta có $BHCK$ là hình bình hành, trung điểm $M$ của $BC$ cũng là trung điểm $HK$, tam giác $AHK$ thì $OM$ là đường trung bình nên $AH = 2OM$.

b) Tam giác $AHK$ có $AM$ là trung tuyến và $GA =2GM$ nên $G$ cũng là trọng tâm, do đó $H, G, O$ thẳng hàng và $HG = 2GO$.

c) Ta có $\angle XEH = \angle XHE, \angle MEH = \angle MBE$, suy ra $\angle MEX = \angle XEH + \angle MEH = \angle XHE + \angle MBE = 90^\circ$, suy ra $E$ thuộc đường tròn đường kính $XM$ tâm $J$.

$XN||CH, MN||AB$, suy ra $MN \bot NX$, suy ra $N$ thuộc $(J)$.

$MZ||BH, XZ ||AC$ suy ra $\angle MZX = 90^\circ$, suy ra $Z \in (J)$.

Từ đó chứng minh được các điểm cùng thuộc đường tròn đường kính $MX$.

$HXMO$ là hình bình hành nên $J$ là trung điểm $OH$.

d) Tam giác $MNP$ và $ABC$ đồng dạng, tỉ số 1/2 nên đường tròn Euler có bán kính bằng 1/2 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Xét tam giác $HOT$ có $JL$ là đường trung bình nên $JL= \dfrac{1}{2}OT$, suy ra $L$ thuộc $(J)$.

Bài 2. (Đường thẳng Simson – Đường thẳng Steiner) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $w$, $P$ là một điểm thuộc $(w)$. Gọi $D, E, F$ là hình chiếu của $P$ trên các đường thẳng $BC, AC, AB$.

a) Chứng minh rằng $D, E, F$ cùng thuộc một đường thẳng. (Đường thẳng Simson của tam giác $ABC$ ứng với $P$.

b) Gọi $D’, E’,F’$ đối xứng của $P$ qua $BC, AC, AB$. Chứng minh rằng $D’, E’, F’$ cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng này qua trực tâm của tam giác $ABC$.

Hướng dẫn

Bài 3. (Bài toán về điểm humpty) Cho tam giác $ABC$, các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$, $M$ là trung điểm $BC$, $P$ là hình chiếu của $H$ trên $AM. Khi đó

a) $P$ là giao điểm của đường tròn đường kính $AH$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$. ($P$ được gọi là điểm $A-humpty$)

b) $MP \cdot MA = MB^2 = \dfrac{1}{4}BC^2$ và $BC$ là tiếp tuyến chung của $(ABP)$ và $(ACP)$

c) Vẽ $AQ$ vuông góc $MH$, thì $Q$ thuộc $(ABC)$.

d) $AQ, HP, BC$ đồng quy.

Hướng dẫn

a) Ta có các $AP \cdot AM = AH \cdot AD = AF \cdot AB$, suy ra $BFPM$ nội tiếp. Khi đó $\angle MPB = \angle MFB = \angle ABM$.

Chứng minh tương tự thì $\angle MPC = \angle ACB$

Suy ra $\angle BPC = \angle MPB + \angle MPC = \angle B + \angle C = 180^\circ – \angle A = \angle BHC$.

Suy ra $BHPC$ nội tiếp.

b) Từ câu a, ta có $\angle MPB = \angle ABM$, suy ra tam giác $MPB$ và $MBA$ đồng dạng, khi đó $MA \cdot MP = MB^2 = \dfrac{1}{4} BC^2$.

c) Ta xét tam giác $BHC$ với $A$ là trực tâm thì vai trò điểm $Q$ giống vai trò điểm $P$, nên $Q$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

d) Xét tam giác $AHM$ thì $AQ, HP, DM$ là 3 đường cao nên đồng quy.

Bài 4. (Tứ giác điều hòa – Điểm Dumpty). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, tiếp tuyến tại $B, C$ cắt nhau tại $P$, $AP$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A$ và cắt $BC$ tại $I$. $OP$ cắt $BC$ tại $M$.

a) Chứng minh $OMDA$ nội tiếp và $\dfrac{IA}{ID} = \dfrac{PA}{PD}$

b) Chứng minh $\angle MDC = \angle ADB$ và $AD\cdot BC = 2 AC \cdot DB = 2 BD \cdot AC$.

c) Tiếp tuyến tại $A,D$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh $Q$ thuộc $BC$.

d) Gọi $X$ là giao điểm của $OQ$ và $AD$, chứng minh $\angle XBA = \angle XAC, \angle XAC = \angle XBA$. (Điểm $A-dumpty$ của tam giác $ABC$).

Hướng dẫn

a) $PM \cot PO = PB^2 = PA \cdot PD$.

$\angle PMD = \angle PAO = \angle ODA = \angle AMO$, suy ra $MP, MI$ là phân giác ngoài và phân giác trong của $\angle APD$.

b) $MO \cdot MP = MB^2 = MA \cdot MD$, suy ra $ABM$ và $BMD$ đồng dạng.

c) 5 điểm $A, P, M, D, Q$ cùng thuộc đường tròn, $QA = QD$ nên $MQ$ là phân giác $\angle AMD$.

d) Chứng minh $BAX$ và $BCD$ đồng dạng, do $AX \cdot BC = AB \cdot CD$.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$, có $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Một đường thẳng vuông góc với $OA$ cắt các cạnh $AB, AC$ tại $F, E$ và đường thẳng $BC$ tại $D$.

a) Chứng minh $BFEC$ nội tiếp.

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $(O)$ tại điểm $P$ khác $A$. Chứng minh các tam giác $PEF$ và $PCB$ đồng dạng.

c) Chứng minh các tứ giác $BDPF, BCEP$ nội tiếp và $A, P, D$ thẳng hàng.

d) Gọi $O_a, O_b$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AEF, BDF$ và $BCEF$. Chứng minh $O_a, O_b, O_c, O$ cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn

a) Vẽ tiếp tuyến tại $A$ là $Ax$, $\angle ACB = \angle xAB = \angle AEF$.

b) $\angle AFP = \angle AEP, \angle PBA = \angle BCA$.

c) $\angle PEF = \angle PAC = \angle PBD$

$\angle DPF + \angle APF = \angle ABC + \angle CEF = 180^\circ$.

d) $O_bO_c$ là trung trực $BF, $O_aO_c$ là trung trực $EF$.

Suy ra $\angle O_aO_cO_b = \dfrac{1}{2} \angle $ACB$.

Tương tự cũng có $\angle O_aOO_b$

Bài 6. (Tứ giác điều hòa) xem tại đây https://geosiro.com/?p=1185

Định lý Ceva và Menelaus – Phần 3

Leave a reply

Phần 2

Ví dụ 10. (USAMO 2012) Gọi $P$ là một điểm thuộc miền trong tam giác $ABC$ và $d$ là một đường thẳng qua $P$. Đường thẳng đối xứng của $PA$ qua $d$ cắt $BC$ tại $A’$; các điểm $B’, C’$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng $A’, B’, C’$ thẳng hàng.

Lời giải

Ta có $\dfrac{A’B}{A’C} = \dfrac{S_{A’PC}}{S_{A’PC}} = \dfrac{PB\cdot \sin A’PB}{PC\cdot\sin A’PC}$. (1)
Tương tự ta cũng có $\dfrac{B’C}{B’A} = \dfrac{PC \cdot \sin B’PC}{PA \cdot \sin B’PA}$ và $\dfrac{C’A}{C’B} = \dfrac{PA \cdot \sin C’PA}{PB \cdot \sin C’PB}$. (2)
Theo tính chất đối xứng ta có $\sin A’PB = \sin B’PA,\\ \sin A’PC = \sin C’PA, \sin B’PC = \sin C’PB$. (3)
Từ (1), (2), (3) ta có $$\dfrac{A’B}{A’C}\cdot \dfrac{B’C}{B’A}\cdot \dfrac{C’A}{C’B} = 1$$
Do đó $A’,B’,C’$ thẳng hàng.

