Tag Archives: BienDoiGoc

Các bài toán biến đổi góc cạnh – Bài tập

BÀI TẬP CÁC BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI GÓC

Bài 1 Cho tam giác $ABC$ các đường cao cắt nhau tại $H$. Chứng minh rằng đường tròn Euler của các tam $ABH, ACH, BCH$ và $ABC$ là trùng nhau

Bài 2 Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng đường tròn Euler của các tam giác $ABC, ACD, ABD, BCD$ cùng đi qua một điểm.

Bài 3 Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp. Gọi $d_a$ là đường thẳng simson của tam giác $BCD$ ứng với điểm $A$; các đường thẳng $d_b, d_c, d_d$ được định nghĩa tương tự. Chứng minh rằng các đường thẳng $d_a, d_b, d_c, d_d$ đồng quy.

Bài 4 Cho hai điểm $P, Q$ thuộc miền trong của tam giác $ABC$ sao cho $$\angle ACP = \angle BCQ, \angle CAP = \angle BAQ$$ Gọi $D, E, F$ là hình chiếu vuông góc của $P$ trên các đường thẳng $BC, AC, AB$. Chứng minh rằng nếu $\angle DEF = 90^\circ$ thì $Q$ là trực tâm của tam giác $BDF$.

Bài 5(IMO 2007) Xét 5 điểm $A, B, C, D, E$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành và $B, C, D, E$ cùng thuộc một đường tròn. Gọi $d$ là đường thẳng qua $A$, giả sử $d$ cắt đoạn $BC$ tại $F$ và $BC$ tại $G$. Giả sử $EF = EG = EC$, chứng minh rằng $d$ là phân giác góc $\angle DAB$.

Bài 6(VMO 2009) Trong mặt phẳng cho hai điểm $A$ và $B$ cố định ($A$ khác $B$). Một điểm $C$ di động trên mặt phẳng sao cho $\angle ACB = \alpha (0^o < \alpha < 180^o)$. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc với $AB, BC, CA$ lần lượt tại $D, E, F$. $AI, BI$ cắt $EF$ tại $M, N$.

a) Chứng minh $MN$ có độ dài không đổi.
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$ luôn đi qua một điểm cố định khi $C$ lưu động.

Bài 7 Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD$ và $BD$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$, phân giá trong góc $\angle BCA$ cắt $DE$ tại $P$ và cắt $(O)$ tại $Q$. Gọi $C’$ là điểm đối xứng của $C$ qua $AB$. Tính $\angle C$ biết rằng 4 điểm $M, P, Q$ và $C’$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 8 Cho tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $BC$. Trên đoạn $AM$ lấy điểm $P$. Gọi $D$ là hình chiếu của $P$ trên $BC$. $E$ là một điểm thuộc đoạn $PD$. Gọi $H, K$ là hình chiếu của $E$ trên $AB, AC$. Chứng minh rằng $H, P, K$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\angle EAB = \angle EAC$.

Bài 9 Cho tam giác $ABC$ với $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $K, L$ lần lượt là trực tâm các tam giác $IBC$ và $IAC$. Gọi $T$ là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc $C$ với cạnh $AB$. Chứng minh rằng $CT$ và $KL$ cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn $(I)$.

Bài 10 Cho đoạn thẳng $AB$ và điểm $C$ thuộc đoạn $AB (AC < BC)$. Đường tròn $w$ tâm $O$ thay đổi tiếp xúc với $AB$ tại $C$. Từ $A$ và $B$ vẽ các tiếp tuyến $AD$ và $BE$ ($D, E$là hai tiếp điểm khác $C$). $AD$ và $BE$ cắt nhau tại $P$.

a) Chứng minh rằng $DE$ luôn đi qua một điểm cố định
b) Gọi $F$ là giao điểm của $OC$ và $DE$. Chứng minh $PF$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 11 Cho đường tròn $(O)$ và điểm $P$ nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến $PA, PB$ đến $(O)$ với $A, B$ là các tiếp điểm. $C$ là điểm trên cung nhỏ $AB$, tiếp tuyến tại $C$ cắt $PA, PB$ và $PO$ lần lượt tại $D, E, F$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PAB, PDE$ và $PCF$ cùng đi qua một điểm khác $P$.

