Đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Đề bài. Cho tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn $O$ với $∠ A > 90^{\circ}$ . Đường thẳng qua $A$ vuông góc $A B$ cắt $C D$ tại $E$ ; đường thẳng qua $A$ vuông góc $A D$ cắt $C B$ tại $F$ . Gọi $P$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $E F$ . Cho tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn $O$ với $∠ A > 90^{\circ}$ . Đường thẳng qua $A$ vuông góc $A B$ cắt $C D$ tại $E$ ; đường thẳng qua $A$ vuông góc $A D$ cắt $C B$ tại $F$ . Gọi $P$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $E F$ .

a. Chứng minh rằng 4 điểm $E, F, C, P$ cùng thuộc một đường tròn.

b. Chứng minh $P$ thuộc $(O)$ và $E, O, F$ thẳng hàng. \end{enumerate}

Gợi ý

a. Ta có $∠ D A B + ∠ E A F = ∠ D A B + ∠ B A F + ∠ E A F = ∠ D A B + ∠ B A E = 180^{\circ}$ .

Ta có $∠ D A B + ∠ E A F = ∠ D A B + ∠ B A F + ∠ E A F = ∠ D A B + ∠ B A E = 180^{\circ}$ .

Ta có $∠ D A B + ∠ B C D = 180^{\circ}$ , suy ra $∠ E A F = ∠ B C D$ .

Mặt khác $∠ E A F = ∠ E P F$ (t/c đối xứng), do đó $∠ E P F = ∠ B C D$ , suy ra tứ giác $E F C P$ nội tiếp.

b. Do tứ giác $E F C P$ nội tiếp nên $∠ D C P = ∠ E F P$ . (1)

Ta có $∠ E F P = ∠ E F E = 90^{\circ} - ∠ F A E = ∠ D A P$ .(2)

Từ (1) và (2), suy ra $∠ D A P = ∠ D C P$ , suy ra $A D P C$ nội tiếp, do đó $P \in (O)$ mà $E F$ là trung trực của $A P$ nên $O$ thuộc $E F$ , hay $E, O, F$ thẳng hàng.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Toán Việt

Chia sẻ và học hỏi

Đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Like this:

Leave a Reply Cancel reply

Share this:

Like this:

Leave a Reply Cancel reply