Ví dụ 11. Cho tam giác $ABC$. Ba đường tròn $w_a, w_b, w_c$ lần lượt đi qua các cặp đỉnh $B,C$; $C, A$; và $A, B$. Gọi $D, E, F$ lần giao điểm thứ hai của ba đường tròn này. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $AD$ cắt $BC$ tại $X$; các điểm $Y, Z$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng $X, Y, Z$ thẳng hàng.

Lời giải

Ta có $\dfrac{XB}{XC} = \dfrac{DB\sin XDB}{DC \sin XDC}$;
$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{R_c \sin DAB}{R_b \sin DAC}$ và $\dfrac{\sin ADB}{\sin XDC} = \dfrac{\cos ADB}{\cos ADC}$;
Tương tự cho các phân thức $\dfrac{YC}{YA}, \dfrac{ZA}{ZB}$.
Mặt khác ta có $AD, BE, CZ$ đồng quy tại tâm đẳng phương nên $\dfrac{\sin DAB}{\sin DAC}\cdot \dfrac{\sin EBC}{\sin EBA}\cdot \dfrac{\sin FCA}{\sin FCB} = 1$.
Từ đó ta có $\dfrac{XB}{XC} \cdot \dfrac{YC}{YA} \cdot \dfrac{ZA}{ZB}=1$.
Vậy $X, Y, Z$ thẳng hàng.

Ví dụ 12. (IMO shortlist 2013) Cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $O$ là tâm ngoại tiếp và $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng tồn tại các điểm $D, E, F$ thuộc các cạnh $BC, AC, AB$ thỏa: $OD + DH = OE+EH = OF + FH$ và $AD, BE, CF$ đồng quy.

Lời giải

Gọi $H_1$ là điểm đối xứng của $H$ qua $BC$, thì $H_1 \in (O)$.
Gọi $D$ là giao điểm của $OH_1$ và $BC$, khi đó $OD + DH = OD + DH_1 = OH_1 = R$.
Các điểm $E, F$ được xác định tương tự ta có $OD + DH = EO +EH = OF + FH$.
Ta cần chứng minh $AD, BE, CF$ đồng quy bằng định lý Ceva dạng sin.
Ta có $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{S_{BH_1D}}{S_{CH_1D}} = \dfrac{BH_1.\sin BH_1D}{CH_1 \sin CH_1D} = \dfrac{BH}{CH}\dfrac{\sin B}{\sin C}$
Các đẳng thức kia tương tự, nhân lại ta có điều cần chứng minh.

Ví dụ 13. Cho tam giác $ABC$ khác tam giác cân nội tiếp đường tròn $w$, các đường trung tuyến từ $A, B,C$ cắt $w$ tại $A’, B’, C’$. Gọi $A_1$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $A’$ với $BC$; các điểm $B_1, C_1$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng $A_1, B_1, C_1$ thẳng hàng.

Lời giải

Ta có $A_1B\cdot A_1C = A_1A’^2 \Rightarrow \dfrac{A_1B}{A_1C} = \dfrac{A_1B^2}{A_1A’^2} = \dfrac{\sin^2 A_1A’B}{\sin^2 A_1BA’} = \dfrac{\sin^2 A’AB}{\sin^2 A’AC}$.
Chứng minh tương tự cho các đẳng thức kia và nhân lại, áp dụng ceva sin cho 3 đường $AA’, BB’, CC’$ đồng quy.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho tứ giác $ABCD$, gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, $K$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Đường thẳng $IK$ cắt các cạnh $BC$ và $AD$ tại $P, Q$.
Chứng minh rằng: $ \dfrac{\overline{IP}}{\overline{IQ}} = -\dfrac{\overline{KP}}{\overline{KQ}}$

Bài 2. Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp đường tròn $w$, $w$ tiếp xúc với các cạnh $AB, BC, CD, DA$ lần lượt tại $M, N, P, Q$. Chứng minh $MQ, BD, PN$ song song hoặc đồng quy.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$, đường phân giác ngoài góc $A$ cắt đường thẳng vuông góc với $BC$ kẻ từ $B$ và $C$ lần lượt tại $D$ và $E$. Chứng minh rằng $BE, CD$ và $AO$ đồng quy, với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Bài 4. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$. Gọi $A’, B’, C’$ lần lượt là điểm đối xứng của $I$ qua $BC, AC, AB$. Chứng minh rằng $AA’, BB’, CC’$ đồng quy.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$. Về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông $BCDE, ACFG, ABHK$ với tâm lần lượt là $O_1, O_2, O_3$. Chứng minh $AO_1, BO_2, CO_3$ đồng quy.

Bài 6. Cho tam giác $ABC$ không cân tại $A$. $M$ là một điểm nằm trong tam giác thỏa $\angle AMB – \angle ACB = \angle AMC – \angle ABC$. Chứng minh rằng đường thẳng nối tâm đường tròn nội tiếp tam giác $AMB$ và $AMC$ đi qua một điểm cố định.

Bài 7. Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ nằm trong tam giác. $AM, BM, CM$ cắt $BC, AC, AB$ lần lượt tại $A’, B’, C’$. Gọi $P$ là giao điểm của $BB’$ và $A’C’$; $Q$ là giao điểm của $CC’$ và $A’B’$. Chứng minh rằng: $$\angle MAP = \angle MAQ \Leftrightarrow \angle MAB = \angle MAC$$

Bài 8. Cho tam giác $ABC$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$; $O_1, O_2, O_3$ lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác $BCO, ACO$ và $ABO$. Chứng minh rằng $AO_1, BO_2, CO_3$ đồng quy tại một điểm.(Điểm Kosnita)

Bài 9. Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm cạnh $AB$. $CE$ là phân giác góc $\angle ACB$. $D$ thuộc tia đối của tia $CA$ sao cho $CD = CB$. Gọi $K$ là giao điểm của $DM$ và $CE$. Chứng minh rằng $\angle KBC = \angle BAC$.

Bài 10. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm $H$. Gọi $A_o, B_o, C_o$ là trung điểm của $BC, AC, AB$. $A_1$ là giao điểm của $AA_o$ và $(O)$, $A_2$ là giao điểm của $H$ qua $A_o$; đường thẳng $A_1A_2$ cắt $BC$ tại điểm $S_a$; các điểm $S_b, S_c$ được xác định tương tự. Chứng minh $S_a, S_b, S_c$ thẳng hàng.

Bài 11. Cho tam giác $ABC$. Các điểm $A_1, B_1, C_1$ lần lượt thuộc các cạnh $BC, AC, AB$ sao cho các đường thẳng $AA_1, BB_1, CC_1$ đồng quy.

a) Gọi $A_2$ là điểm đối xứng của $A_1$ qua trung điểm cạnh $BC$; các điểm $B_2, C_2$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng $AA_2, BB_2, CC_2$ cũng đồng quy.
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_1B_1C_1$ cắt $BC, AC, AB$ tại $A_3, B_3, C_3$. Chứng minh $AA_3, BB_3, CC_3$ đồng quy.

Bài 12. Cho tam giác $ABC$. Các điểm $A_1, B_1, C_1$ lần lượt thuộc các cạnh $BC, AC$ và $AB$. Gọi $G_a, G_b, G_c$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $AB_1C_1, BC_1A_1, CA_1B_1$. Chứng minh rằng $AG_a, BG_b, CG_c$ đồng quy khi và chỉ khi $AA_1, BB_1, CC_1$ đồng quy.

