Nhận xét về đề thi: nhìn chung đề thi cũng tương tự các năm trước, đầy đủ các nội dung: đại số, số học, hình học và tổ hợp.

• Bài 1: câu 1a dễ, nhưng 1b lại có chút mẹo, nhiều bạn tính theo $m$ sẽ gặp khó khăn ở bước cuối vì không chứng minh được, do thời gian không đủ để biến đổi, còn nếu đánh giá qua nghiệm thì hơi mẹo, bài này không dễ ăn như mọi năm, 1c do 1b ngăn cản nên cũng không thuận lợi để làm, biểu thức rất quen thuộc nhưng nhiều bạn có thể chỉ làm được 1 chiều.
• Bài 2: Đây là bài toán tương đối dễ, tuy vậy cách phát biểu rắc rối khiến các em học sinh hoảng, ý tưởng về các phép thế và chỉ là biểu thức bậc hai, bài này thử thách bản lĩnh học sinh, về ý tưởng toán thì khá đơn giản.
• Bài 3: Đây là bài số học quen thuộc và dạng này thường có trong các đề thi các nước. Câu a rất dễ, còn câu b cũng chỉ là phép chia hết. Thử thách ở câu c, bài toán gốc yêu cầu chứng minh $m$ là số chính phương nhưng với đề thi này đã gợi ý luôn bước đặt UCLN của $m$ và $n$ nên không còn quá khó. Đây sẽ là bài toán quan trọng để tuyển sinh vào PTNK.
• Bài 4: Một bài toán hình có 3 ý, ý a dễ, ý b khó hơn, nhưng kĩ thuật biến đổi góc cũng quen thuộc. Ý c là khó vì vẽ hình phức tạp và …không liên quan gì đến các ý a, b. Học sinh nên vẽ hình riêng và đưa về bài toán khác để giải thì làm được.
• Bài 5: Một bài tổ hợp khá lạ lẫm với học sinh cấp 2, các bài toán dạng này thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi Nga và các nước đông âu, tuy vậy với học sinh THCS thì là thử thách lớn, bằng chứng là một vài lời giải trên mạng vì vội vàng mà cho ra lời giải sai. Bài này dự rất ít bạn làm được. Tuy vậy chắc sẽ có bạn làm đúng hết. Mình tin và hi vọng là thế.

Nhìn chung đề hay, có ý cũ và mới, có nhiều ý khó đủ để phân loại vào các lớp chuyên toán và các ý cơ bản hơn để phân loại vào các lớp liên ngành.

Chúc các em có kết quả tốt.

Đáp án dưới đây do các bạn giáo viên trợ giảng trẻ của STAR EDUCATION thực hiện, có sai sót xin đóng góp chân thành nhé, hứa sẽ không xóa comment.

THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 PHÚT

Bài 1. Giải hệ phương trình sau:
$$
\left\{\begin{array}{l}
(x+y)\left(4+\frac{1}{x y}\right)=1 \\\
\left(4 x+\frac{1}{x}\right)\left(4 y+\frac{1}{y}\right)=-20
\end{array}\right.
$$

Bài 2. Cho các số $a, b, c>0$ thỏa mãn $a b+b c+c a=a b c$.
a) Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \leq \sqrt{3}$.
b) Chứng minh rằng: $(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2 \leq a b c \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$.

Bài 3. Cho bảng $4 \times 4$ được tô bằng ô đen hoặc trắng sao cho
i) mỗi hàng có số ô đen bằng nhau;
ii) mỗi cột có số ô đen đôi một khác nhau.
a) Tìm số ô đen ở mỗi hàng.
b) Một cặp ô được gọi là “tốt” khi có một ô đen và một ô trắng đứng cạnh nhau. Tìm số cặp tốt nhiều nhất tính theo hàng; số cặp tốt nhiều nhất tính theo cột.

Bài 4. Cho $m, n$ là các số nguyên không âm thỏa mãn $m^2-n=1$. Đặt $a=n^2-m$.
a) Chứng minh rằng $a$ là số lẻ.
b) Giả sử $a=3 \cdot 2^k+1, k$ là số nguyên không âm. Chứng minh rằng $k=1$.
c) Chứng minh rằng $a$ không là số chính phương.

Bài 5. Cho tam giác $A B C$ có đường tròn nội tiếp $(I) . D, E, F$ lần lượt là các tiếp điểm của $(I)$ với $B C, C A, A B$. Gọi $L$ là chân đường phân giác ngoài của $\angle B A C$ $(L \in B C)$. Vẽ tiếp tuyến $L H$ với đường tròn $(I)(H \neq D$ là tiếp điểm).
a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $H A L$ đi qua tâm $I$.
b) Chứng minh $\angle B A D=\angle C A H$.
c) $A H$ kéo dài cắt $(I)$ tại $K(K \neq H)$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $K E F . D G$ cắt $E F$ tại $J$. Chứng minh rằng $K J \perp E F$.
d) Gọi $S$ là trung điểm $B C, K J$ cắt $(I)$ tại $R(R \neq K)$. Chứng minh rằng $A S, I R, E F$ dồng quy.

ĐÁP ÁN ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI STAR EDUCATION

Bài 1. Cho hai phương trình: $x^2-2 a x+3 a=0 \quad$ (1) và $x^2-4 x+a=0$
a) Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
b) Giả sử hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt. $T_1, T_2$ là tổng bình phương các nghiệm của (1) và $(2)$. Chứng minh $T_1+5 T_2>68$

Bài 2. Cho các số dương $a \geq b \geq c$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh:
$$
\sqrt{4+(b+c)^2} \leq 2 a+b+c \leq \sqrt{4+4 a^2}
$$

Bài 3. Cho phương trình: $2^x+5^y=k^2\left(x ; y ; k \in \mathbb{N}^*\right)$
a) Chứng minh phương trình trên vô nghiệm khi $y$ là số chẵn.
b) Tìm $k$ để phương trình có nghiệm.

Bài 4. Cho tam giác $A B C$ có trực tâm $H, D$ đối xứng với $H$ qua $A$. $I$ là trung điểm của $C D$, đường tròn $(I)$ đường kính $C D$ cắt $A B$ tại $E, F(E$ thuộc tia $A B)$
a) Chứng minh $\angle E C D=\angle F C H$ và $A E=A F$.
b) Chứng minh $H$ là trực tâm của $\triangle C E F$.
c) $B H$ cắt $A C$ tại $K$. Chứng minh $E F K H$ nội tiếp và $E F$ là tiếp tuyến chung của $(C K E)$ và $(C K F)$.
d) Chứng minh tiếp tuyến tại $C$ của $(I)$ và tiếp tuyến tại $K$ của $(K E F)$ cắt nhau trên đường thẳng $A B$.

Bài 5. Cho dãy số nguyên $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \ldots \geq a_{21} \geq a_{22}$ thỏa mãn:
i) $\left|a_i\right| \leq 11$ và $a_i \neq 0 \forall i=1 ; 2 ; \ldots ; 22$
ii) $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{22}=1$
a) Chứng minh: $a_1 ; a_2>0$
b) Chứng minh có thể chọn $k \geq 1$ số từ $a_2 ; a_3 ; \ldots ; a_{22}$ để tổng $S$ của chúng thỏa $-10 \leq a_1+S \leq 0$.
c) Chứng minh từ dãy đã cho có thể chọn $n \geq 1$ số có tổng bằng 0 .