Góc định hướng. 

Góc giữa hai tia. Cho hai tia $Ox, Oy$, ta cho tia $Ot$ lúc đầu trùng với $Ox$ và cho $Ot$ quay quanh $O$, đến khi $Ot$ trùng với $Oy$, ta nó $Ot$ tạo ra một góc lượng giác (góc định hướng) có tia đầu là $Ox$ tia cuối là $Oy$, kí hiệu $(Ox, Oy)$.

Chú ý: Với hai tia $Ox, Oy$ thì có vô số góc lượng giác có tia đầu $Ox$ tia cuối $Oy$ và hơn kém nhau $k2 \pi$.

Góc giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng $a, b$ cắt nhau tại $O$, ta cho đường thằng $t$ qua $O$ lúc đầu trùng với $O$, quay $t$ quanh $O$ đến khi $t$ trùng $a$, ta nói $t$ tạo ra góc giữa đường thẳng $a, b$, kí hiệu là $(a;b)$.

Các góc lượng giác tạo giữa $a, b$ hơn kém nhau $k\pi$.

Một số tính chất thường sử dụng. 

Tính chất 1. Hệ thức Charles
a) Cho $a, b, c$ là ba đường thẳng bất kì thì $(a, b)=(a, c)+(c, b)(\bmod \pi)$
b) $\mathrm{Cho} O x, O y, O z$ là ba tia thì $(O x, O y)=(O x, O z)+(O z, O y)(\bmod 2 \pi)$

Tính chất 2. (Điều kiện 3 điểm thẳng hàng) Cho 3 điểm $A, B, C$ và đường thẳng $d$. Khi đó $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $(A B, d)=(A C, d)(\bmod \pi)$

Tính chất 3. (Điều kiện 4 điểm đồng viên) Cho 4 điểm $A, B, C, D .$ Khi đó $A, B, C, D$ cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi $(A C, A D)=(B C, B D)(\bmod \pi)$.

Tính chất 4. Nếu $a$ là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng $b, c$ thì $(b, a)=-(c, a)=\frac{1}{2}(b, c)\left(\bmod \frac{\pi}{2}\right)$

Tính chất 5. Nếu $a$ và $a^{\prime}$ đỗi xứng nhau qua đường thẳng $d$ thì $(a, d)=-\left(a^{\prime}, d\right)(\bmod \pi)$.

Tính chất 6 . Nếu $a^{\prime}$ là ảnh của $a$ qua phép quay với góc quay $\alpha$ thì $\left(a, a^{\prime}\right)=\alpha(\bmod \pi)$

Các ví dụ

Bài 1. (Định lý Migel) Cho tam giác $A B C$; Gọi $D, E, F$ lần lượt là các điểm thuộc các đường thẳng $B C, A C$ và $A B$
a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $A E F, B F E, C D E$ cùng đi qua một điểm $M$.
b) Nếu $D, E, F$ thẳng hàng thì điểm $M$ thuộc đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A B C$; hơn nữa tâm các đường tròn $(A B C),(A E F),(B F E),(C D E)$ cùng thuộc một đường tròn và đường tròn đó qua $\mathrm{M}$.

Bài 2. (Đường thẳng Steiner – Điểm Antisteiner)

a) Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O), M$ là một điểm thuộc $(O)$. Gọi \$latex $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime} \$$ lần lượt là điểm đối xúng của $M$ qua $B C, A C, A B$. Chứng minh rằng $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó qua trực tâm $\mathrm{H}$ của tam giác $A B C$.
b) Ngược lại lấy $d$ là một đường thẳng qua $H$. Gọi $d_{a}, d_{b}, d_{c}$ lần lưọt là các đường thẳng đối xứng của d qua BC, $A C, A B$. Chúng minh rằng $d_{a}, d_{b}, d_{c}$ đồng qui tai một điểm thuộc đường tròn $(O)$.

Bài 3. 
a) Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đương tròn $(O), P Q$ là đương kính. Chứng minh rằng đường thẳng Simson của tam giác ABC úng vói các điểm $P, Q$ vuông góc nhau.
b) Tổng quát hơn, nếu $P Q$ là dây cung bất kì thì góc tạo bởi hai đương thẳng Simson ứng với $P$ và $Q$ bằng nủa số đo chung nhỏ $P Q$.

Bài 4. (Chọn đội dự tuyển PTNK 2008) Cho tam giác ABC. Các điểm $M, N, P$ lần luợt thuộc các đt $B C, C A$, AB sao cho tam giác MNP và tam giác $A B C$ đồng dạng. Chúng minh ràng tâm đưòng tròn ngoại tiếp của tam giác $B C$ là thục tâm của tam giác $M N P$.

Bài 5. Cho hai hình vuông $A B C D$ và $A E F G$ cùng hướng, $A, B, E$ không thẳng hàng. Chứng minh rẳng $B E, C F, D G$ đồng quy.

Bài tập rèn luyện

Bài 1 (VMO 2006) Cho tứ giác lồi $A B C D$. Xét một điểm $M$ di động trên đường thẳng $A B$ sao cho $M$ không trùng với $A$ và B. Gọi $N$ là giao điểm thứ hai khác $M$ của đường tròn đi qua 3 điểm $M, N, C$ và đường tròn đi qua 3 điếm $M, B$, D. Chứng minh:
a) Điểm $\mathrm{N}$ di động trên một đường tròn cố định.
b) Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 2. Cho tứ giác lồi $A B C D$ nội tiếp một đường tròn. Gọi $P, Q, R, S$ là giao điểm của các đường phân giác ngoài của Các góc ADB và ADB, DAB Và DBA, ACD và ADC, DAC và DCA tương ứng. Chứng minh rẳng $P, Q, R, S$ đồng viên.

Bài 3. Cho tứ giác $A B C$. Chứng minh rằng đường tròn Euler của các tam gíác $A B C, A C D, A B D$ và $B C D$ cùng đi qua một điểm.

Bài 4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại $A$ và B. Một đường thẳng qua A cắt $(O)$ và $\left(O^{\prime}\right)$ tai $M$ và N. Một đường thẳng qua $B$ cắt $(O)$ và $(O)$ tai $P$ và Q. Chứng minh $M P / / N Q .$

Bài 5. Cho tam giác $A B C$, đưòng cao $A H$ (H thuộc BC). Gọi $D, E$ là hình chiếu của H trên $A B$ và $A D$, đương thẳng $D E$ cắt $B C$ tại $F$. Goi $O_1, O_2$ là tâm đương tròn ngoại tiếp các tam giác BDF và CEF; gọi I là trung điểm $\mathrm{AH}$ và $\mathrm{O}$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$. Chúng minh rằng 4 điểm $I, O, O_1$ và $O_2$ cùng thuộc một đương tròn.