Bài 13.(IMO SL 1995) Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC, AC, AB$ tại $D, E, F$. $X$ là điểm bên trong tam giác $ABC$ sao cho đường tròn nội tiếp tam giác $XBC$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$, tiếp xúc với $CX, BX$ tại $Y, Z$. Chứng minh rằng $E, F, Z, Y$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 14. Cho $P$ là điểm thuộc miền trong của tam giác $ABC$. Gọi $D, E, F$ là hình chiếu của $P$ trên $BC, AC, AB$. Gọi $X$ là điểm trên $EF$ sao cho $PX \bot PA$; các điểm $Y, Z$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng các điểm $X, Y, Z$ thẳng hàng.

Bài 15. (IMO SL 2006) Cho tam giác $ABC$ có $\angle ACB < \angle BAC < 90^o$.Lấy $D$ là điểm thuộc cạnh $AC$ sao cho $BD = BA$. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $AB$ tại $K$ và $AC$ tại $L$. Gọi $J$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BCD$. Chứng minh rằng đường thẳng $KL$ chia đôi đoạn $AJ$.

Bài 18. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $A_1$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$, gọi $A_2$ là điểm đối xứng của $O$ qua $BC$; các điểm $B_1, B_2, C_1, C_2$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng đường tròn ngoại các tam giác $OA_1A_2 OB_1B_2$ và $OC_1C_2$ cùng đi qua 2 điểm.

Bài 19. Cho tam giác $ABC$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác và tiếp xúc với các cạnh $BC, AC, AB$ tại $D, E, F$. $X$ là điểm nằm trong tam giác $DEF$, gọi $A_1, A_2$ là giao điểm của $DX$ với $EF$ và $(I)$; các điểm $B_1,B_2$;$C_1,C_2$ được xác định tương tự.

a) Chứng minh $AA_2, BB_2, CC_2$ đồng quy tại $Y$; $AA_1, BB_1, CC_1$ đồng quy tạu $Z$.
b) Chứng minh $X, Y, Z$ thẳng hàng.

Bài 20. Cho một đường tròn với hai dây $AB$ và $CD$ không song song. Đường vuông góc với $AB$ kẻ từ $A$ cắt đường vuông góc với $CD$ kẻ từ $C$ và từ $D$ lần lượt tại $M, P$. Đường vuông góc với $AB$ kẻ từ $B$ cắt đường vuông góc với $CD$ kẻ từ $C$ và $D$ lần lượt tại $Q$ và $N$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AD, BC, MN$ đồng quy và các đường thẳng $AC, BD, PQ$ cũng đồng quy.

Bài 21. (IMO shortlis 2011) Cho $ABC$ là một tam giác với đường tròn nội tiếp tâm $I$ và đường tròn ngoại tiếp $(C)$. $D$ và $E$ là giao điểm thứ hai của $(C)$ với các tia $AI$ và $BI$ tương ứng. $DE$ cắt $AC$ tại điểm $F$, và cắt $BC$ tại điểm $G$. $P$ là giao điểm của đường thẳng đi qua $F$ song song với $AD$ và đường thẳng qua $G$ song song với $BE$. Giả sử rằng $K$ là giao điểm của các tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ và $B$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $AE, BD$ và $KP$ là song song hoặc đồng quy.

Bài 22. (China TST 2014) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$; $H_a$ là chân đường cao hạ từ $A$ của tam giác $ABC$. $AO$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOC$ tại $A’$. Gọi $D, E$ là hình chiếu của $A’$ trên $AB$ và$AC$; và $O_a$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEH_a$; Ta định nghĩa các điểm $H_b, O_b, H_c, O_c$ tương tự. Chứng minh rằng $H_aO_a, H_bO_b$ và $H_cO_c$ đồng quy.

Định lý Ceva và Menelaus – Phần 2

Leave a reply

Trong hình học ta gặp nhiều bài toán về chứng minh ba đường đồng quy và ba điểm thẳng hàng, một trong những công cụ quen thuộc và kinh điển nhất là định lý Ceva và định lý Menelaus. Ngoài việc áp dụng chứng minh thẳng hàng đồng quy, các định lý Ceva và Nemelaus còn áp dụng chứng minh các đẳng thức về độ dài, góc, là cơ sở của những phương pháp mạnh khác như: hàng điểm điều hòa, cực đối cực,…

Hai định lý được phát biểu với dạng hình học, dạng đại số và dạng lượng giác, trong phần này ta ưu tiên các phát biểu dưới dạng độ dài hình học, góc hình học vì sự đơn giản của nó.

Định lý Ceva

(Dạng độ dài hình học) Cho tam giác $ABC$, nếu $A_1, B_1, C_1$ là là các điểm thuộc các cạnh $BC, AC, AB$. Khi đó $AA_1, BB_1, CC_1$ đồng quy khi và chỉ khi:

\begin{equation} \dfrac{A_1B}{A_1C} \cdot \dfrac{B_1C}{B_1A}\cdot \dfrac{C_1A}{C_1B} = 1
\end{equation}

(Dạng độ dài đại số) Cho tam giác $ABC$ và các điểm $A_1, B_1, C_1$ lần lượt thuộc các đường thẳng $BC, AC, AB$. Khi đó các đường thẳng $AA_1, BB_1, CC_1$ song song hoặc đồng quy khi và chỉ khi:
\begin{equation}\label{ceva2}
\dfrac{\overline{A_1B}}{\overline{A_1C}}.\dfrac{\overline{B_1C}}{\overline{B_1A}}.\dfrac{\overline{C_1A}}{\overline{C_1B}}=-1
\end{equation}

(Dạng lượng giác) Cho tam giác $ABC$ và các điểm $A_1, B_1, C_1$ lần lượt thuộc các đường thẳng $BC, AC, AB$. Khi đó các đường thẳng $AA_1, BB_1, CC_1$ song song hoặc đồng quy khi và chỉ khi:
\begin{equation}\label{ceva3}
\dfrac{\sin(AA_1;AB)}{\sin(AA_1;AC)}\cdot \dfrac{\sin(BB_1;BC)}{\sin(BB_1;BA)}\cdot \dfrac{\sin(CC_1;CA)}{\sin(CC_1;CB)}=-1
\end{equation}

Định lý Menelaus

(Dạng độ dài hình học) Cho tam giác $ABC$, các điểm $C_1$ thuộc cạnh $AB$; $B_1$ thuộc cạnh $AC$ và $A_1$ thuộc phần kéo dài của cạnh $BC$. Khi đó $A_1, B_1, C_1$ thẳng hàng khi và chỉ khi
\begin{equation}\label{mene1}
\dfrac{A_1B}{A_1C} \cdot \dfrac{B_1C}{B_1A}\cdot \dfrac{C_1A}{C_1B} = 1 \end{equation}

(Dạng độ dài đại số) Cho tam giác $ABC$ và các điểm $A_1, B_1, C_1$ lần lượt thuộc các đường thẳng $BC, AC, AB$. Khi đó các điểm $A_1, B_1, C_1$ thẳng hàng khi và chỉ khi:
\begin{equation}\label{mene2}
\dfrac{\overline{A_1B}}{\overline{A_1C}}\cdot \dfrac{\overline{B_1C}}{\overline{B_1A}}\cdot \dfrac{\overline{C_1A}}{\overline{C_1B}}= 1
\end{equation}

(Dạng lượng giác) Cho tam giác $ABC$ và các điểm $A_1, B_1, C_1$ lần lượt thuộc các đường thẳng $BC, AC, AB$. Khi đó các điểm $A_1, B_1, C_1$ thẳng hàng khi và chỉ khi:
\begin{equation}\label{mene3}
\dfrac{\sin(AA_1;AB)}{\sin(AA_1;AC)}\cdot \dfrac{\sin(BB_1;BC)}{\sin(BB_1;BA)}\cdot \dfrac{\sin(CC_1;CA)}{\sin(CC_1;CB)}=1
\end{equation}

Các ví dụ về định lý Ceva và Menelaus

Ví dụ 1. Cho tứ giác $ABC$, các đường chéo $AC, BD$ cắt nhau tại $I$; $AD, BC$ cắt nhau tại $E$; $AB, CD$ cắt nhau tại $F$. $EI$ cắt $AB, CD$ tại $K, L$. Khi đó $\dfrac{LC}{LD} = \dfrac{FC}{FD}$.