Bài 12(Chọn đội tuyển Toán Việt Nam năm 2000) Cho hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ cắt nhau tại $P$ và $Q$. Tiếp tuyến chung (tiếp tuyến gần $P$) tiếp xúc với $(C_1)$ tại $A$ và tiếp xúc với $(C_2)$ tại $B$. Tiếp tuyến của $(C_1)$ và $(C_2)$ tại $P$ cắt hai đường tròn tại $E$ và $F$ (khác $P$). Gọi $H$ và $K$ là các điểm trên tia $AF$ và $BE$ sao cho $AH = AP$ và $BK = BP$. Chứng minh rằng $A, H, Q, K, B$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 13(IMO 2009) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Phân giác trong góc $A$ và $B$ cắt $BC$ và $AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Gọi $K$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ACD$. Cho $\angle BEK = 45^o$. Tìm tất cả các giá trị của $\angle BAC$.

Bài 14 Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. Trên các đoạn $AI, BI$ và $CI$ lấy các điểm $A’,B’,C’$. Đường trung trực của các đoạn $AA’, BB’, CC’$ đôi một cắt nhau tại $A_1, B_1, C_1$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ và tam giác $A_1B_1C_1$ trùng nhau khi và chỉ khi $I$ là trực tâm của tam giác $A’B’C’$.

Bài 15 (IMO 2017) Cho $R,S$ là hai điểm phân biệt trên đường tròn $\Omega$ sao cho $RS$ không phải đường kính. Gọi $d$ là tiếp tuyến của $\Omega$ tại $R$. Lấy điểm $T$ sao cho $S$ là trung điểm của đoạn thẳng $RT$. Lấy điểm $J$ trên cung nhỏ $RS$ của $\Omega$ sao cho $(JST)$ cắt $d$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $A$ là giao điểm gần $R$ nhất của $d$ và $(JST)$. $AJ$ cắt lại $\Omega$ tại $K$. Chứng minh $KT$ tiếp xúc với $(JST)$.

Bài 16(Đề thi HSG Bulgari năm 2016) Cho tam giác $ABC$ cân tại $C$, trên tia đối của tia $CA$ lấy điểm $D$ sao cho $AC > CD$. Phân giác $\angle BCD$ cắt $BD$ tại $N$. $M$ là trung điểm $BD$, tiếp tuyến tại $M$ của $(AMD)$ cắt $BC$ tại $P$. Chứng minh rằng 4 điểm $A, P, M, N$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 17(Đề thi HSG Iran 2018 – Vòng 3) Cho tam giác $ABC$, đường tròn $w$ thay đổi qua $B, C$ cắt các cạnh $AB, AC$ tại $E$ và $F$. $BF, CE$ cắt $(ABC)$ tại $B’, C’$. $A’$ là điểm thuộc $BC$ sao cho $\angle C’A’B = \angle B’A’C$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $A’B’C’$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 18(IMO shortlist 2017) Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$. Đường thẳng $OA$ cắt đường cao từ $B$ và $C$ của tam giác $ABC$ lần lượt tại $P$ và $Q$. $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HPQ$ thuộc đường trung trung tuyến của tam giác $ABC$.

Bài 19 Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $N$, tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của $(O)$ cắt nhau tại $P$; tiếp tuyến tại $A$ và $C$ cắt nhau tại $M$.
a) Chứng minh $PA, CN$ và $BM$ đồng quy tại một điểm $L$.
b) Gọi $X, Y, Z$ là hình chiếu của $L$ trên $BC, AC$ và $AB$. Chứng minh $L$ thuộc đường thẳng Euler của tam giác $XYZ$.
c) Gọi $A’, B’, C’$ là trung điểm của $OP, OM$ và $ON$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AA’, BB’$ và $CC’$ đồng quy.

Bài 20 Cho tam giác $ABC$ có các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn đường kính $BH$ cắt $DE$ tại $K$, đường tròn đường kính $CH$ cắt $DF$ tại $L$. Chứng minh $KL$ vuông góc với đường thẳng euler của tam giác $ABC$.

