a) $5^{2n}={25}^n\equiv 6^n(\mathrm{mod}19)\Rightarrow 7\cdot 5^{2n}=7\cdot 6^n(\mathrm{mod}19)$

Suy ra $7\cdot 5^{2n}+12\cdot 6^n\equiv 19\cdot 6^n\equiv 0(\mathrm{mod}19)$.

Do đó $A=7\cdot 5^{2n}+12\cdot 6^n$ chia hết cho 19.

b) Ta có $5^{2n+1}=5\cdot {25}^n\equiv 5\cdot 2^n(\mathrm{mod}23)$.

Khi đó $5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}\equiv 5\cdot 2^n+16\cdot 2^n+2\cdot 2^n(\mathrm{mod}23)$

$\equiv 23\cdot 2^n(\mathrm{mod}23)\equiv 0(\mathrm{mod}23)$.

Do đó $5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}$ chia hết cho 23.

a) Ta thấy $16\equiv 1(\mathrm{mod}5)$, suy ra ${16}^n\equiv 1(\mathrm{mod}5)$.

Suy ra $2^{4k+r}\equiv 2^r(\mathrm{mod}5)$.

Do đó ta xét $n$ theo moldun 4.

• Nếu $n=4k$, ta có $2^{2n}+2^n+1\equiv 3(\mathrm{mod}5)$.
• Nếu $n=4k+1$ ta có $2^{2n}+2^n+1\equiv 7(\mathrm{mod}5)$.
• Nếu $n=4k+2$ ta có $2^{2n}+2^n+1\equiv 4(\mathrm{mod}5)$.
• Nếu $n=4k+3$ ta có $2^{2n}+2^n+1\equiv 1(\mathrm{mod}5)$.

Vậy không tồn tại số tự nhiên $n$ để $2^{2n}+2^n+1$ chia hết cho 5.

b) Ta có $2^6\equiv 1(\mathrm{mod}9)$, suy ra $2^{6k+r}equiv{2}^r(\mathrm{mod}9)$.

Đặt $n=6k+r(0\le r\le 5)$. Khi đó $2^n+1\equiv 2^{6k+r}+1\equiv 2^r+1(\mathrm{mod}9)$

Do đó $2^n+1$ chia hết cho 9 khi và chỉ khi $2^r+1$ chia hết cho 9, tìm ra được $r=3$.

Vậy $n=6k+3$ với $k$ là số tự nhiên.

Ta cần chứng minh $a_n{b}_n$ chia hết cho 5 và $a_n+b_n$ không chia hết cho 5 với mọi $n$.

• $a_n\cdot b_n=2^{4n+2}+1\equiv 0(\mathrm{mod}5)$.
• $a_n+b_n=2^{2n+2}+2\equiv 4(-1{)}^n+2(\mathrm{mod}5)\equiv 1,-2(\mathrm{mod}5)$.

Do đó $a_n{b}_n$ chia hết cho 5 và $a_n+b_n$ không chia hết cho 5.

Do đó có một và chỉ một trong hai số $a_n$ hoặc $b_n$ chia hết cho 5.

a) Do $2018\equiv 1964\text{(mod 3)}\Rightarrow {2018}^n\equiv {1964}^n\text{(mod 3)}.$
$2032\equiv 1984\text{(mod 3)}\Rightarrow {2032}^n\equiv {1984}^n\text{(mod 3)}$.
$\Rightarrow A_n⋮3.$
Ta lại có $2018\equiv 1984\text{(mod 17)}\Rightarrow {2018}^n\equiv {1984}^n\text{(mod 17)}$.
$2032\equiv 1964\text{(mod 17)}\Rightarrow {2032}^n\equiv {1964}^n\text{(mod 17)}$.
$\Rightarrow A_n⋮17.$
Do $(3;17)=1$ nên $A_n⋮51\mathrm{\forall }n$
b) $A_n={2018}^n+{2032}^n–{1964}^n–{1984}^n.$

b)

• Ta xét các trường hợp của $n$ để $A_n⋮5.$
  Ta có $A_n\equiv (-2{)}^n+2^n-2\cdot (-1{)}^n$ (mod 5).
  Do đó nếu $n$ lẻ $\Rightarrow A_n\equiv 2$(mod 5)$\text{(loại)}$.
  Nếu $n=4k\Rightarrow A_n\equiv 2\cdot 2^{4k}-2\equiv 2-2\equiv 0$ (mod 5) (nhận)
  Nếu $n=4k+2\Rightarrow A_n\equiv 2\cdot 2^{4k+2}-2\equiv 8–2\equiv 6$ (mod 5) (loại).
  Vậy $A_n⋮5\iff n⋮4.$
• Ta xét các trường hợp của $n$ để $A_n⋮9.$
  Ta có
  $A_n\equiv 2^n+(-2{)}^n–2^n–4^n(\mathrm{mod}9)$
  $\equiv 2^n-4^n\text{ (mod 9) quad (Do }n\text{ chẵn).}$
  $\equiv 2^n(1-2^n)\mathrm{mod}9)Vì$ (2;9 ) = 1 \Rightarrow 2^n – 1  \vdots \ 9$.Xét$ n= 3k $với$ k \in \mathbb{N} $.Tacó$ A_n \equiv 2^{3k} – 1 \equiv (-1)^k – 1 \quad (\mod 9) \Rightarrow k$ chẵn.
  • Xét $n=3k+1$ với $k\in \mathbb{N}$. Ta có $A_n\equiv 2^{3k+1}–1\equiv 2\cdot (-1{)}^k–1\text{ (mod 9) quad (loại)}.$
  • Xét $n=3k+2$ với $k\in \mathbb{N}$. Ta có $A_n\equiv 2^{3k+2}–1\equiv 4\cdot (-1{)}^k–1\text{ (mod 9) quad (loại)}.$
• Vậy $A_n⋮45\iff n⋮12.$