Lời giải

Áp dụng định lý Ceva cho tam giác $ECD$ ta có $$\dfrac{LD}{LC} \cdot \dfrac{BC}{BA} \cdot \dfrac{AE}{AD} = 1$$
Áp dụng Menelaus cho cho tam giác $ECD$ với 3 điểm $F, A, B$ ta có: $$\dfrac{FD}{FC}\cdot \dfrac{BC}{BA} \cdot \dfrac{AE}{AD} = 1$$
Từ trên ta có $\dfrac{LD}{LC} = \dfrac{FD}{FC}$.

Ví dụ 2. (Đường thẳng Gauss) Cho tứ giác $ABCD$ khác hình thang. Gọi $I$ là giao điểm của $AD, BC$; gọi $J$ là giao điểm của $AB, CD$. Chứng minh rằng trung điểm của các đoạn $AC, BD$ và $IJ$ cùng thuộc một đường thẳng.

Lời giải

Gọi $E, F, H$ lần lượt là trung điểm của $AD, IC, CD$. \\Rõ ràng $P \in EF, M \in FH, N \in EH$. \\
Ta có $\dfrac{PE}{PF} = \dfrac{JD}{JC}$; $\dfrac{NH}{NE} = \dfrac{BC}{BI}$ và $\dfrac{MF}{MH} = \dfrac{AI}{AD}$.\hfill (1)\\
Áp dụng Menelaus cho tam giác $IDC$ với 3 điểm thẳng hàng $J, A, B$ ta có: \\
$\dfrac{JD}{JC}\cdot \dfrac{BC}{BI}\cdot \dfrac{AI}{AD} = 1$. \hfill (2)\\
Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{PE}{PF}\cdot \dfrac{JD}{JC}\cdot \dfrac{MF}{MH}= 1$.\\ Do đó 3 điểm $P, N, M$ thẳng hàng.

Ví dụ 3. Cho tứ giác $ABCD$, trên các cạnh $AD, BC$ lấy các điểm $P, Q$ sao cho $\dfrac{AP}{AD} = \dfrac{BQ}{BC}$. Gọi $I$ là giao điểm $AC, BD$ và $K$ là giao điểm của $DQ, CP$. Chứng minh $PQ$ đi song song với đường thẳng qua trung điểm của $AB, CD$.

Lời giải

Gọi $E$ là giao điểm của $AD, BC$; $X, Y$ lần lượt là trung điểm của $IE$ và $PQ$; $M, N$ là trung điểm $AB, CD$. \\
Theo định lý đường thẳng Gauss ta có $M, N, X$ thẳng hàng. \\
Mặt khác do $\dfrac{AP}{AD} = \dfrac{BQ}{BC}$ nên $Y, M, N$ thẳng hàng. Do đó 4 điểm $X, M, N, Y$ thẳng hàng.\\
Theo định lý Thales ta có $XM \parallel IK$.\\
Từ đó ta có $IK \parallel MN$.

Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $w$ tâm $I$, $w$ tiếp xúc với các cạnh $BC, AC, AB$ lần lượt tại $D, E, F$.

a) Chứng minh các đường thẳng $AD, BE$ và $CF$ đồng quy tại một điểm. (Điểm Gergonne)
b) Gọi $D’, E’, F’$ lần lượt là điểm đối xứng của $D, E, F$ qua $I$. Chứng minh rằng $AD’, BE’, CF’$ đồng quy tại một điểm.(Điểm Nagel)

Lời giải

a)Ta có $BD = BF, CD = CE, AE = AF$. Suy ra $\dfrac{BD}{CD}\cdot \dfrac{CE}{AE}\cdot \dfrac{AE}{AF} = 1$. Do đó $AD, BE, CF$ đồng quy.
b) Cho $AD’$ cắt $BC$ tại $D_1$; các điểm $E_1, F_1$ được xác định tương tự. \\
Vẽ đường thẳng qua $D’$ song song với $BC$ cắt $AB, AC$ tại $L,K$. Ta có $D’K\cdot CD = KE\cdot CE = IE^2$; $D’L\cdot BD = LF\cdot BF = ID^2$.\\
Suy ra $D’K\cdot CD = D’L\cdot BD$, suy ra $\dfrac{D’K}{D’L} =\dfrac{DB}{CD}$.\\
Mặt khác $\dfrac{D’K}{CD_1} = \dfrac{AD’}{AD_1} = \dfrac{D’L}{BD_1}$, suy ra $\dfrac{D’K}{D’L} = \dfrac{CD_1}{BD_1}$.\\
Do đó $\dfrac{BD}{CD} = \dfrac{CD_1}{CD_1}$, suy ra $BD = CD_1$.\\
Chứng minh tương tự ta có $CE = AE_1, BF = AF_1$.
Từ đó ta có các đường thẳng $AA_1, BB_1, CC_1$ đồng quy.

Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $w$. Tiếp tuyến tại $A$ của $w$ cắt $BC$ tại $A’$; các điểm $B’, C’$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng $A’, B’, C’$ thẳng hàng.

Lời giải

Mà $\triangle A’AB \backsim \triangle A’CA$ nên $\dfrac{A’A^2}{A’C^2} = \dfrac{AB^2}{AC^2}$. \\
Chứng minh tương tự ta có: $\dfrac{B’C}{B’A}= \dfrac{BC^2}{AB^2}, \dfrac{C’A}{C’B} = \dfrac{AC^2}{BC^2}$.\\
Khi đó $\dfrac{A’B}{A’C}\cdot \dfrac{B’C}{B’A}\cdot \dfrac{C’A}{C’B} = 1$.
Vậy $A’, B’, C’$ thẳng hàng.

Ví dụ 6. Cho tam giác $ABC$ khác tam giác cân. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác và tiếp xúc với các cạnh $BC, AC, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ADI, BEI, CFI$ thẳng hàng.

Lời giải

Gọi $D’$ là chân đường phân giác ngoài của góc $A$, khi đó $I, A, D, D’$ thuộc đường tròn đường kính $ID’$, suy ra tâm $O_1$ của $(IDA)$ là trung điểm của $ID’$. \\
Xác định tương tự cho $E’, F’$. Ta có tâm của $(IBE), (ICF)$ lần lượt là trung điểm của $IE’, IF$. \\
Sử dụng Menelaus ta chứng minh được $D’, E’, F’$ thẳng hàng.
Do đó $O_1, O_2,O_3$ thẳng hàng.

Ví dụ 7. (Định lý Jacobi) Cho tam giác $ABC$. Về phía ngoài tam giác lấy các điểm $D, E, F$ sao cho $\angle DBC = \angle FBA, \angle DCB = \angle ECA, \angle EAC = \angle FAB$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AD, BE$ và $CF$ đồng quy.