Bài 21 Cho tam giác $ABC$ có $\angle A = 45^o$. Các đường cao $AD, BE, CF$. Gọi $A’, B’, C’$ lần lượt là hình chiếu của $A, B, C$ trên $EF, DF, DE$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A’B’C’$ thuộc đường tròn euler của tam giác $ABC$.

Bài 22 Cho tam giác $ABC$, đường thẳng $d$ cắt các cạnh $AB, AC$ tại $D, E$ và đường thẳng $BC$ tại $F$. Gọi $O,O_a, O_b, O_c$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABC, ADE, BDF, CEF$.

a) Chứng minh rằng 4 điểm $O, O_a, O_b, O_c$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh trực tâm tam giác $O_aO_bO_c$ thuộc $d$.

Bài 23(IMO 2019) Cho tam giác $ABC$, các điểm $A_1$ thuộc cạnh $BC$ và $B_1$ thuộc cạnh $AC$. Trên đoạn $AA_1, BB_1$ lấy $P, Q$ sao cho $PQ$ song song $AB$. Trên tia $PB_1$ lấy $P_1$ sao cho $\angle PP_1C = \angle BAC$, trên tia $QA_1$ lấy điểm $Q_1$ sao cho $QQ_1C = \angle ABC$. Chứng minh 4 điểm $P, Q, P_1, Q_1$ đồng viên.

Bài 24 Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Các đường phân giác trong của các góc $A, B, C, D$ cắt nhau tạo thành tứ giác nội tiếp tâm $I$. Các đường phân giác ngoài cắt nhau tạo thành tứ giác nội tiếp tâm $J$. Chứng minh rằng $O$ là trung điểm của $IJ$.

Bài 25 Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $K$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $KAC$ và $KBD$ có tâm là $I$ và $J$ cắt nhau tại $M$. Chứng minh
a) $O, J, I, M$ đồng viên.
b) $OM \bot KM$.

Bài 26 Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $w$. Trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt $w$ tại $D$ và $E$. Đường tròn tâm $O_1$ qua $D$ và tiếp xúc với $AC$ tại $C$; đường tròn $O_2$ qua $E$ và tiếp xúc với $AB$ tại $B$.

a) Chứng minh rằng $O_1 O_2$ qua tâm đường tròn euler của tam giác $ABC$.
b) Gọi $K$ là giao điểm của $O_1M$ và $O_2N$. Chứng minh rằng $AK\bot BC$.

Bài 27 (IMO Shorlist 2019) Cho tam giác $ABC$, đường tròn $w$ qua $A$ cắt các cạnh $AB, AC$ tại $D$ và $E$ tương ứng; $w$ cắt $BC$ tại $F$ và $G$ sao cho $F$ nằm giữa $B$ và $G$. Tiếp tuyến tại $F$ của $(BDF)$ và tiếp tuyến tại $G$ của $(CEG)$ cắt nhau tại $T$. Giả sử $A, T$ phân biệt. Chứng minh rằng $AT$ song song $BC$.

Bài 28 (ISL 2107) Cho tam giác $ABC$ khác tam giác cân. Các đường cao từ $B$ và $C$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $OA$ cắt $BH, CH$ tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HPQ$ thuộc trung tuyến của tam giác $ABC$.

Bài 29 (ISL 2015 – G2) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $w$ tâm $A$ cắt cạnh $BC$ tại $D, E$ sao cho $D$ nằm giữa $B$ và $E$; $w$ cắt $(O)$ tại $F$ và $G$, trong đó $F$ thuộc cung nhỏ $AB$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDF$ cắt $AB$ tại $K$; đường tròn ngoại tiếp tam giác $CEG$ cắt $AC$ tại $L$. Gọi $X$ là giao điểm của $FK$ và $GL$. Chứng minh $A, X, O$ thẳng hàng.

Bài 30 (IMO 2013 – G6) Cho tam giác $ABC$, gọi $A_1$ là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc $A$ với $BC$; các điểm $B_1, C_1$ được xác định tương tự. Giả sử tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_1B_1C_1$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông.

