Trong hình học ta gặp nhiều bài toán về chứng minh ba đường đồng quy và ba điểm thẳng hàng, một trong những công cụ quen thuộc và kinh điển nhất là định lý Ceva và định lý Menelaus. Ngoài việc áp dụng chứng minh thẳng hàng đồng quy, các định lý Ceva và Nemelaus còn áp dụng chứng minh các đẳng thức về độ dài, góc, là cơ sở của những phương pháp mạnh khác như: hàng điểm điều hòa, cực đối cực,…
Hai định lý được phát biểu với dạng hình học, dạng đại số và dạng lượng giác, trong phần này ta ưu tiên các phát biểu dưới dạng độ dài hình học, góc hình học vì sự đơn giản của nó.
Định lý Ceva
(Dạng độ dài hình học) Cho tam giác $ABC$, nếu $A_1, B_1, C_1$ là là các điểm thuộc các cạnh $BC, AC, AB$. Khi đó $AA_1, BB_1, CC_1$ đồng quy khi và chỉ khi:
\begin{equation} \dfrac{A_1B}{A_1C} \cdot \dfrac{B_1C}{B_1A}\cdot \dfrac{C_1A}{C_1B} = 1
\end{equation}
(Dạng độ dài đại số) Cho tam giác $ABC$ và các điểm $A_1, B_1, C_1$ lần lượt thuộc các đường thẳng $BC, AC, AB$. Khi đó các đường thẳng $AA_1, BB_1, CC_1$ song song hoặc đồng quy khi và chỉ khi:
\begin{equation}\label{ceva2}
\dfrac{\overline{A_1B}}{\overline{A_1C}}.\dfrac{\overline{B_1C}}{\overline{B_1A}}.\dfrac{\overline{C_1A}}{\overline{C_1B}}=-1
\end{equation}
(Dạng lượng giác) Cho tam giác $ABC$ và các điểm $A_1, B_1, C_1$ lần lượt thuộc các đường thẳng $BC, AC, AB$. Khi đó các đường thẳng $AA_1, BB_1, CC_1$ song song hoặc đồng quy khi và chỉ khi:
\begin{equation}\label{ceva3}
\dfrac{\sin(AA_1;AB)}{\sin(AA_1;AC)}\cdot \dfrac{\sin(BB_1;BC)}{\sin(BB_1;BA)}\cdot \dfrac{\sin(CC_1;CA)}{\sin(CC_1;CB)}=-1
\end{equation}
Định lý Menelaus
(Dạng độ dài hình học) Cho tam giác $ABC$, các điểm $C_1$ thuộc cạnh $AB$; $B_1$ thuộc cạnh $AC$ và $A_1$ thuộc phần kéo dài của cạnh $BC$. Khi đó $A_1, B_1, C_1$ thẳng hàng khi và chỉ khi
\begin{equation}\label{mene1}
\dfrac{A_1B}{A_1C} \cdot \dfrac{B_1C}{B_1A}\cdot \dfrac{C_1A}{C_1B} = 1 \end{equation}
(Dạng độ dài đại số) Cho tam giác $ABC$ và các điểm $A_1, B_1, C_1$ lần lượt thuộc các đường thẳng $BC, AC, AB$. Khi đó các điểm $A_1, B_1, C_1$ thẳng hàng khi và chỉ khi:
\begin{equation}\label{mene2}
\dfrac{\overline{A_1B}}{\overline{A_1C}}\cdot \dfrac{\overline{B_1C}}{\overline{B_1A}}\cdot \dfrac{\overline{C_1A}}{\overline{C_1B}}= 1
\end{equation}
(Dạng lượng giác) Cho tam giác $ABC$ và các điểm $A_1, B_1, C_1$ lần lượt thuộc các đường thẳng $BC, AC, AB$. Khi đó các điểm $A_1, B_1, C_1$ thẳng hàng khi và chỉ khi:
\begin{equation}\label{mene3}
\dfrac{\sin(AA_1;AB)}{\sin(AA_1;AC)}\cdot \dfrac{\sin(BB_1;BC)}{\sin(BB_1;BA)}\cdot \dfrac{\sin(CC_1;CA)}{\sin(CC_1;CB)}=1
\end{equation}
Các ví dụ về định lý Ceva và Menelaus
Ví dụ 1. Cho tứ giác $ABC$, các đường chéo $AC, BD$ cắt nhau tại $I$; $AD, BC$ cắt nhau tại $E$; $AB, CD$ cắt nhau tại $F$. $EI$ cắt $AB, CD$ tại $K, L$. Khi đó $\dfrac{LC}{LD} = \dfrac{FC}{FD}$.
Ví dụ 2. (Đường thẳng Gauss) Cho tứ giác $ABCD$ khác hình thang. Gọi $I$ là giao điểm của $AD, BC$; gọi $J$ là giao điểm của $AB, CD$. Chứng minh rằng trung điểm của các đoạn $AC, BD$ và $IJ$ cùng thuộc một đường thẳng.
Ví dụ 3. Cho tứ giác $ABCD$, trên các cạnh $AD, BC$ lấy các điểm $P, Q$ sao cho $\dfrac{AP}{AD} = \dfrac{BQ}{BC}$. Gọi $I$ là giao điểm $AC, BD$ và $K$ là giao điểm của $DQ, CP$. Chứng minh $PQ$ đi song song với đường thẳng qua trung điểm của $AB, CD$.
Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $w$ tâm $I$, $w$ tiếp xúc với các cạnh $BC, AC, AB$ lần lượt tại $D, E, F$.
a) Chứng minh các đường thẳng $AD, BE$ và $CF$ đồng quy tại một điểm. (Điểm Gergonne)
b) Gọi $D’, E’, F’$ lần lượt là điểm đối xứng của $D, E, F$ qua $I$. Chứng minh rằng $AD’, BE’, CF’$ đồng quy tại một điểm.(Điểm Nagel)
Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $w$. Tiếp tuyến tại $A$ của $w$ cắt $BC$ tại $A’$; các điểm $B’, C’$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng $A’, B’, C’$ thẳng hàng.
Ví dụ 6. Cho tam giác $ABC$ khác tam giác cân. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác và tiếp xúc với các cạnh $BC, AC, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ADI, BEI, CFI$ thẳng hàng.
Ví dụ 7. (Định lý Jacobi) Cho tam giác $ABC$. Về phía ngoài tam giác lấy các điểm $D, E, F$ sao cho $\angle DBC = \angle FBA, \angle DCB = \angle ECA, \angle EAC = \angle FAB$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AD, BE$ và $CF$ đồng quy.
Ví dụ 8. (Cevian Nest) Cho các đường thẳng $AX, BY, CZ$ đồng quy của tam giác $ABC$. Giả sử $XD, YE, CF$ là các đường đồng quy của tam giác $XYZ$. Chứng minh rằng $AD, BE, CF$ đồng quy.
Ví dụ 9. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Về phía ngoài tam giác dựng các tam giác $ABD, ACE$ vuông tại $B, C$ và đồng dạng. Chứng minh rằng giao điểm của $BE$ và $CD$ thuộc đường cao hạ từ $A$ của tam giác $ABC$.