Lời giải

Để chứng minh định lý này, ta sử dụng định lý Ceva dạng sin, ta cần chứng minh $$\dfrac{\sin DAB}{\sin DAC}\cdot \dfrac{\sin EBC}{\sin EBA} \cdot \dfrac{\sin FCA}{\sin FCB} = 1$$
Áp dụng định lý Cevasin cho 3 đường đồng quy $AD, BD, CD$ ta có:
\begin{equation}
\dfrac{\sin DAB }{\sin DAC}\cdot \dfrac{\sin DBC}{\sin DBA}\cdot \dfrac{\sin DCA}{\sin DCB}
\end{equation}
Tương tự ta cũng có \begin{equation}
\dfrac{\sin EBC}{\sin EBA}\cdot \dfrac{\sin ECA}{\sin ECB}\cdot \dfrac{EAB}{\sin EAC} = 1 \end{equation} và
\begin{equation}
\dfrac{\sin FCA}{\sin FCB}\cdot \dfrac{FAB}{\sin FAC}\cdot \dfrac{FBC}{\sin FBA} = 1
\end{equation}
Nhân 3 đẳng thức lại và kết hợp $\angle DBC = \angle DBA, \angle DBA = \angle FBC, \angle DCB = \angle EDA \\ \angle DCA = \angle ECB, \angle FAB = \angle EAC, \angle FAC = \angle EAB$.
Ta có \begin{equation}
\dfrac{\sin DAB}{\sin DAC}\cdot \dfrac{\sin EBC}{\sin EBA }\cdot \dfrac{\sin FCA}{\sin FCB} =1
\end{equation}
Do đó $AD, BE, CF$ đồng quy.

Ví dụ 8. (Cevian Nest) Cho các đường thẳng $AX, BY, CZ$ đồng quy của tam giác $ABC$. Giả sử $XD, YE, CF$ là các đường đồng quy của tam giác $XYZ$. Chứng minh rằng $AD, BE, CF$ đồng quy.

Lời giải

Ví dụ 9. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Về phía ngoài tam giác dựng các tam giác $ABD, ACE$ vuông tại $B, C$ và đồng dạng. Chứng minh rằng giao điểm của $BE$ và $CD$ thuộc đường cao hạ từ $A$ của tam giác $ABC$.

Lời giải

Áp dụng định lý Ceva sin cho các đường thẳng $BE, AE, CE$ ta có:
\begin{equation}
\dfrac{\sin EBC}{\sin EBA}\cdot \dfrac{\sin ECA}{\sin ECB}\cdot \dfrac{\sin EAB}{\sin EAC} = 1
\end{equation}

Tương tự ta có
\begin{equation}
\dfrac{\sin DCA}{\sin DCB}\cdot \dfrac{\sin DAB}{\sin DAC}\cdot \dfrac{\sin DBC}{\sin DBA} = 1
\end{equation}

Vẽ $AH \bot BC$, ta có $\sin BAH = \sin DBC, \sin CAH = \angle ECB$.\\
Hơn nữa $\angle EAB = \angle DAC, \angle ECA = \angle DBA = 90^\circ$. (3)\\
Nhân (1) và (2) kết hợp với 3 ta có:
\begin{equation}
\dfrac{\sin BAH}{\sin CAH}\cdot \dfrac{\sin EBC}{\sin EBA}\cdot \dfrac{\sin DCA}{\sin DCB} = 1
\end{equation}
Vậy $AH, BE, CD$ đồng quy.

Các bài toán biến đổi góc cạnh – Bài tập

Leave a reply

BÀI TẬP CÁC BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI GÓC

Bài 1 Cho tam giác $ABC$ các đường cao cắt nhau tại $H$. Chứng minh rằng đường tròn Euler của các tam $ABH, ACH, BCH$ và $ABC$ là trùng nhau

Bài 2 Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng đường tròn Euler của các tam giác $ABC, ACD, ABD, BCD$ cùng đi qua một điểm.

Bài 3 Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp. Gọi $d_a$ là đường thẳng simson của tam giác $BCD$ ứng với điểm $A$; các đường thẳng $d_b, d_c, d_d$ được định nghĩa tương tự. Chứng minh rằng các đường thẳng $d_a, d_b, d_c, d_d$ đồng quy.

Bài 4 Cho hai điểm $P, Q$ thuộc miền trong của tam giác $ABC$ sao cho $$\angle ACP = \angle BCQ, \angle CAP = \angle BAQ$$ Gọi $D, E, F$ là hình chiếu vuông góc của $P$ trên các đường thẳng $BC, AC, AB$. Chứng minh rằng nếu $\angle DEF = 90^\circ$ thì $Q$ là trực tâm của tam giác $BDF$.

Bài 5(IMO 2007) Xét 5 điểm $A, B, C, D, E$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành và $B, C, D, E$ cùng thuộc một đường tròn. Gọi $d$ là đường thẳng qua $A$, giả sử $d$ cắt đoạn $BC$ tại $F$ và $BC$ tại $G$. Giả sử $EF = EG = EC$, chứng minh rằng $d$ là phân giác góc $\angle DAB$.

Bài 6(VMO 2009) Trong mặt phẳng cho hai điểm $A$ và $B$ cố định ($A$ khác $B$). Một điểm $C$ di động trên mặt phẳng sao cho $\angle ACB = \alpha (0^o < \alpha < 180^o)$. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc với $AB, BC, CA$ lần lượt tại $D, E, F$. $AI, BI$ cắt $EF$ tại $M, N$.

a) Chứng minh $MN$ có độ dài không đổi.
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$ luôn đi qua một điểm cố định khi $C$ lưu động.

Bài 7 Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD$ và $BD$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$, phân giá trong góc $\angle BCA$ cắt $DE$ tại $P$ và cắt $(O)$ tại $Q$. Gọi $C’$ là điểm đối xứng của $C$ qua $AB$. Tính $\angle C$ biết rằng 4 điểm $M, P, Q$ và $C’$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 8 Cho tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $BC$. Trên đoạn $AM$ lấy điểm $P$. Gọi $D$ là hình chiếu của $P$ trên $BC$. $E$ là một điểm thuộc đoạn $PD$. Gọi $H, K$ là hình chiếu của $E$ trên $AB, AC$. Chứng minh rằng $H, P, K$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\angle EAB = \angle EAC$.

Bài 9 Cho tam giác $ABC$ với $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $K, L$ lần lượt là trực tâm các tam giác $IBC$ và $IAC$. Gọi $T$ là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc $C$ với cạnh $AB$. Chứng minh rằng $CT$ và $KL$ cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn $(I)$.

Bài 10 Cho đoạn thẳng $AB$ và điểm $C$ thuộc đoạn $AB (AC < BC)$. Đường tròn $w$ tâm $O$ thay đổi tiếp xúc với $AB$ tại $C$. Từ $A$ và $B$ vẽ các tiếp tuyến $AD$ và $BE$ ($D, E$là hai tiếp điểm khác $C$). $AD$ và $BE$ cắt nhau tại $P$.

a) Chứng minh rằng $DE$ luôn đi qua một điểm cố định
b) Gọi $F$ là giao điểm của $OC$ và $DE$. Chứng minh $PF$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 11 Cho đường tròn $(O)$ và điểm $P$ nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến $PA, PB$ đến $(O)$ với $A, B$ là các tiếp điểm. $C$ là điểm trên cung nhỏ $AB$, tiếp tuyến tại $C$ cắt $PA, PB$ và $PO$ lần lượt tại $D, E, F$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PAB, PDE$ và $PCF$ cùng đi qua một điểm khác $P$.