Biến đổi góc – Phần 2

Leave a reply

Ví dụ 5. (Đề thi HSG Quốc Gia Việt Nam năm 2014) Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB < AC$. Gọi $I$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$. Trên $AC$ lấy điểm $K$ khác $C$ sao cho $IK = IC$. Đường thẳng $BK$ cắt $(O)$ tại $D$ $(D \neq B)$ và cắt đường thẳng $AI$ tại $E$. Đường thẳng $DI$ cắt đường thẳng $AC$ tại $F$.

a. Chứng minh rằng $EF = \dfrac{BC}{2}$.
b. Trên $DI$ lấy điểm $M$ sao cho $CM$ song song với $AD$. Đường thẳng $KM$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKN$ cắt $(O)$ tại $P$ $(P\neq B)$. Chứng minh rằng đường thẳng $PK$ đi qua trung điểm đoạn thẳng $AD$.

Giải

Chứng minh $\angle AKI = \angle ABI$ (cùng bù $\angle ACI$).
Tam giác $ABI, AKI$ bằng nhau, suy ra $E$ là trung điểm của $BK$.
Chứng minh $F$ là trung điểm $CK$.

Tam giác $AID$ có $DE, AF$ là đường cao cắt nhau tại $K$ nên $K$ là trực tâm, suy ra $IK \bot AD$, do đó $CM \bot IK$. Suy ra $M$ là trực tâm tam giác $IKC$.
Khi đó $AC$ là tiếp tuyến của $(BKN)$.
$\angle CKP = \angle KBP = \angle DIP$, suy ra $KFPI$ nội tiếp, do đó $\angle IPK = 90^\circ $, suy ra $IJ$ là đường kính.
Từ đó chứng minh $JAKD$ là hình bình hành.

Ví dụ 6. (Trần Quang Hùng) Cho tam giác $ABC$ nhọn, nội tiếp đường tròn tâm $O$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$, $AD$ cắt $(O)$ tại $K$. $KF$ cắt $(O)$ tại $L$.
a. Chứng minh $CL$ đi qua trung điểm của $EF$.
b. Đường thẳng qua $A$ song song với $DE$ cắt $CL$ tại $N$. Chứng minh $\angle OFN = 90^\circ$.

Giải

Gọi $P$ là giao điểm của $CL$ và $DE$, $HP$ cắt $AC$ tại $D$.
Ta có $\angle CH \cdot CF = \angle CA \cdot CE = CP \cdot CL$ nên $LFHP$ nội tiếp.
Suy ra $\angle CHP = \angle CLF = \angle CAD = \angle CFE$, do đó $HP \parallel FE$.
Ta có $EH$ là phân giác $\angle DEF$, suy ra $\angle PHE = \angle HEF = \angle HEP$, suy ra $PE = PH$.
Tam giác $HES$ vuông, suy ra $P$ là trung điểm $HS$. Từ đó ta có $M$ là trung điểm của $EF$.

Ta chứng minh $\triangle FAN \backsim \triangle FOC$ đồng dạng. Vì có $\angle FCO = \angle FAN$ nên ta chỉ cần chứng minh $\dfrac{NA}{OC} = \dfrac{AF}{CF}$. \hfill (1)
Trong đẳng thức trên chỉ có $AN$ có vẻ là chưa liên quan gì, nên ta tính $AN$ trước. Ta có $\dfrac{AN}{PE} = \dfrac{AC}{CE}$, suy ra $AN=\dfrac{AC \cdot PE}{CE}$.
Ta có $PE = \dfrac{1}{2} HS = \dfrac{CH \cdot EF}{2CF}$.
Suy ra $\dfrac{AN}{OC} = \dfrac{CA \cdot EF \cdot CH}{CE \cdot CF \cdot 2OC}$, ta cần chứng minh $\dfrac{CA \cdot EF \cdot CH}{CE \cdot CF \cdot 2OC} = \dfrac{AF}{CF} $
$\Leftrightarrow \dfrac{AF}{EF} = \dfrac{CA}{CE}\cdot \dfrac{CH}{2R}$
$\Leftrightarrow \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{CA}{CE}\cdot \dfrac{CH}{2R}$
$\Leftrightarrow \dfrac{CE}{CH} = \dfrac{AB}{2R}$ (Đúng).

