Cho phương trình bậc hai $ax^2+bx+c = 0$ ($a\neq 0$) (1)

Ta đã biết nếu phương trình (1) có nghiệm $x_1, x_2$ ($\Delta \geq 0$) thì:

$S = x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a}$ và $P = x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$.

Đây chính là nội dung của định lý Viete trong chương trình đại số lớp 9.

Từ định lý trên ta có một số hệ quả sau:

Hệ quả 1. Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt $x_1 > x_2 > 0$ khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{cc} \Delta > 0 \\\\ S=x_1+x_2 = \dfrac{-b}{a} > 0 \\\\ P = x_1x_2 =\dfrac{c}{a} > 0 \end{array} \right.$

Hệ quả 2. Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt $x_1 < x_2 < 0$ khi và chỉ khi:

   $\left\{ \begin{array}{cc} \Delta > 0 \\\\ S=x_1+x_2 = \dfrac{-b}{a} < 0 \\\\ P = x_1x_2 =\dfrac{c}{a} > 0 \end{array} \right.$

Hệ quả 3. Phương trình có hai nghiệm trái dấu $x_1 < 0 < x_2$ khi và chỉ khi $ac < 0$.

Trên đây là những hệ quả cơ bản và quan trọng, sau đây ta xét một vài ví dụ áp dụng.

Ví dụ 1. Tìm $m$ để phương trình $x^2 – 2(m+1)x +m =0$ có hai nghiệm phân biệt dương.

Ví dụ 2. Tìm $m$ để phương trình $x^2 – 2(m-1)x + m^2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt âm.

Ví dụ 3. Tìm $m$ để phương trình $x^2 – 3mx +2m-5 = 0$

a) Có hai nghiệm trái dấu.

b) Một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương.

Trên đây là các ví dụ cơ bản, tiếp theo ta làm một số phương trình bậc hai có điều kiện.

Ví dụ 4. Tìm $m$ để phương trình $\dfrac{x^2-2mx+m^2-6}{\sqrt{x}} = 0(1)$

có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình (1) trong ví dụ 4 là kiểu phương trình bậc hai có điều kiện, việc biện luận nghiệm của phương trình dựa vào điều kiện của phương trình, khá đa dạng và rối rắm, tuy nhiên sử dụng suy luận ta có thể đưa về các dạng cơ bản, từ đó giải được bài toán. Để làm dạng toán này các em phải biết suy luận, tính toán cẩn thận.

Ta có thể làm tiếp các ví dụ sau:

Ví dụ 5. Cho phương trình $\dfrac{x^2 -2mx +m^2-3m+6}{x-3}=0$. Tìm $m$ để phương trình có:
a) Có 2 nghiệm phân biệt.

b) Có 1 nghiệm.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Cho phương trình $x^2 – 6x -m = 0$.
Bài 2.  Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương.
b) Tìm $m$ để phương trình $\dfrac{x^2-6x-m}{x-3}=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 3. Cho phương trình $\dfrac{(3x^2-2x+m)}{\sqrt{x}}=0$.
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm $m$ để phương trình có đúng 1 nghiệm.
Bài 4. Cho phương trình $(x+1)(x^2-2x-m) = 0$. Tìm $m$ để phương trình có:
a) nghiệm phân biệt.
b) 2 nghiệm phân biệt.
c) 1 nghiệm.
Bài 5. Cho phương trình $(\sqrt{x}-2)(-x^2 – 3mx+m^2) = 0$.
a) Giải phương trình khi $m=1$.
b) Chứng minh phương trình không có thể có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 6.  Cho phương trình $\sqrt{x}(x^2-2mx +m-1) = 0$. Tìm $m$ để phương trình:
a) Giải phương trình khi $m = 2$.
b) Có 3 nghiệm phân biệt.