Bài 12(Chọn đội tuyển Toán Việt Nam năm 2000) Cho hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ cắt nhau tại $P$ và $Q$. Tiếp tuyến chung (tiếp tuyến gần $P$) tiếp xúc với $(C_1)$ tại $A$ và tiếp xúc với $(C_2)$ tại $B$. Tiếp tuyến của $(C_1)$ và $(C_2)$ tại $P$ cắt hai đường tròn tại $E$ và $F$ (khác $P$). Gọi $H$ và $K$ là các điểm trên tia $AF$ và $BE$ sao cho $AH = AP$ và $BK = BP$. Chứng minh rằng $A, H, Q, K, B$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 13(IMO 2009) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Phân giác trong góc $A$ và $B$ cắt $BC$ và $AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Gọi $K$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ACD$. Cho $\angle BEK = 45^o$. Tìm tất cả các giá trị của $\angle BAC$.

Bài 14 Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. Trên các đoạn $AI, BI$ và $CI$ lấy các điểm $A’,B’,C’$. Đường trung trực của các đoạn $AA’, BB’, CC’$ đôi một cắt nhau tại $A_1, B_1, C_1$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ và tam giác $A_1B_1C_1$ trùng nhau khi và chỉ khi $I$ là trực tâm của tam giác $A’B’C’$.

Bài 15 (IMO 2017) Cho $R,S$ là hai điểm phân biệt trên đường tròn $\Omega$ sao cho $RS$ không phải đường kính. Gọi $d$ là tiếp tuyến của $\Omega$ tại $R$. Lấy điểm $T$ sao cho $S$ là trung điểm của đoạn thẳng $RT$. Lấy điểm $J$ trên cung nhỏ $RS$ của $\Omega$ sao cho $(JST)$ cắt $d$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $A$ là giao điểm gần $R$ nhất của $d$ và $(JST)$. $AJ$ cắt lại $\Omega$ tại $K$. Chứng minh $KT$ tiếp xúc với $(JST)$.

Bài 16(Đề thi HSG Bulgari năm 2016) Cho tam giác $ABC$ cân tại $C$, trên tia đối của tia $CA$ lấy điểm $D$ sao cho $AC > CD$. Phân giác $\angle BCD$ cắt $BD$ tại $N$. $M$ là trung điểm $BD$, tiếp tuyến tại $M$ của $(AMD)$ cắt $BC$ tại $P$. Chứng minh rằng 4 điểm $A, P, M, N$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 17(Đề thi HSG Iran 2018 – Vòng 3) Cho tam giác $ABC$, đường tròn $w$ thay đổi qua $B, C$ cắt các cạnh $AB, AC$ tại $E$ và $F$. $BF, CE$ cắt $(ABC)$ tại $B’, C’$. $A’$ là điểm thuộc $BC$ sao cho $\angle C’A’B = \angle B’A’C$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $A’B’C’$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 18(IMO shortlist 2017) Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$. Đường thẳng $OA$ cắt đường cao từ $B$ và $C$ của tam giác $ABC$ lần lượt tại $P$ và $Q$. $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HPQ$ thuộc đường trung trung tuyến của tam giác $ABC$.

Bài 19 Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $N$, tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của $(O)$ cắt nhau tại $P$; tiếp tuyến tại $A$ và $C$ cắt nhau tại $M$.
a) Chứng minh $PA, CN$ và $BM$ đồng quy tại một điểm $L$.
b) Gọi $X, Y, Z$ là hình chiếu của $L$ trên $BC, AC$ và $AB$. Chứng minh $L$ thuộc đường thẳng Euler của tam giác $XYZ$.
c) Gọi $A’, B’, C’$ là trung điểm của $OP, OM$ và $ON$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AA’, BB’$ và $CC’$ đồng quy.

Bài 20 Cho tam giác $ABC$ có các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn đường kính $BH$ cắt $DE$ tại $K$, đường tròn đường kính $CH$ cắt $DF$ tại $L$. Chứng minh $KL$ vuông góc với đường thẳng euler của tam giác $ABC$.

Bài 21 Cho tam giác $ABC$ có $\angle A = 45^o$. Các đường cao $AD, BE, CF$. Gọi $A’, B’, C’$ lần lượt là hình chiếu của $A, B, C$ trên $EF, DF, DE$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A’B’C’$ thuộc đường tròn euler của tam giác $ABC$.

Bài 22 Cho tam giác $ABC$, đường thẳng $d$ cắt các cạnh $AB, AC$ tại $D, E$ và đường thẳng $BC$ tại $F$. Gọi $O,O_a, O_b, O_c$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABC, ADE, BDF, CEF$.

a) Chứng minh rằng 4 điểm $O, O_a, O_b, O_c$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh trực tâm tam giác $O_aO_bO_c$ thuộc $d$.

Bài 23(IMO 2019) Cho tam giác $ABC$, các điểm $A_1$ thuộc cạnh $BC$ và $B_1$ thuộc cạnh $AC$. Trên đoạn $AA_1, BB_1$ lấy $P, Q$ sao cho $PQ$ song song $AB$. Trên tia $PB_1$ lấy $P_1$ sao cho $\angle PP_1C = \angle BAC$, trên tia $QA_1$ lấy điểm $Q_1$ sao cho $QQ_1C = \angle ABC$. Chứng minh 4 điểm $P, Q, P_1, Q_1$ đồng viên.

Bài 24 Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Các đường phân giác trong của các góc $A, B, C, D$ cắt nhau tạo thành tứ giác nội tiếp tâm $I$. Các đường phân giác ngoài cắt nhau tạo thành tứ giác nội tiếp tâm $J$. Chứng minh rằng $O$ là trung điểm của $IJ$.

Bài 25 Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $K$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $KAC$ và $KBD$ có tâm là $I$ và $J$ cắt nhau tại $M$. Chứng minh
a) $O, J, I, M$ đồng viên.
b) $OM \bot KM$.

Bài 26 Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $w$. Trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt $w$ tại $D$ và $E$. Đường tròn tâm $O_1$ qua $D$ và tiếp xúc với $AC$ tại $C$; đường tròn $O_2$ qua $E$ và tiếp xúc với $AB$ tại $B$.

a) Chứng minh rằng $O_1 O_2$ qua tâm đường tròn euler của tam giác $ABC$.
b) Gọi $K$ là giao điểm của $O_1M$ và $O_2N$. Chứng minh rằng $AK\bot BC$.

Bài 27 (IMO Shorlist 2019) Cho tam giác $ABC$, đường tròn $w$ qua $A$ cắt các cạnh $AB, AC$ tại $D$ và $E$ tương ứng; $w$ cắt $BC$ tại $F$ và $G$ sao cho $F$ nằm giữa $B$ và $G$. Tiếp tuyến tại $F$ của $(BDF)$ và tiếp tuyến tại $G$ của $(CEG)$ cắt nhau tại $T$. Giả sử $A, T$ phân biệt. Chứng minh rằng $AT$ song song $BC$.

Bài 28 (ISL 2107) Cho tam giác $ABC$ khác tam giác cân. Các đường cao từ $B$ và $C$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $OA$ cắt $BH, CH$ tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HPQ$ thuộc trung tuyến của tam giác $ABC$.

Bài 29 (ISL 2015 – G2) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $w$ tâm $A$ cắt cạnh $BC$ tại $D, E$ sao cho $D$ nằm giữa $B$ và $E$; $w$ cắt $(O)$ tại $F$ và $G$, trong đó $F$ thuộc cung nhỏ $AB$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDF$ cắt $AB$ tại $K$; đường tròn ngoại tiếp tam giác $CEG$ cắt $AC$ tại $L$. Gọi $X$ là giao điểm của $FK$ và $GL$. Chứng minh $A, X, O$ thẳng hàng.