Ví dụ 7. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, dường cao $AD$, trên đoạn $AD$ lấy điểm $E$, trên tia $BE, CE$ lấy các điểm $F, L$ sao cho $CL = CA, BF = BA$. $BF, CL$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh rằng tam giác $KFL$ cân.

Giải

Gọi $M, N$ là giao điểm của $BE, CE$ với $(ABC)$.
Khi đó $CM, BN, AD$ đồng quy tại $H$.
Ta có $BN\cdot BH = BD\cdot BC = BA^2 = BF^2$. Suy ra $BF \bot AF$. Tương tự thì $CL \bot AL$.
$AF^2 = AN\cdot AB = AM\cdot AC = AL^2$. Suy ra $AF = AL$. Từ đó ta có $KF = KL$.

Ví dụ 8. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $w$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$. Các đường thẳng $AI, BI, CI$ cắt $w$ lần lượt tại $A’,B’, C’$. $M$ là một điểm trên cạnh $AB$. Đường thẳng qua $M$ và song song với $AI$ cắt đường thẳng qua $B$ vuông góc với $BI$ tại điểm $A_1$; đường thẳng qua $M$ song song với $BI$ và cắt đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AI$ tại điểm $B_1$. Chứng minh rằng $A’A_1, B’B_1$ và $C’M$ đồng quy.

Giải

Gọi $T$ là giao điểm của $B’B_1$ và $(O)$. Ta có $\angle MB_1T = \angle BB’T = \angle MAT$, suy ra tứ giác $AMTB_1$ nội tiếp, kéo theo $\angle AB_1M = \angle ATM $ . \hfill (1)
Ta chứng minh được $B’C’ \bot AA’$, suy ra $AB_1 \parallel B’C’$, từ đó ta có $\angle AB_1M = \angle C’B’lB$. \hfill (2)
Từ (1) và (2), suy ra $T, M$ và $C’$ thẳng hàng. Chứng minh tương tự thì giao điểm của $A’A_1$ và $(O)$ cũng thuộc $C’M$. Từ đó ta có điều cần chứng minh.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Cho hai điểm $P, Q$ thuộc miền trong của tam giác $ABC$ sao cho $$\angle ACP = \angle BCQ, \angle CAP = \angle BAQ$$ Gọi $D, E, F$ là hình chiếu vuông góc của $P$ trên các đường thẳng $BC, AC, AB$. Chứng minh rằng nếu $\angle DEF = 90^\circ$ thì $Q$ là trực tâm của tam giác $BDF$.

Bài 2. Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD$ và $BD$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$, phân giá trong góc $\angle BCA$ cắt $DE$ tại $P$ và cắt $(O)$ tại $Q$. Gọi $C’$ là điểm đối xứng của $C$ qua $AB$. Tính $\angle C$ biết rằng 4 điểm $M, P, Q$ và $C’$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 3. Cho đường tròn $(O)$ và điểm $P$ nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến $PA, PB$ đến $(O)$ với $A, B$ là các tiếp điểm. $C$ là điểm trên cung nhỏ $AB$, tiếp tuyến tại $C$ cắt $PA, PB$ và $PO$ lần lượt tại $D, E, F$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PAB, PDE$ và $PCF$ cùng đi qua một điểm khác $P$.

Bài 4. (Đề thi chon đội dự tuyển PTNK năm 2009) Cho tam giác $ABC$ nhọn. Trên các tia đối của các tia $BC, CA, AB$ lấy các điểm $A_1, B_1, C_1$ sao cho tam giác $A_1B_1C_1$ đồng dạng với tam giác $ABC$. Chứng minh rằng trực tâm tam giác $A_1B_1C_1$ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Bài 5. (Đề thi HSG Toán Quốc Tế năm 2009) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Phân giác trong góc $A$ và $B$ cắt $BC$ và $AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Gọi $K$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ACD$. Cho $\angle BEK = 45^o$. Tìm tất cả các giá trị của $\angle BAC$.

