a) $\lim\limits_{x\rightarrow {+\infty}} \dfrac{4x+\sqrt{x^2-x}}{x+3}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow {+\infty}} \dfrac{x\left( 4+\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}\right) }{x\left( 1+\dfrac{3}{x}\right) }$

$=\lim\limits_{x\rightarrow {+\infty}} \dfrac{ 4+\sqrt{1-\dfrac{1}{x}} }{ 1+\dfrac{3}{x} } =5$

b) $\lim\limits_{x\rightarrow 1} \dfrac{x-\sqrt{x^2+x-1}}{3x-x^2-2}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 1} \dfrac{\left( x-\sqrt{x^2+x-1}\right) \left( x+\sqrt{x^2+x-1}\right)}{\left( 1-x\right) \left( x-2\right) \left( x+\sqrt{x^2+x-1}\right)}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 1} \dfrac{1-x}{\left( 1-x\right) \left( x-2\right) \left( x+\sqrt{x^2+x-1}\right)}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 1} \dfrac{1}{\left( x-2\right) \left( x+\sqrt{x^2+x-1}\right)} =-\dfrac{1}{2}$

a) $y’=\left( \dfrac{x^2-x+5}{x+1} + \sqrt{2x-x^2}\right) ‘$

$= \dfrac{(x^2 -x +5)'(x+1)-(x^2 -x+5)(x+1)’}{(x+1)^2} + \dfrac{(2x-x^2)’}{2\sqrt{2x-x^2}}$

$=\dfrac{(2x-1)(x+1)-(x^2-x+5)}{(x+1)^2} + \dfrac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$

$=\dfrac{x^2+2x-6}{(x+1)^2} + \dfrac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$.

b) $y’=\left( \tan (1+x^2) + \cos ^5 (1-2x)\right) ‘$

$=(1+x^2)’ \left( 1+\tan ^2 (1+x^2)\right) + 5(1-2x)’ \cdot \cos ^4 (1-2x)$

$= 2x + 2x\tan ^2 (1+x^2) -10\cos ^4 (1-2x)$.

Đặt $f(x) = 2(m^2 -2)x^5 -4m^2x^4 + 2(m^2 -x^2) + 4x +1$

Ta có: $f(-1) = -4m^2 -5 <0$, $f(0) = 2m^2 +1 >0$ $\Rightarrow f(-1)\cdot f(0) <0$

Suy ra phương trình $f(x) =0$ có ít nhất 1 nghiệm âm trong khoảng $(-1;0)$

Lại có: $f(1) = -1<0\Rightarrow f(0)\cdot f(1)<0$

Suy ra phương trình $f(x)=0$ có ít nhất 1 nghiệm dương trong khoảng $(0;1)$

Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm trái dấu với mọi $m$.

Ta có: $f(2) = 4a+\dfrac{19}{12}$

Lại có: $\lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{\sqrt{2x^2+1}+ x-5}{x^2-4} = \lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{2x^2+1- (x-5)^2}{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x^2+1}-x+5)}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{x+12}{(x+2)(\sqrt{2x^2+1}-x+5)} = \dfrac{7}{12}$

Hàm số liên tục tại $x_0 =2 \Leftrightarrow 4a + \dfrac{19}{12} = \dfrac{7}{12} \Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{4}$

a) Ta có: $f'(x) = 12x^3 -6x \Rightarrow f'(-1) = -6$, $f(-1) = 2$

Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $x_0=-1$: $y=-6(x+1) +2 = -6x -4$

b) Gọi phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y=f'(x_0) (x-x_0) + f(x_0)$

Ta có: $f'(x_0) =6 \Leftrightarrow 12x_0^3 -6x_0 =6 \Leftrightarrow x_0=1 \Rightarrow f(x_0) = 2$

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y=6(x-1) + 2 = 6x-4$

a) Hình chiếu của $C$ lên $(ABC)$ là $C$

Hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ là $A$

$\Rightarrow \widehat{\left( SC, (ABC)\right) } = \widehat{(SC, AC)} = \angle SCA$

Tứ giác $ABCD$ có $I$ là trung điểm $AC$, $BD$ và $AB=BC$

Suy ra tứ giác $ABCD$ là hình thoi

Suy ra $\triangle BIC$ vuông tại $I$ và $\angle IBC = \dfrac{\angle ABC}{2} =60^\circ $

Suy ra $IC = BC \cdot \sin \angle IBC =\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AC =a\sqrt{3}$

Ta có: $\tan \angle SCA = \dfrac{SA}{AC} = 1 \Rightarrow \angle SCA =45^\circ $.

b)

• Ta có: $BD \bot AC$, $BD \bot SA\Rightarrow BD \bot (SAC)$
• Ta có: $BD\bot (SAC) \Rightarrow BD \bot SI$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} (SBD) \cap (ABC) = BD\\ AI\bot BD, SI \bot BD \end{array}\right.$

$\Rightarrow \widehat{((SBD), (ABC))} = \widehat{(SI, AI)}= \angle SIA$

Ta có: $\tan \angle SIA = \dfrac{SA}{AI} = 2 \Rightarrow \angle SIA \approx 63^\circ $

c) Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$, $K$ là hình chiếu của $A$ trên $SH$.

Ta có: $BC \bot AH$, $BC \bot SA \Rightarrow BC \bot (SAH)$

Ta có: $AK \bot SH$, $AK \bot BC\Rightarrow AK \bot (SBC)$

Do $AD // (SBC) \Rightarrow d_{(D, (SBC))} = d_{(A, (SBC))}=AK$

$\triangle AHC$ vuông tại $H$ có $\angle ACH =30^\circ \Rightarrow AH = AC \cdot \sin 30^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

$\triangle SAH$ vuông tại $A$ có $AK$ là đường cao

$\Rightarrow \dfrac{1}{AK^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AH^2}\Rightarrow AK=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$

d) Gọi $J$ là giao điểm của $MN$ và $BD$ suy ra $J$ là trung điểm của $BI$

Ta có: $JI \bot AC$, $JI \bot SA \Rightarrow JI \bot (SAC)$

Ta có: $MN //AC \Rightarrow MN //(SAC) \Rightarrow d_{(MN,SC)} = d_{(MN, (SAC))} = JI = \dfrac{BD}{4} = \dfrac{a}{4}$.