Bài 30 (IMO 2013 – G6) Cho tam giác $ABC$, gọi $A_1$ là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc $A$ với $BC$; các điểm $B_1, C_1$ được xác định tương tự. Giả sử tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_1B_1C_1$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông.

Sách tham khảo hình học

Leave a reply

Hình hình học phẳng là một trong các nội dung quan trọng trong các kì thi học sinh giỏi các cấp, đặc biệt trong các năm gần đây bài hình học chiếm khá nhiều, và nhiều bài toán hay được đề xuất, các em học sinh có thể tìm được nhiều sách, nhiều tài liệu hay một cách dễ dàng, nhân đây mình cũng muốn giới thiệu một số sách hình học cho các bạn đam mê và muốn tham khảo.

Sách tham khảo trung học phổ thông

Sách tham khảo trung học cơ sở

Góc định hướng và ứng dụng

Leave a reply

Góc định hướng.

Góc giữa hai tia. Cho hai tia $Ox, Oy$, ta cho tia $Ot$ lúc đầu trùng với $Ox$ và cho $Ot$ quay quanh $O$, đến khi $Ot$ trùng với $Oy$, ta nó $Ot$ tạo ra một góc lượng giác (góc định hướng) có tia đầu là $Ox$ tia cuối là $Oy$, kí hiệu $(Ox, Oy)$.

Chú ý: Với hai tia $Ox, Oy$ thì có vô số góc lượng giác có tia đầu $Ox$ tia cuối $Oy$ và hơn kém nhau $k2 \pi$.

Góc giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng $a, b$ cắt nhau tại $O$, ta cho đường thằng $t$ qua $O$ lúc đầu trùng với $O$, quay $t$ quanh $O$ đến khi $t$ trùng $a$, ta nói $t$ tạo ra góc giữa đường thẳng $a, b$, kí hiệu là $(a;b)$.

Các góc lượng giác tạo giữa $a, b$ hơn kém nhau $k\pi$.

Một số tính chất thường sử dụng.

Tính chất 1. Hệ thức Charles
a) Cho $a, b, c$ là ba đường thẳng bất kì thì $(a, b)=(a, c)+(c, b)(\bmod \pi)$
b) $\mathrm{Cho} O x, O y, O z$ là ba tia thì $(O x, O y)=(O x, O z)+(O z, O y)(\bmod 2 \pi)$

Tính chất 2. (Điều kiện 3 điểm thẳng hàng) Cho 3 điểm $A, B, C$ và đường thẳng $d$. Khi đó $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $(A B, d)=(A C, d)(\bmod \pi)$

Tính chất 3. (Điều kiện 4 điểm đồng viên) Cho 4 điểm $A, B, C, D .$ Khi đó $A, B, C, D$ cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi $(A C, A D)=(B C, B D)(\bmod \pi)$.

Tính chất 4. Nếu $a$ là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng $b, c$ thì $(b, a)=-(c, a)=\frac{1}{2}(b, c)\left(\bmod \frac{\pi}{2}\right)$

Tính chất 5. Nếu $a$ và $a^{\prime}$ đỗi xứng nhau qua đường thẳng $d$ thì $(a, d)=-\left(a^{\prime}, d\right)(\bmod \pi)$.

Tính chất 6 . Nếu $a^{\prime}$ là ảnh của $a$ qua phép quay với góc quay $\alpha$ thì $\left(a, a^{\prime}\right)=\alpha(\bmod \pi)$

Các ví dụ

Bài 1. (Định lý Migel) Cho tam giác $A B C$; Gọi $D, E, F$ lần lượt là các điểm thuộc các đường thẳng $B C, A C$ và $A B$
a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $A E F, B F E, C D E$ cùng đi qua một điểm $M$.
b) Nếu $D, E, F$ thẳng hàng thì điểm $M$ thuộc đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A B C$; hơn nữa tâm các đường tròn $(A B C),(A E F),(B F E),(C D E)$ cùng thuộc một đường tròn và đường tròn đó qua $\mathrm{M}$.

Lời giải

a) Gọi $M$ là giao điểm của $(A E F)$ và $(B D F)$, ta chứng minh $C, D, E, M$ đồng viên.
Ta có $(E M ; E C)=(E M ; E A)=(F M ; F A)(\bmod \pi)($ Do $A, E, M, F$ đồng viên $)$
Mà $(F M, F A)=(F M ; F B)=(D M: D B)(\bmod \pi)($ Do $D, M, F, B$ đồng viên $)$
Suyra $(E M ; E C)=(D M ; D B)=(D M ; D C)(\bmod \pi)$
Do đó $M, E, C, D$ đồng viên.

b) $\operatorname{Tacó}(A M: A F)=(E M ; E F)(\bmod \pi),(A M: A F)=(C M ; C B)(\bmod \pi)$ và $(C M ; C B)=(E M ; E D)(\bmod \pi)$
Do đó $E, D, F$ thẳng hàng khi và chỉ khi $(E M ; E F)=(E M: E D)$ khi và chỉ khi $(A M ; A F)=(C M ; C B)$ khi và chỉ khi $A \cdot B, C, M$ đồng viên.
Gọi $O, O_{a}, O_{b}, O_{c}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $A B C, A E F, B D F, C D E$. Ta chứng minh $O, M, O_{a}, O_{b}, O_{c}$ đồng viên.
Thật vậy ta có $\left(O_{a} M ; O_{a} O_{b}\right)=(E M ; E F)=(C M ; C D)=\left(O M ; O O_{b}\right)(\bmod \pi)$. Do đó $O_{a}, M, O, O_{b}$ đồng viên. Tương tự $O_{a}, M, O, O_{c}$ đồng viên. Suy ra điều cần chứng minh.

Bài 2. (Đường thẳng Steiner – Điểm Antisteiner)

a) Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O), M$ là một điểm thuộc $(O)$. Gọi \$latex $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime} \$$ lần lượt là điểm đối xúng của $M$ qua $B C, A C, A B$. Chứng minh rằng $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó qua trực tâm $\mathrm{H}$ của tam giác $A B C$.
b) Ngược lại lấy $d$ là một đường thẳng qua $H$. Gọi $d_{a}, d_{b}, d_{c}$ lần lưọt là các đường thẳng đối xứng của d qua BC, $A C, A B$. Chúng minh rằng $d_{a}, d_{b}, d_{c}$ đồng qui tai một điểm thuộc đường tròn $(O)$.

Lời giải

a) Gọi $H_{c}, H_{b}$ là điểm đõi xứng của $H$ qua $A B: A C$. Ta có $H_{c}, H_{b} \in(A B C)$
a) $\left(H C^{\prime} ; H B^{\prime}\right)=\left(H C^{\prime} ; H A\right)+\left(H A ; H B^{\prime}\right)=-\left(H_{c} M ; H A\right)-\left(H_{b} A ; H_{b} M\right)=0($ $\bmod \pi)$
Vầy $H, B^{\prime}, C^{\prime}$ thẳng hàng.

b) Ta thấy $H_{a} \in d_{a}, H_{b} \in d_{b} \cdot$ Gọi $M$ là giao điểm của $d_{a}, d_{b}$. Ta chứng minh $M \in(A B C)$. Ta có:
$$
\begin{aligned}
&\left(M H_{a} ; M H_{b}\right)=\left(A^{\prime} H_{a} ; A^{\prime} C\right)+\left(A^{\prime} C ; C A\right)+\left(C A ; M H_{b}\right) \\
&=-\left(A^{\prime} H ; B C\right)+(C B ; C A)-\left(C A ; B^{\prime} H\right) \\
&=\left(B C ; A^{\prime} H\right)+\left(B^{\prime} H ; C A\right)+(C B ; C A) \\
&=2(B C ; C A)(\bmod \pi) \\
&=\left(C H_{a} ; C H_{b}\right)(\bmod \pi)
\end{aligned}
$$
Do đó $M \in(A B C)$.