Bài 6. (Đề thi toán Quốc tế năm 2017) Cho $R,S$ là hai điểm phân biệt trên đường tròn $\Omega$ sao cho $RS$ không phải đường kính. Gọi $d$ là tiếp tuyến của $\Omega$ tại $R$. Lấy điểm $T$ sao cho $S$ là trung điểm của đoạn thẳng $RT$. Lấy điểm $J$ trên cung nhỏ $RS$ của $\Omega$ sao cho $(JST)$ cắt $d$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $A$ là giao điểm gần $R$ nhất của $d$ và $(JST)$. $AJ$ cắt lại $\Omega$ tại $K$. Chứng minh $KT$ tiếp xúc với $(JST)$.

Bài 7. (Đề thi HSG Bulgari năm 2016) Cho tam giác $ABC$ cân tại $C$, trên tia đối của tia $CA$ lấy điểm $D$ sao cho $AC > CD$. Phân giác $\angle BCD$ cắt $BD$ tại $N$. $M$ là trung điểm $BD$, tiếp tuyến tại $M$ của $(AMD)$ cắt $BC$ tại $P$. Chứng minh rằng 4 điểm $A, P, M, N$ cùng thuộc một đường tròn.

Biến đổi góc – Phần 1

Leave a reply

Một trong những kĩ năng làm toán hình học đó là chứng minh các góc bằng nhau hay so sánh các góc, để dẫn tới các tam giác bằng nhau hay tam giác đồng dạng. Do đó kĩ năng biến đổi góc chiếm vị trí quan trọng trong việc chứng minh các tính chất hình học, vì thế chương đầu tiên của sách này tôi đưa ra một số bài toán liên quan đến việc tính toán, so sánh các góc, từ đó giải quyết được yêu cầu bài toán.

Việc tính toán các góc, tôi ưu tiên cho góc hình học mà không sử dụng góc định hướng. Việc sử dụng góc hình học phụ thuộc và hình vẽ nên lời giải nhiều khi không mang tính tổng quát, tuy vậy đối với các em mới từ lớp 9 lên thì cách trình bày này dễ tiếp thu hơn, và thực sự đối với số đông cũng vậy. Việc vẽ hình đó cũng là kĩ năng của người làm hình học, chú ý các trường hợp đề bài nêu ra để vẽ hình chính xác yêu cầu, từ đó có lời giải phù hợp. Chương trình vẽ hình trong sách là geogebra đã rất phổ biến với cộng đồng làm toán sơ cấp, tôi sẽ dùng chương trình này hỗ trợ làm tài liệu này. Có một điều khuyên cho các em học sinh là hãy vẽ bằng tay và dùng compa thước, không nên dùng phần mềm hỗ trợ để vẽ, vì khi thi cử thì không dùng máy để vẽ hay phát hiện tính chất.

Kiến thức chính của chương này là các kiến thức liên quan đến góc và đường tròn, tam giác đồng dạng, tứ giác nội tiếp đã học trong chương trình THCS. Các bài toán cũng chỉ sử dụng kiến thức của trung học cơ sở để giải.

Ví dụ 1. (Định lý Migel) Cho tam giác $ABC$. Các điểm $D, E, F$ lần lượt thuộc các đường thẳng $BC, AC$ và $AB$.
a. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AEF, BDF, CDE$ cùng đi qua một điểm. Điểm này được gọi là điểm Migel.
b. Chứng minh điểm Migel thuộc đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $D, E, F$ thẳng hàng.
c. Khi $D, E, F$ thẳng hàng. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $AEF, BDF, CDE$ và điểm $P$ cùng thuộc một đường tròn.

Giải

a. Gọi $P$ là giao điểm của $(AEF)$ và $(BDF)$. Ta có $\angle PDC = \angle BFP = \angle AEP$. Suy ra $CDPE$ nội tiếp, hay $P \in (CDE)$. \\Vậy $(AEF), (BDF)$ và $(CDE)$ cùng đi qua một điểm.

b. Khi $D, E, F$ thẳng hàng.
Ta có $\angle DPB = \angle PFD = \angle PAE = \angle PAC$. Suy ra $P \in (ABC)$.
Ngược lại nếu $P \in (ABC)$ ta có $\angle PFD = \angle PBD = \angle PAE = 180^\circ – \angle PFE$. Suy ra $D, E, F$ thẳng hàng.

