Phương trình nghiệm nguyên - Phương pháp biến đổi thành tổng

1. Phương pháp biến đổi thành tổng

Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^2 – 6xy + 14y^2-10y – 16 = 0$

Giải

Phương trình tương đương với $(x-3y)^2 + 5(y-1)^2=21$

Khi đó $5(y-1)^2 \leq 21 \Rightarrow (y-1)^2 <5$.

Nếu $(y-1)^2 = 0 \Rightarrow y = 1, (x-3)^2 = 21$(vô lý)
Nếu $(y-1)^2 = 1 \Rightarrow (x-3y)^2 = 16$ giải ra được $(x;y)$ là $(4;0), (-4;0), (10;2), (2;2)$.
Nếu $(y-1)^2 = 4 \Rightarrow (x-3y)^2 = 1$, giải ra được $(x;y)$ là $(10;3), (8;3), (-2;-1), (-4;-1)$.

Vậy phương trình có 8 nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên $2x^2- 2xy + 5y^2 = 41$

Giải

Ta có: $(x-y)^2 + x^2 + 4y^2 = 41$.

$\Rightarrow 4y^2 < 41$ do đó $y \in \{0, 1, 2, 3, -1, -2, -3\}$

Vậy các cặp nghiệm $(x;y)$ là $(-1;-3), (-2;-3), (1;3)$ và $(2;3)$.

2. Bài tập rèn luyện

Bài 1: Giải các phương trình sau trong tập số nguyên:

a) $19x^2+28y^2=2001$.

b) $3x^2 + y^2 – 4y = 24$.

c) $2^x + 5y^2 = 38$.

d) $x^2 – 6xy+13y^2 = 100$.

Bài 2: Giải các phương trình trong tập số nguyên:

a) $2x^2 + 6y^2 + 7xy – x- y = 25$.

b) $x^2 -xy+y^2 = x+y$

Toán Việt