Bài toán. (PoP 1.4) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, một đường thẳng qua $(O)$ song song với $BC$, cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $F, E$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $(BFO)$ và $(CEO)$ cắt nhau tại điểm thứ 2 là $D$ và cắt $BC$ tại $L, K$. Gọi $M$ là giao của $BE$ và $CF$. Gọi $N$ là giao của $FL$ và $EK$. Chứng minh rằng $D, M, N$ thẳng hàng.
Gợi ý
- Gọi $D’$ là giao điểm của đường cao hạ từ $A$ với $(O)$. Chứng minh được $D’BFO, D’CEO$ nội tiếp nên $D’ \equiv D$.
- Chứng minh tứ giác $EFLK$ nội tiếp. Trục đẳng phương của $(OFBD), (OECD), (EFLK)$ cắt nhau tại $N$ nên $D, O, N$ thẳng hàng.
- Gọi $P$ là trung điểm $BC$ ta có $A, M, P$ thẳng hàng.
- Áp dụng Menelaus cho tam giác $ABP$ với đường thẳng $FC$ ta có $\dfrac{PM}{AM} = \dfrac{BF}{2AF} = \dfrac{OP}{AD}$. Suy ra $O, M, D$ thẳng hàng.
- Vậy $D, M, N$ thẳng hàng.
Pingback: Phương tích trục đẳng phương | GeoSiRo