Gọi $O, O_a, O_b, O_c$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABC, AEF, BDF, CDE$.
Gọi $H = O_bO_c \cap PD, K = OO_a \cap PB, L = OO_c \cap PC$.
Ta có $O_bOc$ là trung trực của $PD$ nên $H$ là trung điểm của $PD$ và $\angle PH \bot O_bO_c$; tương tự với $K, L$.
$H, K, L$ là hình chiếu của $P$ trên các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác $OO_bO_c$, dễ thấy $H, K, L$ thẳng hàng nên 4 điểm $P, O, O_b, O_c$ cùng thuộc đường tròn. (Định lý đảo của đường thẳng Simson).
Tương tự cho $P, O, O_a, O_c$ cũng cùng thuộc một đường tròn. Vậy 5 điểm $P, O, O_a, O_b, O_c$ cùng thuộc một đường tròn.

Ví dụ 2. (Đề đề nghị IMO 2002) Cho đường tròn $w$, $B$ là một điểm $w$. Trên tiếp tuyến tại $B$ của $w$ lấy điểm $A$; lấy điểm $C$ sao cho đoạn thẳng $AC$ cắt $w$ tại hai điểm phân biệt. Đường tròn $w’$ tiếp xúc với $AC$ tại $C$, tiếp xúc với $w$ tại $D$ sao cho $D$ khác phía $B$ đối với $AC$. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Giải

Vẽ tiếp tuyến chung tại $D$ của $w$ và $w’$.
Ta có $\angle BDC = \angle BDy + \angle yDC = \angle 180^o – \angle xDB$ $+ DCH + \angle 180^\circ – \angle ACD + \angle DCH$ $= \angle BAC + \angle AHB +\angle DCH = \angle BAC + 180^\circ – \angle BDC$.
Suy ra $2 \angle BDC = 180^\circ + \angle BAC$. (1)
Mặt khác $\angle BTC = 2 (180^\circ – \angle BDC)$, suy ra $2 \angle BDC = 360^\circ – \angle BTC$.(2)
Từ (1) và (2) ta có $\angle BAC + \angle BTC = 180^\circ$, vậy tứ giác $ABTC$ nội tiếp.

Ví dụ 3. Tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ và $B$ cắt nhau tại điểm $P$. Trên cung nhỏ $AB$ lấy điểm $C$ sao cho $CAB$ khác tam giác cân. Các đường thẳng $CA$ và $BP$ cắt nhau tại $D$, $BC$ và $AP$ cắt nhau tại $E$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ACE, BCD$ và $OPC$ thẳng hàng.

Giải

Gọi $Q$ là giao của $(ACE)$ và $BCD$ ($Q$ khác $C$).Ta có $\angle BDQ = \angle BCQ = \angle QAE$. Suy ra $AQDP$ nội tiếp. Tương tự thì $BQEP$ nội tiếp.
Khi đó $\angle PQC = \angle EQC – \angle EQP = \angle PAC – \angle PBE = \dfrac{1}{2}(\angle AOC – \angle BOC) = \angle POQ$.
Vậy tứ giác $OPCQ$ nội tiếp.
Từ đó ta có tâm các đường tròn $(ACE), (BCD), (OPC)$ thẳng hàng.

Ví dụ 4. Cho đường tròn $(O)$ và điểm $P$ nằm ngoài $(O)$. Từ $P$ vẽ các tiếp tuyến $PA$ và $PB$ đến $(O)$ với các tiếp điểm $A, B$. Trên tia đối của tia $BP$ lấy điểm $M$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $APM$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $D$. Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ trên $AM$. Chứng minh rằng $\angle HDM = 2\angle AMP$.

Giải

Gọi $E$ là giao điểm của $MD$ và $(O)$, $K$ là giao điểm của $AM$ và $OB$.
$\angle xAE = \angle ADE = \angle APM$. Suy ra $AE\parallel PM$, suy ra $\angle EAM = \angle AMP$. (1)
Ta có $MD\cdot ME = MB^2 = MH\cdot MK$. Suy ra $DHKE$ nội tiếp. Do đó $\angle HDM = \angle HKE = 2\angle EAM$. (2)
Từ (1) và (2) ta có $\angle HDM = 2\angle AMP$.