Phương pháp biến đổi thành tổng. 

Chú ý tính chất sau: $A, B$ chia hết cho $M$ thì $xA + yB$ chia hết cho $M$ với mọi $x, y$ nguyên.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng nếu $4x-y$ chia hết cho 3 thì $A=4x^2 – 16xy-2y^2$ chia hết cho 9.

Ví dụ 2. Cho hai số nguyên $a, b$ thỏa $(17a+5b)(5a+17b)$ chia hết cho 11.

Chứng minh rằng $(17a+5b)(5a+17b)$ chia hết cho 121.

Ví dụ 3. Cho $n$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng $3^nn^3+1$ chia hết cho 7 khi và chỉ khi $3^n + n^3$ chia hết cho 7.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Tìm các số $x, y$ để $\overline{2x7y5}$ chia hết cho 25.

Bài 2. Tìm số tự nhiên $n$ để $n^2+3n+1$ chia hết cho $n+1$.

Bài 3. Tìm số tự nhiên $n$ để $\dfrac{3n^2 + n+1}{n+2}$ là số nguyên.

Bài 4. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $n^2 + 9n – 2$ chia hết cho 11.

Bài 5. Chứng minh rằng $n^2 + n+2$ không chia hết cho 15 với mọi $n$.

Bài 6. Chứng minh rằng $n^2 + 3n+5$ không chia hết cho 121 với mọi $n$.

Bài 7. Ba số nguyên $a,\,b,\,c$thoả mãn điều kiện $a + b + c$ chia hết cho 3. Chứng minh rằng ${a^2}\left( {b + c} \right) + {b^2}\left( {a + c} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right)$ chia hết cho 6.

Bài 8. Chứng minh rằng nếu $4x-y$ chia hết cho 3 thì $4x^2 + 7xy-2y^2$ chia hết cho 9.

Bài 9. Cho các số nguyên $a, b, c$ với $b \neq c$. Chứng minh rằng nếu các phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ và $(c-b)x^2 +(c-a)x+a+b = 0$ có nghiệm chung thì $a+b+2c$ chia hết cho 3.