Bài 1. (1 điểm) Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}x+y+\frac{x+2 y}{x y}=6 \\\ x^2+y^2+\frac{x^2+4 y^2}{(x y)^2}=14\end{array}\right.$
Bài 2. (1,5 điểm) Cho phương trình $\sqrt{x^2-(2 m+1) x+m^2+m}=2 x-2 m$
a) Giải phương trình khi $m=2$.
b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 3. (1 điểm) Cho $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=(m+2) x-2 m$.
a) Tìm $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$.
b) Tìm $m$ để $x_1+2 y_2=7$.

Bài 4. (1,5 điểm) Cho các số thực không âm $x, y, z$ đôi một khác nhau thỏa mãn:
$$
(x+z)(y+z)=1
$$
a) Chứng minh $x y z(x+y+z) \leq \frac{1}{4}$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$
P=\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}
$$

Bài 5. (3 điểm) Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định, $A, B$ cố định, $C$ thay đổi trên cung lớn $A B$. Gọi $K$ là trung điểm $A B ; D$ và $E$ là hình chiếu của $K$ trên $C A, C B$.
a) Chứng minh $\frac{K D}{K E}=\frac{B C}{A C}$ và tìm vị trí của $C$ để $D E$ lớn nhất.
b) $D E$ cắt $A B$ và $C O$ tại $N, M$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $C M N$ đi qua một điểm cố định.
c) $(C D E)$ và $(O)$ cắt nhau tại $F$ khác $A$. NF cắt $(C D E)$ tại $G$. Chứng minh $G$ thuộc một đường thẳng cố định.

Kí hiệu $(C D E)$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $C D E$.
Bài 6. (2 điểm)
a) Tìm tất cả các giá trị của $n$ nguyên dương để $25^n+7^n+1$ chia hết cho 9 .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\left|25^n-7^m-3^m\right|$ trong đó $n, m$ là số nguyên dương.

HẾT

Lời giải