a) $5^{2n} = 25^n \equiv 6^n (\mod 19) \Rightarrow 7 \cdot 5^{2n} = 7 \cdot 6^n (\mod 19)$

Suy ra $ 7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n \equiv 19 \cdot 6^n \equiv 0 (\mod 19)$.

Do đó $A = 7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n$ chia hết cho 19.

b) Ta có $5^{2n+1}= 5 \cdot 25^n \equiv 5 \cdot 2^n (\mod 23)$.

Khi đó $5^{2n+1}+2^{n+4} + 2^{n+1} \equiv 5 \cdot 2^n + 16 \cdot 2^n + 2 \cdot 2^n (\mod 23)$

$\equiv 23 \cdot 2^n (\mod 23) \equiv 0 (\mod 23)$.

Do đó $5^{2n+1}+2^{n+4} + 2^{n+1}$ chia hết cho 23.

a) Ta thấy $16\equiv 1 (\mod 5)$, suy ra $16^n \equiv 1 (\mod 5)$.

Suy ra $2^{4k+r} \equiv 2^r (\mod 5)$.

Do đó ta xét $n$ theo moldun 4.

• Nếu $n= 4k$, ta có $2^{2n} + 2^n + 1 \equiv 3 (\mod 5)$.
• Nếu $n = 4k+1$ ta có $2^{2n} + 2^n + 1 \equiv 7 (\mod 5)$.
• Nếu $n=4k+2$ ta có $2^{2n} + 2^n + 1 \equiv 4 (\mod 5)$.
• Nếu $n=4k+3$ ta có $2^{2n} + 2^n + 1 \equiv 1 (\mod 5)$.

Vậy không tồn tại số tự nhiên $n$ để $2^{2n} + 2^n + 1$ chia hết cho 5.

b) Ta có $2^6 \equiv 1 (\mod 9)$, suy ra $2^{6k+r} equiv 2^r (\mod 9)$.

Đặt $n= 6k+r (0 \leq r \leq 5)$. Khi đó $2^n+1 \equiv 2^{6k+r}+1 \equiv 2^r + 1 (\mod 9)$

Do đó $2^n + 1$ chia hết cho 9 khi và chỉ khi $2^r+1$ chia hết cho 9, tìm ra được $r = 3$.

Vậy $n=6k+3$ với $k$ là số tự nhiên.

Ta cần chứng minh $a_nb_n$ chia hết cho 5 và $a_n+ b_n$ không chia hết cho 5 với mọi $n$.

• $a_n\cdot b_n = 2^{4n+2} + 1 \equiv 0 (\mod 5)$.
• $a_n + b_n = 2^{2n+2} + 2 \equiv 4(-1)^n + 2  (\mod 5) \equiv 1, -2 (\mod 5)$.

Do đó $a_nb_n$ chia hết cho 5 và $a_n+b_n$ không chia hết cho 5.

Do đó có một và chỉ một trong hai số $a_n$ hoặc $b_n$ chia hết cho 5.

a) Do $ 2018 \equiv 1964 \quad \text{(mod 3)} \Rightarrow 2018^n \equiv 1964^n \quad \text{(mod 3)} . $
$ 2032 \equiv 1984 \quad \text{(mod 3)} \Rightarrow 2032^n \equiv 1984^n \quad \text{(mod 3)} $.
$ \Rightarrow A_n \ \vdots \ 3. $
Ta lại có $ 2018 \equiv 1984 \quad \text{(mod 17)} \Rightarrow 2018^n \equiv 1984^n \quad \text{(mod 17)} $.
$ 2032 \equiv 1964 \quad \text{(mod 17)} \Rightarrow 2032^n \equiv 1964^n \quad \text{(mod 17)} $.
$ \Rightarrow A_n \ \vdots\ 17. $
Do $ (3; 17) = 1 $ nên $ A_n \ \vdots \ 51 \quad \forall n$
b) $ A_n = 2018^n + 2032^n – 1964^n – 1984^n. $

b)

• Ta xét các trường hợp của $ n $ để $ A_n \ \vdots \ 5. $
  Ta có $ A_n \equiv (-2)^n + 2^n -2\cdot(-1)^n $ (mod 5).
  Do đó nếu $ n $ lẻ $ \Rightarrow A_n \equiv 2 \quad $(mod 5)$ \quad \text{(loại)}$.
  Nếu $ n = 4k \Rightarrow A_n \equiv 2\cdot 2^{4k} -2 \equiv 2-2 \equiv 0 \quad$ (mod 5) (nhận)
  Nếu $ n = 4k + 2 \Rightarrow A_n \equiv 2\cdot 2^{4k+2} -2 \equiv 8 – 2 \equiv 6$ (mod 5) (loại).
  Vậy $ A_n \ \vdots \ 5 \Leftrightarrow n \ \vdots \ 4. $
• Ta xét các trường hợp của $ n $ để $ A_n \ \vdots \ 9. $
  Ta có
  $A_n \equiv 2^n + (-2)^n – 2^n – 4^n \quad  (\mod 9)$
  $\equiv 2^n -4^n \quad \text { (mod 9) \quad (Do $n$ chẵn).}$
  $ \equiv 2^n(1-2^n) \quad \mod 9) Vì $ (2;9 ) = 1 \Rightarrow 2^n – 1  \vdots \ 9$.
  Xét $ n= 3k $ với $ k \in \mathbb{N} $. Ta có $ A_n \equiv 2^{3k} – 1 \equiv (-1)^k – 1 \quad (\mod 9) \Rightarrow k$ chẵn.
  • Xét $ n= 3k + 1 $ với $ k \in \mathbb{N} $. Ta có $ A_n \equiv 2^{3k + 1} – 1 \equiv 2\cdot(-1)^k – 1 \quad \text { (mod 9) \quad (loại)}. $
  • Xét $ n= 3k + 2 $ với $ k \in \mathbb{N} $. Ta có $ A_n \equiv 2^{3k + 2} – 1 \equiv 4\cdot(-1)^k – 1 \quad \text { (mod 9) \quad (loại)}. $
• Vậy $ A_n \ \vdots \ 45 \Leftrightarrow n \ \vdots \ 12. $