Bài 3.
a) Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đương tròn $(O), P Q$ là đương kính. Chứng minh rằng đường thẳng Simson của tam giác ABC úng vói các điểm $P, Q$ vuông góc nhau.
b) Tổng quát hơn, nếu $P Q$ là dây cung bất kì thì góc tạo bởi hai đương thẳng Simson ứng với $P$ và $Q$ bằng nủa số đo chung nhỏ $P Q$.

Lời giải

b)
$$
\begin{aligned}
(\mathrm{DI} ; \mathrm{JK}) &=(\mathrm{DI} ; \mathrm{DP})+(\mathrm{DP} ; \mathrm{AC})+(\mathrm{AC} ; \mathrm{CJ})+(\mathrm{CJ} ; \mathrm{JK})(\bmod \pi) \\
&=(\mathrm{CI} ; \mathrm{CP})+1 / 2 \pi+(\mathrm{AC} ; \mathrm{BC})+(\mathrm{QC} ; \mathrm{QK})(\bmod \pi) \\
&=(\mathrm{CB} ; \mathrm{CP})+1 / 2 \pi+(\mathrm{AC} ; \mathrm{BC})+(\mathrm{CQ} ; \mathrm{CK})+(\mathrm{CK} ; \mathrm{QK})(\bmod \pi) \\
&=(\mathrm{CB} ; \mathrm{CP})+(\mathrm{AC} ; \mathrm{CB})+(\mathrm{CQ} ; \mathrm{CA})(\bmod \pi) \\
&=(\mathrm{CQ} ; \mathrm{CP})(\bmod \pi) \square
\end{aligned}
$$

Bài 4. (Chọn đội dự tuyển PTNK 2008) Cho tam giác ABC. Các điểm $M, N, P$ lần luợt thuộc các đt $B C, C A$, AB sao cho tam giác MNP và tam giác $A B C$ đồng dạng. Chúng minh ràng tâm đưòng tròn ngoại tiếp của tam giác $B C$ là thục tâm của tam giác $M N P$.

Lời giải

Theo định lý Migel thì các đường tròn (ANP), (BMP) và (CMN) cắt nhau tại $O$. Ta có
$$
\begin{aligned}
(\overline{O B} ; \overrightarrow{O C}) &=(\overline{O B} ; \overline{O P})+(\overline{O P} ; \overline{O M})+(\overline{O M} ; \overrightarrow{O C}) &(\bmod \pi) \\
&=(\overline{M B} ; \overline{M P})+(\overline{O P} ; \overline{O M})+(\overline{O M} ; \overrightarrow{O C}) &(\bmod \pi) \\
&=-(\overline{M P} ; \overline{M B})+(\overline{B P} ; \overline{B M})+(\overline{N M} ; \overrightarrow{N C}) \quad(\bmod \pi) \\
&=-(\overline{M P} ; \overline{M N})-(\overline{M N} ; \overline{M B})+(\overline{B P} ; \overline{B M})+(\overline{N M} ; \overrightarrow{N C}) \\
&=(\overline{M N} ; \overline{M P})+(\overline{M B} ; \overline{M N})+(\overline{M N} ; \overline{C N})+(\overline{B P} ; \overline{B M}) \\
&=(\overline{M N} ; \overline{M P})+(\overline{M B} ; \overline{C N})+(\overline{B P} ; \overline{B M}) \\
&=(\overline{M N} ; \overline{M P})+(\overline{B P} ; \overline{C N})=2(A B ; A C) \quad(\bmod \pi)
\end{aligned}
$$
Từ đó ta có $\mathrm{O}$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $\mathrm{ABC}$.

Mặt khác
$$
\begin{aligned}
(O N ; P M) &=(O N ; O P)+(O P ; P M) & &(\bmod \pi) \\
&=(A N ; A P)+(B O ; B M) & &(\bmod \pi) \\
&=(A C ; A B)+(B O ; B C) & &(\bmod \pi) \\
&=\frac{\pi}{2} \quad &(\bmod \pi)
\end{aligned}
$$
Suy ra $\mathrm{ON} \perp \mathrm{PM}$. Chứng minh tương tự ta có $\mathrm{MO} \perp \mathrm{NP}$. Hay $\mathrm{O}$ là trực tâm của tam giác $\mathrm{ABC}$.

Bài 5. Cho hai hình vuông $A B C D$ và $A E F G$ cùng hướng, $A, B, E$ không thẳng hàng. Chứng minh rẳng $B E, C F, D G$ đồng quy.

Lời giải

Xét phép quay tâm A góc quay $(A B: A D)=90^{\circ}$. Khi đó $B$ biên thành $D, E$ biên thành $G$. Gọi $H$ là giao điểm của $\mathrm{BE}$ và $\mathrm{GD}$. Khi đó $(B E ; G D)=(A B ; A D)=(C B ; C D)=90^{\circ}(\bmod \pi)$. Suy ra $A, H, B, C, D$ đồng viên.
Từ đó ta có $(H B: H C)=(A B: A C)(\bmod \pi)$,
Hơn nữa, $(H G ; H E)=(A G ; A E)=90^{\circ}(\bmod \pi)$ nên $A, E, H, G, F$ cũng đồng viên. Suy ra $(H E ; H F)=(A B: A C)(\bmod \pi)$
Ta có $(H B ; H C)=(H E ; H F)(\bmod \pi)$ mà $H, E, B$ thẳng hàng nên $H, C, F$ thẳng hàng, hay $B E . C F, D G$ đồng quy.

Bài tập rèn luyện

Bài 1 (VMO 2006) Cho tứ giác lồi $A B C D$. Xét một điểm $M$ di động trên đường thẳng $A B$ sao cho $M$ không trùng với $A$ và B. Gọi $N$ là giao điểm thứ hai khác $M$ của đường tròn đi qua 3 điểm $M, N, C$ và đường tròn đi qua 3 điếm $M, B$, D. Chứng minh:
a) Điểm $\mathrm{N}$ di động trên một đường tròn cố định.
b) Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 2. Cho tứ giác lồi $A B C D$ nội tiếp một đường tròn. Gọi $P, Q, R, S$ là giao điểm của các đường phân giác ngoài của Các góc ADB và ADB, DAB Và DBA, ACD và ADC, DAC và DCA tương ứng. Chứng minh rẳng $P, Q, R, S$ đồng viên.

Bài 3. Cho tứ giác $A B C$. Chứng minh rằng đường tròn Euler của các tam gíác $A B C, A C D, A B D$ và $B C D$ cùng đi qua một điểm.

Bài 4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại $A$ và B. Một đường thẳng qua A cắt $(O)$ và $\left(O^{\prime}\right)$ tai $M$ và N. Một đường thẳng qua $B$ cắt $(O)$ và $(O)$ tai $P$ và Q. Chứng minh $M P / / N Q .$

Bài 5. Cho tam giác $A B C$, đưòng cao $A H$ (H thuộc BC). Gọi $D, E$ là hình chiếu của H trên $A B$ và $A D$, đương thẳng $D E$ cắt $B C$ tại $F$. Goi $O_1, O_2$ là tâm đương tròn ngoại tiếp các tam giác BDF và CEF; gọi I là trung điểm $\mathrm{AH}$ và $\mathrm{O}$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$. Chúng minh rằng 4 điểm $I, O, O_1$ và $O_2$ cùng thuộc một đương tròn.