ĐỀ THI
Câu 1
Giải hệ phương trình:
Câu 2
Tam giác nội tiếp trong đường tròn có các đường phân giác trong cắt đường tròn lần lượt tại . Chứng minh rằng:
Câu 3
Cho các số thực không âm thỏa đồng thời các điều kiện sau:
i)
ii)
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
Câu 4
Cho phương trình: ; với nguyên dương.
i) Chứng minh rằng: nếu phương trình có nghiệm thì phương trình có ít nhất 3 nghiệm nguyên khác nhau.
ii) Với phương trình trên có nghiệm nguyên hay không? Tại sao?
Câu 5
Hãy tìm tất cả các tập hợp gồm có số thực, với hữu hạn lớn hơn hoặc bằng 2 thỏa điều kiện: với mọi số thuộc , a khác , thì cũng thuộc ?
Câu 6
Cho hai đường tròn đồng tâm , bán kính , với và tứ giác nội tiếp trong đường tròn . Tia cắt đường tròn lần lượt tại .
Chứng minh rằng:
LỜI GIẢI
Câu 1
Giải hệ phương trình:
Lời Giải
Hệ đã cho
Vì một trong các giá trị bằng đều không thỏa hệ phương trình (1) nên
Nên hệ phương trình
Đặt , với
Từ (1) ta có , từ (2) ta có , từ (3) ta có Do đó ta có
Suy ra a , khi đó
Với phép thử, ta được Vậy hệ phương trình đã cho có 7 nghiệm:
Câu 2
Tam giác nội tiếp trong đường tròn có các đường phân giác trong cắt đường tròn lần lượt tại . Chứng minh rằng:
Lời Giải
Đặt
Chứng minh được:

Mặt khác:
Chứng minh được:
Tương tự:
Ta lại có:
Chứng minh được:
Từ đó suy ra:
Đẳng thức xảy . Khi đó tam giác đều.
Câu 3
Cho các số thực không âm thỏa đồng thời các điều kiện sau:
i)
ii)
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
Lời Giải
Không mất tính tổng quát, giả sử rằng là min và Từ giả thiết đó
Do đó ta phải có:
Vì nên
Vì nên
Do đó
Từ (1) ta có: và từ (ii) ta có
Áp dụng điều đó vào i) ta có
Suy ra . Do đó
Do đó khi , khi đó .
min khi , khi đó .
Câu 4
Cho phương trình: ; với nguyên dương.
i) Chứng minh rằng: nếu phương trình có nghiệm thì phương trình có ít nhất 3 nghiệm nguyên khác nhau.
ii) Với phương trình trên có nghiệm nguyên hay không? Tại sao?
Lời Giải
i) Ta có
Và
Vậy phương trình có nghiệm thì cũng có 2 nghiệm nữa là
và
Và 3 nghiệm ấy là phân biệt vì nếu 2 nghiệm bằng nhau thì dẫn tới trái với giả thiết .
ii) Giả sử phương trình có nghiệm.
Ta có:
Do đó:
a)
suy ra
Mặt khác vô lí.
b) tương tự dẫn đến vô lí.
c) tương tự dẫn đến vô lí.
Do cùng là nghiệm nên trở lại trường hợp
Vậy phương trình vô nghiệm.
Câu 5
Hãy tìm tất cả các tập hợp gồm có số thực, với hữu hạn lớn hơn hoặc bằng 2 thỏa điều kiện: với mọi số thuộc , a khác , thì cũng thuộc ?
Lời Giải
Nhận xét: vì nếu không sẽ chứa vô hạn các phần tử , với .
Hơn nữa, có chứa phần tử âm. Thật vậy, nếu tất cả các phần tử của đều dương thì tồn tại một phần tử nhỏ nhất của , gọi là sao cho ta có:
(vô lí)
Đặt là tất cả các số âm của . Ta có:
Có số âm khác nhau của
Hệ vô nghiệm (loại)
Nếu
và hoặc
Nếu thì một trong 2 số này hoặc bằng hoặc bằng .
Xét (vô lí). Tương tự cho trường hợp còn lại.
Do đó chỉ chứa 1 số âm, gọi là .
Nếu b và c là 2 số dương phân biệt của thì và là 2 số âm phân biệt của (loại)
Do đó chỉ chứa 1 số dương, gọi là
Ta có:
Kết luận:
Câu 6
Cho hai đường tròn đồng tâm , bán kính , với và tứ giác nội tiếp trong đường tròn . Tia cắt đường tròn lần lượt tại .
Chứng minh rằng:
Lời Giải
Đặt

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi là hình vuông.
Like this:
Like Loading...